2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期高二數(shù)學(xué)期中模擬試卷（一）含答案

2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期高二數(shù)學(xué)期中模擬試卷（一）總分：150分考試時(shí)間：120分鐘一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線，，則“”是“”的（）條件A.必要不充分 B.充分不必要C.充要 D.既不充分也不必要【答案】C【解析】【分析】根據(jù)直線平行求得，結(jié)合充分、必要條件的知識(shí)求得正確答案.【詳解】若，則，解得或，當(dāng)時(shí)，和的方程都是，兩直線重合，不符合題意.經(jīng)驗(yàn)證可知，符合.所以“”是“”的充要條件.故選：C2.拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為（）A. B. C.2 D.4【答案】C【解析】【分析】將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，即可得到，再根據(jù)的幾何意義得解；【詳解】解：拋物線，即，則，所以，所以拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為.故選：C3.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，短軸長為，離心率為，過點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，則的周長為A.4 B.8 C.16 D.32【答案】C【解析】【分析】利用橢圓的定義，結(jié)合，即可求解，得到答案．【詳解】由題意，橢圓的短軸長為，離心率為，所以，，則，所以，所以的周長為，故選C．4.設(shè)雙曲線的虛軸長為2，焦距為，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意得到，，進(jìn)而得到，求出漸近線方程.【詳解】由題意得，，解得，，故，故雙曲線漸近線方程為.故選：C5.已知焦點(diǎn)在軸上的橢圓的焦距為6，則實(shí)數(shù)等于（）A. B. C.12 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程建立方程，解之即可求解.【詳解】由題意知，，又，所以，即實(shí)數(shù)的值為12.故選：C6.點(diǎn)在曲線上，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，問題轉(zhuǎn)化為半圓上的點(diǎn)到定直線的距離的5倍，進(jìn)而求出結(jié)果.【詳解】如圖，曲線為圓上半圓，圓心，半徑為2，，表示點(diǎn)到直線距離的5倍，點(diǎn)到直線的距離，即直線與圓相離，點(diǎn)到直線的距離，最小值為，最大值為，則的取值范圍為.故選：B7.焦距為，并且截直線所得弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.或【答案】A【解析】【分析】設(shè)橢圓方程為，且，及交點(diǎn)，將兩點(diǎn)代入橢圓方程可得，根據(jù)弦中點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系可得，結(jié)合直線方程得，再由橢圓的焦距求得的值，即可得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】解：設(shè)橢圓方程為，且設(shè)直線與橢圓相交的兩點(diǎn)坐標(biāo)為，由題意可知，即，所以，又在橢圓上，可得：，兩式相減得，整理得：，則，所以，又直線的斜率為，所以，即，所以橢圓的焦距為，所以，則，故可得：解得，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.故選：A.8.已知圓，直線，若直線與軸交于點(diǎn)，過直線上一點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，且，則的取值范圍是（）.A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出軌跡方程，再根據(jù)直線與圓有交點(diǎn)，結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式即可求解.【詳解】設(shè)，根據(jù)直線解析式，直線與軸交點(diǎn)，因?yàn)?，圓心，半徑；根據(jù)題意，，又因?yàn)?，則有：，化簡整理得，，故的軌跡為，是圓心為，半徑為的圓；因?yàn)榇嬖?，則直線與圓有交點(diǎn)，則圓心到直線的距離小于等于半徑，所以，即，整理得：，解得；故選：A二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.曲線，下列結(jié)論正確的有（）A.若曲線表示橢圓，則且不等于0 B.若曲線表示雙曲線，則焦距是定值C.若，則短軸長為2 D.若，則漸近線為【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)橢圓雙曲線簡單幾何性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對(duì)于:表示橢圓,則,即,故正確;對(duì)于:表示雙曲線,則,即,當(dāng)時(shí),,焦距不是定值,故錯(cuò)誤;對(duì)于:時(shí),為橢圓,短軸長,故正確;對(duì)于:時(shí),為雙曲線,漸近線方程為,故錯(cuò)誤;故選:.10.已知直線和圓，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.直線恒過點(diǎn)B.圓與圓有三條公切線C.直線被圓截得的最短弦長為D.當(dāng)時(shí)，圓上存在無數(shù)對(duì)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)定點(diǎn)的特征即可求解A，根據(jù)兩圓的位置關(guān)系即可求解B，根據(jù)垂直時(shí)即可結(jié)合圓的弦長公式求解C，根據(jù)直線經(jīng)過圓心即可求解D.【詳解】對(duì)于A，由直線的方程，可知直線恒經(jīng)過定點(diǎn)，故A正確；對(duì)于B，由圓的方程，可得圓心，半徑，又由，由于，所以圓與圓相交，圓與圓有兩條公切線，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，根據(jù)圓的性質(zhì)，可得當(dāng)直線和直線垂直時(shí)，此時(shí)截得的弦長最短，最短弦長為，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)k=1時(shí)，直線，將圓心代入直線的方程，可得，所以圓上存在無數(shù)對(duì)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)，故D正確，故選:ACD.11.設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)為左頂點(diǎn)，點(diǎn)為上頂點(diǎn)，直線過原點(diǎn)且與橢圓交于，兩點(diǎn)（在第一象限），則以下命題正確的有（）A.B.時(shí)，三角形面積為C.直線與直線斜率之積是定值D.當(dāng)與平行時(shí)，四邊形的面積最大【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)題意和橢圓的性質(zhì)，結(jié)合直線的特點(diǎn)，可較易判斷A選項(xiàng)；對(duì)于B選項(xiàng)我們可以巧妙利用橢圓的對(duì)稱性，將所求三角形轉(zhuǎn)化為面積相同且較易求面積的三角形，利用三角形相關(guān)的性質(zhì)，即可判斷；對(duì)于C選項(xiàng)，按照選項(xiàng)內(nèi)容建立起直線和直線的斜率的積的關(guān)系式，通過對(duì)式子的變形整理，看式子中是否含有變量，如果有變量，則不是定值，如果沒有變量，則是定值；對(duì)于D選項(xiàng)，我們可以將四邊形的面積分解為幾個(gè)易于計(jì)算的小三角形的面積，這樣有利于我們更好的建立四邊形面積的表達(dá)式，從而根據(jù)表達(dá)式得出面積最大時(shí)，和的位置關(guān)系.【詳解】設(shè)橢圓的長半軸長為，短半軸長為，焦距為，則由題意可知，，，，，∴，，，直線過原點(diǎn)，且在第一象限，∴設(shè)直線的方程為：，，∵經(jīng)過原點(diǎn)，∴，即：，∴，即：，故A正確；如圖所示：設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，連接，，，，由對(duì)稱性可知：四邊形是平行四邊形，又：，，設(shè)，，，由余弦定理可知：，即：，即：，解得：，∴，又：，∴，，∴，∴，故B正確；設(shè)：，點(diǎn)在第一象限，∴，由對(duì)稱性知：，∴，，∴，又：在橢圓上，∴，∴，即有：，直線與直線的斜率之積與直線的斜率有關(guān)，不是定值，故C錯(cuò)誤；如圖所示：，當(dāng)且僅當(dāng)：，即：，，時(shí)等號(hào)成立，而，此時(shí)，∴當(dāng)與平行時(shí)，四邊形的面積最大，最大面積為，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知圓的方程是，則圓心的軌跡方程為________.【答案】【解析】【分析】將圓方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程可得出圓心坐標(biāo)為，再根據(jù)表示圓的條件消去參數(shù)即可得圓心的軌跡方程.【詳解】因?yàn)榉匠瘫硎緢A，即表示圓,所以，解得,易知圓心坐標(biāo)為，且，設(shè)圓心坐標(biāo)為，則有，消去，得即為所求圓心的軌跡方程.故答案為：13.已知為橢圓上的點(diǎn)，，則線段長度的最小值為__________.【答案】##【解析】【分析】記線段的長度為，表達(dá)的函數(shù)，利用,；，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求的最小值．【詳解】設(shè)，記線段的長度為，是橢圓上任意一點(diǎn)，設(shè),,,所以：．由于，故時(shí)，有最小值，且的最小值，故答案為：14.直線與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)．【答案】或【分析】由消去y，對(duì)二次系數(shù)是否為0分類討論可得.【解析】由消去y，整理得，當(dāng)時(shí)，由得；又注意到直線恒過點(diǎn)，且漸近線的斜率為時(shí)，直線與漸近線平行時(shí)也成立．故答案為：或

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知圓，直線過點(diǎn).（1）當(dāng)直線與圓相切時(shí)，求直線的斜率；（2）線段的端點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)出直線的方程，利用圓心到直線的距離等于半徑，建立方程，解出即可；（2）建立點(diǎn)和點(diǎn)之間的關(guān)系式，再利用點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的關(guān)系式得到點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的條件，即可求出.【小問1詳解】已知的圓心是，半徑是，設(shè)直線斜率為則直線方程是，即，則圓心到直線距離為，解得直線的斜率.【小問2詳解】設(shè)點(diǎn)則，由點(diǎn)是的中點(diǎn)得，所以①因?yàn)樵趫A上運(yùn)動(dòng)，所以②①代入②得，化簡得點(diǎn)的軌跡方程是.16.已知拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，且拋物線上有一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為6．（1）求拋物線C的方程；（2）若拋物線C與直線相交于不同的兩點(diǎn)A、B，且AB中點(diǎn)橫坐標(biāo)為2，求k的值．【答案】（1）（2）2【解析】【分析】（1）根據(jù)拋物線上點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離關(guān)于p的方程可求出得拋物線方程；（2）聯(lián)立直線方程與拋物線方程得一元二次方程，由韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求解.小問1詳解】由題意設(shè)拋物線方程為，其準(zhǔn)線方程為，∵到焦點(diǎn)的距離等于A到其準(zhǔn)線的距離，∴∴∴拋物線C的方程為【小問2詳解】由消去y，得,∵直線與拋物線相交于不同兩點(diǎn)A、B，則有,解得且，又，解得，或（舍去）∴的值為．17.已知圓.（1）證明：圓過定點(diǎn).（2）當(dāng)時(shí)，求直線被圓截得的弦長.（3）當(dāng)時(shí)，若直線與圓交于兩點(diǎn)，且，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）對(duì)式子變形為，由于與無關(guān)，列方程求解即可得定點(diǎn)；（2）求出圓心到直線距離，再結(jié)合垂徑定理求解弦長即可；（3）聯(lián)立直線與圓的方程，韋達(dá)定理，利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算列不等式，求解即可.【小問1詳解】由，得，令，得，解得，所以圓過定點(diǎn)，且定點(diǎn)的坐標(biāo)為.【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則圓的圓心到直線的距離，所以直線被圓截得的弦長為.【小問3詳解】將代入，得.則恒成立，設(shè)，則，所以，整理得，則，所以的取值范圍是.18.已知橢圓C：的焦距為，離心率為.（1）求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若，直線l：交橢圓C于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，且的面積為，求t的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意得到，，即可得到答案.（2）首先設(shè)，，根據(jù)直線與橢圓聯(lián)立，結(jié)合根系關(guān)系得到，設(shè)直線l與x軸的交點(diǎn)為，再根據(jù)求解即可.【小問1詳解】由題意得，，，又，則，則，所以C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】由題意設(shè)，，如圖所示：聯(lián)立，整理得，，則，，故.設(shè)直線l與x軸交點(diǎn)為，又，則，故，結(jié)合，解得.19.已知圓C：與圓的相交弦長為（1）求圓C的半徑R的值；（2）若對(duì)于的圓，已知點(diǎn)，點(diǎn)，在圓C上，直線不經(jīng)過點(diǎn)，且直線，的斜率之和為2，求證：直線MN經(jīng)過一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】（1）或（2）證明見解析，.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，聯(lián)立兩圓的方程，結(jié)合勾股定理代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，