湖北省A9高中聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷(解析)

高中數(shù)學(xué)精編資源2/2A9高中聯(lián)盟2023年秋季期中聯(lián)考高二數(shù)學(xué)試卷試卷滿分：150分一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求的．1.（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法法則即可化簡求解.【詳解】．故選：A2.如圖，空間四邊形OABC中，，，，點(diǎn)M在上，且，點(diǎn)N為BC中點(diǎn)，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)空間向量線性運(yùn)算，結(jié)合圖形分析可得．【詳解】因?yàn)椋c(diǎn)N為BC中點(diǎn)，所以，，故．故選：B．3.為了樹立和踐行綠水青山就是金山銀山的理念，市某高中全體教師于2023年3月12日開展植樹活動，購買柳樹、銀杏、梧桐、樟樹四種樹苗共計(jì)600棵，比例如圖所示.青年教師、中年教師、老年教師報(bào)名參加植樹活動的人數(shù)之比為，若每種樹苗均按各年齡段報(bào)名人數(shù)的比例進(jìn)行分配，則中年教師應(yīng)分得梧桐的數(shù)量為（）A.30棵 B.50棵 C.72棵 D.80棵【答案】C【解析】【分析】由已知比例求出中年教師應(yīng)分得樹苗的數(shù)量，再由餅圖中梧桐占比求中年教師應(yīng)分得梧桐的數(shù)量即可.【詳解】由題意，中年教師應(yīng)分得樹苗的數(shù)量為棵.所以中年教師應(yīng)分得梧桐的數(shù)量為棵.故選：C4.若直線與直線平行，則的值是（）A.1或 B. C. D.或【答案】C【解析】【分析】根據(jù)兩直線平行的條件，列出方程組，即可求解.【詳解】由直線與直線平行，可得，解得，所以實(shí)數(shù)的值為.故選：C.5.已知母線長為5的圓錐的側(cè)面積為，則這個(gè)圓錐的體積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出底面半徑和高后，由體積公式計(jì)算．【詳解】設(shè)圓錐的高為，底面半徑為，則，，∴，體積為，故選：A．6.已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別為，，，則BC邊上的高等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用向量運(yùn)算以及向量的夾角公式進(jìn)行求解.【詳解】由題意，，，可得，，，即角B為銳角，所以，所以邊上高.故選：B7.已知橢圓以及橢圓內(nèi)一點(diǎn)，則以為中點(diǎn)弦所在直線的斜率為（）A. B. C.-4 D.4【答案】A【解析】【分析】設(shè)出交點(diǎn)代入橢圓方程，相減化簡得到答案.【詳解】設(shè)弦與橢圓交于，，斜率，則，，相減得到，即，解得.故選：A.8.公元前世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯結(jié)合前人研究成果，寫出了經(jīng)典之作《圓錐曲線論》，在此著作第七卷《平面軌跡》中，有眾多關(guān)于平面軌跡的問題，例如:平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比等于定值（不為1）的動點(diǎn)軌跡為圓.后來該軌跡被人們稱為阿波羅尼斯圓.已知平面內(nèi)有兩點(diǎn)和，且該平面內(nèi)的點(diǎn)P滿足，若點(diǎn)P的軌跡關(guān)于直線對稱，則的最小值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意計(jì)算得的軌跡方程為，根據(jù)對稱性可得圓心在直線方程上，即，從而利用乘“1”法即可得到最值.【詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)椋瑒t，即，所以點(diǎn)的軌跡方程為，因?yàn)辄c(diǎn)的軌跡關(guān)于直線對稱，所以圓心在此直線上，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，所以的最小值是.故選：B.二、多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中有多項(xiàng)符合題目要求的，全部選對的得5分，有錯(cuò)選的得0分，部分選對的得2分．9.若方程所表示的曲線為C，則下面四個(gè)說法中正確的是（）A.曲線C可能是圓B.若，則C為橢圓C.若C為橢圓，且焦點(diǎn)在x軸上，則D.若C為橢圓，且焦點(diǎn)在y軸上，則【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)方程為圓列式求解判斷A，排除B，根據(jù)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的特征列不等式求解范圍即可判斷CD.【詳解】當(dāng)即時(shí)，方程為，表示圓心為原點(diǎn)，半徑為1的圓，故選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；若C為橢圓，且焦點(diǎn)在x軸上，則，解得，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；若C為橢圓，且焦點(diǎn)在y軸上，則，解得，故選項(xiàng)D正確.故選：AD.10.甲?乙各投擲一枚骰子，下列說法正確的是（）A.事件“甲投得5點(diǎn)”與事件“甲投得4點(diǎn)”不是互斥事件B.事件“甲投得6點(diǎn)”與事件“乙投得5點(diǎn)”是相互獨(dú)立事件C.事件“甲?乙都投得6點(diǎn)”與事件“甲?乙不全投得6點(diǎn)”是對立事件D.事件“至少有1人投得6點(diǎn)”與事件“甲投得6點(diǎn)且乙沒投得6點(diǎn)”是相互獨(dú)立事件【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)互斥事件、獨(dú)立事件和對立事件的定義逐一判斷即可.【詳解】對于A，事件“甲投得5點(diǎn)”與事件“甲投得4點(diǎn)”不可能同時(shí)發(fā)生，二者為互斥事件，A錯(cuò)誤；對于B,事件“甲投得6點(diǎn)”發(fā)生與否對事件“乙投得5點(diǎn)”沒有影響，二者是相互獨(dú)立事件，B正確；對于C，事件“甲?乙都投得6點(diǎn)”的反面為“至少有1人沒有投得6點(diǎn)”，也即“甲?乙不全投得6點(diǎn)”，故事件“甲?乙都投得6點(diǎn)”與事件“甲?乙不全投得6點(diǎn)”是對立事件，C正確；對于D，事件“至少有1人投得6點(diǎn)”包含“甲投得6點(diǎn)且乙沒投得6點(diǎn)”的情況，故事件“至少有1人投得6點(diǎn)”與事件“甲投得6點(diǎn)且乙沒投得6點(diǎn)”不是相互獨(dú)立事件，D錯(cuò)誤，故選：BC11.已知圓和圓，下列說法正確的是（）A.兩圓有兩條公切線B.兩圓公共弦所在的直線方程為C.點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在圓上，的最大值為D.圓上有2個(gè)點(diǎn)到直線的距離為【答案】ACD【解析】【分析】由兩圓的位置關(guān)系可判斷A，將兩圓的方程作差可判斷B，轉(zhuǎn)化為圓心間的距離可判斷C，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離判斷D.【詳解】對于A，由圓得..，圓心，半徑為1，則，故兩圓相交，故兩圓有兩條公切線，故A正確；對于B，因?yàn)閳A，圓，將兩圓的方程作差得即，所以直線的方程為，故B不正確；對于C，由圓得圓心，半徑為1，由圓得圓心為，半徑為2，所以，故C正確；對于D，圓心到直線的距離，而圓的半徑為，顯然，故只有一條與平行且距離為的直線與圓相交，故圓上有2個(gè)點(diǎn)到直線的距離為，故D正確.故選：ACD.12.如圖，在棱長為的正方體中，，，，分別是，，，的中點(diǎn)，則下列說法正確的有（）A.，，，四點(diǎn)共面B.與所成角的大小為C.在線段上存在點(diǎn)，使得平面D.在線段上任取一點(diǎn)，三棱錐的體積為定值【答案】AD【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的共面定理可判斷A選項(xiàng)，利用坐標(biāo)法求異面直線夾角可直接判斷B選項(xiàng)，假設(shè)在線段上存在點(diǎn)，設(shè)，，利用坐標(biāo)法驗(yàn)證線面垂直，可判斷C選項(xiàng)；分別證明與上的所有點(diǎn)到平面的距離為定值，即可判斷D選項(xiàng).【詳解】以為原點(diǎn)，以，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，，，設(shè)，則，所以，解得，故，即，，，四點(diǎn)共面，故A正確；因?yàn)?，，所以，所以與所成角的大小為，故B錯(cuò)誤；假設(shè)在線段上存在點(diǎn)，符合題意，設(shè)（），則，若平面，則，,因?yàn)?，，所以，此方程組無解，所以在線段上不存在點(diǎn)，使得平面，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，又平面，平面，所以平面，故上的所有點(diǎn)到平面的距離即為到平面的距離，是定值，又的面積是定值，所以在線段上任取一點(diǎn)，三棱錐的體積為定值，故D正確；故選：AD.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知向量，的夾角為，且，，則_________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的定義和運(yùn)算律即可得到答案.【詳解】由題設(shè)可得，即.故答案為：3.14.如圖，由到的電路中有4個(gè)元件，分別為，，，，若，，，能正常工作的概率都是，記“到的電路是通路”，求______.【答案】【解析】【分析】由相互獨(dú)立事件的概率公式，結(jié)合互斥事件的概率加法公式，即可求解.【詳解】設(shè)“正常工作”，“沒有正常工作，正常工作，且中至少有一個(gè)正常工作”由于“到的電路是通路”等價(jià)于“正常工作”或“沒有正常工作，正常工作，且中至少有一個(gè)正常工作”，即，由于事件互斥，所以根據(jù)互斥事件的概率加法公式，可得故答案為：15.已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則的取值范圍為_____________．【答案】【解析】【分析】利用點(diǎn)到直線的距離公式列不等式，由此求得的取值范圍.【詳解】將整理為，此方程表示圓心為，半徑為2的圓，設(shè)點(diǎn)是圓上一點(diǎn)，令，，則與圓有公共點(diǎn)，所以，解得．故答案為：16.在以O(shè)為中心，、為焦點(diǎn)的橢圓上存在一點(diǎn)M，滿足，則該橢圓的離心率為_____________.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合橢圓定義可得，進(jìn)而利用余弦定理列式求解.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)榕c互補(bǔ)，且，由余弦定理可得，可得，所以.故選：C．四、解答題：本大題共6題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17.已知的三個(gè)頂點(diǎn)是．（1）求AB邊的高所在直線的方程；（2）若直線l過點(diǎn)C，且點(diǎn)A，B到直線l的距離相等，求直線l的方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)斜式求得邊的高所在直線的方程.（2）對是否與直線平行進(jìn)行分類討論，由點(diǎn)斜式或斜截式求得直線的方程.【小問1詳解】直線的斜率為，所以邊的高所在直線的斜率為，所以邊的高所在直線的方程為.【小問2詳解】直線的斜率為，若直線與直線平行，則直線的方程為.線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，若直線過，則直線的方程為.18.已知的內(nèi)角的對邊分別為，且．（1）求角；（2）若的面積為，求的周長．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）應(yīng)用正弦定理和余弦定理來求解角的大??；（2）應(yīng)用三角形的面積公式計(jì)算邊的數(shù)量關(guān)系.【小問1詳解】由可知，由正弦定理，得，即．所以，又，所以.【小問2詳解】由（1）知．所以，又，所以，所以，即．所以的周長為．19.在四棱錐中，平面，底面是正方形，E，F(xiàn)分別在棱，上且，．（1）證明：∥平面；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）在棱上取點(diǎn)，使得，連接，，即可證明四邊形為平行四邊形，再由線面平行的判定定理，即可證明；（2）以為原點(diǎn)，，，所在的直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【小問1詳解】證明：如圖，在棱上取點(diǎn)，使得，連接，，因?yàn)椋郧?，由正方形，，得且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面．【小?詳解】若，則可設(shè)，所以．以為原點(diǎn)，，，所在的直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)，，，，，則，，，設(shè)平面的法向量為，則由得令，得平面的一個(gè)法向是為，設(shè)直線與平面所成角的大小為，則，即直線與平面所成角的正弦值為．20.某高校承辦了杭州亞運(yùn)會志愿者選拔的面試工作.現(xiàn)隨機(jī)抽取了100名候選者的面試成績，并分成五組：第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.已知第三、四、五組的頻率之和為0.7，第一組和第五組的頻率相同.（1）求a，b的值；（2）估計(jì)這100名候選者面試成績的60%分位數(shù)（分位數(shù)精確到0.1）；（3）在第四，第五兩組志愿者中，采用分層抽樣的方法從中抽取5人，然后再從這5人中選出2人，以確定組長人選，求選出的兩人來自不同組的概率.【答案】（1），（2）（3）【解析】【分析】（1）由每個(gè)小矩形面積代表頻率，根據(jù)所有頻率之和為1可得，；（2）直接第60百分位數(shù)即可；（3）先分層抽樣求出列舉法求出抽取的第四、第五兩組志愿者人數(shù)，再利用列舉法求出古典概型的概率即可．【小問1詳解】因?yàn)榈谌⑺?、五組的頻率之和為0.7，所以，解得，所以前兩組的頻率之和為，即，所以；【小問2詳解】前兩個(gè)分組頻率之和為0.3，前三個(gè)分組頻率之和為0.75，所以第60百分位數(shù)在第三組，且為；【小問3詳解】第四、第五兩組志愿者分別有20人，5人，故按照分層抽樣抽得的第四組志愿者人數(shù)為4，分別設(shè)為，，，，第五組志愿者人數(shù)為1，設(shè)為，這5人中選出2人，所有情況有，共有10種情況，其中選出的兩人來自不同組的有共4種情況，故選出的兩人來自不同組的概率為．21.已知橢圓的離心率為，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最小距離是．（1）求橢圓的方程；（2）傾斜角為的直線交橢圓于兩點(diǎn)，已知，求直線的一般式方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，得到且，求得的值，即可求解；（2）設(shè)的方程，聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定理和弦長公式，根據(jù)題意，列出方程，求得，即可求解.【小問1詳解】由橢圓的離心率為，即，可得，由橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最小距離是，可得，解得，，，所以橢圓的方程．【小問2詳解】解：因?yàn)橹本€的傾斜角為，可設(shè)的方程，由方程組，整理得，可得，解得，設(shè)，，則，，又由，解得，滿足，所以直線的一般式方程為或．22.已知圓，直線.（1）求證：直線l與圓C恒有兩個(gè)交點(diǎn)；（2）若直線l與圓C交于點(diǎn)A，B，求面積的最大值，并