2025年高考數(shù)學專項題型點撥訓練之圓錐曲線小題

年高考數(shù)學專項題型點撥訓練圓錐曲線小題【題型一】圓錐曲線定義型【題型二】焦點弦與焦半徑型【題型三】定比分點【題型四】離心率綜合【題型五】雙曲線漸近線型【題型六】拋物線中的設點計算型【題型七】切線型【題型八】切點弦型【題型九】曲線軌跡型圓錐曲線屬于高考難點，也是解析幾何的主要內(nèi)容，多出現(xiàn)在壓軸題的位置，考察的內(nèi)容和題型也偏多，需要學生對于基礎知識熟練掌握的基礎上還需要利用數(shù)形結(jié)合等的思想結(jié)合幾何和代數(shù)的方法來解決相應問題。需要記憶的結(jié)論很多，所以相應的推理方法也都必須要能夠理解，這里通過梳理題型來理解其中的含義和方法。易錯點：基本結(jié)論1.利用橢圓的定義定形狀時，一定要注意常數(shù)2a>|F1F2|這一條件．2.注意長軸長、短軸長、焦距不是a,b,c,而應是a,b,c的兩倍.3.求橢圓標準方程的基本方法是待定系數(shù)法，具體過程是先定形，再定量，即首先確定焦點所在位置，然后再根據(jù)條件建立關于a，b的方程組．如果焦點位置不確定，要考慮是否有兩解，有時為了解題方便，也可把橢圓方程設為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式．例（2024·全國·模擬預測）設雙曲線的一個頂點坐標為，焦距為，則雙曲線的漸近線方程為（

）A． B．C． D．變式1：（2024·全國·模擬預測）設雙曲線，橢圓的離心率分別為，．若這4個焦點所形成的封閉圖形中最大的內(nèi)角為，則，分別為（

）A．， B．， C．， D．，變式2：（2024·江蘇揚州·模擬預測）已知橢圓的離心率為，則拋物線的焦點坐標為（

）A． B． C． D．【題型一】圓錐曲線定義型基本定義：(1)橢圓定義：動點P滿足：|PF1|＋|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c且a>c(其中a>0，c0，且a，c為常數(shù))(2)雙曲線定義：動點P滿足：||PF1|－|PF2||＝2a，|F1F2|＝2c且a＜c(其中a，c為常數(shù)且a>0，c>0).(3)拋物線定義：|PF|＝|PM|，點F不在直線l上，PM⊥l于M.拓展定義：1.A,B是橢圓C:eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上兩點，M為A,B中點，則（可用點差法快速證明）2.A,B是雙曲線C:eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上兩點，M為A,B中點，則（可用點差法快速證明）【例1】（2024·廣東深圳·二模）P是橢圓C：（）上一點，、是的兩個焦點，，點在的平分線上，為原點，，且．則的離心率為（

）A． B． C． D．【例2】（2024·全國·模擬預測）在直角坐標系xOy中，已知點，，，動點P滿足線段PE的中點在曲線上，則的最小值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【例3】（多選）（2024·河南開封·三模）橢圓的焦點為，，上頂點為A，直線與C的另一個交點為B，若，則（

）A．C的焦距為2 B．C的短軸長為C．C的離心率為 D．的周長為8【變式1】（2024·貴州安順·一模）已知橢圓的左?右焦點分別為為上一點，且，若，的外接圓面積是其內(nèi)切圓面積的25倍，則橢圓的離心率．【變式2】（2024·上海奉賢·二模）點是棱長為1的正方體棱上一點，則滿足的點的個數(shù)為．【變式3】（2024·河南焦作·模擬預測）已知雙曲線的左焦點為，為坐標原點，，線段的垂直平分線與交于兩點，且與的一條漸近線交于第二象限的點，若，則的周長為.【題型二】焦點弦與焦半徑型1.已知F是拋物線的焦點，點P在拋物線上，則2.若焦點弦的傾斜角為，則（橫放）若的傾斜角為，則（豎放）【例1】已知A，B為橢圓上兩個不同的點，F(xiàn)為右焦點，，若線段AB的垂直平分線交x軸于點T，則．【例2】已知橢圓的左右焦點分別為，，拋物線的焦點為，設兩曲線的一個交點為，若，則橢圓的離心率為A． B． C． D．【變式1】已知橢圓（）的焦點為，，若點在橢圓上，且滿足（其中為坐標原點），則稱點為“”點，則橢圓上的“”點有個A． B． C． D．【變式2】（多選）設，為橢圓：的兩個焦點，為上一點且在第一象限，為的內(nèi)心，且內(nèi)切圓半徑為1，則（

）A． B． C． D．【變式3】已知拋物線的焦點為，為拋物線在第一象限內(nèi)的一點，拋物線在點處的切線與圓相切（切點為）且交軸于點，過點作圓的另一條（切點為）交軸于點，若，則的最小值為．【題型三】定比分點1.過圓錐曲線的焦點F的弦AB與對稱軸（橢圓是長軸，雙曲線是實軸）的夾角為2.已知AB為拋物線的焦點弦，【例1】（多選）在平面直角坐標系xOy中，已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓的左，右焦點，點A，B是橢圓C上異于長軸端點的兩點，且滿足，則（

）A．△ABF2的周長為定值 B．AB的長度最小值為1C．若AB⊥AF2，則λ=3 D．λ的取值范圍是[1，5]【例2】（2022·浙江·模擬預測）已知橢圓C的離心率，左右焦點分別為，P為橢圓C上一動點，則的取值范圍為.【變式1】（多選）（2024·甘肅蘭州·三模）已知拋物線的焦點為F，準線為l且與x軸交于點Q，P是l上一點，直線PF與拋物線交于M，N兩點，若，則（

）A． B．C． D．【變式2】已知橢圓的離心率為，過右焦點作傾斜角60°的直線交于，兩點（A在第一象限），則.【變式3】（2022·安徽馬鞍山·三模）雙曲線C：(，)的焦點為、，P在雙曲線右支上，且，為C的漸近線方程，若的面積為，則雙曲線C的焦距長為．【題型四】離心率綜合解題時要把所給的幾何特征轉(zhuǎn)化為的關系式．求離心率的常用方法有：（1）根據(jù)條件求得，利用或求解；（2）根據(jù)條件得到關于的方程或不等式，利用將其化為關于的方程或不等式，然后解方程或不等式即可得到離心率或其范圍．【例1】（2024·全國·模擬預測）已知O為坐標原點A，B，C為橢圓E：上三點，且，，直線BC與x軸交于點D，若，則E的離心率為（

）A． B． C． D．【例2】（2024·廣東佛山·二模）已知橢圓的左、右焦點分別為，，點A，B在C上，且滿足，，則C的離心率為（

）A． B． C． D．【變式1】（2024·四川德陽·三模）設是雙曲線的左、右焦點，O是坐標原點，點P是C上異于實軸端點的任意一點，若則C的離心率為（

）A． B． C．3 D．2【變式2】（2024·四川遂寧·二模）已知，分別是雙曲線C：的左、右焦點，過的直線與圓相切，與C在第一象限交于點P，且軸，則C的離心率為（

）A．3 B． C．2 D．【變式3】（2024·陜西西安·模擬預測）已知橢圓的左、右焦點分別為，上頂點為，過作的垂線，與軸交于點，若，則橢圓的離心率為．【題型五】雙曲線漸近線型（1）焦點到漸近線的距離為b（2）定點到漸近線的距離為【例1】（2024·福建·模擬預測）設雙曲線C其中一支的焦點為F，另一支的頂點為A，其兩漸近線分別為.若點B在m上，且，則m與n的夾角的正切值為（

）A． B． C．2 D．【例2】（2024·江蘇南通·模擬預測）已知雙曲線，直線.雙曲線上的點到直線的距離最小，則點的橫坐標為（

）A． B． C． D．【變式1】（2024·山西晉城·二模）已知雙曲線（，）的兩條漸近線均和圓相切，且雙曲線的左焦點為圓C的圓心，則該雙曲線的方程為（

）A． B． C． D．【變式2】（2024·山東聊城·二模）已知雙曲線的右焦點為，一條漸近線的方程為，若直線與在第一象限內(nèi)的交點為，且軸，則的值為（

）A． B． C． D．【變式3】（2024·全國·模擬預測）已知雙曲線（，）的左、右焦點分別為，，點P為雙曲線右支上一點，交雙曲線的左支于點M，直線交雙曲線的右支于另一點N，若，，則該雙曲線的漸近線方程為．【題型六】拋物線中的設點計算型是拋物線的焦點弦，設，在準線上的射影分別為，則：（1）；（2）；（3）若傾斜角為，則；（4）以為直徑的圓與準線相切；（5）；（6）若是中點，則，；（7）共線，共線；（8）．【例1】（2024·河南焦作·模擬預測）已知直線交曲線于，兩點（點在點的上方），為的焦點，則（

）A． B． C．2 D．【例2】（2024·北京順義·二模）已知拋物線的焦點為，準線為，為上一點，直線與相交于點，與軸交于點.若為的中點，則（

）A．4 B．6 C． D．8【例3】（2024·全國·模擬預測）已知點是拋物線上一點，直線與拋物線交于與不重合的兩點．若，則（

）A． B． C． D．【變式1】（2024·四川成都·三模）已知點分別是拋物線和直線上的動點，若拋物線的焦點為，則的最小值為（

）A．3 B． C． D．4【變式2】（2024·江蘇蘇州·模擬預測）設橢圓的離心率等于，拋物線的焦點是橢圓的一個頂點，A、B分別是橢圓的左右頂點．動點P、Q為橢圓上異于A、B兩點，設直線、的斜率分別為，且．則（

）A．的斜率可能不存在，且不為0B．點縱坐標為C．直線的斜率D．直線過定點【變式3】（2024·山東棗莊·一模）已知為拋物線的焦點，的三個頂點都在上，為的中點，且，則的最大值為（

）A．4 B．5 C． D．【題型七】切線型1.橢圓：若在橢圓上，則過的橢圓的切線方程是.2.雙曲線：若在雙曲線（a＞0,b＞0）上，則過的雙曲線的切線方程是.3.點是拋物線上一點，則拋物線過點P的切線方程是：；【例1】（2024·全國·一模）我國著名科幻作家劉慈欣的小說《三體Ⅱ·黑暗森林》中的“水滴”是三體文明使用新型材料-強互作用力（SIM）材料所制成的宇宙探測器，其外形與水滴相似，某科研小組研發(fā)的新材料水滴角測試結(jié)果如圖所示（水滴角可看作液、固、氣三相交點處氣—液兩相界面的切線與液—固兩相交線所成的角），圓法和橢圓法是測量水滴角的常用方法，即將水滴軸截面看成圓或者橢圓（長軸平行于液—固兩者的相交線，橢圓的短半軸長小于圓的半徑）的一部分，設圖中用圓法和橢圓法測量所得水滴角分別為，，則（

）附：橢圓上一點處的切線方程為.A． B．C． D．和的大小關系無法確定【例2】（2024·浙江·模擬預測）費馬原理是幾何光學中的重要原理，可以推導出圓錐曲線的一些光學性質(zhì)，如：點為橢圓（為焦點）上一點，則點處的切線平分外角.已知橢圓為坐標原點，是點處的切線，過左焦點作的垂線，垂足為，則為（

）A． B．2 C．3 D．【變式1】（2024·陜西咸陽·模擬預測）已知圓與圓交點的軌跡為，過平面內(nèi)的點作軌跡的兩條互相垂直的切線，則點的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【變式2】（2024·山東·模擬預測）已知拋物線：，過直線：上的動點可作的兩條切線，記切點為，則直線（

）A．斜率為2 B．斜率為 C．恒過點 D．恒過點【變式3】（2024·吉林白山·二模）阿基米德三角形由偉大的古希臘數(shù)學家阿基米德提出，有著很多重要的應用，如在化學中作為一種穩(wěn)定的幾何構型，在平面設計中用于裝飾燈等.在圓倠曲線中，稱圓錐曲線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形叫做阿基米德三角形.已知拋物線的焦點為，頂點為，斜率為的直線過點且與拋物線交于兩點，若為阿基米德三角形，則（

）A． B． C． D．【題型八】切點弦型1.橢圓：若在橢圓外，則過Po作橢圓的兩條切線切點為P1、P2，則切點弦P1P2的直線方程是.2.雙曲線：若在雙曲線（a＞0,b＞0）外，則過Po作雙曲線的兩條切線切點為P1、P2，則切點弦P1P2的直線方程是.3.點是拋物線外一點，則拋物線過點P的切點弦方程是：；【例1】已知直線與橢圓切于點，與圓交于點，圓在點處的切線交于點，為坐標原點，則的面積的最大值為A． B．2 C． D．1【例2】拋物線，過作拋物線的兩條切線，分別切拋物線于、兩點，則線段中點與軸的距離為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【變式1】．拋物線的焦點為F，準線為l，斜率為2的直線m與拋物線C切于一點A，與準線l交于點B，則的面積為（

）A．15 B．C． D．【變式2】已知拋物線C：，點M為直線上一動點，過點M作直線，與拋物線C分別切于點A，B，則（

）A．0 B．1 C．-1 D．0或1【題型九】曲線軌跡型求軌跡方程：（1）直譯法：直接將條件翻譯成等式，整理化簡后即得動點的軌跡方程；（2）定義法：如果能確定動點的軌跡滿足某種已知曲線的定義，則可利用曲線的定義寫出方程；（3）相關點法：用動點的坐標、表示相關點的坐標、，然后代入點的坐標所滿足的曲線方程，整理化簡可得出動點的軌跡方程；（4）參數(shù)法：當動點坐標、之間的直接關系難以找到時，往往先尋找、與某一參數(shù)得到方程，即為動點的軌跡方程；（5）交軌法：將兩動曲線方程中的參數(shù)消去，得到不含參數(shù)的方程，即為兩動曲線交點的軌跡方程.【例1】（2024·陜西咸陽·模擬預測）已知正方形的邊長為2，是平面外一點，設直線與平面的夾角為，若，則的最大值是（

）A． B． C． D．【例2】（2024·全國·模擬預測）已知正四棱錐的體積為，底面的四個頂點在經(jīng)過球心的截面圓上，頂點在球的球面上，點為底面上一動點，與所成角為，則點的軌跡長度為（

）A． B． C． D．【變式1】