數(shù)字信號處理原理配套習題答案第7章IIR數(shù)字濾波器設計習題解答

7.1試導出三階巴特沃斯低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，設Ωc解 巴特沃斯低通濾波器的幅度平方函數(shù)為A巴特沃斯低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為HsHsH其零點都在s=∞處,它的極點為sk=?112NH其中K0由H在三階巴特沃斯低通濾波器中,ΩcA其極點為SnS1=2則有H==因為Ha0=H7.2試導出二階切比雪夫濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，已知通帶紋波為1dB，歸一化截止頻率為Ω解 根據(jù)濾波器的指標可知:帶通波紋是δ1=1dB,N=2,ε所以ε因為a=s將ε=0.50884，N=2,ΩcssssHas由左半平面的極點s3、sH7.3已知某個模擬系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為Ha試根據(jù)該系統(tǒng)求滿足下列兩個條件的離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)Hz(1)沖激不變條件，即?(2)階躍不變條件，即s式中s解 (1)因為H得極點為s代入沖激不變法計算公式得離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為H(2)因為sS所以s令t=nT,由階躍不變條件可得sS==由于snH7.4已知某個模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為H 采樣周期T=2，試用雙線性變換法將它轉換為數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Hz解 當T=2時,系統(tǒng)函數(shù)為

=7.5要求用雙線性變換法從二階巴特沃斯模擬濾波器導出一低通數(shù)字濾波器，已知3dB截止頻率為100Hz解 因為采樣頻率fs=1KHZ,截止頻率求巴特沃斯模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，因為二階巴特沃斯濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為H則二階巴特沃斯模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為H使用雙線性變換求得數(shù)字濾波器得的系統(tǒng)函數(shù)為H7.6已知某個模擬濾波器的傳遞函數(shù)為H 試分別用沖激響應不變法和雙線性變換法將它轉換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Hz，設T=0.5解 (1)使用沖激響應不變法因為Ha對Ha?利用沖激響應不變法條件h(n)=?ah對h(n)求Z變換得H將s1=-0.5,sH(2)使用雙線性變換法H==7.7設?at?試用沖激響應不變法將該模擬濾波器轉換成數(shù)字濾波器。若把T當作參量，證明T為任何正值時，數(shù)字濾波器都是穩(wěn)定的，并說明此濾波器是近似低通濾波器還是近似高通濾波器。解 令t=nT,得

求h(n)的Z變換,得數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為H由于系統(tǒng)函數(shù)的極點為z=e?0.9T.,無論T為任何正值,恒有|z|=|e令z=ejωH因此,濾波器的幅度響應為H在[0,π]區(qū)間,隨著ω的增加,He7.8圖P7.8表示了一個數(shù)字濾波器的頻率響應。(1)試用沖激響應不變法,求原型模擬濾波器的頻率響應;(2)再用雙線性變換法,求原型模擬濾波器的頻率響應。解：（1）該濾波器的頻率響應可表示為H因為ω大于折疊頻率時,HeH又由Ω=Ha下圖給出了該原型模擬濾波器的頻率響應（2）根據(jù)雙線性變換公式,可得H即由ω所以,原型模擬濾波器的頻率響應為H下圖給出了該原型模擬濾波器的頻率響應7.9用沖激響應不變法設計一個滿足以下指標的巴特沃斯數(shù)字低通濾波器:幅度響應在通帶截止頻率ωP=0.2613π處的衰減不大于0.75dB解（1）根據(jù)濾波器的指標得20設T=1,將數(shù)字域指標轉換成模擬域指標得20lg將巴特沃斯低通濾波器的幅度平方函數(shù)H代人上兩式得1+1+解這兩個方程得N=7.2786,取整數(shù)N=8,且Ωc=0.9206。顯然,按上述值設計的濾波器滿足通帶指標要求,且阻帶指標將超過給定值。(2)把N=8,0.Ωc=0.9206代入式sk求得;平面左半平面的4對極點分別為:極點對1:-0.1796士j0.9029;極點對2:-0.5115士j0.7655;極點對3:-0.7655士j0.5115;極點對4:-0.9029±j0.1796由這4對極點構成的濾波器的傳遞函數(shù)為H=(3)將HaH(4)驗證所得到的數(shù)字濾波器是否達到設計指標。將z=ejω代入系統(tǒng)函數(shù)H(z)表達式，求解幅度響應Herp=0.75;rs=20;wp=0.2613*pi;ws=0.4018*pi;Fs=1;[n,wn]=buttord(wp,ws,rp,rs,'s')[z,p,k]=buttap(n);[bp,ap]=zp2tf(z,p,k)[bs,as]=lp2lp(bp,ap,wp)Ts=1,fs=0.5;[bz,az]=impinvar(bs,as,Fs/2)[h,w]=freqz(bz,az,256,Fs);subplot(211)plot(w,abs(h));gridon;xlabel('w/2pi')ylabel('幅值')subplot(212)plot(w,180/pi*angle(h));gridon;xlabel('w/2pi')ylabel('相位(度)');由圖中可以看出,設計的濾波器完全滿足規(guī)定的技術指標,因為高階模擬巴特沃斯濾波器是充分帶限的,所以不會有很大的混疊失真。如果得到的濾波器不滿足技術指標,可以試用更高階的濾波器;若想保持階數(shù)N不變,可適當調整濾波器的系數(shù)加以解決。7.10使用雙線性變換法設計一個滿足以下指標的巴特沃斯數(shù)字低通濾波器。假定取樣頻率fs=10kHz,在通帶截止頻率fP=1kHz處的衰減不大于1解：（1）將模擬截止頻率轉換成數(shù)字截止頻率因為Ωp=2πfp=2000π,ΩT=2πfT=3000π,T=1/fs=0.0001s,所以ωp=T*Ωp=0.2π，ωT=T*ΩT=0.3π(2)計算N和Ωc將模擬截止頻率進行預畸變,即Ω將其代入20并令T=1，得20將巴特沃斯濾波器的幅度平方函數(shù)代人以上兩式得到1+1+解以上兩方程得N取整數(shù)N=4,可得Ωc=0.71684。可以驗算這個Ωc值所對應的阻帶指標剛好滿足要求,而通帶指標已經超過要求(3)由N和Ωc。求模擬巴特沃斯濾波器的極點,并由左半平面的極點構成Ha(s),將N=4和Ωc=0.71684代入式s求得s平面左平面的4個極點分別為:極點1、2:?0.27432±極點3、4:?0.66227±由此得傳遞函數(shù)為:H(4)使用雙線性變換求得數(shù)字巴特沃斯濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為HH(5)驗證所得到的數(shù)字濾波器是否達到設計指標。將z=ejω代入系統(tǒng)函數(shù)H(z)表達式，求解幅度響應wp=0.2*pi;ws=0.3*pi;Rp=1.8;As=12;Fs=1;T=1/Fs;OmegaP=(2/T)*tan(wp/2);OmegaS=(2/T)*tan(ws/2);ep=sqrt(10^(Rp/10)-1);Ripple=sqrt(1/(1+ep*ep));Attn=1/(10^(As/20));N=ceil((log10((10^(Rp/10)-1)/(10^(As/10)-1)))/(2*log10(OmegaP/OmegaS)))OmegaC=OmegaP/((10^(Rp/10)-1)^(1/(2*N)))[B,A]=butter(N,OmegaC,'s');W=(0:500)*pi/500;[H]=freqs(B,A,W);mag=abs(H);db1=20*log10((mag+eps)/max(mag));[b,a]=bilinear(B,A,T);[h,w]=freqz(b,a,1000,'whole');h=(h(1:501))';w=(w(1:501))'m=abs(H);db2=20*log10((m+eps)/max(m));subplot(221);plot(W/pi,mag);title('幅度|dB|');ylabel('模擬濾波器')subplot(222);plot(W/pi,db1);title('幅度dB')subplot(223);plot(w/pi,m);xlabel('頻率(w/pi)');ylabel('數(shù)字濾波器')subplot(224);plot(w/pi,db2);xlabel('頻率(w/pi)')7.11使用雙線性變換法設計一個切比雪夫數(shù)字低通濾波器，各指標與題7.10中的相同解 將數(shù)字截止頻率轉換成模擬截止頻率因為ΩP=2πf 所以ωP=按照雙線性變換法有ΩΩ因為δ1=1.8dB，δ2所以εN≥所以取整數(shù)N=3。αa=b=因此a代入得左半平面得極點為-0.09875±j0.4732,-0.1975H因為N為奇數(shù)，HaHH7-12使用雙線性變換法設計一個切比雪夫數(shù)字高通濾波器。指標要求：取樣頻率fs=2.4kHz，在通帶截止頻率fP=160Hz處的衰減不大于3dB，在阻帶截止頻率解（1）將高通數(shù)字濾波器的頻率指標SKIPIF1<0和SKIPIF1<0折合成數(shù)字頻率SKIPIF1<0設T=2，按照雙線性變換法，將高通數(shù)字濾波器的數(shù)字域頻率轉換為高通模擬濾波器的頻率SKIPIF1<0將高模擬濾波器的頻率指標映射成模擬低同濾波器的頻率指標SKIPIF1<0（2）根據(jù)模擬低同濾波器的指標求SKIPIF1<0和NSKIPIF1<0或SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0取N=3。（3）求模擬低通濾波器的平方幅度函數(shù)令SKIPIF1<0，將其代入3階切比雪夫多項式的平方中SKIPIF1<0SKIPIF1<0因此，3階切比雪夫模擬低通濾波器的平方幅度函數(shù)為SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（4）求模擬低通濾波器的傳輸函數(shù)將SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0SKIPIF1<0由上式求出SKIPIF1<0的極點：SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0是左半s平面的3個極點，由他們構成一個穩(wěn)定的3階切比雪夫模擬低通濾波器，其傳輸函數(shù)為SKIPIF1<0SKIPIF1<0因N=3為奇數(shù)，所以SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0最后得SKIPIF1<0SKIPIF1<0注意，模擬低通濾波器的傳輸函數(shù)在左半s平面的3個極點也可以用下式求出：SKIPIF1<0，k=0,1,…,2N-1其中常量a和b用下列公式計算SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0將SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的值代入計算極點的公式，得左半s平面的極點如下：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0這里的結果與前面的數(shù)值基本相同。（5）將模擬低通濾波器轉換成模擬高通濾波器用1/s代換模擬低通濾波器的傳輸函數(shù)中的s，得到模擬高通濾波器的傳輸函數(shù)SKIPIF1<0（6）用雙線性變換法將模擬高通濾波器映射成數(shù)字高通濾波器設T=2。將SKIPIF1<0代入模擬高通濾波器的傳輸函數(shù)，得SKIPIF1<0SKIPIF1<0Matlab程序如下Wp=2*pi/15;Ws=pi/30;Rp=3;Rs=48;fs=0.5;T=2;OmegaP=tan(Wp/2);OmegaS=tan(Ws/2);[N,OmegaC]=cheb1ord(OmegaP,OmegaS,Rp,Rs,'s');[b,a]=cheby1(N,Rp,OmegaC,'high','s');[h,w]=freqs(b,a);mag=abs(h);pha1=angle(h);db1=20*log10((mag+eps)/max(mag));[B,A]=bilinear(b,a,fs);[H,W]=freqz(B,A);mag=abs(H);pha2=angle(H);db2=20*log10((mag+eps)/max(mag));subplot(2,2,1);plot(w,db1);title('模擬濾波器幅頻曲線');xlabel('頻率（rad）');ylabel('幅度（dB）');subplot(2,2,2);plot(w,pha1);title('模擬濾波器相頻曲線');xlabel('頻率（rad）');ylabel('相位（rad）');subplot(2,2,3);plot(W,db2);title('數(shù)字濾波器幅頻曲線');xlabel('頻率（rad）');ylabel('幅度（dB）');subplot(2,2,