清單03軸對稱（16個考點(diǎn)梳理典型例題核心素養(yǎng)提升中考熱點(diǎn)聚焦）（原卷版）

清單03軸對稱（16個考點(diǎn)梳理+典型例題+核心素養(yǎng)提升+中考熱點(diǎn)聚焦）【知識導(dǎo)圖】【知識清單】考點(diǎn)一．線段垂直平分線的性質(zhì)（1）定義：經(jīng)過某一條線段的中點(diǎn)，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線（中垂線）垂直平分線，簡稱“中垂線”．（2）性質(zhì)：①垂直平分線垂直且平分其所在線段．②垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等．③三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，該點(diǎn)叫外心，并且這一點(diǎn)到三個頂點(diǎn)的距離相等．1．（2022秋?遵義期末）如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線ED交AB于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)D，若BC＝9，AC＝5，則△ACD的周長為．2．（2022秋?東臺市期末）如圖，在△ABC中，AD是高，CE是中線，點(diǎn)G是CE的中點(diǎn)，DG⊥CE，垂足為G．（1）求證：AB＝2CD；（2）若∠AEC＝69°，求∠BCE的度數(shù)．考點(diǎn)二．等腰三角形的性質(zhì)（1）等腰三角形的概念有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性質(zhì)①等腰三角形的兩腰相等②等腰三角形的兩個底角相等．【簡稱：等邊對等角】③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．【三線合一】（3）在①等腰；②底邊上的高；③底邊上的中線；④頂角平分線．以上四個元素中，從中任意取出兩個元素當(dāng)成條件，就可以得到另外兩個元素為結(jié)論．3．（2022秋?平泉市期末）等腰三角形的周長為16，其中腰為x，則x不可能為（）A．4 B．5 C．6 D．74．（2023春?江北區(qū)期末）等腰三角形的一個角是70°，它的底角的大小為（）A．70° B．40° C．70°或40° D．70°或55°考點(diǎn)三．等腰三角形的判定判定定理：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等．【簡稱：等角對等邊】說明：①等腰三角形是一個軸對稱圖形，它的定義既作為性質(zhì)，又可作為判定辦法．②等腰三角形的判定和性質(zhì)互逆；③在判定定理的證明中，可以作未來底邊的高線也可以作未來頂角的角平分線，但不能作未來底邊的中線；④判定定理在同一個三角形中才能適用．5．（2022秋?雙遼市期末）如圖：E在△ABC的AC邊的延長線上，D點(diǎn)在AB邊上，DE交BC于點(diǎn)F，DF＝EF，BD＝CE．求證：△ABC是等腰三角形．（過D作DG∥AC交BC于G）6．（2022秋?江北區(qū)校級期末）已知在△ABC中，∠C＝3∠B，AD平分∠BAC交BC于D．（1）如圖1．若AE⊥BC于E，∠C＝75°，求∠DAE的度數(shù)；（2）如圖2，若DF⊥AD交AB于F，求證：BF＝DF．考點(diǎn)四．等腰三角形的判定與性質(zhì)1、等腰三角形提供了好多相等的線段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是證明線段相等、角相等的重要手段．2、在等腰三角形有關(guān)問題中，會遇到一些添加輔助線的問題，其頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線是常見的輔助線，雖然“三線合一”，但添加輔助線時，有時作哪條線都可以，有時不同的做法引起解決問題的復(fù)雜程度不同，需要具體問題具體分析．3、等腰三角形性質(zhì)問題都可以利用三角形全等來解決，但要注意糾正不顧條件，一概依賴全等三角形的思維定勢，凡可以直接利用等腰三角形的問題，應(yīng)當(dāng)優(yōu)先選擇簡便方法來解決．7．（2022秋?九臺區(qū)期末）如圖，∠ACB＝90°，AC＝AD，DE⊥AB．求證：CE＝DE．8．（2022秋?河北區(qū)期末）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠ABC的平分線交CD的延長線于點(diǎn)E，F(xiàn)是BE的中點(diǎn)，連接CF并延長交AD于點(diǎn)G．（1）求證：BC＝EC．（2）若∠ADE＝110°，∠ABC＝52°，求∠CGD的度數(shù)．9．（2022秋?韓城市期末）如圖，已知點(diǎn)D，E分別是△ABC的邊BA和BC延長線上的點(diǎn)，作∠DAC的平分線AF，若AF∥BC．（1）求證：△ABC是等腰三角形；（2）作∠ACE的平分線交AF于點(diǎn)G，若∠B＝40°，求∠AGC的度數(shù)．考點(diǎn)五．等邊三角形的性質(zhì)（1）等邊三角形的定義：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，等邊三角形是特殊的等腰三角形．①它可以作為判定一個三角形是否為等邊三角形的方法；②可以得到它與等腰三角形的關(guān)系：等邊三角形是等腰三角形的特殊情況．在等邊三角形中，腰和底、頂角和底角是相對而言的．（2）等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，且都等于60°．等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸；它的任意一角的平分線都垂直平分對邊，三邊的垂直平分線是對稱軸．10．（2022秋?芝罘區(qū)期末）如圖，點(diǎn)P、Q是邊長為9cm的等邊△ABC邊AB、BC上的動點(diǎn)，點(diǎn)P從頂點(diǎn)A出發(fā)沿線段AB運(yùn)動，點(diǎn)Q從頂點(diǎn)B出發(fā)沿線段BC運(yùn)動，它們的速度都為1cm/s，其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)后停止運(yùn)動．在P、Q運(yùn)動的過程中，設(shè)運(yùn)動時間為t秒，若△PBQ為直角三角形，則t的值為（）A．3 B．2或3 C．2或4 D．3或611．（2022秋?河西區(qū)期末）如圖，在等邊三角形ABC中，D是BC邊上一點(diǎn)，以AD為邊作等腰三角形ADE，使AD＝AE，∠DAE＝80°，DE交AC于點(diǎn)F，∠BAD＝15°．（Ⅰ）求∠CAE的度數(shù)；（Ⅱ）求∠FDC的度數(shù)．12．（2022秋?海門市期末）如圖，△ABC是等邊三角形，BD是中線，延長BC至E，使CE＝CD，DF⊥BE，垂足為點(diǎn)F．（1）求證：CE＝2CF；（2）若CF＝2，求△ABC的周長．13．（2022秋?建昌縣期末）如圖，△ABC是等邊三角形，在直線BC的下方有一點(diǎn)D，且DB＝DC，連接AD交BC于點(diǎn)E．（1）判斷AD與BC的位置關(guān)系，并說明理由；（2）過點(diǎn)D作DF∥AB，AC＝5，F(xiàn)C＝3，求DF的長．考點(diǎn)六．等邊三角形的判定（1）由定義判定：三條邊都相等的三角形是等邊三角形．（2）判定定理1：三個角都相等的三角形是等邊三角形．（3）判定定理2：有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形．說明：在證明一個三角形是等邊三角形時，若已知或能求得三邊相等則用定義來判定；若已知或能求得三個角相等則用判定定理1來證明；若已知等腰三角形且有一個角為60°，則用判定定理2來證明．14．（2022秋?南平期末）如圖，在△ABC中，BD是中線，延長BC到點(diǎn)E，使CE＝CD，若DB＝DE，∠E＝30°．求證：△ABC是等邊三角形．15．（2022秋?叢臺區(qū)校級期末）如圖，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°．點(diǎn)D，E在BC邊上，且AD⊥AC，AE⊥AB．（1）求∠C的度數(shù)；（2）求證：△ADE是等邊三角形．考點(diǎn)七．等邊三角形的判定與性質(zhì)（1）等邊三角形是一個非常特殊的幾何圖形，它的角的特殊性給有關(guān)角的計(jì)算奠定了基礎(chǔ)，它的邊角性質(zhì)為證明線段、角相等提供了便利條件．同是等邊三角形又是特殊的等腰三角形，同樣具備三線合一的性質(zhì)，解題時要善于挖掘圖形中的隱含條件廣泛應(yīng)用．（2）等邊三角形的特性如：三邊相等、有三條對稱軸、一邊上的高可以把等邊三角形分成含有30°角的直角三角形、連接三邊中點(diǎn)可以把等邊三角形分成四個全等的小等邊三角形等．（3）等邊三角形判定最復(fù)雜，在應(yīng)用時要抓住已知條件的特點(diǎn)，選取恰當(dāng)?shù)呐卸ǚ椒?，一般地，若從一般三角形出發(fā)可以通過三條邊相等判定、通過三個角相等判定；若從等腰三角形出發(fā)，則想法獲取一個60°的角判定．16．（2023春?開江縣校級期末）如圖，△ABC是邊長為6cm的等邊三角形，動點(diǎn)P、Q同時從A、B兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿AB、BC方向勻速移動．（1）當(dāng)點(diǎn)P的運(yùn)動速度是1cm/s，點(diǎn)Q的運(yùn)動速度是2cm/s，當(dāng)Q到達(dá)點(diǎn)C時，P、Q兩點(diǎn)都停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為t（s），當(dāng)t＝2時，判斷△BPQ的形狀，并說明理由；（2）當(dāng)它們的速度都是1cm/s，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時，P、Q兩點(diǎn)停止運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時間為t（s），則當(dāng)t為何值時，△PBQ是直角三角形？17．（2023春?揭東區(qū)期末）已知，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)D在CB的延長線上，且ED＝EC．（1）【特殊情況，探索結(jié)論】如圖1，當(dāng)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)時，確定線段AE與DB的大小關(guān)系，請你直接寫出結(jié)論：AE＝DB（填“＞”、“＜”或“＝”）．（2）【特例啟發(fā)，解答題目】如圖2，當(dāng)點(diǎn)E為AB邊上任意一點(diǎn)時，確定線段AE與DB的大小關(guān)系，請你直接寫出結(jié)論，AE＝DB（填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，過點(diǎn)E作EF∥BC，交AC于點(diǎn)F．（請你完成以下解答過程）．（3）【拓展結(jié)論，設(shè)計(jì)新題】在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E在直線AB上，點(diǎn)D在線段CB的延長線上，且ED＝EC，若△ABC的邊長為1，AE＝2，求CD的長（請你畫出相應(yīng)圖形，并直接寫出結(jié)果）．18．（2023春?東港市期末）如圖，點(diǎn)O是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，D是△ABC外的一點(diǎn)，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，連接OD．（1）求證：△OCD是等邊三角形；（2）當(dāng)α＝150°時，試判斷△AOD的形狀，并說明理由；（3）探究：當(dāng)α為多少度時，△AOD是等腰三角形．考點(diǎn)八．含30度角的直角三角形（1）含30度角的直角三角形的性質(zhì)：在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半．（2）此結(jié)論是由等邊三角形的性質(zhì)推出，體現(xiàn)了直角三角形的性質(zhì)，它在解直角三角形的相關(guān)問題中常用來求邊的長度和角的度數(shù)．（3）注意：①該性質(zhì)是直角三角形中含有特殊度數(shù)的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能應(yīng)用；②應(yīng)用時，要注意找準(zhǔn)30°的角所對的直角邊，點(diǎn)明斜邊．19．（2022秋?靖西市期末）如圖，一條船上午8時從海島A出發(fā)，以20海里/時的速度向正北方向航行，上午10時到達(dá)海島B處，分別從A，B處望燈塔C，測得∠NAC＝30°，∠NBC＝60°．（1）求海島B到燈塔C的距離；（2）若這條船繼續(xù)向正北航行，問上午幾時小船與燈塔C的距離最短？20．（2023春?青島期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分線分別交AB和AC于點(diǎn)D，E．（1）求證：AE＝2CE；（2）連接CD，請判斷△BCD的形狀，并說明理由．考點(diǎn)九．生活中的軸對稱現(xiàn)象（1）軸對稱的概念：把一個圖形沿某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱，也稱軸對稱；這條直線叫做對稱軸．（2）軸對稱包含兩層含義：①有兩個圖形，且這兩個圖形能夠完全重合，即形狀大小完全相同；②對重合的方式有限制，只能是把它們沿一條直線對折后能夠重合．21．（2022秋?東阿縣期末）下列是四張益智器具圖片，從對稱的角度來看，哪一張與另三張不一樣（）A． B． C． D．22．（2022秋?高陽縣校級期末）如圖是跳棋盤，其中格點(diǎn)上的黑色點(diǎn)為棋子，剩余的格點(diǎn)上沒有棋子，我們約定跳棋游戲的規(guī)則是：把跳棋棋子在棋盤內(nèi)沿直線隔著棋子對稱跳行，跳行一次稱為一步，已知點(diǎn)A為乙方一枚棋子，欲將棋子A跳進(jìn)對方區(qū)域（陰影部分的格點(diǎn)），則跳行的最少步數(shù)為（）A．2步 B．3步 C．4步 D．5步考點(diǎn)十．軸對稱的性質(zhì)（1）如果兩個圖形關(guān)于某直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線．由軸對稱的性質(zhì)得到一下結(jié)論：①如果兩個圖形的對應(yīng)點(diǎn)的連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱；②如果兩個圖形成軸對稱，我們只要找到一對對應(yīng)點(diǎn)，作出連接它們的線段的垂直平分線，就可以得到這兩個圖形的對稱軸．（2）軸對稱圖形的對稱軸也是任何一對對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線．23．（2023春?興慶區(qū)校級期末）如圖，△ABC與△A'B'C'關(guān)于直線l對稱，則AC＝（）A．A'B' B．B'C' C．BC D．A'C'24．（2022秋?昆明期末）如圖，在3×3的正方形網(wǎng)格中，格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形稱為格點(diǎn)三角形，圖中的△ABC為格點(diǎn)三角形，在圖中與△ABC成軸對稱的格點(diǎn)三角形可以畫出（）A．6個 B．5個 C．4個 D．3個25．（2023春?永春縣期末）如圖為一張銳角三角形紙片ABC，小明想要通過折紙的方式折出如下線段：①BC邊上的中線AD；②∠A的平分線AE；③BC邊上的高AF．根據(jù)所學(xué)知識與相關(guān)活動經(jīng)驗(yàn)可知：上述三條線中，能夠通過折紙折出的有（）A．①②③ B．①② C．①③ D．②③考點(diǎn)十一．軸對稱圖形（1）軸對稱圖形的概念：如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸，這時，我們也可以說這個圖形關(guān)于這條直線（成軸）對稱．（2）軸對稱圖形是針對一個圖形而言的，是一種具有特殊性質(zhì)圖形，被一條直線分割成的兩部分沿著對稱軸折疊時，互相重合；軸對稱圖形的對稱軸可以是一條，也可以是多條甚至無數(shù)條．（3）常見的軸對稱圖形：等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圓等等．26．（2022秋?鎮(zhèn)江期末）我市積極普及科學(xué)防控知識，下面是科學(xué)防控知識的圖片，圖片上有圖案和文字說明，其中的圖案是軸對稱圖形的是（）A．防控疫情我們在一起 B．有癥狀早就醫(yī) C．打噴嚏捂口鼻 D．勤洗手勤通風(fēng)27．（2022秋?望城區(qū)期末）如圖是2×5的正方形網(wǎng)格，△ABC的頂點(diǎn)都在小正方形的格點(diǎn)上，這樣的三角形稱為格點(diǎn)三角形．則在網(wǎng)格中，能畫出且與△ABC成軸對稱的格點(diǎn)三角形一共有（）個．A．1 B．2 C．3 D．4考點(diǎn)十二．鏡面對稱1、鏡面對稱：有時我們把軸對稱也稱為鏡面（鏡子、鏡像）對稱，如果沿著圖形的對稱軸上放一面鏡子，那么在鏡子里所放映出來的一半正好把圖補(bǔ)成完整的（和原來的圖形一樣）．2、鏡面實(shí)質(zhì)上是無數(shù)對對應(yīng)點(diǎn)的對稱，連接對應(yīng)點(diǎn)的線段與鏡面垂直并且被鏡面平分，即鏡面上有每一對對應(yīng)點(diǎn)的對稱軸．3、關(guān)于鏡面問題動手實(shí)驗(yàn)是最好的辦法，如手頭沒有鏡面，可以寫在透明紙上，從反面看到的結(jié)果就是鏡面反射的結(jié)果．28．（2022秋?汾陽市期末）如圖，這是平面鏡成像的示意圖，若以蠟燭的底部和平面鏡中像的底部連線為x軸，平面鏡所在點(diǎn)的豎線為y軸（鏡面厚度忽略不計(jì)）建立平面直角坐標(biāo)系，某時刻火焰頂部S的坐標(biāo)是（﹣1.5，1），則此時對應(yīng)的虛像S'的坐標(biāo)是（）A．（1.5，﹣1） B．（1，1.5） C．（1，﹣1.5） D．（1.5，1）29．（2022秋?芮城縣期末）小剛從鏡子中看到的電子表的讀數(shù)是[15：01]，則電子表的實(shí)際度數(shù)是．考點(diǎn)十三．關(guān)于x軸、y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)（1）關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)：橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)．即點(diǎn)P（x，y）關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)P′的坐標(biāo)是（x，﹣y）．（2）關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)：橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)不變．即點(diǎn)P（x，y）關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)P′的坐標(biāo)是（﹣x，y）．30．（2022秋?新鄉(xiāng)期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于x軸對稱，已知點(diǎn)B與點(diǎn)C關(guān)于y軸對稱，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，2），則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（）A．（﹣1，2） B．（1，﹣2） C．（﹣1，﹣2） D．（2，﹣1）31．（2022秋?天津期末）已知點(diǎn)A（m，2）和B（3，n）關(guān)于y軸對稱，則（m+n）2023的值為（）A．0 B．﹣1 C．1 D．（﹣5）2023考點(diǎn)十四．坐標(biāo)與圖形變化對稱（1）關(guān)于x軸對稱橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)．（2）關(guān)于y軸對稱縱坐標(biāo)相等，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)．（3）關(guān)于直線對稱①關(guān)于直線x＝m對稱，P（a，b）?P（2m﹣a，b）②關(guān)于直線y＝n對稱，P（a，b）?P（a，2n﹣b）32．（2022秋?開江縣校級期末）如圖，在直角坐標(biāo)系中，直角三角形ABC的頂點(diǎn)A在x軸上，頂點(diǎn)B在y軸上，∠ACB＝90°，OB∥AC，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，2），點(diǎn)D和點(diǎn)C關(guān)于AB成軸對稱，且AD交y軸于點(diǎn)E．那么點(diǎn)E的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．33．（2022秋?長沙期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l過點(diǎn)A且平行于x軸，交y軸于點(diǎn)（0，1），△ABC關(guān)于直線l對稱，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣1，﹣1），則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（）A．（﹣2，1） B．（﹣1，3） C．（1，﹣3） D．（﹣3，1）考點(diǎn)十五．作圖軸對稱變換幾何圖形都可看做是由點(diǎn)組成，我們在畫一個圖形的軸對稱圖形時，也是先從確定一些特殊的對稱點(diǎn)開始的，一般的方法是：①由已知點(diǎn)出發(fā)向所給直線作垂線，并確定垂足；②直線的另一側(cè)，以垂足為一端點(diǎn)，作一條線段使之等于已知點(diǎn)和垂足之間的線段的長，得到線段的另一端點(diǎn)，即為對稱點(diǎn)；③連接這些對稱點(diǎn)，就得到原圖形的軸對稱圖形．34．（2022秋?陜州區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（﹣1，2）、B（﹣4，0）、C（﹣3，﹣2）．（1）在圖中作出△ABC關(guān)于y軸的對稱圖形△A′B′C'，并寫出點(diǎn)B′的坐標(biāo)；（2）請直接寫出△ABC的面積；（3）若點(diǎn)M（m﹣1，3）與點(diǎn)N（﹣2，n+1）關(guān)于x軸對稱，請直接寫出m、n的值．35．（2022秋?碑林區(qū)期末）在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個頂點(diǎn)位置如圖所示．（1）請畫出△ABC關(guān)于x軸對稱的△A′B′C′（其中A′，B′，C′分別是A，B，C的對應(yīng)點(diǎn)）；（2）直接寫出△A′B′C′三點(diǎn)的坐標(biāo)：A′，B′，C′；（3）求AC′的長為．考點(diǎn)十六．軸對稱最短路線問題1、最短路線問題在直線L上的同側(cè)有兩個點(diǎn)A、B，在直線L上有到A、B的距離之和最短的點(diǎn)存在，可以通過軸對稱來確定，即作出其中一點(diǎn)關(guān)于直線L的對稱點(diǎn)，對稱點(diǎn)與另一點(diǎn)的連線與直線L的交點(diǎn)就是所要找的點(diǎn)．2、凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合本節(jié)所學(xué)軸對稱變換來解決，多數(shù)情況要作點(diǎn)關(guān)于某直線的對稱點(diǎn)．36．（2023春?宣漢縣校級期末）如圖，等腰三角形ABC的底邊BC長為4，面積是16，腰AC的垂直平分線EF分別交AC，AB邊于E，F(xiàn)點(diǎn)．若點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M為線段EF上一動點(diǎn)，則△CDM周長的最小值為（）A．6 B．8 C．10 D．1237．（2022秋?思明區(qū)期末）如圖，在正方形網(wǎng)格中，直線l與網(wǎng)格線重合，點(diǎn)A，C，A′，B′均在網(wǎng)格點(diǎn)上．（1）已知△ABC和△A′B′C′關(guān)于直線l對稱，請?jiān)趫D上把△ABC和△A′B′C′補(bǔ)充完整：（2）在以直線l為y軸的坐標(biāo)系中，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a，b），則點(diǎn)A′的坐標(biāo)為；（3）在直線l上畫出點(diǎn)P，使得PA+PC最短．38．（2022秋?劍閣縣期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)N，交AC于點(diǎn)M．（1）若∠B＝70°，求∠BAC的大小．（2）連接MB，若AB＝8cm，△MBC的周長是14cm．①求BC的長；②在直線MN上是否存在點(diǎn)P，使PB+CP的值最小，若存在，標(biāo)出點(diǎn)P的位置并求PB+CP的最小值，若不存在，說明理由．39．（2022秋?西鄉(xiāng)塘區(qū)校級期末）如圖，四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點(diǎn)E，若△ABC為等邊三角形，∠BAD＝90°，AD＝DC＝2．（1）求證：BD垂直平分AC；（2）求BE的長；（3）若點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)，請?jiān)贐D上找出一點(diǎn)P，使PC+PF取得最小值；PC+PF的最小值為3（直接寫出結(jié)果）．40．（2022秋?松原期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝4，CD平分∠ACB，交邊AB于點(diǎn)D，點(diǎn)E是邊AB的中點(diǎn)．點(diǎn)P為邊CB上的一個動點(diǎn)．（1）AE＝，∠ACD＝度；（2）當(dāng)四邊形ACPD為軸對稱圖形時，求CP的長；（3）若△CPD是等腰三角形，求∠CPD的度數(shù)；（4）若點(diǎn)M在線段CD上，連接MP、ME，直接寫出MP+ME的值最小時CP的長度．【核心素養(yǎng)提升】1邏輯推理——用轉(zhuǎn)化思想求圖形的周長1．（2023秋?廣陵區(qū)月考）如圖，在△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)E，且BD＝DE．（1）若∠C＝40°，求∠BAD的度數(shù)；（2）若AC＝5，DC＝4，求△ABC的周長．2．（2022秋?興化市月考）如圖，△ABC中，∠BAC＝110°，DE、FG分別為AB、AC的垂直平分線，E、G分別為垂足．（1）求∠DAF的度數(shù)；（2）如果BC＝10，求△DAF的周長．2分類討論思想3．（2022秋?建鄴區(qū)校級期中）在△ABC中，AB＝8，BC＝10，AC＝6，動點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，沿著CB運(yùn)動，速度為每秒2個單位，到達(dá)點(diǎn)B時運(yùn)動停止，設(shè)運(yùn)動時間為t秒，請解答下列問題：（1）求BC上的高；（2）當(dāng)t為何值時，△ACP為等腰三角形？3數(shù)學(xué)建?！獦?gòu)建方程模型解決問題4．（2022秋?淮安區(qū)期中）如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm，P、Q是△ABC邊上的兩個動點(diǎn)，其中點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿A→B方向運(yùn)動，且速度為每秒1cm，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿B→C→A方向運(yùn)動，且速度為每秒2cm，它們同時出發(fā)，設(shè)出發(fā)的時間為t秒．（1）BP＝（用t的代數(shù)式表示）（2）當(dāng)點(diǎn)Q在邊BC上運(yùn)動時，出發(fā)幾秒后，△PQB是等腰三角形？（3）當(dāng)點(diǎn)Q在邊CA上運(yùn)動時，出發(fā)秒后，△BCQ是以BC或BQ為底邊的等腰三角形？4數(shù)形結(jié)合思想5．（2022秋?興化市校級月考）在等邊△ABC的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點(diǎn)M、N，D為△ABC外一點(diǎn)，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．探究：當(dāng)M、N分別在直線AB、AC上移動時，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系及△AMN的周長Q與等邊△ABC的周長L的關(guān)系．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)M、N在邊AB、AC上，且DM＝DN時，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系是；此時＝；（2）如圖2，點(diǎn)M、N在邊AB、AC上，且當(dāng)DM≠DN時，猜想（I）問的兩個結(jié)論還成立嗎？若成立請直接寫出你的結(jié)論；若不成立請說明理由．（3）如圖3，當(dāng)M、N分別在邊AB、CA的延長線上時，探索BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系如何？并給出證明．【中考熱點(diǎn)聚焦】熱點(diǎn)1.軸對稱的性質(zhì)6.（2021?深圳）如圖所示，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1個單位．（1）過直線m作四邊形ABCD的對稱圖形；（2）求四邊形ABCD的面積．7．（2020?吉林）圖①、圖②、圖③都是3×3的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．A，B，C均為格點(diǎn)．在給定的網(wǎng)格中，按下列要求畫圖：（1）在圖①中，畫一條不與AB重合的線段MN，使MN與AB關(guān)于某條直線對稱，且M，N為格點(diǎn)．（2）在圖②中，畫一條不與AC重合的線段PQ，使PQ與AC關(guān)于某條直線對稱，且P，Q為格點(diǎn)．（3）在圖③中，畫一個△DEF，使△DEF與△ABC關(guān)于某條直線對稱，且D，E，F(xiàn)為格點(diǎn)．8．（2022?桂林）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，形如英文字母“V”的圖形三個端點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A（2，3），B（1，0），C（0，3）．（1）畫出“V”字圖形向左平移2個單位后的圖形；（2）畫出原“V”字圖形關(guān)于x軸對稱的圖形；（3）所得圖形與原圖形結(jié)合起來，你能從中看出什么英文字母？（任意答一個即可）熱點(diǎn)2.平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的對稱9．（2023?常州）在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，1），則點(diǎn)P關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A．（﹣2，﹣1） B．（2，﹣1） C．（﹣2，1） D．（2，1）10．（2023?臨沂）某小區(qū)的圓形花園中間有兩條互相垂直的小路，園丁在花園中栽種了8棵桂花，如圖所示．若A，B兩處桂花的位置關(guān)于小路對稱，在分別以兩條小路為x，y軸的平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，