山東省煙臺(tái)市2023~2024學(xué)年度第一學(xué)期期中學(xué)業(yè)水平診斷高二數(shù)學(xué)含答案

2023~2024學(xué)年度第一學(xué)期期中學(xué)業(yè)水平診斷高二數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．本試題滿分150分，考試時(shí)間為120分鐘．2．答卷前，務(wù)必將姓名和準(zhǔn)考證號(hào)填涂在答題紙上．3．使用答題紙時(shí)，必須使用0.5毫米的黑色簽字筆書寫，要字跡工整，筆跡清晰；超出答題區(qū)書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求．1.若直線在y軸上的截距為2，則該直線的斜率為（）A. B.2 C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)縱截距求解出的值，然后由直線方程求解出斜率.【詳解】因?yàn)榈目v截距為，所以直線經(jīng)過，所以，所以，所以斜率，故選：D.2.經(jīng)過點(diǎn)，兩點(diǎn)的直線的方向向量為，則m的值為（）A.2 B. C.3 D.【答案】B【解析】【分析】利用兩點(diǎn)式求斜率，即可得直線的一個(gè)方向向量，進(jìn)而確定參數(shù)值.【詳解】由題設(shè)，故對(duì)應(yīng)直線的一個(gè)方向向量為，所以.故選：B3.在三棱錐中，D，E分別為BC，OA的中點(diǎn)，設(shè)，，，則下列向量中與相等的向量是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由空間向量的位置關(guān)系，結(jié)合向量加減、數(shù)乘的幾何意義用，，表示出即可.【詳解】由.故選：D4.求圓心在直線上，且與直線相切于點(diǎn)的圓的方程是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)出圓心坐標(biāo)，根據(jù)圓心到直線的距離等于圓心到的距離求解出圓心坐標(biāo)，從而半徑可求，則圓的方程可知.【詳解】因圓心在直線上，所以設(shè)圓心，因?yàn)閳A與直線相切于點(diǎn)，所以，解得，所以圓心為，半徑為，所以圓的方程為，故選：A.5.已知空間向量，，滿足，，且，則與的夾角大小為（）A.30° B.60° C.120° D.150°【答案】C【解析】【分析】由，利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律有，即可求與的夾角大小.【詳解】由題設(shè)，則，所以，又，可得，即.故選：C6.如圖，在正四棱柱中，，，則直線與平面所成角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，應(yīng)用向量法求線面角的正弦值.【詳解】構(gòu)建如下圖的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，，，若是面的一個(gè)法向量，則，取，則，所以，則直線與平面所成角的正弦值為.故選：B7.已知圓C：上總存在兩個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為2，則圓C半徑r的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由原點(diǎn)到的距離，討論原點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，結(jié)合題設(shè)條件求半徑的范圍.【詳解】由圓心為，半徑為，則原點(diǎn)到的距離，要使總存在兩個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為2，若原點(diǎn)在圓外，則；若原點(diǎn)在圓上，即，滿足；若原點(diǎn)在圓內(nèi)，則；綜上，圓C半徑r的取值范圍是.故選：C8.過直線上一點(diǎn)P作圓的兩條切線PA，PB，若，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】令已知圓的圓心，由題設(shè)易知四邊形為正方形且邊長(zhǎng)為，進(jìn)而求得直線與直線夾角余弦值為，根據(jù)直線所過點(diǎn)并設(shè)，應(yīng)用向量夾角坐標(biāo)表示列方程求P的橫坐標(biāo).【詳解】由題設(shè)，已知圓的圓心，四邊形為正方形且邊長(zhǎng)為，所以，而到直線的距離，如下圖，令直線與直線夾角為，則，又直線過，令，則，所以，則.故選：D二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知直線l：，則（）A.直線l的傾斜角可以為 B.直線l的傾斜角可以為0C.直線l恒過 D.原點(diǎn)到直線l距離的最大值為5【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)直線方程判斷直線傾斜角可知A、B正誤；由確定定點(diǎn)判斷C；根據(jù)原點(diǎn)與所成直線與直線l垂直時(shí)，原點(diǎn)到直線l距離的最大判斷D.【詳解】A：當(dāng)，則直線，此時(shí)傾斜角為，對(duì)；B：無論為何值，直線的斜率不可能為0，故傾斜角不可能為0，錯(cuò)；C：由恒過，對(duì)；D：原點(diǎn)與所成直線與直線l垂直時(shí)，原點(diǎn)到直線l距離最大為，錯(cuò).故選：AC10.關(guān)于空間向量，以下說法正確的是（）A.若空間向量，，則在上的投影向量為B.若對(duì)空間中任意一點(diǎn)O，有，則P，A，B，C四點(diǎn)共面C.若空間向量，滿足，則與夾角為銳角D.若直線l的方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，則【答案】ABD【解析】【分析】A投影向量定義求在上的投影向量；B由空間向量共面的推論判斷；C由，同向共線即可判斷；D由即可判斷.【詳解】A：在上的投影向量為，對(duì)；B：中，故P，A，B，C四點(diǎn)共面，對(duì)；C：當(dāng)，同向共線時(shí)也成立，但與夾角不為銳角，錯(cuò)；D：由，即，故，對(duì).故選：ABD11.已知平行六面體的棱長(zhǎng)都為2，，，O為底面ABCD中心，則下列結(jié)論正確的有（）A.B.與所成角的余弦值為C.平面ABCDD.已知N為上一點(diǎn)，則最小值為【答案】BCD【解析】【分析】A．利用空間向量表示出，然后根據(jù)數(shù)量積運(yùn)算求解出；B．利用向量法求解出夾角的余弦值，則結(jié)果可判斷；C．通過證明的位置關(guān)系、的位置關(guān)系，結(jié)合線面垂直的判定定理進(jìn)行判斷；D：將平面與平面展開成一個(gè)平面，利用三點(diǎn)共線求解出的最小值.【詳解】設(shè)，如下圖：對(duì)于A：因?yàn)?，所以，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：，所以，所以，所以，所以與所成角的余弦值為，故B正確；對(duì)于C：因?yàn)?，所以為等腰直角三角形，所以，，因?yàn)椋?，所以均為邊長(zhǎng)為的等邊三角形，所以，所以，所以為等腰直角三角形，又因?yàn)闉榈酌娴闹行?，所以為中點(diǎn)，所以且，所以，所以，又因?yàn)?，平面，所以平面，故C正確；對(duì)于D：將平面與平面展開成一個(gè)平面，如下圖所示：當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)有最小值，此時(shí)，所以，所以，所以，所以的最小值為，故D正確；故選：BCD12.米勒問題是指德國(guó)數(shù)學(xué)家米勒1471年向諾德爾教授提出的問題：在地球表面的什么部位，一根垂直的懸桿呈現(xiàn)最長(zhǎng)（即可見角最大），米勒問題的數(shù)學(xué)模型如下：如圖，設(shè)M，N是銳角的一邊上的兩個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)P是邊上的一動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)且僅當(dāng)?shù)耐饨訄A與BC相切于點(diǎn)P時(shí)，最大．若，，點(diǎn)P在x正半軸上，則當(dāng)最大時(shí)，下列結(jié)論正確的有（）A.線段MN的中垂線方程為B.P的坐標(biāo)為C.過點(diǎn)M與圓相切的直線方程為D.【答案】ABC【解析】【分析】構(gòu)建直角坐標(biāo)系，根據(jù)已知確定中點(diǎn)為，，進(jìn)而寫出線段MN的中垂線方程，由題設(shè)最大的外接圓與軸相切于點(diǎn)P，設(shè)，易知，又軸，進(jìn)而求參數(shù)a，注意分析是否符合題設(shè)，再寫出過點(diǎn)M與圓相切的直線方程，最后由共線，即為直徑且軸，求判斷各項(xiàng)正誤.【詳解】由題設(shè)，構(gòu)建如下圖示直角坐標(biāo)系，中點(diǎn)，，故中垂線的斜率為，所以中垂線方程為，即，A對(duì)；由題意，最大，則的外接圓與軸相切于點(diǎn)P，若，則外接圓圓心在上，又圓心在上，所以圓心坐標(biāo)為，又軸，故，所以，則，故或，由A分析，易知直線，則，若，即，此時(shí)P不是銳角的邊上動(dòng)點(diǎn)，不合題意，顯然時(shí)，符合題設(shè)，故P的坐標(biāo)為，B對(duì)；由B分析，圓心，則，故過點(diǎn)M與圓相切的直線斜率為，所以過點(diǎn)M與圓相切的直線方程為，即，C對(duì)；由上分析知：共線，即為直徑且軸，所以，在中，故，D錯(cuò).故選：ABC三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.若直線與直線平行，則這兩條直線間的距離為______．【答案】##【解析】【分析】由兩線平行求得，再應(yīng)用平行線的距離公式求兩條直線間的距離.【詳解】由兩線平行知：，即直線與平行，所以它們的距離為.故答案為：14.已知直線與圓C：交于A，B兩點(diǎn)，寫出滿足條件“”的m的一個(gè)值______．【答案】（答案不唯一）.【解析】【分析】根據(jù)確定出的大小，然后求解出圓心到直線的距離，由此求解出的值.【詳解】圓的圓心，半徑，因?yàn)?，所以或?dāng)時(shí)，此時(shí)圓心到直線的距離，如下圖所示：所以，解得；當(dāng)時(shí)，此時(shí)圓心到直線的距離，如下圖所示：所以，解得；故答案為：（答案不唯一）.15.如圖，在正四棱臺(tái)中，，，，則該棱臺(tái)的體積為______，點(diǎn)到面的距離為______．（本小題第一空2分，第二空3分）【答案】①.②.【解析】【分析】過點(diǎn)作交于點(diǎn)，根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)分析出即為正四棱臺(tái)的高，然后根據(jù)體積公式求出體積；過點(diǎn)作交于點(diǎn)，根據(jù)幾何關(guān)系證明出的長(zhǎng)即為所求點(diǎn)面距離，再根據(jù)線段長(zhǎng)度求出結(jié)果.【詳解】連接，，連接，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，如下圖所示：因?yàn)閹缀误w為正四棱臺(tái)，所以平面，又因?yàn)?，所以，所以為正四棱臺(tái)的高，又因?yàn)?，，所以，所以，所以棱臺(tái)的體積為：；連接，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，如下圖所示：因?yàn)椋云矫?，所以，又因?yàn)?，，所以平面，所以的長(zhǎng)度即為點(diǎn)到面的距離，由對(duì)稱性可知：，所以，所以，所以點(diǎn)到面的距離為，故答案為：；.16.平面直角坐標(biāo)系中，圓C的方程為，若對(duì)于點(diǎn)，圓C上總存在點(diǎn)M，使得，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題設(shè)，只需保證的中垂線與圓有交點(diǎn)，應(yīng)用點(diǎn)斜式寫出中垂線，再由點(diǎn)線距離公式有圓心到直線的距離，即可求參數(shù)范圍.【詳解】由題設(shè)，圓心，半徑，要使圓C上總存在點(diǎn)M，使得，即的中垂線與圓有交點(diǎn)，如上圖，的中點(diǎn)，且，故中垂線為，所以圓心到直線的距離，即，所以.故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知直線l過點(diǎn)，求滿足下列條件的直線l的方程．（1）在兩坐標(biāo)軸上的截距相等；（2），到直線l距離相等．【答案】（1）或；（2）或.【解析】【分析】（1）討論截距是否為0，求對(duì)應(yīng)直線方程；（2）討論兩點(diǎn)與直線的位置，利用直線平行、點(diǎn)對(duì)稱求直線方程.【小問1詳解】若直線過原點(diǎn)，令，則，故直線為；若截距不為0，令，則，故直線為；綜上，直線方程為或.【小問2詳解】若，在直線的同一側(cè)，即直線直線，而，故直線為，則；若，分別在直線的兩側(cè)，即關(guān)于直線上一點(diǎn)對(duì)稱，所以中點(diǎn)在直線上，又直線l過點(diǎn)，故直線為；綜上，直線l的方程為或.18.如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方體中，E，F(xiàn)分別是，CD的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求四面體的體積．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）連接交于，連接，結(jié)合已知證為平行四邊形，則，由線面平行的判定證結(jié)論；（2）過作交延長(zhǎng)線于，證為平行四邊形，進(jìn)而有、平面，再由，應(yīng)用錐體體積公式求四面體的體積．【小問1詳解】連接交于，連接，由E，F(xiàn)分別是，CD的中點(diǎn)，則且，由正方體性質(zhì)：為中點(diǎn)，故，則又，即，故，所以為平行四邊形，則，面，面，則平面.【小問2詳解】過作交延長(zhǎng)線于，又，故為平行四邊形，則，故，又平面，所以平面，故到面的距離等于到面的距離，所以.19.已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)P滿足，設(shè)P的軌跡為C．（1）求C的軌跡方程；（2）若過點(diǎn)A的直線與C交于M，N兩點(diǎn)，求取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)距離公式以及得到的等量關(guān)系即為軌跡方程；（2）分類討論直線的斜率是否存在，斜率不存在時(shí)直接計(jì)算即可，斜率存在時(shí)聯(lián)立直線與軌跡方程，利用坐標(biāo)法結(jié)合不等式完成計(jì)算.【小問1詳解】設(shè)，因?yàn)?，所以，所以，化?jiǎn)得：，所以的軌跡方程為：；【小問2詳解】當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線方程為，代入的軌跡方程可得，不妨令，所以，所以；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)，，聯(lián)立，可得，所以，又，所以，所以，因?yàn)椋?，所以，所以；綜上可知，的取值范圍為.20.如圖，直四棱柱中，底面等腰梯形，其中，，，，N為中點(diǎn)．（1）若平面交側(cè)棱于點(diǎn)P，求證：，并求出AP的長(zhǎng)度；（2）求平面與底面所成角余弦值．【答案】（1）證明見解析，；（2）.【解析】【分析】（1）線面平行的判定證得面、面，再由面面平行的判定證面面，再由面面平行的性質(zhì)證結(jié)論，最后根據(jù)已知求AP的長(zhǎng)度；（2）將延長(zhǎng)交于，連接，易知平面底面，根據(jù)已知求得，過作于求，連接，應(yīng)用線面垂直的性質(zhì)、面面角的定義得為平面與底面所成角平面角，進(jìn)而求其余弦值即可.【小問1詳解】由，面，面，則面，由，面，面，則面，，面，故面面，由平面交側(cè)棱于點(diǎn)P，N為中點(diǎn)，故面，故面面，又面面，綜上，.過作，則為的中點(diǎn)，易知，即，所以.【小問2詳解】將延長(zhǎng)交于，連接，則平面底面，由，，，故在等腰梯形中，且，所以，且，由，則，所以，在中，則，過作于，則，連接，又面，面，則，，面，則面，面，所以，面，故為平面與底面所成角平面角，所以，則.綜上，平面與底面所成角的余弦值為.21.如圖，為邊長(zhǎng)是2的菱形，，平面，平面，，P為邊BC上一點(diǎn)（與B，C兩點(diǎn)不重合），使得EP與平面所成的角為．（1）求BP的長(zhǎng)；（2）求平面與平面所成角的余弦值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)題設(shè)將幾何圖形補(bǔ)全為直棱柱，構(gòu)建如下空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，應(yīng)用向量法，結(jié)合線面角求參數(shù)x即可.（2）應(yīng)用向量法求平面與平面所成角的余弦值．【小問1詳解】由面，面且，為邊長(zhǎng)是2的菱形，，將幾何圖形補(bǔ)全為直棱柱，垂直平分，構(gòu)建如下空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，所以，，，令是面的一個(gè)法向量，則，取，則，由EP與平面所成的角為，故，所以，即，可得或（舍），所以.【小問2詳解】由（1）知：，則，，令是面的一個(gè)法向量，則，取，則，又是面的一個(gè)法向量，所以，故平面與平面所成角的余弦值.22.已知，，P點(diǎn)滿足．（1）求點(diǎn)P的軌跡的方程，并說明是何圖形；（2）設(shè)T為直線上一點(diǎn)，直線TO，TA分別與相交于點(diǎn)B，C，求四邊形面積S的最大值．【答案】（1），（除去）；軌跡為以為圓心，3為半徑的圓，除去，；（2）12【解析】【分析】（1）設(shè)，根據(jù)垂直關(guān)系得到方程，求出軌跡方程，注意舍去不合要求的點(diǎn)，并得到軌跡圖形