2025版新教材高考數學一輪復習課時質量評價13函數與方程含解析新人教A版

PAGE課時質量評價(十三)(建議用時：45分鐘)A組全考點鞏固練1．函數f(x)＝ex＋x－3在區(qū)間(0,1)上的零點個數是()A．0 B．1C．2 D．3B解析：由題知函數f(x)是增函數．依據函數零點存在定理及f(0)＝－2＜0，f(1)＝e－2>0，可知函數f(x)在區(qū)間(0,1)上有且只有一個零點．故選B．2．函數f(x)＝1－xlog2x的零點所在區(qū)間是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,2))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))C．(1，2) D．(2，3)C解析：feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))＝1－eq\f(1,4)log2eq\f(1,4)＝1＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,2)>0，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝1－eq\f(1,2)log2eq\f(1,2)＝1＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,2)>0，f(1)＝1－0>0，f(2)＝1－2log22＝－1<0.由f(1)·f(2)<0知選C項．3．若函數f(x)＝2x－eq\f(2,x)－a的一個零點在區(qū)間(1,2)內，則實數a的取值范圍是()A．(1,3) B．(1,2)C．(0,3) D．(0,2)C解析：由條件可知f(1)f(2)＜0，即(2－2－a)·(4－1－a)＜0，即a(a－3)＜0，解得0＜a＜3.4．(2024·全國卷Ⅲ)函數f(x)＝2sinx－sin2x在[0,2π]的零點個數為()A．2 B．3C．4 D．5B解析：令f(x)＝0，得2sinx－sin2x＝0，即2sinx－2sinxcosx＝0，所以2sinx(1－cosx)＝0，所以sinx＝0或cosx＝1.又x∈[0,2π]，由sinx＝0得x＝0，π或2π；由cosx＝1得x＝0或2π.故函數f(x)的零點為0，π，2π，共3個．故選B．5．函數f(x)＝|x－2|－lnx在定義域內的零點的個數為()A．0B．1C．2D．3C解析：由題意可知f(x)的定義域為(0，＋∞)．在同一平面直角坐標系中作出函數y＝|x－2|(x>0)，y＝lnx(x>0)的圖象如圖所示．由圖可知函數f(x)在定義域內的零點個數為2.6．設f(x)在區(qū)間[－1,1]上單調遞增，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))·feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))<0，則方程f(x)＝0在區(qū)間[－1,1]內()A．可能有3個實數根B．可能有2個實數根C．有唯一的實數根D．沒有實數根C解析：因為f(x)在區(qū)間[－1,1]上單調遞增，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))·feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))<0，所以f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))上有唯一的零點.所以方程f(x)＝0在區(qū)間[－1,1]內有唯一的實數根．7．已知函數f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ex－a，x≤0，,2x－a，x>0))(a∈R)．若函數f(x)在R上有兩個零點，則實數a的取值范圍是()A．(0,1] B．[1，＋∞)C．(0,1) D．(－∞，1]A解析：畫出函數f(x)的大致圖象如圖所示．因為函數f(x)在R上有兩個零點，所以f(x)在(－∞，0]和(0，＋∞)上各有一個零點．當x≤0時，f(x)有一個零點，需1－a≥0，即a≤1；當x>0時，f(x)有一個零點，需－a<0，即a>0.綜上，0<a≤1.8．方程log0.5(a－2x)＝2＋x有解，則a的最小值為________．1解析：若方程log0.5(a－2x)＝2＋x有解，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2＋x)＝a－2x有解，即eq\f(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)＋2x＝a有解．因為eq\f(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)＋2x＝eq\f(1,4)×eq\f(1,2x)＋2x≥2eq\r(\f(1,4))＝1，當且僅當x＝－1時，等號成立，故a的最小值為1.9．若x1是方程xex＝1的解，x2是方程xlnx＝1的解，則x1x2等于________．1解析：考慮到x1，x2是函數y＝ex、函數y＝lnx分別與函數y＝eq\f(1,x)的圖象的公共點A，B的橫坐標，而Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1，\f(1,x1)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2，\f(1,x2)))兩點關于直線y＝x對稱，因此x1x2＝1.10．已知函數f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)，x≥1，,x3，x＜1.))若f(x0)＝－1，則x0＝________；若關于x的方程f(x)＝k有兩個不同零點，則實數k的取值范圍是________．－1(0,1)解析：由f(x0)＝－1，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0≥1，,\f(1,x0)＝－1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0<1，,x\o\al(3,0)＝－1，))解得x0＝－1.關于x的方程f(x)＝k有兩個不同零點等價于y＝f(x)的圖象與直線y＝k有兩個不同交點，如圖．視察圖象可知，當0＜k＜1時y＝f(x)的圖象與直線y＝k有兩個不同交點，即k∈(0,1)．11.已知二次函數f(x)＝ax2＋bx＋c滿意a＞b＞c，且f(1)＝0，函數g(x)＝f(x)＋bx.(1)證明：函數y＝g(x)必有兩個不相等的零點；(2)設函數y＝g(x)的兩個零點為x1，x2，求|x1－x2|的取值范圍．解：(1)由f(1)＝0得a＋b＋c＝0，所以b＝－(a＋c)，g(x)＝f(x)＋bx＝ax2＋2bx＋c.令g(x)＝0，即ax2＋2bx＋c＝0，則Δ＝4b2－4ac＝4(a＋c)2－4ac＝4(a2＋2ac＋c2－ac)＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2＋ac＋\f(1,4)c2))＋3c2＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(c,2)))eq\s\up12(2)＋3c2＞0，即ax2＋2bx＋c＝0有兩個不等實根．所以函數y＝g(x)必有兩個不相等的零點．(2)由(1)知y＝g(x)的兩個零點，即方程ax2＋2bx＋c＝0的兩個實根，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝－\f(2b,a)，,x1x2＝\f(c,a).))所以|x1－x2|＝eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(\f(4b2－4ac,a2))＝2eq\r(\f(b2－ac,a2))＝2eq\r(\f(a2＋c2＋ac,a2))＝2eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)))eq\s\up12(2)＋\f(c,a)＋1)＝2eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＋\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋\f(3,4)).因為f(1)＝a＋b＋c＝0，且a＞b＞c，所以a＞0，c＜0.當a＞0，c＜0且eq\f(c,a)＝－eq\f(1,2)時，|x1－x2|min＝eq\r(3).所以|x1－x2|的取值范圍為[eq\r(3)，＋∞)．B組新高考培優(yōu)練12．(多選題)已知函數f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ex，x≤0，,lnx，x>0，))g(x)＝f(x)＋x＋a，則函數g(x)的零點個數可能為()A．0B．1C．2D．3BC解析：畫出函數f(x)的圖象，y＝ex在y軸右側的去掉，如圖，再畫出直線y＝－x，之后上下移動直線y＝－x.可以發(fā)覺直線與函數圖象有兩個或一個交點．13．設函數f(x)的定義域為R，f(－x)＝f(x)，f(x)＝f(2－x)．當x∈[0,1]時，f(x)＝x3，則函數g(x)＝|cosπx|－f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(3,2)))上零點的個數為()A．3B．4C．5D．6C解析：由f(－x)＝f(x)，得f(x)的圖象關于y軸對稱．由f(x)＝f(2－x)，得f(x)的圖象關于直線x＝1對稱．當x∈[0,1]時，f(x)＝x3，所以f(x)在[－1,2]上的圖象如圖．令g(x)＝|cosπx|－f(x)＝0，得|cosπx|＝f(x)，函數y＝f(x)與y＝|cosπx|的圖象在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(3,2)))上的交點有5個．14．已知函數f(x)＝ax＋x－b的零點x0∈(n，n＋1)(n∈Z)，其中常數a，b滿意2a＝3,3b＝2，則n＝________.－1解析：a＝log23>1，0<b＝log32<1.令f(x)＝0，得ax＝－x＋b.在同一平面直角坐標系中畫出函數y＝ax和y＝－x＋b的圖象，如圖所示．由圖可知，兩函數的圖象在區(qū)間(－1,0)內有交點，所以函數f(x)在區(qū)間(－1，0)內有零點，所以n＝－1.15．若曲線y＝log2(2x－m)(x>2)上至少存在一點與直線y＝x＋1上的一點關于原點對稱，則m的取值范圍為________．(2,4]解析：直線y＝x＋1關于原點對稱的直線為y＝x－1.依題意方程log2(2x－m)＝x－1在(2，＋∞)上有解．則m＝2x－1在x∈(2，＋∞)上有解，所以m>2.又2x－m>0恒成立，則m≤(2x)min，即m≤4.所以實數m的取值范圍為(2,4]．16．已知函數f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2，0≤x≤1，,|lnx－1|，x>1.))若方程f(x)＝kx－2有兩個不相等的實數根，則實數k的取值范圍是________．[3，＋∞)解析：由題意知函數f(x)的圖象與恒過定點(0，－2)的直線y＝kx－2有兩個交點，作出y＝f(x)與y＝kx－2的圖象，如圖所示．當直線y＝kx－2過點(1,1)時，k＝3.結合圖象知，當k≥3時，直線與y＝f(x)的圖象有兩個交點．17．已知a∈R，函數f(x)＝log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋a)).(1)當a＝5時，解不等式f(x)＞0；(2)若函數g(x)＝f(x)＋2log2x只有一個零點，求實數a的取值范圍；解：(1)當a＝5時，f(x)＝log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋5)).由f(x)＞0，即log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋5))＞0，可得eq\f(1,x)＋5＞1，解得x＜－eq\f(1,4)或x＞0.即不等式f(x)＞0的解集為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,4)))∪(0，＋∞)．(2)g(x)＝f(x)＋2log2x＝log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋a))＋2log2x＝log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋a))·x2(其中x＞0)．因為函數g(x)＝f(x)＋2log2x只有一個零點，即g(x)＝0只有一個根，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋a))·x2＝1在(0，＋∞)上只有一個解