河南省安陽市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期第二次階段考試數(shù)學(xué)試題含答案

2023—2024學(xué)年第一學(xué)期第二次階段考試高一數(shù)學(xué)試題卷一、單選題（每題5分，共40分）1.集合，則中元素的個(gè)數(shù)為（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】【分析】解不等式，求出集合，再根據(jù)交集的運(yùn)算性質(zhì)，即可解題.【詳解】解不等式可得，所以，又，所以，所以中元素的個(gè)數(shù)為3個(gè).故選：B2.函數(shù)的圖象的大致形狀是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】分類討論與，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得解.【詳解】因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，由于，所以在上單調(diào)遞增，排除BD；當(dāng)時(shí)，，由于，所以在上單調(diào)遞減，排除A；而C選項(xiàng)滿足上述性質(zhì)，故C正確.故選：C.3.已知，則三個(gè)數(shù)的大小順序是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合中間值0和1比較后可得.【詳解】由，，，所以.故選：B.4.已知函數(shù)（，且）的圖像恒過點(diǎn)P，若點(diǎn)是角終邊上的一點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)型函數(shù)過定點(diǎn)求得，利用三角函數(shù)的定義求解即可.【詳解】解：∵，∴函數(shù)（，且）的圖像恒過點(diǎn)，∴由三角函數(shù)定義得故選：D5.若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)，則要使在區(qū)間上單調(diào)遞增，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可得：滿足，即，得a，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故選：D6.一元二次不等式的解集為，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)一元二次不等式與對應(yīng)方程的關(guān)系，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求出b、c與a的關(guān)系，代入所求不等式，求出解集即可．【詳解】一元二次不等式的解集為，∴，且2，3是方程兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴，解得，其中；∴不等式化為，即，解得或，因此所求不等式的解集為．故選：D．7.中國的5G技術(shù)領(lǐng)先世界，5G技術(shù)的數(shù)學(xué)原理之一便是著名的香農(nóng)公式，它表示在受噪聲干擾的信道中，最大信息傳遞速率取決于信通帶寬?信道內(nèi)信號(hào)的平均功率?信道內(nèi)部的高斯噪聲功率的大小，其中叫做信噪比.當(dāng)信噪比比較大時(shí)，公式中真數(shù)中的1可以忽略不計(jì)，按照香農(nóng)公式，由于技術(shù)提升，帶寬在原來的基礎(chǔ)上增加20%，信噪比從1000提升至4000，則大約增加了（）（附：）A.22% B.33% C.44% D.55%【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題中所給公式，利用代入法，結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算公式和換底公式進(jìn)行即可.【詳解】由題意可知：大約增加了，故選：C8.設(shè)函數(shù)，且的定義城為，若所在點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正方形區(qū)域，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，求出的定義域和值域，根據(jù)構(gòu)成一個(gè)正方形區(qū)域，列出等式關(guān)系，求出的值.【詳解】因?yàn)榈闹涤驗(yàn)?，所以的值域?yàn)?設(shè)的兩根是，且，則定義域.而點(diǎn)，構(gòu)成一個(gè)正方形區(qū)域，于是.故選：A.二、多選題（每題5分，全選對5分部分選對得2分，有選錯(cuò)不得分，共20分）9.下列命題為真命題的是（）A.若，則 B.若，則C.若且，則 D.若且，則【答案】BCD【解析】【分析】取可判斷A選項(xiàng)；利用不等式的基本性質(zhì)可判斷BC選項(xiàng)；利用作差法可判斷D選項(xiàng).【詳解】對于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，A錯(cuò)；對于B選項(xiàng)，若，由不等式的性質(zhì)可得，，則，B對；對于C選項(xiàng)，若，則，則，又因?yàn)?，由不等式的性質(zhì)可得，C對；對于D選項(xiàng)，若且，則，所以，，D對.故選：BCD.10.下列命題中為真命題的是（）A.函數(shù)與為同一個(gè)函數(shù)B.若函數(shù)有兩零點(diǎn)，一個(gè)大于2，另一個(gè)小于，則的取值范圍是C.不等式的解集為D.若的定義域?yàn)?，則的定義域?yàn)椤敬鸢浮緼BD【解析】【分析】由函數(shù)的三要素判斷A；由二次函數(shù)根的分布判斷B；由一元二次不等式的解法判斷C；由抽象函數(shù)的定義域判斷D.【詳解】解：對于A，由題意可知，的定義域均為R，且，所以，為同一函數(shù)，故正確；對于B，由題意可得，解得，故正確；對于C，由題意可知，所以，解得且，所以不等式解集為，故錯(cuò)誤；對于D，因?yàn)榈亩x域?yàn)?，由，解得，所以的定義域?yàn)椋收_.故選：ABD．11.高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如：，．已知函數(shù)，則關(guān)于函數(shù)的敘述中正確的是（）A.是偶函數(shù) B.是奇函數(shù)C.在上是增函數(shù) D.的值域是【答案】BC【解析】【分析】計(jì)算出和的值后結(jié)合奇偶性定義可判斷A，由奇偶性定義判斷B，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷C，確定出的取值范圍后得出的值域判斷D．【詳解】根據(jù)題意知，．∵，，，∴函數(shù)既不奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，A錯(cuò)誤；，∴是奇函數(shù)，B正確；∵在R上是增函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知在R上是增函數(shù)，C正確；∵，∴，，∴，∴，D錯(cuò)誤．故選：BC．12.已知是定義在上的偶函數(shù)，且對任意，有，當(dāng)時(shí)，，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.B.C.函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)D.當(dāng)時(shí)，【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)對稱性和奇偶性，可得的周期，即可判斷A的正誤，根據(jù)解析式及周期，代入數(shù)據(jù)，可判斷B的正誤；分別作出和的圖像，即可判斷C的正誤；根據(jù)函數(shù)周期及奇偶性，化簡整理，可判斷D的正誤，即可得答案.【詳解】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，則，因?yàn)?，所以，則，所以不成立，故A錯(cuò)誤；又函數(shù)為偶函數(shù)，所以，故的周期為4，由函數(shù)的周期為4，則，，所以，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；令可得，作出函數(shù)和的圖像如下圖所示，由圖可知，兩個(gè)函數(shù)圖像有3個(gè)交點(diǎn)，故選項(xiàng)C正確；當(dāng)時(shí)，，則，故選項(xiàng)D正確，故選：AB.三、填空題（每題5分，共20分）13.已知扇形的弧長為6，圓心角弧度數(shù)為3，則其面積為______________；【答案】6【解析】【分析】根據(jù)扇形面積公式求解即可.【詳解】扇形的弧長為6，圓心角弧度數(shù)為3，則扇形的半徑，所以該扇形的面積.故答案為：6【點(diǎn)睛】此題考查求扇形的面積，根據(jù)圓心角、半徑、弧長的關(guān)系求解.14.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且滿足，則的最小值為______．【答案】【解析】【分析】先利用方程組法求出函數(shù)的解析式，再根據(jù)基本不等式即可得出.【詳解】因?yàn)?，所以兩式?lián)立得得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).所以的最小值為.故答案為：15.方程有解，則的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，令，得，利用基本不等式即可求解.【詳解】方程有解等價(jià)于方程有解.令，則因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.故時(shí)，方程有解.故答案為：.16.已知實(shí)數(shù)，滿足，，則________.【答案】4【解析】【分析】構(gòu)造同源函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得，即可得解.【詳解】由，得，即，即又，即，設(shè)函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，又，即，所以，所以，故答案為：.四、解答題（本小題共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.已知集合，集合．（1）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）命題，命題，若是的充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)解一元二次不等式的解法，結(jié)合集合交集的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)充分條件的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】集合，若，則：或或，解得或或，即．故實(shí)數(shù)的取值范圍是．【小問2詳解】若是的充分條件，則，即：，解得：．故實(shí)數(shù)的取值范圍是．18.已知、是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，其中．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)、是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根列出關(guān)于和韋達(dá)定理的式子，根據(jù)即可求解；（2）由（1）求出和，進(jìn)而求出，即可求出的值.【小問1詳解】因?yàn)?、是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以，可得，又因?yàn)?，即，解得，合乎題意．因此，．【小問2詳解】由（1）知，，因?yàn)?，則，，所以，，所以，則，因此，．19.某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的年固定成本為200萬元，每生產(chǎn)x千件，需另投入成本為，當(dāng)年產(chǎn)量不足80千件時(shí)，（萬元）．當(dāng)年產(chǎn)量不小于80千件時(shí)，（萬元）．每件商品售價(jià)為0.05萬元，通過市場分析，該廠生產(chǎn)的商品能全部售完．（1）寫出年利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（千件）的函數(shù)解析式；（2）當(dāng)年產(chǎn)量為多少千件時(shí)，該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大？【答案】19.20.當(dāng)年產(chǎn)量為100千件時(shí)，該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大，最大利潤為1050萬元【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件列出函數(shù)解析式；（2）根據(jù)函數(shù)解析式分別求分段函數(shù)的最值，時(shí)為二次函數(shù)求最值，時(shí)為基本不等式求最值.【小問1詳解】因?yàn)槊考唐肥蹆r(jià)為0.05萬元，則x千件產(chǎn)品銷售額為萬元，依題意得：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以；【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，，此時(shí)的最大值為萬元；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，即時(shí)，取最大值為萬元.所以當(dāng)年產(chǎn)量為100千件時(shí)，該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大，最大利潤為1050萬元.20.已知是偶函數(shù)．（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）用定義法證明函數(shù)在上的單調(diào)性；（3）解不等式．【答案】（1）（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）利用偶函數(shù)的概念恒成立，可求的值；（2）直接用函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行推理證明；（3）利用偶函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合（2）的結(jié)論，把不等式轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式，再求解即可.【小問1詳解】依題意，定義域?yàn)?，由是偶函?shù)，則，即，得，又，則不恒等于0，故；【小問2詳解】證明：任取，，且，則，由于得，，所以，，故，所以，則，又因?yàn)椋栽谏鲜窃龊瘮?shù)．【小問3詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，在上是增函數(shù)，則即為，兩邊平方得，解得或不等式的解集為．21.已知函數(shù)（1）解關(guān)于的不等式；（2）已知，當(dāng)時(shí)，若對任意的，總存在，使成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）答案見解析.（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)不等式關(guān)系，分類討論，即可解出不等式；（2）求出當(dāng)時(shí)解析式，根據(jù)已知條件分析出與的關(guān)系，即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】由題意，在中，，∴，∴，當(dāng)時(shí)，解得，當(dāng)時(shí)，解得，當(dāng)時(shí)，解得，綜上，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為【小問2詳解】在中，

當(dāng)時(shí)，，∵，∴函數(shù)的值域是，在中，∵對任意的，總存在，使成立，∴的值域是的值域的子集，當(dāng)時(shí)，，則，解得當(dāng)時(shí)，，則，解得，當(dāng)時(shí)，，不成立；綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍.22.已知函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱．（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）設(shè)函數(shù)（且）在上的最小值為1，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由奇函數(shù)的定義結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可求解；（2）利用換元，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分析可得：當(dāng)時(shí)恒成立，進(jìn)而可得且，并結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性分析求解.【小問1詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，則，即，整理得，又因?yàn)?，，則，所以，解得．【小問2詳解】由（1）可知，.因?yàn)榕c在單調(diào)遞增，可知函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，令，易知在內(nèi)單調(diào)遞增，且，，即，則．可得，