2025年高考數(shù)學專項題型點撥訓練之導數(shù)

年高考數(shù)學專項題型點撥訓練導數(shù)【題型一】公切線求參【題型二】“過點”切線條數(shù)【題型三】切線法解題【題型四】恒成立求參【題型五】能成立求參【題型六】零點與隱零點【題型七】雙變量問題【題型八】構造函數(shù)求參【題型九】極值點偏移導數(shù)在新結構試卷中的考察重點偏向于小題，原屬于導數(shù)的壓軸題有所改變，但導數(shù)在高考中的考察依然屬于重點，題型很多，結合的內(nèi)容也偏多，比如常出現(xiàn)的比較大小和恒成立問題等都結合著構造函數(shù)的思想，而如何構造就需要學生對出題人的出題思路再根據(jù)構造函數(shù)的思維從而進行推理，是不簡單的知識點。易錯點：對數(shù)單身狗、指數(shù)找基友在處理含對數(shù)的等式、不等式時，通常要將對數(shù)型的函數(shù)“獨立分離”出來，這樣再對新函數(shù)求導時，就不含對數(shù)了，從而避免了多次求導.這種讓對數(shù)“孤軍奮戰(zhàn)”的變形過程，俗稱之為“對數(shù)單身狗”.目標希望是這樣的：由；在處理含指數(shù)的等式、不等式時，通常要將指數(shù)型函數(shù)與其它函數(shù)（乘或除）結合起來，這樣再對新函數(shù)求導時，就避免了多次求導.俗稱之為“指數(shù)找朋友”或“指數(shù)常下沉”.乘法：；除法：.例已知當時，恒成立，則實數(shù)的取值范圍是．變式1：已知函數(shù)．⑴當時，求曲線在處的切線方程；⑵若當時，，求的取值范圍．【題型一】公切線求參(1)以曲線上的點(x0，f(x0))為切點的切線方程的求解步驟：①求出函數(shù)f(x)的導數(shù)f′(x)；②求切線的斜率f′(x0)；③寫出切線方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，并化簡．(2)如果已知點(x1，y1)不在曲線上，則設出切點(x0，y0)，解方程組得切點(x0，y0)，進而確定切線方程．【例1】（2024·山西·模擬預測）已知函數(shù)若對任意，曲線在點和處的切線互相平行或重合，則實數(shù)（

）A．0 B．1 C．2 D．3【例2】（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)的圖象上存在不同的兩點，使得曲線在點處的切線都與直線垂直，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式1】（2024·全國·模擬預測）曲線在處的切線與曲線相切于點，若且，則實數(shù)的值為.【變式2】（2024·四川瀘州·三模）設函數(shù)，.(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若總存在兩條直線和曲線與都相切，求的取值范圍.【變式3】（2024·陜西安康·模擬預測）已知函數(shù).(1)求曲線與的公切線的條數(shù)；(2)若，求的取值范圍.【題型二】“過點”切線條數(shù)導數(shù)運算及切線的理解應注意的問題：一是利用公式求導時要特別注意除法公式中分子的符號，防止與乘法公式混淆．二是直線與曲線公共點的個數(shù)不是切線的本質，直線與曲線只有一個公共點，直線不一定是曲線的切線，同樣，直線是曲線的切線，則直線與曲線可能有兩個或兩個以上的公共點．【例1】（2024·山西呂梁·二模）若曲線在點處的切線過原點，則.【例2】（2024·北京海淀·一模）已知，函數(shù)的零點個數(shù)為，過點與曲線相切的直線的條數(shù)為，則的值分別為（

）A． B． C． D．【變式1】（2024·全國·模擬預測）若曲線（且）有兩條過坐標原點的切線，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【變式2】（2024·全國·模擬預測）過坐標原點作曲線的切線，則切線共有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【題型三】切線法解題涉及到交點或者零點的小題題型，函數(shù)圖像通過求導，大多數(shù)屬于凸凹型函數(shù)，則可以用切線分隔（分界）思維來求解。切線，多涉及到“過點”型切線，【例1】（2024·黑龍江雙鴨山·模擬預測）已知函數(shù).(1)若的圖象在點處的切線與直線垂直，求的值;(2)討論的單調(diào)性與極值.【例2】（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)，且曲線在點處的切線方程為．(1)求實數(shù)，的值；(2)證明：函數(shù)有兩個零點．【變式1】（2024·四川攀枝花·三模）已知函數(shù)．(1)當時，求函數(shù)在處的切線方程；(2)設函數(shù)的導函數(shù)為，若，證明：．【變式2】（2024·廣東深圳·二模）已知函數(shù)，是的導函數(shù)，且．(1)若曲線在處的切線為，求k，b的值；(2)在（1）的條件下，證明：．【題型四】恒成立求參不等式的恒成立求參數(shù)問題，不等式恒成立問題常見方法：①分離參數(shù)恒成立(即可)或恒成立（即可）；②數(shù)形結合(圖像在上方即可)；③討論最值或恒成立.涉及到不等式整數(shù)解的問題時，要充分利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，結合單調(diào)性考查整數(shù)解相鄰整數(shù)點函數(shù)值的符號問題，列不等式求解，考查運算能力與分析問題的能力.在研究函數(shù)時用導數(shù)求極值研究極值時，無法正常求出極值點，可設出極值點構造等式或者方程作分析，進行合適的等量代換或者合適的換元消元消參，考查了分析推理能力，運算能力，綜合應用能力，難度很大.【例1】（2024·全國·模擬預測）不等式在上恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是．【例2】（2024·湖南衡陽·模擬預測）已知函數(shù)是偶函數(shù)，不等式恒成立，則b的最大值為．【例3】（2024·江蘇鹽城·模擬預測）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若不等式恒成立，求的取值范圍.【變式1】（2024·湖南衡陽·模擬預測）已知函數(shù)，函數(shù)．(1)若直線與函數(shù)交于點A，直線與函數(shù)交于點B，且函數(shù)在點A處的切線與函數(shù)在點B處的切線相互平行，求a的取值范圍；(2)函數(shù)在其定義域內(nèi)有兩個不同的極值點，，且，存在實數(shù)使得不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【變式2】（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)，．(1)證明：．(2)若恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【題型五】能成立求參對于利用導數(shù)研究函數(shù)的綜合問題的求解策略：1、通常要構造新函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構造新函數(shù)，直接把問題轉化為函數(shù)的最值問題．3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．【例1】已知函數(shù)．(1)二次函數(shù)，在“①曲線，有1個交點；②”中選擇一個作為條件，另一個作為結論，進行證明；(2)若關于x的不等式在上能成立，求實數(shù)m的取值范圍．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．【例2】已知函數(shù)．(1)若，求曲線在處的切線方程；(2)若關于的不等式在上能成立，求實數(shù)的取值范圍．【變式1】已知函數(shù)．（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）若存在正實數(shù)t，使得當時，有能成立，求的值．【變式2】設函數(shù).（1）求在點處的切線方程；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）當時，使得不等式能成立的實數(shù)的取值范圍.【題型六】零點與隱零點隱零點問題是指對函數(shù)的零點設而不求，通過一種整體代換和過渡，再結合題目條件最終解決問題；極值點偏移是指函數(shù)在極值點左右的增減速度不一樣，導致函數(shù)圖象不具有對稱性，隱零點與極值點偏移問題常常出現(xiàn)在高考數(shù)學的壓軸題中，這類題往往對思維要求較高，過程較為煩瑣，計算量較大，難度大．解題思路：(1)用函數(shù)零點存在定理判定導函數(shù)零點的存在性，列出零點方程f′(x0)＝0，并結合f′(x)的單調(diào)性得到零點的取值范圍．(2)以零點為分界點，說明導函數(shù)f′(x)的正負，進而得到f(x)的最值表達式．(3)將零點方程適當變形，整體代入最值式子進行化簡證明，有時(1)中的零點范圍還可以適當縮?。纠?】已知函數(shù)f(x)＝(x－1)ex－ax的圖象在x＝0處的切線方程是x＋y＋b＝0.(1)求a，b的值；(2)求證：f(x)有唯一的極值點x0，且f(x0)>－eq\f(3,2).【例2】已知f(x)＝ex＋1－eq\f(2,x)＋1，g(x)＝eq\f(lnx,x)＋2.(1)求g(x)的極值；(2)當x>0時，證明：f(x)≥g(x).【變式1】已知實數(shù)a滿足a≥eq\r(e)＋eq\f(1,\r(e))－2，且函數(shù)f(x)＝lnx＋eq\f(x2,2)－(a＋2)x恰有一個極小值m和極大值M，求m－M的最大值.【變式2】已知函數(shù)f(x)＝x－alnx－1(a∈R).(1)當a＝1時，求證：f(x)≥0；(2)若x＝1是f(x)唯一的零點，求f(x)的單調(diào)區(qū)間.【題型七】雙變量問題一般地，若時，涉及到雙變量的不等式的證明，函數(shù)的最值問題可以使用比值換元，令，將問題轉化為關于的函數(shù)，利用導數(shù)進行求解.【例1】（2024·廣東佛山·二模）已知.(1)當時，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若有兩個極值點，，證明：.【例2】（2024·廣東·二模）已知.(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)函數(shù)的圖象上是否存在兩點（其中），使得直線與函數(shù)的圖象在處的切線平行？若存在，請求出直線；若不存在，請說明理由.【例3】（2024·四川·模擬預測）已知函數(shù)．(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)設是函數(shù)的兩個零點，求證：．【變式1】（2024·四川德陽·二模）已知函數(shù)，(1)當時，討論的單調(diào)性；(2)若函數(shù)有兩個極值點，求的最小值.【變式2】（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)，．(1)若存在零點，求a的取值范圍；(2)若，為的零點，且，證明：．【變式3】（2024高三·全國·專題練習）已知函數(shù)為實數(shù).(1)討論函數(shù)的極值；(2)若存在滿足，求證：.【題型八】構造函數(shù)求參1.構造函數(shù)法求解函數(shù)解析式，利用導數(shù)研究函數(shù)增減性，常用以下方法：（1）利用含導數(shù)方程還原原表達式需要結合導數(shù)四則運算特征，如本題中同乘移項后就得到除法對應導數(shù)公式；（2）利用導數(shù)研究函數(shù)增減性,如遇導數(shù)不能判斷正負的情況下，往往需要再次求導，通過二階導數(shù)判斷一階導數(shù)的正負，再通過一階導數(shù)的正負判斷原函數(shù)的增減.2.幾種導數(shù)的常見構造：對于，構造若遇到，構造對于，構造對于，構造對于或，構造對于，構造對于，構造【例1】（2024·浙江嘉興·二模）已知定義在上的函數(shù)滿足，且，則（

）A． B．C． D．【例2】（23-24高二下·四川宜賓·階段練習）已知函數(shù)的定義域為，對任意，有，則不等式的解集是（

）A． B． C． D．【變式1】（23-24高二下·廣東東莞·階段練習）已知為函數(shù)的導函數(shù)，當時，有恒成立，則下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．【變式2】（23-24高二下·四川眉山·期中）已知函數(shù)的導函數(shù)為，對任意的正數(shù)，都滿足，則下列結論正確的是（

）A． B．C． D．【題型九】極值點偏移(1)(對稱化構造法)構造輔助函數(shù)：對結論x1＋x2>(<)2x0型，構造函數(shù)F(x)＝f(x)－f(2x0－x)；對結論x1x2>(<)xeq\o\al(2,0)型，構造函數(shù)F(x)＝f(x)－f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,0),x)))，通過研究F(x)的單調(diào)性獲得不等式．(2)(比值代換法)通過代數(shù)變形將所證的雙變量不等式通過代換t＝eq\f(x1,x2)化為單變量的函數(shù)不等式，利用函數(shù)單調(diào)性證明．【例1】（2024·湖南邵陽·一模）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當時，方程有三個不相等的實數(shù)根，分別記為.①求的取值范圍；②證明.【例2】（2022·全國·模擬預測）設函數(shù).(1)若，求函數(shù)的最值；(2)若函數(shù)