252圓與圓的位置關(guān)系（教學(xué)設(shè)計(jì)）高二數(shù)學(xué)選擇性（人教A版2019）

2.5.2圓與圓的位置關(guān)系教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)目標(biāo)掌握?qǐng)A與圓的位置關(guān)系及判定方法，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)能根據(jù)圓的方程判斷圓與圓的位置關(guān)系，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)能綜合應(yīng)用圓與圓的位置關(guān)系解決問(wèn)題，培養(yǎng)邏輯推理的核心素養(yǎng)教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：能根據(jù)圓的方程判斷圓與圓的位置關(guān)系，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．難點(diǎn)：能綜合應(yīng)用圓與圓的位置關(guān)系解決問(wèn)題，培養(yǎng)邏輯推理的核心素養(yǎng)學(xué)情分析與教材分析學(xué)情分析：本節(jié)課之前學(xué)生也已經(jīng)學(xué)習(xí)了點(diǎn)與圓、直線與圓的位置關(guān)系的判斷，掌握了根據(jù)圖像特征得出判斷點(diǎn)與圓、直線與圓位置關(guān)系的方法，因此本課的內(nèi)容對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，有比較厚實(shí)的基礎(chǔ)，從這個(gè)角度說(shuō)，新課的引入會(huì)比較容易和順暢。教材分析：本節(jié)課選自《2019人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)》第二章《直線和圓的方程》，本節(jié)課主要學(xué)習(xí)圓與圓的位置關(guān)系。本節(jié)課是《人教A版必修二》的第四章第二節(jié)，這是一堂關(guān)于圓與圓位置關(guān)系判斷的新授課。在本節(jié)課之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了圓的方程、直線與圓位置關(guān)系的判斷及簡(jiǎn)單應(yīng)用。課本及教參的處理仍停留在學(xué)生初中已經(jīng)學(xué)習(xí)了圓與圓位置關(guān)系的幾何判斷，所以并沒(méi)有給出圓與圓位置關(guān)系的分類及運(yùn)用圓心距與兩圓半徑和或差的大小來(lái)判斷兩圓位置關(guān)系，而事實(shí)上，現(xiàn)在的學(xué)生初中已經(jīng)不再學(xué)習(xí)圓與圓的位置關(guān)系了，這就給本節(jié)課增大了些容量。隨著直線方程、圓的方程的學(xué)習(xí)，本節(jié)課也相應(yīng)地要將圓與圓的位置關(guān)系聯(lián)系到圓的方程。用代數(shù)方法來(lái)解決幾何問(wèn)題是解析幾何的精髓，是平面幾何問(wèn)題的深化，它將是以后處理圓錐曲線的常用方法，因此，增加了用代數(shù)方法來(lái)分析圓與圓的位置關(guān)系，這樣有利于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合、經(jīng)歷幾何問(wèn)題代數(shù)化等解析幾何思想方法及辯證思維能力，其基本思想方法和解決問(wèn)題的技巧對(duì)今后整個(gè)圓錐曲線的學(xué)習(xí)有著非常重要的意義。本節(jié)課的重點(diǎn)是研究?jī)蓤A位置關(guān)系的判斷方法，并應(yīng)用這些方法解決有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題。根據(jù)學(xué)生的基礎(chǔ)，學(xué)習(xí)的自覺(jué)性和主動(dòng)性，自主學(xué)習(xí)和探究學(xué)習(xí)能力，從而本節(jié)課從學(xué)生學(xué)習(xí)的角度來(lái)看不會(huì)存在太多的障礙。教學(xué)過(guò)程創(chuàng)設(shè)情境，引入新知教師：日食是一種天文現(xiàn)象，在民間稱此現(xiàn)象為天狗食日。日食只在月球與太陽(yáng)呈現(xiàn)合的狀態(tài)時(shí)發(fā)生。日食分為日偏食、日全食、日環(huán)食、全環(huán)食。我們將月亮與太陽(yáng)抽象為圓，觀察到的這些圓在變化的過(guò)程中位置關(guān)系是怎樣的?前面我們運(yùn)用直線的方程，圓的方程研究了直線與圓的位置關(guān)系，現(xiàn)在我們類比上述研究方法，運(yùn)用圓的方程，通過(guò)定量計(jì)算研究圓與圓的位置關(guān)系。新課探究思考：類比直線與圓的位置關(guān)系，請(qǐng)同學(xué)們思考：圓與圓有哪幾種位置關(guān)系？學(xué)生：學(xué)生回顧已學(xué)，得到兩圓位置關(guān)系，相離，外切，相交，內(nèi)切，內(nèi)含.預(yù)設(shè)：兩個(gè)圓之間存在以下三種位置關(guān)系：(1)兩圓相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)；(2)兩圓相切，包括外切與內(nèi)切，只有一個(gè)公共點(diǎn)；(3)兩圓相離，包括外離與內(nèi)含，沒(méi)有公共點(diǎn)．設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)具體的情景，幫助學(xué)生回顧初中幾何中已學(xué)的圓與圓的位置關(guān)系.探究：如何利用兩圓的半徑和圓心距的關(guān)系判定圓與圓的位置關(guān)系？師生：共同分析：可以類比運(yùn)用直線和圓的方程，研究直線與圓的位置關(guān)系的方法，探究圓與圓的位置關(guān)系師生活動(dòng)：（1）學(xué)生回顧初中所學(xué)圓與圓的位置關(guān)系的判定方法，類比直線與圓的位置關(guān)系的判定方法，自主歸納圓與圓的位置關(guān)系的判定方法.（2）教師巡視全班并展示部分學(xué)生的做法：預(yù)設(shè)：圓,圓,兩圓的圓心距,則有位置關(guān)系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含圖示d與r1，r2的關(guān)系探究：類比直線與圓的位置關(guān)系的判斷，是否可以用代數(shù)法判斷呢？又如何利用代數(shù)法判斷兩圓的位置關(guān)系呢？預(yù)設(shè)：代數(shù)法:圓,圓,兩圓的方程聯(lián)立得方程組,則有方程組解的情況2組1組0組兩圓的公共點(diǎn)2個(gè)1個(gè)0個(gè)兩圓的位置關(guān)系相交外切或內(nèi)切外離或內(nèi)含設(shè)計(jì)意圖：類比直線與圓的位置關(guān)系的研究圓與圓的位置關(guān)系.應(yīng)用新知例5已知圓，圓，試判斷圓與圓的位置關(guān)系．學(xué)生：思考并與同桌交流，共同得出答案，做好分享準(zhǔn)備.師生：共同分析：思路1：圓與圓的位置關(guān)系由它們有幾個(gè)公共點(diǎn)確定，而它們有幾個(gè)公共點(diǎn)又由它們的方程所組成的方程組有幾組實(shí)數(shù)解確定；思路2：借助圖形，可以依據(jù)連心線的長(zhǎng)與兩半徑的和或兩半徑的差的絕對(duì)值的大小關(guān)系，判斷兩圓的位置關(guān)系．預(yù)設(shè)：解法1：將圓與圓的方程聯(lián)立，得到方程組，得③由③，得．把上式代入①，并整理，得④方程④的根的判別式，所以，方程④有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，．把，分別代入方程③，得到，．因此圓與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，，這兩個(gè)圓相交．解法2：把圓的方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程，得，圓的圓心是，半徑．把圓的方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程，得，圓的圓心是，半徑，圓與圓的連心線的長(zhǎng)為．圓與圓的兩半徑之和，兩半徑長(zhǎng)之差．因?yàn)?，即，所以圓與圓相交（圖2.56），它們有兩個(gè)公共點(diǎn)，．思考：畫(huà)出圓與圓以及方程③表示的直線，你發(fā)現(xiàn)了什么？你能說(shuō)明為什么嗎？QUOTE學(xué)生：回顧解題過(guò)程，并總結(jié)答案預(yù)設(shè)：當(dāng)兩圓相交時(shí)，兩圓方程相減，所得二元一次方程是兩圓公共弦所在直線的方程。師生總結(jié)：求兩相交圓的公共弦所在直線方程方法：將兩圓的方程相減，消去x2與y思考：為什么不需要把圓與圓的兩個(gè)公共點(diǎn)，的具體坐標(biāo)求出來(lái)？學(xué)生：思考、交流、討論，體會(huì)設(shè)而不求的重要數(shù)學(xué)思想；預(yù)設(shè)：本題只要判斷圓與圓是否有公共點(diǎn)，并不需要求出公共點(diǎn)的坐標(biāo)，因此不必解方程④，具體求出兩個(gè)實(shí)數(shù)根．思考：在解法1中，如果兩圓方程聯(lián)立消元后得到的方程的，它說(shuō)明什么?你能據(jù)此確定兩圓是內(nèi)切還是外切嗎?如何判斷兩圓是內(nèi)切還是外切呢?當(dāng)時(shí)，兩圓是什么位置關(guān)系?學(xué)生：與同桌討論和思考，嘗試著得出答案.預(yù)設(shè)：當(dāng)時(shí)，它說(shuō)明兩個(gè)圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，兩圓相切但無(wú)法確定是內(nèi)切，還是外切；當(dāng)時(shí)，它說(shuō)明兩個(gè)圓沒(méi)有公共點(diǎn)，兩個(gè)圓相離，但無(wú)法確定是外離，還是內(nèi)含.追問(wèn)：如何判斷兩圓是內(nèi)切還是外切（是外離還是內(nèi)含）？學(xué)生：幾何法跟蹤練習(xí)：（1）代數(shù)法判斷圓與圓的位置關(guān)系，若有公共點(diǎn)，求出公共點(diǎn)的坐標(biāo)．師生：學(xué)生自主完成練習(xí)，教師巡視學(xué)生做題情況，并選擇典型解答，分享答案；預(yù)設(shè)：依題意，聯(lián)立方程組，將兩方程相減并化簡(jiǎn)得，把代入第一個(gè)方程得到，解得，，從而，．所以圓與相交于兩點(diǎn)與．（2）幾何法判斷圓與圓的位置關(guān)系，若相交，求出公共弦所在直線的方程．師生：學(xué)生自主完成練習(xí)，教師巡視學(xué)生做題情況，并選擇典型解答，分享答案；預(yù)設(shè)：圓，即，所以，圓，即，所以，則，所以，即圓與圓相交.兩圓的方程相減得：，即所以公共弦所在直線的方程為例6已知圓的直徑，動(dòng)點(diǎn)與點(diǎn)的距離是它與點(diǎn)的距離的倍．試探究點(diǎn)的軌跡，并判斷該軌跡與圓的位置關(guān)系．師生：共同分析：我們可以通過(guò)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求得滿足條件的動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，從而得到點(diǎn)M的軌跡；通過(guò)研究它的軌跡方程與圓O方程的關(guān)系，判斷這個(gè)軌跡與圓O的位置關(guān)系．師生：給出題目后，教師通過(guò)以下問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生思考：（1）如何建立平面直角坐標(biāo)系？有哪些幾何對(duì)象需要用坐標(biāo)表示？（2）問(wèn)題中的幾何對(duì)象之間有哪些關(guān)系，如何用坐標(biāo)進(jìn)行表示？（3）說(shuō)說(shuō)你對(duì)動(dòng)點(diǎn)M的軌跡及軌跡方程的理解？預(yù)設(shè)：如圖2.57，以線段的中點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線為軸，線段的垂直平分線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系．由，得，．設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由，得，化簡(jiǎn)，得，即．所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑為的一個(gè)圓（圖2.57)．因?yàn)閮蓤A的圓心距為，兩圓的半徑分別為，，又QUOTE??1???2<????<??1+思考：如果把本例中的“倍”改為“倍”，你能分析并解決這個(gè)問(wèn)題嗎？學(xué)生：思考、討論、交流，分析出答案；預(yù)設(shè)：由例6同理可得，點(diǎn)M的軌跡方程可化為：當(dāng)時(shí)，方程化為：其軌跡為以為圓心，為半徑的圓，與圓相交；能力提升題型一：求兩圓相交時(shí)的公共弦長(zhǎng)例題1（1）求圓與圓的公共弦長(zhǎng)．預(yù)設(shè)：依題意，聯(lián)立方程組，將兩方程相減并化簡(jiǎn)得，把代入第一個(gè)方程得到，解得，，從而，．所以圓與相交于兩點(diǎn)與,所以圓與的公共弦長(zhǎng)為.方法總結(jié)：代數(shù)法求公共弦長(zhǎng)聯(lián)立兩圓方程，解方程組，得出兩交點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用兩點(diǎn)間的距離公式即可求得公共弦長(zhǎng).（2）求圓與圓的公共弦長(zhǎng).預(yù)設(shè)：變形為，圓心為，半徑為，與相減得到公共弦所在直線方程，即，整理得：，圓心到直線的距離為，故公共弦長(zhǎng)為.方法總結(jié)：幾何法求公共弦長(zhǎng)先利用兩圓方程作差求出公共弦所在直線的方程，然后轉(zhuǎn)化為求直線被圓截的弦長(zhǎng)，經(jīng)典直角三角形法.跟蹤練習(xí)：求圓：及圓：的公共弦長(zhǎng).方法一：依題意，聯(lián)立方程組，將兩方程相減并化簡(jiǎn)得，把代入第一個(gè)方程得到，解得，，從而，，．所以圓與相交于兩點(diǎn)與,所以圓與的公共弦長(zhǎng)為.方法二：由題意圓：，即圓：，它的圓心、半徑分別為，圓：及圓：的方程相減得，公共弦所在直線方程為：.而圓心到直線的距離為，且，所以兩圓的公共弦長(zhǎng)為.題型二：公切線條數(shù)問(wèn)題例題2（1）已知圓C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圓C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一條公切線，則4a2＋b2＝．預(yù)設(shè)：因?yàn)閮蓤A只有一條公切線，所以兩圓位置關(guān)系為內(nèi)切，圓C1：(x＋2a)2＋y2＝4，圓C2：x2＋(y－b)2＝1，|C1C2|＝.所以|C1C2|＝2－1＝1，所以4a2＋b2＝1.（2）已知圓C1：(x－1)2＋(y－2)2＝4，圓C2：(x＋2)2＋(y＋2)2＝9，則兩圓的公切線條數(shù)是．預(yù)設(shè)：圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為2，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為3，則兩圓的圓心距為，兩圓外切兩圓公切線的條數(shù)為3條．方法總結(jié):兩圓的公切線包括外公切線和內(nèi)公切線兩種．(1)兩圓外離時(shí)，有2條外公切線和2條內(nèi)公切線，共4條；(2)兩圓外切時(shí)，有2條外公切線和1條內(nèi)公切線，共3條；(3)兩圓相交時(shí)，只有2條外公切線；(4)兩圓內(nèi)切時(shí)，只有1條外公切線；(5)兩圓內(nèi)含時(shí)，無(wú)公切線．由圓與圓的位置關(guān)系，可以確定公切線的條數(shù)，由公切線的條數(shù)，可以判斷圓與圓的位置關(guān)系。題型三：根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系求參數(shù)范圍例題3已知圓，圓．試求為何值時(shí)，兩圓：(1)相切；(2)相交；(3)外離；(4)內(nèi)含．預(yù)設(shè)：（1）由圓方程知：圓心，半徑；由圓方程知：圓心，半徑；若兩圓內(nèi)切，則，即，又，；若兩圓外切，則，即，又，；若兩圓相切，則或.（2）若兩圓相交，則，即，又，，即當(dāng)時(shí)，兩圓相交.（3）若兩圓外離，則，即

，又，，即當(dāng)時(shí)，兩圓外離.（4）若兩圓內(nèi)含，則，即，又，，即當(dāng)時(shí)，兩圓內(nèi)含.方法總結(jié)：根據(jù)兩圓方程可確定圓心和半徑，根據(jù)兩圓位置關(guān)系可得圓心距和兩圓半徑之間的關(guān)系（幾何法），由此可構(gòu)造方程或不等式求得結(jié)果.課堂小結(jié)隨堂限時(shí)小練1．圓與圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A．和B．和C．和 D．和【詳解】由,可得，即，代入，解得或，故得或,所以兩圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為和,故選:C2．判斷下列兩個(gè)圓的位置關(guān)系：(1)；(2)．【詳解】（1）由方程可知圓的圓心為，半徑；圓的圓心為，半徑，因此兩圓的圓心距，又因?yàn)?，所以，故兩個(gè)圓相交．（2）將兩圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，分別為，，由此可知圓的圓心為，半徑；圓的圓心為，半徑，因此兩圓的圓心距，又因?yàn)?，所以，所以兩圓內(nèi)切．3．已知圓與圓.(1)求證：圓與圓相交；(2)求兩圓公共弦所在直線的方程.【詳解】（1）將圓：化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，，，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，，，兩圓相交；（2）由圓與圓，將兩圓方程相減，可得，即兩圓公共弦所在直線的方程為.4．已知圓：與圓：，若兩圓相交于A，B兩點(diǎn)，則【詳解】圓的方程為，即①，又圓：②，②－①可得兩圓公共弦所在的直線方程為圓的圓心到直線的距離，所以．故答案為:.5．已知圓，圓，兩圓公切線的條數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【詳解】圓，圓心，半徑，圓，圓心，半徑，圓心距，，所以兩圓相外切，公切線條數(shù)是3條.故選：C6．已知圓，圓，若圓與圓有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【詳解】圓的方程可化為，則圓心為，半徑；圓的方程可化為，則圓心為，半徑.圓與圓有公共點(diǎn)，，，解得.故選：C課后作業(yè)布置作業(yè)1：完成教材：第98頁(yè)練習(xí)1,2,3作業(yè)2：配套輔導(dǎo)資料對(duì)應(yīng)的《圓與圓的位置關(guān)系》課后作業(yè)答案教科書(shū)習(xí)題2.5第98頁(yè)第7，8，10題.練習(xí)（第98頁(yè)）1．已知圓，圓，判斷圓與圓的位置關(guān)系．1．解：圓的圓心坐標(biāo)為，半徑；圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心坐標(biāo)為，半徑．因?yàn)?，，所以，所以圓與圓外切．2．已知圓，圓，證明圓與圓相交，并求圓與圓的公共弦所在直線的方程．2．證明：聯(lián)立兩圓的方程QUOTE，得，，即．把代入，得．因?yàn)楦呐袆e式，所以方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．因此圓與圓相交．由前面的解法可知，圓與圓的公共弦所在直線的方程為．習(xí)題2.5（第98頁(yè)）1．判斷直線與圓的位置關(guān)系．如果有公共點(diǎn)，求出公共點(diǎn)的坐標(biāo)．1．解：（方法1）因?yàn)閳A心到直線的距離，圓的半徑長(zhǎng)是10，所以直線與圓相切．圓心與切點(diǎn)連線所在直線的方程為．解方程組，得，因此，切點(diǎn)坐標(biāo)是．（方法2）聯(lián)立得方程組，消去，得，解得，所以，所以直線與圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以直線與圓相切．2．求下列條件確定的圓的方程，并畫(huà)出它們的圖形：（1）圓心為，且與直線相切；（2）圓心在直線上，半徑為2，且與直線相切；（3）半徑為，且與直線相切于點(diǎn)．2．解（1）因?yàn)閳A與直線QUOTE相切，所以圓心QUOTE到直線的距離即為圓的半徑，即QUOTE，所以圓心為，且與直線QUOTE相切的圓的方程是．（2）因?yàn)閳A心在直線上，所以可設(shè)圓心坐標(biāo)為．因?yàn)閳A的半徑為2，且與直線相切，所以，解得或．所以圓心坐標(biāo)為或．所以圓的方程為或．（3）設(shè)圓心坐標(biāo)為，則圓心與點(diǎn)的連線垂直于直線，且圓心到直線QUOTE的距離等于半徑，所以QUOTE，即QUOTE，解得，，或，．所以圓的方程為或．3．求直線被圓截得的弦的長(zhǎng)．3．解（方法1）設(shè)直線與圓相交于，．把直線的方程與圓的方程聯(lián)立，消去，得．根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，有，．直線被圓截得弦長(zhǎng)的長(zhǎng)為（方法2）把圓的方程配方化成標(biāo)準(zhǔn)形式，得．圓心的坐標(biāo)是，半徑．圓心到直線的距離QUOTE，所以QUOTE．4．求圓心在直線上，與x軸相切，且被直線截得的弦長(zhǎng)為的圓的方程．4．解題提示：（1）圓心在直線上，其坐標(biāo)滿足方程；（2）圓與x軸相切，其半徑為圓心縱坐標(biāo)的絕對(duì)值；（3）給定弦長(zhǎng)，利用公式．解：設(shè)所求圓的方程為，圓心到直線的距離，依題意，有，解此方程組，得，，或，，QUOTE．所以，所求圓的方程有兩個(gè)，它們分別是或QUOTE．5．求與圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓的方程．5．解題提示：求解圓關(guān)于已知直線對(duì)稱的圓的方程時(shí)要注意：（1）圓的半徑不變；（2）兩圓心關(guān)于已知直線對(duì)稱．解：把圓C的方程化成標(biāo)準(zhǔn)形式，得，圓心坐標(biāo)是．設(shè)與圓心關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是，則有，解此方程組，得，．所以與圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓的方程是．6．正方形的邊長(zhǎng)為，在邊上取線段，在邊的延長(zhǎng)線上取．試證明：直線與的交點(diǎn)位于正方形的外接圓上．6．解：以正方形的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則由題意知，，，．所以，．所以直線的方程為，即．直線的方程為QUOTE，即．由QUOTE，解得，，即點(diǎn)的坐標(biāo)為．（方法1）因?yàn)檎叫蔚耐饨訄A圓心為原點(diǎn)，半徑為，且，所以點(diǎn)在正方形的外接圓上．（方法2）因?yàn)檎叫蔚耐饨訄A方程為，且，即點(diǎn)的坐標(biāo)滿足圓的方程，所以點(diǎn)在正方形的外接圓上．（方法3）易知點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，所以QUOTE，所以，點(diǎn)在以為直徑的圓上，即點(diǎn)在正方形的外接圓上．7．求經(jīng)過(guò)點(diǎn)以及圓與交點(diǎn)的圓的方程．7．解：（方法1）如圖．聯(lián)立方程組QUOTE，解此方程組得，或，．即兩圓交點(diǎn)為QUOTE或QUOTE．故線段的中點(diǎn)坐標(biāo)是，直線的斜率．所以線段的垂直平分線的方程是．又線段的垂直平分線的方程是（x軸）．設(shè)兩垂直平分線的交點(diǎn)為．把代入，得，所以圓心的坐標(biāo)是，半徑．所以所求圓的方程為，即QUOTE．（方法2）設(shè)經(jīng)過(guò)圓與交點(diǎn)的圓的方程為QUOTE①．把點(diǎn)的坐標(biāo)代入①式，得，解方程，得．把QUOTE代入方程①并化簡(jiǎn)得．所以經(jīng)過(guò)點(diǎn)以及圓QUOTE與圓QUOTE的交點(diǎn)的圓的方程為QUOTE．8．求圓心在直線上，并且經(jīng)過(guò)圓與圓的交點(diǎn)的圓的方程．8．解：（方法1）如圖，設(shè)圓和圓相交于點(diǎn)，．解方程組QUOTE，得，或．所以，．因此弦的垂直平分線的方程是．將與聯(lián)立，解得，QUOTE．設(shè)所求圓圓心為，則其坐標(biāo)是．點(diǎn)與點(diǎn)的距離QUOTE．故所求圓的方程為，即．（方法2）設(shè)經(jīng)過(guò)圓QUOTE和圓交點(diǎn)的圓的方程為QUOTE，即．其圓心坐標(biāo)是．因?yàn)閳A心在直線上，所以有，解得．所以所求圓的方程為QUOTE，即．9．求圓與圓QUOTE??2+??2?4??+4???12=0的公共弦的長(zhǎng)．9．解：（方法1）由方程與，消去二次項(xiàng)，得．把代入，得QUOTE，解得，．于是有，．所以兩圓交點(diǎn)坐標(biāo)是，，公共弦長(zhǎng)為．（方法2）由方程與消去二次項(xiàng)，得QUOTE．圓心到直線的距離．如圖．過(guò)點(diǎn)作弦的垂線，垂足是．因?yàn)閳A心為的圓的半徑是2，所以．在中，QUOTE，所以兩圓公共弦長(zhǎng)為．10．求經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與圓相切于點(diǎn)的圓的方程．10．解：如圖，把圓的方程化成標(biāo)準(zhǔn)形式，得，圓心坐標(biāo)為，半徑為，直線的方程為，弦的中點(diǎn)坐標(biāo)是，直線的斜率是．所以線段的垂直平分線的方程是，即．設(shè)該垂直平分線與直線交于點(diǎn)，聯(lián)立與，解得，．這就是所求圓的圓心的坐標(biāo)，又因?yàn)椋越?jīng)過(guò)點(diǎn)，且與圓相切的于點(diǎn)的圓的方程是．11．如圖，某臺(tái)機(jī)器的三個(gè)齒輪，與嚙合，與也嚙合．若輪的直徑為200cm，輪的直徑為120cm，輪的直徑為250cm，且．試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用坐標(biāo)法求出，兩齒輪的中心距離（精確到1cm)．11．解：以為原點(diǎn)，直線為軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系．由已知，得，．點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，以圓與圓的半徑和為半徑的圓上，方程為①．又點(diǎn)在直線上，①式與聯(lián)立，解得．所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，，兩齒輪中心距離QUOTE．12．已知，，三點(diǎn)，點(diǎn)在圓QUOTE??2+??2=4上運(yùn)動(dòng)，求QUOTE????2+????2+????2的最大值和最小值．12．解：如，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是，則．注意到，上式化簡(jiǎn)為，由可得，所以的最大值是88，最小值是72．13．已知圓，直線，為何值時(shí)，圓上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離都等于l?13．解：由已知，圓的半徑長(zhǎng)是2．設(shè)在圓QUOTE上運(yùn)動(dòng)，圓心到直線的距離為，令，則．當(dāng)時(shí)，與直線平行且距離等于1的直線是，．直線與圓QUOTE相切，切點(diǎn)到直線的距離是1；直線與圓相交，兩個(gè)交點(diǎn)與直線的距離是1．因此，當(dāng)時(shí)，圓QUOTE上有3個(gè)點(diǎn)到直線的距離都是1．同理，當(dāng)時(shí)，圓QUOTE上也有3個(gè)點(diǎn)到直線的距離都是1．綜上所述，當(dāng)時(shí)，圓上恰好有3個(gè)點(diǎn)到直線的距離都等于1．14．如圖，圓內(nèi)有一點(diǎn)，為過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的弦．（1）當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)。 （2）是否存在弦被點(diǎn)QUOTE??0平分？若存在，寫(xiě)出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。14．解：（1）當(dāng)時(shí)，直線的斜率，直線的方程為，即．把代入，得，即，解此方程得．所以QUOTE．（2）存在弦被點(diǎn)平分，當(dāng)弦被點(diǎn)平分時(shí)，．直線的斜率為．所以直線的斜率為．根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程，得直線的方程為，即．15．已知點(diǎn)和以點(diǎn)為圓心的圓．(1)畫(huà)出以為直徑，點(diǎn)為圓心的圓，再求出圓的方程；(2)設(shè)圓與圓QUOTE??'相交于，兩點(diǎn)，直線，是圓的切線嗎？為什么？(3)求直線的方程．15．解：如圖．（1）因?yàn)?，是以為圓心的圓的直徑的兩個(gè)端點(diǎn)，所以以為圓心的圓的方程是，即．（2），是圓的切線．因?yàn)辄c(diǎn)，在圓上，且是直徑，所以，．所以，是圓的切線．（2）兩方程，相減，得，這就是直線的方程．復(fù)習(xí)參考題2（第102頁(yè)）1．選擇題（1）直線的一個(gè)方向向量是（）A．B．C．D．（2）設(shè)直線的方程為，則直線的傾斜角的范圍是（）A．B．C．D．（3）與直線關(guān)于軸對(duì)稱的直線的方程為（）A．B．C．D．1．答案：（1）A（2）C（3）B解析：（1）因?yàn)橹本€方程為，所以該直線的一個(gè)方向向量為，故選A．（2）已知直線的方程為0，設(shè)直線的傾斜角為，當(dāng)時(shí)，直線的傾斜角為，當(dāng)時(shí)，，所以，所以直線的傾斜角的范圍為，故選C．（3）因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，所以直線關(guān)于軸的對(duì)稱直線為．故選B．2．已知下列各組中的兩個(gè)方程表示的直線平行，求的值：(1)，；(2)，；(3)，．2．解析：(1)，即為，當(dāng)時(shí)，與直線平行．(2)當(dāng)時(shí)，兩直線的方程分別為和，平行；當(dāng)時(shí)，的斜率，的斜率，令，得，解得．綜上可得，或．(3)當(dāng)時(shí)，兩直線方程分別為和，兩直線不平行，所以；當(dāng)時(shí)，的斜率，的斜率，令，解得或，經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，兩直線重合不符合題意，當(dāng)時(shí)，兩直線方程分別為和，平行．綜上，的值為1．3．已知下列各組中的兩個(gè)方程表示的直線垂直，求的值：(1)，；(2)，；(3)，．3．解析：（1）直線的斜率，直線的斜率，由得，解得．（2）當(dāng)時(shí)，兩直線的方程分別為和，互相垂直；當(dāng)時(shí)，直線的斜率，直線的斜率，由知，時(shí)，兩直線不垂直．綜上可知，．（3）若兩直線垂直，則，解得或．4．求平行于直線,且與它的距離為的直線的方程．4．解析：設(shè)所求直線的方程為，則直線與直線間的距離，由題意得，解得或．因此，與直線平行，且與它的距離為的直線方程是或．5．已知平行四邊形的兩條邊所在直線的方程分別是，,且它的對(duì)角線的交點(diǎn)是，求這個(gè)平行四邊形其他兩邊所在直線的方程．5．解析：由，解得，∴平行四邊形的一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為．設(shè)對(duì)角線的另一個(gè)端點(diǎn)為，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，解得，∴頂點(diǎn)．由平行四邊形的對(duì)邊平行知，其他兩邊所在直線的斜率，，∴這個(gè)平行四邊形其他兩邊所在直線的方程分別為，．整理得，．6．求下列各圓的方程：（1）圓心為，且過(guò)點(diǎn)；（2）過(guò)，，三點(diǎn)；（3）圓心在直線上，且經(jīng)過(guò)原點(diǎn)和點(diǎn)．6．解析：（1）因?yàn)閳A心為，且過(guò)點(diǎn)，所以半徑，所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)圓的方程為，因?yàn)閳A過(guò)點(diǎn)，，，所以，解得．所以所求圓的一般方程為（3）因?yàn)閳A心在直線上，所以設(shè)圓心坐標(biāo)為，半徑為，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為因?yàn)閳A經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)和點(diǎn)，所以，解得，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．7．為何值時(shí)，方程表示圓?并求半徑最大時(shí)圓的方程．7．解析：當(dāng)，即時(shí)，方程表示圓．此時(shí)圓的半徑，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值2，所以當(dāng)圓的半徑最大時(shí)，圓的方程為．8．判斷圓與圓是否相切．8．解析：由，得，即圓心，半徑，由，得，即圓心，半徑，因?yàn)閨，，所以，所以圓與圓相內(nèi)切．9．若函數(shù)在及之間的一段圖象可以近似地看作線段，且，求證：．9．證明：如圖，依題意可得點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，，所以直線的方程是，其中．因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，有．因?yàn)楹瘮?shù)在及之間的一段圖象可以近似地看作線段，所以有．10．求點(diǎn)到直線（為任意實(shí)數(shù)）的距離的最大值．10．解析：將化為，因?yàn)闉槿我鈱?shí)數(shù)，所以，解得．即直線恒過(guò)定點(diǎn)，所以點(diǎn)到直線的距離的最大值為．11．過(guò)點(diǎn)有一條直線，它夾在兩條直線與之間的線段恰被點(diǎn)平分，求直線的方程．11．解析：設(shè)直線夾在直線，之間的線段是，點(diǎn)、的坐標(biāo)分別是，，且線段被點(diǎn)平分，則，，所以，．不妨設(shè)點(diǎn)在直線上，在直線上，所以，解得，即點(diǎn)的坐標(biāo)是，所以直線的方程為，即直線的方程為．12．已知直線和，兩點(diǎn)，若直線上存在點(diǎn)使得最小，求點(diǎn)的坐標(biāo)．12．解析：如圖，設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得，即，因?yàn)椋缘姆?/p>