數(shù)字信號(hào)處理原理 習(xí)題答案匯 劉泉 第2-5章 離散時(shí)間信號(hào)時(shí)域分析-快速傅利葉變換

2.1給定離散信號(hào)(1)畫(huà)出序列的波形，并標(biāo)出各序列值；(2)試用延遲的單位沖激序列及其加權(quán)和表示序列；(3)試分別畫(huà)出序列和序列的波形。解(1)的波形如圖2.1所示。(3)和的波形分別如圖2.2和圖2.3所示。 圖2.1圖2.2圖2.32.2判斷下列序列是否為周期序列。若是周期的，請(qǐng)確定其周期。(1)，式中為常數(shù) (2)解(1)為有理數(shù)，所以是以16為周期的周期序列。(2)因?yàn)?而為無(wú)理數(shù)，所以此序列是非周期序列。2.3已知線性非移變系統(tǒng)的輸入為，系統(tǒng)的單位采樣響應(yīng)為，試求系統(tǒng)的輸出并作圖。(1)， (2)，(3)， (4)，解(1),輸出如圖2.4所示。，輸出如圖2.5所示。圖2.4 圖2.5(3)輸出如圖2.6所示。(4)當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，輸出如圖2.7所示。圖2.8 圖2.6 圖2.72.4已知一個(gè)線性非移變系統(tǒng)的單位采樣響應(yīng)為試用直接計(jì)算卷積的方法，求系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。解(1)當(dāng)時(shí),得(2)當(dāng)時(shí),得故所求系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為2.5圖P2.8所示的是單位采樣響應(yīng)分別為和的兩個(gè)線性非移變系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)，已知,,,，試求系統(tǒng)的輸出。圖P2.8題2.5圖解因?yàn)?.6判斷下列系統(tǒng)是否為：(a)線性系統(tǒng)；(b)非移變系統(tǒng)；(c)穩(wěn)定系統(tǒng)；(d)因果系統(tǒng)。請(qǐng)予以證明。(1) (2) (3)(4) (5) (6)解(1)(a)所以是非線性系統(tǒng)(b)因?yàn)樗允欠且谱兿到y(tǒng)(c)設(shè),則有，所以是穩(wěn)定系統(tǒng)(d)因?yàn)閚時(shí)刻的輸出y(n)只取決于n時(shí)刻的輸入x(n)，所以是因果系統(tǒng)(2)(a)所以是非移變系統(tǒng)(b)因?yàn)樗允欠且谱兿到y(tǒng)(c)設(shè)有界，則有界，所以系統(tǒng)穩(wěn)定(d)因?yàn)闀r(shí)，時(shí)刻的輸出時(shí)刻以后的輸入有關(guān)，所以是非因果系統(tǒng)(3)(a)所以是線性系統(tǒng)(b)故為移變系統(tǒng)(c)設(shè)，則，所以是穩(wěn)定系統(tǒng)(d)因?yàn)閚時(shí)刻的輸出y(n)只取決于n時(shí)刻輸入x(n),所以是因果系統(tǒng)(4)(a)所以是線性系統(tǒng)(b)因?yàn)樗允且谱兿到y(tǒng)(c)設(shè)，令g(n)=n,則(d)時(shí)刻的輸出只取決于時(shí)刻的輸入，所以是因果系統(tǒng)(5)(a)因?yàn)?b)因?yàn)樗允欠且谱兿到y(tǒng)(c)設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，有，所以不是穩(wěn)定系統(tǒng)(d)n時(shí)刻的輸出只取決于時(shí)刻的輸入，所以是因果系統(tǒng)(6)(a)因?yàn)?，所以是線性系統(tǒng)(b)因?yàn)樗允欠且谱兿到y(tǒng)(c)設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，有，所以不是穩(wěn)定系統(tǒng)(d)當(dāng)時(shí)，時(shí)刻的輸出與時(shí)刻以后的輸入有關(guān)，所以是非因果系統(tǒng)2.7討論下列各非移變系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性。(1) (2) (3)(4) (5) (6)解(1)因?yàn)闀r(shí)，，所以該系統(tǒng)為非因果系統(tǒng)由穩(wěn)定充要條件得,所以系統(tǒng)穩(wěn)定(2)因?yàn)闀r(shí)，，所以該系統(tǒng)為因果系統(tǒng)由穩(wěn)定充要條件得，所以系統(tǒng)穩(wěn)定(3)因?yàn)闀r(shí)，，所以該系統(tǒng)為非因果系統(tǒng)由穩(wěn)定充要條件得所以當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定；當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)不穩(wěn)定(4)因?yàn)闀r(shí)，，所以該系統(tǒng)為因果系統(tǒng)由穩(wěn)定充要條件得，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定(5)因?yàn)闀r(shí)，，所以該系統(tǒng)為因果系統(tǒng)由穩(wěn)定充要條件得(為有限值),則系統(tǒng)穩(wěn)定(6)因?yàn)闀r(shí)，，所以該系統(tǒng)為非因果系統(tǒng)由穩(wěn)定充要條件得，所以系統(tǒng)穩(wěn)定2.8設(shè)系統(tǒng)的差分方程為其中為輸入，為輸出。當(dāng)邊界條件分別為時(shí)，試判斷系統(tǒng)是否為線性系統(tǒng)或是否為非移變系統(tǒng)。解（1）當(dāng)邊界條件為時(shí)①設(shè)，則 由差分方程得 遞推得 當(dāng)時(shí)， 因而 遞推得 綜上可知 ②設(shè) 由差分方程得 遞推得 即 當(dāng)時(shí)， 因而 遞推得 綜上可知 由①和②的結(jié)果可知，與是移1位的關(guān)系，但與不是移1位的關(guān)系，所以在的條件下，系統(tǒng)是移變系統(tǒng)。③設(shè) 當(dāng)時(shí)， 遞推得 即 當(dāng)時(shí)， 則 遞推得 綜上得 所以，該系統(tǒng)在條件下是線性系統(tǒng)。（2）當(dāng)邊界條件為時(shí)①設(shè) 得 ②設(shè) 得 由①和②的結(jié)果可知，與是移位的關(guān)系，但與也是移位的關(guān)系，所以在的條件下，系統(tǒng)是非移變系統(tǒng)。③設(shè) 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 綜上得 所以該系統(tǒng)在的條件下是線性系統(tǒng)。2.9設(shè)系統(tǒng)的框圖如圖P2.9所示，試列出該系統(tǒng)的差分方程，并按初始條件，求輸入為時(shí)的輸出。圖P2.9題2.9圖解由圖可得方程組 聯(lián)立整理得到系統(tǒng)的差分方程為 由于時(shí)，，則通過(guò)迭代可得 歸納可得 整理化簡(jiǎn)得2.10設(shè)一因果系統(tǒng)的輸入/輸出關(guān)系由下列差分方程確定：(1)求該系統(tǒng)的單位采樣響應(yīng)；(2)利用(1)得到的結(jié)果，求輸入為時(shí)系統(tǒng)的響應(yīng)。解(1) 因?yàn)? 所以?可以推出 即 2.11設(shè)系統(tǒng)的單位采樣響應(yīng)，系統(tǒng)的輸入是一些觀測(cè)數(shù)據(jù)。若假設(shè)系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零狀態(tài)，且，試?yán)眠f推法求系統(tǒng)的輸出。解當(dāng)n<0時(shí)，h(n)=0，此時(shí)系統(tǒng)輸出為0。當(dāng)n>0時(shí)系統(tǒng)的輸出為系統(tǒng)輸入與系統(tǒng)單位采樣響應(yīng)的線性卷積，即利用遞推法可求系統(tǒng)輸出如下：當(dāng)n=0時(shí)，當(dāng)n=1時(shí)，當(dāng)n=2時(shí)，當(dāng)n=3時(shí)，?依此類推，可得：則系統(tǒng)的輸出為：2.12有一連續(xù)時(shí)間信號(hào)，式中f=20Hz,φ=π/2。(1)試確定的周期；(2)若用采樣間隔T=0.02s對(duì)進(jìn)行采樣，試寫出采樣信號(hào)的表達(dá)式；(3)畫(huà)出對(duì)應(yīng)的時(shí)域離散序列的波形，并求出的周期。解(1)的周期為(2)采樣信號(hào)的表達(dá)式為(3)的數(shù)字頻率為,又因?yàn)?所以的周期為。離散序列可描述為,其波形如圖2.10所示。圖2.102.13試用MATLAB繪出題2.2中各信號(hào)的波形。(1)%參數(shù)設(shè)置A=1;%振幅An=0:50;%n的范圍，從0到50phi=pi/6;%相位偏移phi=π/6%計(jì)算cos函數(shù)y=A*cos(5*pi*n/8+phi);%繪圖stem(n,y);%使用stem函數(shù)繪制離散圖xlabel('n');%x軸標(biāo)簽ylabel('Amplitude');%y軸標(biāo)簽title('y=Acos(5\pin/8+\pi/6)');%圖標(biāo)題gridon;%顯示網(wǎng)格(2)%定義n的范圍n=0:50;%計(jì)算序列x(n)x_n=exp(1j*(n/8-pi));%分別繪制實(shí)部和虛部figure;subplot(2,1,1);stem(n,real(x_n),'filled');title('實(shí)部');xlabel('n');ylabel('實(shí)部');subplot(2,1,2);stem(n,imag(x_n),'filled');title('虛部');xlabel('n');ylabel('虛部');2.14試用MATLAB實(shí)現(xiàn)題2.3中的卷積運(yùn)算，并繪出相應(yīng)的信號(hào)波形。(1)x=[1];%h=[11111];%y=conv(x,h);stem(y,'fill');(2)n=0:10;%可以自定義范圍u1=(n>=0);%第一個(gè)階躍函數(shù)u2=(n>=0);%第二個(gè)階躍函數(shù)result=conv(u1,u2);figure;stem(0:length(result)-1,result);axis([010020]);(3)n=0:10;u1=0.5.^n.*(n>=0&n<3);%u2=(n==2);%result=conv(u1,u2);figure;stem(0:length(result)-1,result);(4)n=-10:10;%可以自定義范圍u1=2.^n.*(n<0);%u2=0.5.^n.*(n>=0);%result=conv(u1,u2);figure;stem(-20:(length(result)-1)/2,result);%-20由自定義范圍得出2.15試用MATLAB實(shí)現(xiàn)題2.12的采樣過(guò)程，繪出相應(yīng)的時(shí)域和頻域波形。(1)時(shí)域波形closeallclearall%定義采樣間隔Ta=2*pi/(40*pi);N=32;Ts=Ta/N;t=(0:N-1)*Ts;x=cos(40*pi*t+pi/2);%繪制采樣后的信號(hào)stem(t,x,"filled");xlabel('時(shí)間(s)');ylabel('x(t)');title('采樣后的信號(hào)');gridon;(2)頻域波形%計(jì)算采樣信號(hào)的FFTX=fft(x);X=fftshift(X);%計(jì)算頻率軸f=((0:N-1)-N/2)/Ta;figure%計(jì)算幅度譜magnitude=abs(X)/N;%繪制頻域波形stem(f,magnitude,'fill');xlabel('頻率(Hz)');ylabel('幅度');title('抽樣信號(hào)的頻域波形');gridon;3.1設(shè)Xeiω和Yeiω分別是xn1xn?n05x解2DTFTx?34所以DTFT5=n=?∞+∞xn=或者DTFT6dX所以DTFT(7)因（DTFT3.2已知X求Xejω的傅里葉反變換解:因?yàn)楫?dāng)ω0<ω<ω0時(shí),所以x=3.3線性非移變系統(tǒng)的頻率響應(yīng)Hejω=Hejωy證明:假設(shè)輸人信號(hào)xn=eiωy上式說(shuō)明，當(dāng)輸入信號(hào)為復(fù)指數(shù)序列時(shí)，輸出序列仍是復(fù)指數(shù)序列，且頻率相同，但幅度和相位決定系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，即有xy=上式中Heiω是ω的偶函數(shù)，相位函數(shù)是ω的奇函數(shù)，即Hejωy3.4試求以下序列的傅里葉變換。13xn=解2==343.5已知xn=解:序列xDTFT=DTFTx03.6若序列?n是實(shí)因果序列，其傅里葉變換的實(shí)部如下式求序列?n及其傅里葉變換H解：因?yàn)?/p>

H?H3.7若序列?n是實(shí)因果序列，?0=1，其傅里葉變換的虛部為H1ejω解而DTFT則?所以H3.8設(shè)系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)?n=x完成下面各題：12分別求出解:(1)系統(tǒng)輸出為

y由2DTFTDTFTDTFT=3.9已知xat=2cos2πf0t，式中f0=1寫出2寫出3分別求出解:X=2πδω?2π=2πδ2xxn3===800而3.10求下列序列的Z變換，指出收斂域，并畫(huà)出零極點(diǎn)圖。1an41nn≥15解:1由Z變換的定義可知X=極點(diǎn)為z=a,z=a?1，零點(diǎn)為z=0,z=∞，因?yàn)閍z<1，且az?1<1，即得Z變換的收斂域?yàn)閍Matlab實(shí)現(xiàn)程序如下：cleara=0.5;b=0c=1?zplaneb,c圖3.1零極點(diǎn)圖2極點(diǎn)為z=12，收斂域?yàn)閦>圖3.2零極點(diǎn)圖3Z極點(diǎn)為z=12，零點(diǎn)為z=0，收斂域?yàn)閦<1圖3.3零極點(diǎn)圖4由Z變換的定義可知X因?yàn)閯tX極點(diǎn)為z=1,z=0，零點(diǎn)為z=∞，而Xz的收斂域和dXzdz的收斂域相同，所以Xz收斂域?yàn)閦圖3.4零極點(diǎn)圖5Y所以X極點(diǎn)為z=ejω0,z=圖3.5零極點(diǎn)圖6y=cosφ?cos則

Y=而

x則

X極點(diǎn)為z=reiω0,z=re?jω圖3.6零極點(diǎn)圖3.11求序列xn=n解令再令i=nX3.12用長(zhǎng)除法、留數(shù)定理法和部分12X3解：1長(zhǎng)除法：由于是右邊序列，所以按降冪級(jí)數(shù)排列，X所以x留數(shù)法:xn=12πjc11+當(dāng)在c內(nèi)有z=?12一個(gè)極點(diǎn)，則有x由于xn為因果序列,故n<0時(shí)，xn部分分式法：由題得，因?yàn)閦x2長(zhǎng)除法：由于極點(diǎn)為z=14，收斂域?yàn)閦<14，X所以x留數(shù)法：xn=12πjc1?2當(dāng)nx當(dāng)nx當(dāng)nx綜上所述，有部分分式法：X則Xz=8?71?14z?1，x3長(zhǎng)除法：因?yàn)闃O點(diǎn)為z=1a，由z>1a可知Xx留數(shù)法：xn=12πjcz?a1?azzx當(dāng)n=0時(shí)，Xzzn?1在cx當(dāng)n<0x部分分式法：X3.13已知一個(gè)線性非移變系統(tǒng)，用差分方程描述如下y求系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)Hz，求系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)?？梢钥闯鱿到y(tǒng)為一個(gè)不穩(wěn)定系統(tǒng)，求滿足上述差分方程的一個(gè)穩(wěn)定（但非因果）系統(tǒng)的沖激響應(yīng)。解：(1)差分方程兩邊取Z變換得：Y系統(tǒng)函數(shù)為

H零點(diǎn)為z=0,極點(diǎn)為z1=1+52,圖3.7 零極點(diǎn)圖（2）H3H得到?此時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定，但非因果。3.14設(shè)一個(gè)線性非移變系統(tǒng)的因果系統(tǒng)，其系統(tǒng)函數(shù)為Hz23證明這個(gè)系統(tǒng)是一個(gè)全通系統(tǒng)。解：1由題意可得系統(tǒng)函數(shù)有一個(gè)極點(diǎn)z=a，若要求它是一個(gè)穩(wěn)定系統(tǒng)，該系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)應(yīng)全部在單位圓內(nèi)，因此a<1，因?yàn)閍為實(shí)數(shù)，所以一1<2系統(tǒng)函數(shù)的零點(diǎn)為z=a?1,極點(diǎn)為z=aa0a01/aRe(z)Im(z)圖3.83H因此，此系統(tǒng)是一個(gè)全通系統(tǒng)。3.15設(shè)線性非移變系統(tǒng)的差分方程為y試求它的單位沖激響應(yīng)，并判斷它是否為因果系統(tǒng)，是否為穩(wěn)定系統(tǒng)。解：在差分方程兩邊求Z變換得1所以該系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為HH該系統(tǒng)的極點(diǎn)有z=13當(dāng)|z|<1/3時(shí)，?(n)=?3/8?[因?yàn)槭諗坑虿缓?，所以是非因果系統(tǒng)；收斂域不含單位圓，不是穩(wěn)定系統(tǒng)。(2)當(dāng)1/3<|z|<3因?yàn)槭諗坑虿缓?，所以是非因果系統(tǒng)；收斂域含單位圓，是穩(wěn)定系統(tǒng)。當(dāng)3<|z|時(shí)，因?yàn)槭諗坑虬?，所以是因果系統(tǒng)；收斂域不含單位圓，不是穩(wěn)定系統(tǒng)。3.16某系統(tǒng)的差分方程為y求輸人為xn=12解:對(duì)差分方程的兩邊取單邊Z變換，得Y將初始條件代人上式整理得YY=故零輸入響應(yīng)y由xY=故零狀態(tài)響應(yīng)為y綜上所述，系統(tǒng)的相應(yīng)為y3.17設(shè)確定性序列xn的自相關(guān)函數(shù)為

rxx=n=?∞∞xnxn+m

，試用xn解:Z令n+m=iZ所以Z由于Xeiω是單位圓上的Z變換，所以3.18已知線性因果網(wǎng)絡(luò)用下面差分方程描述y1求網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)函數(shù)2寫出頻率響應(yīng)He3設(shè)輸入解:1對(duì)差分方程兩邊取Z變換得Y系統(tǒng)函數(shù)為H因?yàn)镠所以?2

系統(tǒng)的零點(diǎn)為z=?0.9，極點(diǎn)為z=0.9，如圖3.9所示。將系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)記為He①當(dāng)②隨ω的增大，由0變到π，B越來(lái)越小,A越來(lái)越大，則∣Hejω∣越來(lái)越?。虎茈Sω的繼續(xù)增大，由π變到2π,B越來(lái)越大,A越來(lái)越小⑤當(dāng)ω=2π時(shí)0Re(z)0Re(z)Im(z)-110π2πHω19圖3.9幅頻特性圖3X其中,Y所以，當(dāng)輸入為xny3.19研究一個(gè)線性非移變的系統(tǒng)，其差分方程為y判斷該系統(tǒng)是否穩(wěn)定，是否因果沒(méi)有限制；研究這個(gè)差分方程的零極點(diǎn)圖，求系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)的三種可能的選擇方案，驗(yàn)證每一種方案都滿足差分方程。解:對(duì)所給的差分方程的兩邊作Z變換得YH則系統(tǒng)函數(shù)為可求得極點(diǎn)為z1=2,z21當(dāng)收斂域?經(jīng)驗(yàn)證，將以上的單位抽樣響應(yīng)代入原方程計(jì)算，兩邊相等，即滿足差分方程。(2)?3當(dāng)收斂區(qū)域?yàn)?經(jīng)驗(yàn)證，將以上的單位抽樣響應(yīng)代入原方程計(jì)算，兩邊相等，即滿足差分方程。2.20若序列?nH求序列?n及其傅里葉變換H解：因?yàn)镠令z=H求上式逆Z變換，得序列?n的共軛對(duì)稱序列?則F因?yàn)?n是因果序列,?e當(dāng)n≥1?當(dāng)n=0F所以?又因?yàn)?所以??其對(duì)應(yīng)的傅里葉變換為H3.21試用Matlab編程計(jì)算習(xí)題3.8和3.9。解：（1）3.8題編程。求系統(tǒng)輸出yncloseall;clear;a=0.5;n=100;x=[102];h=a.^[0:n-1];%(a)卷積輸出y=conv(x，h);figure(1)，plot(0:length(y)-1，y)圖3.10卷積結(jié)果圖計(jì)算x(n)，h(n)，y(n)的傅里葉變換，代碼如下。%代碼中，有一個(gè)可替換的參數(shù)，其中對(duì)于x(n)，BBB=1+2*exp(-2*j*w)，結(jié)果參看圖3.11；%對(duì)于h(n)，BBB=1./(1-0.5*exp(-j*w))，結(jié)果參看圖3.12;對(duì)于y(n)，BBB=1./(1-%0.5*exp(-j*w))+2*exp(-2*j*w)./(1-0.5*exp(-j*w))，結(jié)果參看圖3.13。closeall;clear;figure;w=[0:0.1:pi];func=BBB;%計(jì)算復(fù)數(shù)的幅值magnitude=abs(func);subplot(1，2，1)plot(w，magnitude)xlabel('頻率')ylabel('幅值')%計(jì)算相位phase=angle(func);%將相位轉(zhuǎn)換為度phase_in_degrees=phase*180/pi;subplot(1，2，2)plot(w，phase_in_degrees)xlabel('頻率')ylabel('相位/度')圖3.11x(n)的頻譜圖3.12h(n)的頻譜圖3.13y(n)的頻譜（2）3.9題編程。x由奈奎斯特采樣定理：XajΩcloseall;clear;figure;w=[-2000:1:2000];func=zeros(1，length(w));fori=-100:100func=func+dirac(w-800*i-200)+dirac(w-800*i+200);endfunc=800*pi*func;%計(jì)算復(fù)數(shù)的幅值magnitude=abs(func);magnitude(magnitude==inf)=3;plot(w，magnitude)xlabel('頻率')ylabel('幅值')圖3.14xaX(n)傅里葉變換：Xejωcloseall;clear;figure;w=[0:0.1:pi];func=zeros(1，length(w));fori=1:1000func=func+exp(j*(pi/2-w)*i)+exp(-j*(pi/2-w)*i);end%計(jì)算復(fù)數(shù)的幅值magnitude=abs(func);subplot(1，2，1)plot(w，magnitude)xlabel('頻率')ylabel('幅值')%計(jì)算相位phase=angle(func);%將相位轉(zhuǎn)換為度phase_in_degrees=phase*180/pi;subplot(1，2，2)plot(w，phase_in_degrees)xlabel('頻率')ylabel('相位/度')圖3.15x(n)的頻譜3-1計(jì)算下列序列的N點(diǎn)DFT1x(n)=12x(n)=δ(n)

解:

123456X=7X(k)&=X(k)=9X(k)=10X(k)=再將Y=X(k)=?當(dāng)k=0時(shí)，因?yàn)閃X(k綜上可得X(k)=3-2已知下列X(k)，求其離散傅里葉逆變換x1式中，m為整數(shù)0<m<解：3-3已知周期序列xn，其主值序列x(n)=[5,4,3,2,1,3,2]，試求xn的傅里級(jí)數(shù)系數(shù)解:根據(jù)已知條件，xnXX(0)=XXXX(4)=X(5)=XX(k)即是以N=7為周期，以{X(0),X(1),X(2),X(3),X(4),X(5),X(6)}3-4設(shè)有兩個(gè)序列為{1,2,3,4,5,0,0}和它們的圓周卷積(序列長(zhǎng)度為N=7);用圓周卷積定理求兩序列的線性卷積(請(qǐng)用N1=7解：(1)設(shè)這兩個(gè)序列分別為x1(n)和x2(n)，其周期取為N=7來(lái)計(jì)算圓周卷積。做兩個(gè)同心圓，把序列yy3y4y5y綜上得到兩個(gè)序列的圓周卷積為y(n)={6,3,6,10,14,12,9}。(2)對(duì)x1(n)和所以x1(n)3-5設(shè)有兩序列x(n)=&x(n),????&&0?n?5&0,????&&其他和y(n)=&y(n),????&&0?n?15&0,????&&解:序列x(n)長(zhǎng)度N1=6,序列y(n)的長(zhǎng)度N2=16,故其線性卷積的長(zhǎng)度N=3-6設(shè)x(n)長(zhǎng)度為N，且X令H(k)=求解：

令,，則因此，，即綜上，3-7已知x(n)是長(zhǎng)度為N的有限長(zhǎng)序列，Xy(n)=試求Y(k)=DFT解3-8已知x(n)是長(zhǎng)度為N的有限長(zhǎng)序列，Xk=DFTxn,y(n)=&x(n/r),????&&n=ir,i=0,1,?,N?1&0,????&&其他解因?yàn)?/p>

X(k)=Y(k)=又已知n=ir,i=0,1,?,N?1時(shí)令

n所以

Y(k)=3-9如果xn是周期為N的周期序列，那么xn是周期為2N的周期序列。假定X1(k)表示xn以N為周期的DFS的系數(shù),X2(k)解:依題意可得XX令n'X所以

X3-10若x1(n)與x2(n)都是長(zhǎng)度為N的序列,X1(k)與解：

因?yàn)閄(k)=上式第二項(xiàng)求和得X1X(k)=3-11一個(gè)有限長(zhǎng)序列x(n)={1,1,1,1,1,1},設(shè)其Z變換為Xz。如果在Zk=ej2πk/4,k=0,1,2,3點(diǎn)時(shí)對(duì)解：對(duì)Xz在單位圓上等間隔采樣4點(diǎn)將造成x(n)y(n)=[所以y(n)=2δ(n)+2δ(n?1)+δ(n?2)+δ(n?3)3-12一個(gè)長(zhǎng)度為N1=100點(diǎn)的序列x(n)與長(zhǎng)度為N2=64點(diǎn)的序列h(n)用解：因?yàn)榫€性卷積的長(zhǎng)度為N3=N1+3-13xn表示一周期為N的周期序列,Xk表示其離散傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù),Xk也是一周期為N的周期序列。試由式x解因?yàn)?/p>

X所以

DFS[因?yàn)?/p>

k=0則

DFS3-14有限時(shí)寬序列的N點(diǎn)離散傅里葉變換相當(dāng)于其Z變換在單位圓上的N點(diǎn)等間隔采樣;求出X(z)在半徑為r的圓上的N點(diǎn)等間隔采樣，即X試給出一種用DFT計(jì)算得到X(k)解因?yàn)?/p>

X(z)=所以。X計(jì)算方法是：先構(gòu)造一個(gè)序列x(n)r?n,5.1一臺(tái)通用計(jì)算機(jī)的速度為：平均每次復(fù)數(shù)乘法需要100μs，每次復(fù)數(shù)加法需要20μs，今用來(lái)計(jì)算N=1024點(diǎn)的DFT[x(n)]。問(wèn)直接運(yùn)算需要多少時(shí)間？用FFT運(yùn)算需要多少時(shí)間？解直接計(jì)算DFT需要N2次復(fù)數(shù)乘法、N(N-1)次復(fù)數(shù)加法；當(dāng)N=1024=210復(fù)數(shù)乘法：N2=10242復(fù)數(shù)加法：N(N-1)=1024×(1024-1)≈10242=1048576所以直接運(yùn)算需要的時(shí)間為1048576×100μs+1048576×20μs=125829120μs≈125.829s而如果用DIT-FFT算法，需要的運(yùn)算量如下：復(fù)數(shù)乘法：m復(fù)數(shù)加法：m所以采用DIT-FFT算法需要的時(shí)間為5120×100μs+10240×20μs=716800μs=0.7168s5.2一個(gè)線性非移變系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)為，已知輸入信號(hào)為，請(qǐng)用FFT方法求，要求畫(huà)出詳細(xì)的運(yùn)算流圖，并寫出計(jì)算步驟。解由題意y(n)=x(n)??(n)，根據(jù)圓周卷積定理可知Y(k)=X(k)H(k)，又因?yàn)楫?dāng)N≥N1+N2?1=時(shí)，可用圓周卷積替代線性卷積。若用基-2FFT，N取4，先計(jì)算x(n)和?(n)的FFT，再求X(k)和H(k)乘積得到Y(jié)(k)圖5.6圖5.7因此，Y(k)=X(k)H(k)={3,1求Y(k)的IFFT的方法有兩種：方法一：因?yàn)閥(n)=1NDFTY圖5.8所以y(n)=方法二：可利用4點(diǎn)的DIF-IFFT計(jì)算y(n)結(jié)果，如圖5.9所示。圖5.9所以y(n)=1,5.3試畫(huà)出為復(fù)合數(shù)時(shí)的FFT算法求的結(jié)果（采用基）。解依題意：，∴對(duì)于，有有，同樣，令對(duì)于頻率變量有，∴∴圖5.105.4已知是一個(gè)點(diǎn)實(shí)序列的DFT，現(xiàn)在要用為求，為提高運(yùn)算效率，試設(shè)計(jì)一個(gè)點(diǎn)IFFT運(yùn)算一次完成。解將x(n)奇偶分組得{x1因?yàn)閤(n)為實(shí)序列，因此構(gòu)造一個(gè)復(fù)序列wn設(shè){X{X(所以如果已知X(k)，可得令{WWk=也即wn5.5一個(gè)長(zhǎng)度為的復(fù)序列與一個(gè)長(zhǎng)度為的復(fù)序列卷積。(1)求直接進(jìn)行