河南省南陽市2023-2024學年高一上學期期中數學試題含答案

2023年秋期高中一年級期中質量評估數學試題注意事項：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．考生做題時將答案答在答題卡的指定位置上，在本試卷上答題無效2．答題前，考生務必先將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上．3．選擇題答案使用2B鉛筆填涂，非選擇題答案使用毫米的黑色中性（簽字）筆或碳素筆書寫，字體工整，筆跡清楚．4．請按照題號在各題的答題區(qū)域（黑色線框）內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效．5．保持卷面清潔，不折疊、不破損．第Ⅰ卷選擇題（共60分）一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據運算先求出集合，再利用交集運算求解即可.【詳解】因為集合，,所以,故選：B2.命題“方程有一個根是偶數”的否定是（）A.方程有一個根不是偶數B.方程至少有一個根不偶數C.方程至多有一個根不是偶數D.方程的每一個根都不是偶數【答案】D【解析】【分析】根據命題的否定的定義判斷．【詳解】命題“方程有一個根是偶數”的否定是：方程沒有一個根是偶數，只有D符合．故選：D．3.若函數的圖象如圖所示，則的解析式可能是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據圖象上特殊點檢驗即可得解.【詳解】對于A，，與圖象不相符，故錯誤；對于B，無意義，與圖象不相符，故錯誤；對于D，無意義，與圖象不相符，故錯誤；對于C，函數定義域為，，，函數為奇函數，符合圖象，故C正確.故選：C4.我國古代數學家李善蘭在《對數探源》中利用尖錐術理論來制作對數表，他通過“對數積”求得，，由此可知的近似值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據對數的運算性質及所給數據計算可得.【詳解】因為，，所以，則.故選：C5.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用指數函數與冪函數的單調性判斷．【詳解】，又，指數函數是增函數，所以，即，，而，冪函數是增函數，所以，即，所以，故選：A．6.通過北師大版必修一教材頁的詳細介紹，我們把稱為取整函數．那么“”是“”的（）條件A.充分不必要 B.必要不充分C.充要 D.既不充分也不必要【答案】A【解析】【分析】根據給定的信息，結合充分條件、必要條件的定義判斷作答.【詳解】若，則可設，則，，其中，∴，而，∴，即“”能推出“”；但當時，不一定相等，例如，，滿足，但，即“”推不出“”，所以“”是“”的充分不必要條件．故選：A.7.若關于的不等式的解集是，則下列式子中錯誤的是（）A. B. C.， D.，【答案】D【解析】【分析】解不等式，根據不等式的解集確定的值．【詳解】不等式可化為，若，則不等式化為，解集不可能是，因此，A正確；不等式化為，由題意中一個為1，一個為3，而，因此有，BC均正確，D錯誤．故選：D．8.已知函數，若存在三個不相等的實數，，使得，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】作出函數圖象，由圖象得出具有的關系、范圍，從而再由函數的單調性得出結論．【詳解】作出函數的圖象，如圖，在上它關于直線對稱，時，，且為增函數，，則，，，，所以，故選：A．二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．）9.滿足函數在區(qū)間上不單調的實數的值可能是（）A. B. C. D.【答案】ABC【解析】【分析】根據二次函數的性質得到不等式，解出即可.【詳解】由題得，解得，則ABC符合題意，D錯誤.故選：ABC.10.下列函數中，具備奇偶性的函數是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】根據函數奇偶性的定義，先求出定義域，定義域符合條件再判斷的關系得解.【詳解】對于A，的定義域，不關于原點對稱，故函數是非奇非偶函數，故錯誤；對于B，定義域為，關于原點對稱，又，所以函數為奇函數，故B正確；因為的定義域為，關于原點對稱，當時，則，，當時，則，，當時，，綜上，當時，都有，故函數為偶函數，故C正確；因為，所以，解得且，所以函數定義域為，關于原點對稱，由定義域可知，所以，故函數為奇函數，故D正確.故選：BCD11.已知二次函數滿足，且對，，都有，則下列結論正確的有（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】可以知道二次函數是以為對稱軸，且在區(qū)間上為增函數，從而在上為減函數，根據單調性可判斷A的真假，根據離對稱軸越近，所對應的函數值越大，可判斷C的真假，因為無法確定的符號，所以D無法判定.【詳解】∵為二次函數，由得函數的對稱軸為，即：，故B正確；由對任意，都有，所以在上為增函數，從而在上為減函數，因為：，所以，故A正確；又因為：，所以，故C正確；因為沒有條件涉及，所以的符號無法判斷，故D無法判斷真假.故選：ABC.12.已知，，，則下列結論成立的是（）A.的最小值為 B.的最小值為C.的最小值為 D.的最小值為【答案】AB【解析】【分析】由基本不等式判斷AB，利用函數的單調性判斷CD．詳解】，則由題意，所以，當且僅當時等號成立，即的最大值是，，A正確；，B正確；，函數在時是減函數，因此它沒有最小值也沒有最大值，C錯誤；，而函數在上是減函數，沒有最小值也沒有最大值，D錯．故選：AB．第Ⅱ卷非選擇題（共90分）三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分．）13.冪函數的圖象經過點，則______．【答案】【解析】【分析】根據冪函數的定義可求出的值，再由可求出的值，由此可得出的值.【詳解】因為冪函數的圖象經過點，則，即，可得，則，又因為，解得，因此，.故答案為：.14.若函數的定義域是，則函數的定義域是______．【答案】【解析】【分析】由已知求得的定義域，再由分母中根式內部的代數式大于0求解.【詳解】函數的定義域是，所以，即，所以的定義域為，所以函數有意義需滿足，解得，即數的定義域為，故答案為：.15.已知，則不等式的解集是______．【答案】【解析】【分析】將改寫成分段函數，然后根據分段函數的解析式，分和兩種情況討論求解【詳解】對于，當時，，當時，，所以，當時，即時，不等式可化為，即，解得，所以；當時，即時，不等式可化為，即，解得，所以；綜上，不等式的解集為，故答案為：.16.如圖，已知等腰三角形中一腰上的中線長為，則該等腰三角形的面積最大值為______．【答案】4【解析】【分析】作于，于，設，，故，得到，，利用均值不等式計算得到答案.【詳解】如圖所示：作于，于，則，，設，，故，在中：，即，當且僅當，即，時等號成立，.故答案為：.四、解答題（本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）17.（1）已知，求是值（2）計算：．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由指數冪的運算性質運算即可得解；（2）利用指數和對數的運算性質求解.【詳解】（1）由于，因為，所以（2）原式，．18.已知函數．（1）判斷函數在上的單調性，并用單調性的定義證明；（2）求函數的值域．【答案】18.在上是增函數，證明見解析19.【解析】【分析】（1）根據單調性的定義證明即可.（2）令，換元法結合單調性求函數的值域.【小問1詳解】在上是增函數，證明如下：任取，，且，∵，，且，，，∴即，∴函數在上是增函數．【小問2詳解】令，則，于是的值域即為求的值域，由（1）知函數在是單調遞增的，所以當時，即，即時，取最小值，所以，所以函數的值域為19.已知集合，．（1）若且，求實數的取值范圍；（2）設，，若是的必要不充分條件，求實數的取值范圍．【答案】19.20.【解析】【分析】（1）利用元素與集合的關系列出不等式組，求解不等式組即得.（2）由必要不充分條件的定義，利用集合的包含關系列式求解即得.小問1詳解】依題意，，解得，所以的取值范圍為.小問2詳解】由是的必要不充分條件，得真包含于，而，不等式，顯然，即，解得，則，因此，于是，解得，所以的取值范圍為.20.為鼓勵大學畢業(yè)生自主創(chuàng)業(yè)，某市出臺了相關政策：由政府協(xié)調，本市企業(yè)按成本價提供產品給大學畢業(yè)生自主銷售，成本價與出廠價之間的差價由政府承擔．大學畢業(yè)生袁陽按照相關政策投資銷售本市生產的一種新型節(jié)能燈，已知這種節(jié)能燈的成本價為每件元，出廠價為每件元，每月的銷售量（單位：件）與銷售單價（單位：元）之間的關系近似滿足一次函數：．（1）設袁陽每月獲得的利潤為（單位：元），寫出每月獲得的利潤與銷售單價的函數關系；（2）物價部門規(guī)定，這種節(jié)能燈的銷售單價不得高于40元．如果袁陽想要每月獲得的利潤不小于元，那么政府每個月為他承擔的總差價的取值范圍是多少元？【答案】（1）（2）元【解析】【分析】（1）每件的銷售利潤乘以每月的銷售量即為利潤，據此列方程即可；（2）設政府每個月為他承擔的總差價為元，根據一次函數的性質求出總差價的最小值．【小問1詳解】依題意可知每件的銷售利潤為元，每月的銷售量為件，所以每月獲得的利潤與銷售單價的函數關系為【小問2詳解】由每月獲得的利潤不小于元，得：化簡，得．解得．又因為這種節(jié)能燈銷售單價不得高于元，所以．設政府每個月為他承擔的總差價為元，則．由，得．故政府每個月為他承擔的總差價的取值范圍為元．21.已知，，其中．（1）求實數，的值；（2）若函數在定義域上為增函數，求實數的取值范圍．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根據題意，令，利用，求出關系，結合，求出，的值.（2）將，的值代入，換元令，轉換為在指定區(qū)間為增函數問題，分類討論即可.【小問1詳解】設，則，因為，所以，則．又，所以，即，又，解得，．【小問2詳解】由（1）得，令，，則，．為使在上為增函數，則或或，解得或或，綜上，的取值范圍為22.已知函數的定義域為．當時，，．（1）若函數為奇函數，求函數的表達式；（2）若函數是奇函數且在上單調，求實數的取值范圍；（3）在（1）的條件下，若關于的方程有三個不等的實數根，求實數的取值范圍．【答案】（1）