2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第十一章立體幾何初步11.2平面的基本事實(shí)與推論學(xué)案新人教B版必修第四冊(cè)

PAGE11.2平面的基本領(lǐng)實(shí)與推論必備學(xué)問(wèn)·自主學(xué)習(xí)1.平面的基本領(lǐng)實(shí)(1)基本領(lǐng)實(shí)1的作用是什么?提示:基本領(lǐng)實(shí)1的作用是揭示確定平面的條件.(2)基本領(lǐng)實(shí)2的作用是什么?提示:基本領(lǐng)實(shí)2的作用是推斷直線在平面內(nèi)的依據(jù).2.平面基本領(lǐng)實(shí)的推論推論1:經(jīng)過(guò)一條直線與直線外一點(diǎn),有且只有一個(gè)平面.

推論2:經(jīng)過(guò)兩條相交直線,有且只有一個(gè)平面.

推論3:經(jīng)過(guò)兩條平行直線,有且只有一個(gè)平面.

三個(gè)推論與基本領(lǐng)實(shí)1是一回事,對(duì)嗎?提示:三個(gè)推論與基本領(lǐng)實(shí)1是一回事,這三個(gè)推論都可以轉(zhuǎn)化成經(jīng)過(guò)不在一條直線上的3個(gè)點(diǎn)有且只有一個(gè)平面的基本領(lǐng)實(shí).1.辨析記憶(對(duì)的打“√”,錯(cuò)的打“×”)(1)幾何里的平面是有厚度的,有邊界的.()(2)若線段AB在平面α內(nèi),則直線AB在平面α內(nèi).()(3)平面α與平面β相交,它們只有有限個(gè)公共點(diǎn).()(4)假如兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn),則這兩個(gè)平面重合.()提示:(1)×.幾何里的平面是沒(méi)有厚度,無(wú)限延展而沒(méi)有邊界的.(2)√.直線AB在平面α內(nèi),因?yàn)榫€段AB在平面α內(nèi),所以線段AB上的全部點(diǎn)都在平面α內(nèi),故線段AB上A,B兩點(diǎn)肯定在平面α內(nèi),由公理1可知直線AB在平面α內(nèi).(3)×.平面α與平面β相交,它們有無(wú)限個(gè)公共點(diǎn),這些點(diǎn)都在同一條直線上.(4)×.如三點(diǎn)共線,這兩個(gè)平面有可能相交,也可能重合,所以該命題錯(cuò)誤.2.能確定一個(gè)平面的條件是()A.空間三個(gè)點(diǎn) B.一個(gè)點(diǎn)和一條直線C.多數(shù)個(gè)點(diǎn) D.兩條相交直線【解析】選D.不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)可確定一個(gè)平面,A,B,C中的條件不能保證有不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn),故不正確.3.(教材二次開(kāi)發(fā):例題改編)在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,M是BB1的中點(diǎn),直線D1M與平面ABCD交于點(diǎn)N,則線段AN的長(zhǎng)度為【解析】連接BD,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,BB1=DD1,BB1∥DD1,DD1⊥所以四邊形BB1D1D為矩形,BD,D1M相交,其交點(diǎn)為D1因?yàn)镸是BB1的中點(diǎn),所以BM=QUOTEDD1,BM∥DD1,BM為△DD1N的中位線,B為DN的中點(diǎn),正方體各棱長(zhǎng)為1,所以BN=BD=QUOTE,在△ABN中,AB=1,BN=QUOTE,∠ABN=135°,AN2=AB2+BN2-2AB·BN·cos∠ABN=3+2×1×QUOTE×QUOTE=5,所以AN=QUOTE.答案:QUOTE關(guān)鍵實(shí)力·合作學(xué)習(xí)類型一符號(hào)語(yǔ)言與圖形語(yǔ)言間的轉(zhuǎn)化(數(shù)學(xué)抽象、直觀想象)1.若點(diǎn)A在平面α內(nèi),直線a在平面α內(nèi),點(diǎn)A不在直線a上,用符號(hào)語(yǔ)言可表示為()A.A∈α,a?α,A?a B.A∈α,a∈α,A?aC.A?α,a?α,A?a D.A∈α,a?α,A?a【解析】選A.點(diǎn)與線、面的關(guān)系用∈、?;線與面的關(guān)系用?、?.B項(xiàng)中,“a∈α”錯(cuò);C項(xiàng)中“A?α”錯(cuò);D項(xiàng)中“A?a”錯(cuò).2.如圖所示,用符號(hào)語(yǔ)言可表達(dá)為()A.α∩β=m,n?α,A?m,A?nB.α∩β=m,n∈α,A∈m,A∈nC.α∩β=m,n?α,m∩n=AD.α∩β=m,n∈α,m∩n=A【解析】選C.結(jié)合圖形可以得出平面α,β相交于一條直線m,直線n在平面α內(nèi),直線m,n相交于點(diǎn)A,點(diǎn)A在直線m,n上,結(jié)合選項(xiàng)可得C正確.3.如圖所示,依據(jù)圖形用符號(hào)表示下列點(diǎn)、直線、平面之間的關(guān)系.(1)點(diǎn)P與直線AB.(2)點(diǎn)C與直線AB.(3)點(diǎn)A1與平面AC.(4)直線AB與直線BC.(5)直線AB與平面AC.(6)平面A1B與平面AC.【解析】(1)點(diǎn)P∈直線AB.(2)點(diǎn)C?直線AB.(3)點(diǎn)A1?平面AC.(4)直線AB∩直線BC=點(diǎn)B.(5)直線AB?平面AC.(6)平面A1B∩平面AC=直線AB.三種語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換方法(1)用文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言表示一個(gè)圖形時(shí),首先細(xì)致視察圖形有幾個(gè)平面、幾條直線且相互之間的位置關(guān)系如何,試著用文字語(yǔ)言表示,再用符號(hào)語(yǔ)言表示.(2)要留意符號(hào)語(yǔ)言的意義.如點(diǎn)與直線的位置關(guān)系只能用“∈”或“?”,直線與平面的位置關(guān)系只能用“?”或“?”.【補(bǔ)償訓(xùn)練】如圖所示,用符號(hào)語(yǔ)言可表示為()A.α∩β=l B.α∥β,l∈αC.l∥β,l?α D.α∥β,l?α【解析】選D.明顯題干圖中α∥β,且l?α.類型二點(diǎn)、線的共面問(wèn)題(邏輯推理、直觀想象)【典例】1.若空間中有四個(gè)點(diǎn),則“這四個(gè)點(diǎn)中有三點(diǎn)在同始終線上”是“這四個(gè)點(diǎn)在同一平面上”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件2.已知四條直線兩兩相交,且不共點(diǎn),求證:這四條直線在同一平面內(nèi).【思路導(dǎo)引】1.由題意,依據(jù)直線和直線外的一點(diǎn),有且只有一個(gè)平面和充要條件的判定方法,即可求解.2.四條直線兩兩相交且不共點(diǎn),可能有兩種狀況:一是有三條直線共點(diǎn);二是隨意三條直線都不共點(diǎn),故要分兩種狀況.【解析】1.選A.由題意,依據(jù)直線和直線外的一點(diǎn),有且只有一個(gè)平面,所以“這四個(gè)點(diǎn)中有三點(diǎn)在同始終線上”,則“這四個(gè)點(diǎn)在同一平面上”,反之不肯定成立,所以“這四個(gè)點(diǎn)中有三點(diǎn)在同始終線上”是“這四個(gè)點(diǎn)在同一平面上”的充分不必要條件.2.已知:a,b,c,d四條直線兩兩相交,且不共點(diǎn),求證:a,b,c,d共面.證明:(1)若a,b,c三線共點(diǎn)于O,如圖所示,因?yàn)镺?d,所以經(jīng)過(guò)d與點(diǎn)O有且只有一個(gè)平面α.因?yàn)锳,B,C分別是d與a,b,c的交點(diǎn),所以A,B,C三點(diǎn)在平面α內(nèi).由基本領(lǐng)實(shí)2知a,b,c都在平面α內(nèi),故a,b,c,d共面.(2)若a,b,c,d無(wú)三線共點(diǎn),如圖所示,因?yàn)閍∩b=A,所以經(jīng)過(guò)a,b有且僅有一個(gè)平面α,所以B,C∈α.由基本領(lǐng)實(shí)2知c?α.同理,d?α,從而有a,b,c,d共面.綜上所述,四條直線兩兩相交,且不共點(diǎn),這四條直線在同一平面內(nèi).證明點(diǎn)、線共面問(wèn)題的常用方法(1)先由部分點(diǎn)、線確定一個(gè)面,再證其余的點(diǎn)、線都在這個(gè)平面內(nèi),即用“納入法”.(2)先由其中一部分點(diǎn)、線確定一個(gè)平面α,其余點(diǎn)、線確定另一個(gè)平面β,再證平面α與β重合,即用“同一法”.(3)假設(shè)不共面,結(jié)合題設(shè)推出沖突,即用“反證法”.1.空間兩兩相交的三條直線,可以確定的平面數(shù)是()A.1 B.2 C.3 D.1或3【解析】選D.若三條直線兩兩相交共有三個(gè)交點(diǎn),則確定1個(gè)平面;若三條直線兩兩相交且交于同一點(diǎn)時(shí),若三條直線共面,則能確定1個(gè)平面,若三條直線不共面,則能確定3個(gè)平面.2.如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1(1)AA1與CC1是否在同一平面內(nèi)?(2)點(diǎn)B,C1,D是否在同一平面內(nèi)?(3)畫出平面AC1與平面BC1D及平面ACD1與平面BDC1的交線.【解析】(1)在正方體ABCD-A1B1C1D1因?yàn)锳A1∥CC1,所以AA1與CC1可確定平面AC1,所以AA1與CC1在同一平面內(nèi).(2)因?yàn)辄c(diǎn)B,C1,D不共線,所以點(diǎn)B,C1,D可確定平面BC1D,所以點(diǎn)B,C1,D在同一平面內(nèi).(3)如圖,因?yàn)锳C∩BD=O,D1C∩DC1所以O(shè)∈平面AC1,O∈平面BC1D.又C1∈平面AC1,C1∈平面BC1D.所以平面AC1∩平面BC1D=OC1.同理平面ACD1∩平面BDC1=OE.【補(bǔ)償訓(xùn)練】求證:假如兩兩平行的三條直線都與另一條直線相交,那么這四條直線共面.【解析】已知:a∥b∥c,l∩a=A,l∩b=B,l∩c=C.求證:直線a,b,c和l共面.證明:如圖所示,因?yàn)閍∥b,由推論3可知直線a與b確定一個(gè)平面,設(shè)為α.因?yàn)閘∩a=A,l∩b=B,所以A∈a,B∈b,則A∈α,B∈α.又因?yàn)锳∈l,B∈l,所以由基本領(lǐng)實(shí)2可知l?α.因?yàn)閎∥c,所以由推論3可知直線b與c確定一個(gè)平面β,同理可知l?β.因?yàn)槠矫姒梁推矫姒露及本€b與l,且l∩b=B,而由推論2知:平面α與平面β重合,所以直線a,b,c和l共面.類型三點(diǎn)共線、線共點(diǎn)問(wèn)題(邏輯推理、直觀想象)【典例】1.不共線三點(diǎn)A,B,P且P?平面α,AP∩α=A1,BP∩α=B1,AB∩α=O,當(dāng)點(diǎn)P在空間中變動(dòng)時(shí),定點(diǎn)O與動(dòng)直線A1B1的位置關(guān)系是_______.

2.如圖所示,已知空間四邊形ABCD,E,H分別是AB,AD的中點(diǎn),F,G分別是邊BC,CD上的點(diǎn),且QUOTE=QUOTE=QUOTE,求證:直線EF,GH,AC交于一點(diǎn).【思路導(dǎo)引】1.留意三點(diǎn)A1,B1,O所在的平面,利用基本領(lǐng)實(shí)3即可得出結(jié)論.2.可先推斷出某兩條直線相交,再證明第三條直線也通過(guò)這兩條直線的交點(diǎn).【解析】1.由題意知平面ABP∩α=A1B1,AB∩α=O,所以O(shè)∈平面ABP,且O∈α,所以O(shè)∈A1B1.答案:O∈A1B12.因?yàn)锳E=EB,AH=HD,所以EH∥BD,且EH=QUOTEBD.因?yàn)镼UOTE=QUOTE=QUOTE,所以FG∥BD,且FG=QUOTEBD.所以EH∥FG,且EH≠FG,故四邊形EFGH為梯形,則EF與GH必相交,設(shè)交點(diǎn)為P,P∈平面ABC,又P∈平面DAC,又平面ABC∩平面DAC=AC,故P∈AC,即EF,GH,AC交于一點(diǎn).將本例2改為:在空間四邊形ABCD中,H,G分別是AD,CD的中點(diǎn),E,F分別為邊AB,BC上的點(diǎn),且QUOTE=QUOTE=QUOTE.求證:(1)點(diǎn)E,F,G,H四點(diǎn)共面;(2)直線EH,BD,FG相交于同一點(diǎn).【證明】(1)如圖所示,連接EF,HG,在空間四邊形ABCD中,H,G分別是AD,CD的中點(diǎn),所以HG∥AC且HG=QUOTEAC.又QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以EF∥AC且EF=QUOTEAC.故EF∥HG,即E,F,G,H四點(diǎn)共面.(2)由(1)知EF∥HG且EF≠HG,所以設(shè)EH與FG交于點(diǎn)P,因?yàn)镋H?平面ABD,所以P在平面ABD內(nèi),同理P在平面BCD內(nèi),且平面ABD∩平面BCD=BD,所以點(diǎn)P在直線BD上,所以直線EH,BD,FG相交于一點(diǎn).1.證明線共點(diǎn)問(wèn)題的方法方法一:可把其中一條作為分別過(guò)其余兩條直線的兩個(gè)平面的交線,然后再證兩條直線的交點(diǎn)在此直線上.方法二:先將其中一條直線看作某兩個(gè)平面的交線,證明該交線與另兩條直線分別交于兩點(diǎn),再證點(diǎn)重合,從而得三線共點(diǎn).2.證明點(diǎn)共線的問(wèn)題方法方法一:證明多點(diǎn)共線通常利用基本領(lǐng)實(shí)3,即兩相交平面交線的唯一性,通過(guò)證明點(diǎn)分別在兩個(gè)平面內(nèi),證明點(diǎn)在相交平面的交線上.方法二:選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線,然后證明其他點(diǎn)也在此直線上.1.如圖,在四面體ABCD中作截面PQR,若PQ與CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M,RQ與DB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)N,RP與DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)K.(1)求證:直線MN?平面PQR;(2)求證:點(diǎn)K在直線MN上.【證明】(1)因?yàn)镻Q?平面PQR,M∈直線PQ,所以M∈平面PQR,因?yàn)镽Q?平面PQR,N∈直線RQ,所以N∈平面PQR,所以直線MN?平面PQR.(2)因?yàn)镸∈直線CB,CB?平面BCD,所以M∈平面BCD.由(1)知,M∈平面PQR,所以M在平面PQR與平面BCD的交線上,同理可知N,K也在平面PQR與平面BCD的交線上,所以由基本領(lǐng)實(shí)3知,M,N,K三點(diǎn)共線,所以點(diǎn)K在直線MN上.2.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是AA1(1)證明:點(diǎn)E,F,C,D1共面;(2)證明:D1E,DA,CF三線交于一點(diǎn).【證明】(1)連接A1B,依據(jù)正方體的幾何性質(zhì)可知A1B∥CD1.由于E,F分別是AA1,AB的中點(diǎn),所以EF∥A1B,所以EF∥CD1,所以E,F,C,D1四點(diǎn)共面.(2)由于EF∥CD1,EF≠CD1,所以D1E與CF延長(zhǎng)后必相交,設(shè)交點(diǎn)為P,由于P∈D1E,D1E?平面ADD1A1,P∈CF,CF?平面ABCD,依據(jù)基本領(lǐng)實(shí)3可知P在平面ADD1A1與平面ABCD的交線DA上,所以D【補(bǔ)償訓(xùn)練】在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為B1C1,A1D1的中點(diǎn).求證:平面ABB1【證明】在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為B1C1的中點(diǎn),所以EC與B1B不平行,延長(zhǎng)CE與BB所以H∈EC,H∈B1B,又知B1B?平面ABB1A1,CE?平面CDFE,所以H∈平面ABB1AH∈平面CDFE,故平面ABB1A1備選類型幾何體的截面問(wèn)題(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例】正三棱柱ABC-A1B1C1中全部棱長(zhǎng)均為2,點(diǎn)E,F分別為棱BB1,A1CA.2QUOTE+QUOTE B.2QUOTE+QUOTEC.2QUOTE+QUOTE D.2QUOTE+QUOTE【思路導(dǎo)引】在正三棱柱ABC-A1B1C1中,延長(zhǎng)AF和CC1交于點(diǎn)M,連接EM,交B1C【解析】選B.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,過(guò)點(diǎn)E作EN⊥CC1于點(diǎn)N,延長(zhǎng)AF和CC1交于點(diǎn)M,連接EM,交B1C1于點(diǎn)P,連接FP,則過(guò)點(diǎn)A,E,F的截面為四邊形AEPF,如圖所示,由△MFC1∽△MAC,可得MC1=2,由△MPC1∽△MEN,可得QUOTE=QUOTE?QUOTE=QUOTE,解得PC1=QUOTE,則B1P=QUOTE,在直角△AA1F中,AA1=2,A1F=1,則AF=QUOTE=QUOTE=QUOTE,在直角△ABE中,AB=2,BE=1,則AE=QUOTE=QUOTE=QUOTE,在直角△B1EP中,B1E=1,B1P=QUOTE,則PE=QUOTE=QUOTE,在△C1FP中C1F=1,C1P=QUOTE,∠FC1P=60°,由余弦定理可得PF2=C1F2+C1P2-2C1F·C1Pcos∠PC1F=12+QUOTE-2×1×QUOTEcos60°=QUOTE,即PF=QUOTE,所以截面的周長(zhǎng)為QUOTE+QUOTE+QUOTE+QUOTE=2QUOTE+QUOTE.解決幾何體的截面問(wèn)題的基本方法(1)干脆法用干脆法解決截面問(wèn)題的關(guān)鍵是:截面上的點(diǎn)在幾何體的棱上,且兩兩在一個(gè)平面內(nèi),我們可以借助于基本領(lǐng)實(shí)2:假如一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi),那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi),干脆解決這類問(wèn)題.(2)延長(zhǎng)線法用延長(zhǎng)線法解決截面問(wèn)題的關(guān)鍵是:截面上的點(diǎn)中至少有兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)幾何體的一個(gè)表面上,我們可以借助于基本領(lǐng)實(shí)2,假如一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi),那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi).干脆解決這類問(wèn)題.正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)Q是棱DD1上的動(dòng)點(diǎn),則過(guò)A,Q,B1三點(diǎn)的截面的形態(tài)為_(kāi)______【解析】點(diǎn)Q在棱DD1上移動(dòng),當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)D1重合時(shí)截面為等邊三角形AB1D1,如圖(1)所示;當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)D重合時(shí),截面為矩形AB1C1D,如圖(2)所示;當(dāng)點(diǎn)Q不與點(diǎn)D,D1重合時(shí),截面為等腰梯形AQRB1答案:等邊三角形或矩形或等腰梯形課堂檢測(cè)·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1.若點(diǎn)Q在直線b上,b在平面β內(nèi),則Q,b,β之間的關(guān)系可記作()A.Q∈b∈β B.Q∈b?βC.Q?b?β D.Q?b∈β【解析】選B.因?yàn)辄c(diǎn)Q在直線b上,所以Q∈b.又因?yàn)橹本€b在平面β內(nèi),所以b?β.所以Q∈b?β.2.(教材二次開(kāi)發(fā):習(xí)題改編)下列說(shuō)法正確的是()A.兩個(gè)平面可以有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)B.梯形肯定是平面圖形C.平面α和β有不同在一條直線上的三個(gè)交點(diǎn)D.一條直線和一個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面【解析】選B.A選項(xiàng),依據(jù)基本領(lǐng)實(shí)3:假如兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線,故A錯(cuò).C選項(xiàng),兩個(gè)平面有公共點(diǎn),則有一條過(guò)該公共點(diǎn)的公共直線,假如沒(méi)有公共點(diǎn),則兩平面平行,C錯(cuò).D選項(xiàng),一條直線和直線外的一點(diǎn)可以確定一個(gè)平面.B選項(xiàng),兩條平行直線,確定一個(gè)平面,梯形中有一組對(duì)邊平行,故B對(duì).3.給出以下命題“已知點(diǎn)A,B都在直線l上,若A,B都在平面α上,則直線l在平面α上”,試用符號(hào)語(yǔ)言表述這個(gè)命題.

【解析】用符號(hào)語(yǔ)言表述這個(gè)命題為:已知A∈l,B∈l,若A∈α,B∈α,則l?α.答案:已知A∈l,B∈l,若A∈α,B∈α,則l?α4.設(shè)平面α與平面β交于直線l,A∈α,B∈α,且直線AB∩l=C,則直線AB∩β=_______.

【解析】因?yàn)棣痢搔?l,AB∩l=C,所以C∈β,C∈AB,所以AB∩β=C.答案:C5.如圖,三個(gè)平面α,β,γ兩兩相交于三條直線,即α∩β=c,β∩γ=a,γ∩α=b,若直線a和b不平行.求證:a,b,c三條直線必過(guò)同一點(diǎn).【證明】因?yàn)棣痢搔?b,β∩γ=a,所以a?γ,b?γ.由于直線a和b不平行,所以a,b必相交.設(shè)a∩b=P,如圖,則P∈a,P∈b.因?yàn)閍?β,b?α,所以P∈β,P∈α.又α∩β=c,所以P∈c,即交線c經(jīng)過(guò)點(diǎn)P.所以a,b,c三條直線相交于同一點(diǎn).十四平面的基本領(lǐng)實(shí)與推論(15分鐘30分)1.下列敘述中錯(cuò)誤的是 ()A.若點(diǎn)P∈α,P∈β且α∩β=l,則P∈lB.空間中隨意三點(diǎn)A,B,C能確定一個(gè)平面C.若直線a∩b=A,則直線a與b能夠確定一個(gè)平面D.若點(diǎn)A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α,則l?α【解析】選B.選項(xiàng)A:由平面的基本領(lǐng)實(shí)3知:假如兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線,所以選項(xiàng)A正確;選項(xiàng)B:由平面的基本領(lǐng)實(shí)1知,經(jīng)過(guò)不在一條直線上的3個(gè)點(diǎn),有且只有一個(gè)平面,即當(dāng)三點(diǎn)A,B,C不共線時(shí),能確定一個(gè)平面,所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤;選項(xiàng)C:由平面的推論2知,兩條相交直線,確定一個(gè)平面,所以選項(xiàng)C正確;選項(xiàng)D:由平面的基本領(lǐng)實(shí)2知,假如一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi),則這條直線在此平面內(nèi),所以選項(xiàng)D正確.2.假如兩個(gè)不重合平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么這兩個(gè)平面 ()A.沒(méi)有其他公共點(diǎn) B.僅有這一個(gè)公共點(diǎn)C.僅有兩個(gè)公共點(diǎn) D.有多數(shù)個(gè)公共點(diǎn)【解析】選D.由基本領(lǐng)實(shí)3可知,兩個(gè)不重合平面有一個(gè)公共點(diǎn),它們有且只有一條過(guò)該公共點(diǎn)的公共直線,則有多數(shù)個(gè)公共點(diǎn).3.(2024·哈爾濱高一檢測(cè))如圖,四棱錐P-ABCD,AC∩BD=O,M是PC的中點(diǎn),直線AM交平面PBD于點(diǎn)N,則下列結(jié)論正確的是 ()A.O,N,P,M四點(diǎn)不共面 B.O,N,M,D四點(diǎn)共面C.O,N,M三點(diǎn)共線 D.P,N,O三點(diǎn)共線【解析】選D.直線AC與直線PO交于點(diǎn)O,所以平面PCA與平面PBD交于點(diǎn)O,所以必相交于直線PO,直線AM在平面PAC內(nèi),點(diǎn)N∈AM,故N∈平面PAC,故O,N,P,M四點(diǎn)共面,所以A錯(cuò).若點(diǎn)D與O,M,N共面,則直線BD在平面PAC內(nèi),與題目沖突,故B錯(cuò).O,M分別為AC,PC中點(diǎn),所以O(shè)M∥PA,ON∩PA=P,故ON∩OM=O,故C錯(cuò).4.設(shè)平面α與平面β相交于l,直線a?α,直線b?β,a∩b=M,則Ml.

【解析】因?yàn)閍∩b=M,a?α,b?β,所以M∈α,M∈β.又因?yàn)棣痢搔?l,所以M∈l.答案:∈5.已知平面α∩平面β=l,點(diǎn)M∈α,N∈α,P∈β,P?l,且MN∩l=R,過(guò)M,N,P三點(diǎn)所確定的平面記為γ,則β∩γ=.

【解析】如圖,MN?γ,R∈MN,所以R∈γ.又R∈l,所以R∈β.又P∈γ,P∈β,所以β∩γ=直線PR.答案:直線PR6.如圖所示,AB∩α=P,CD∩α=P,點(diǎn)A,D與點(diǎn)B,C分別在平面α的兩側(cè),AC∩α=Q,BD∩α=R.求證:P,Q,R三點(diǎn)共線.【證明】因?yàn)锳B∩α=P,CD∩α=P,所以AB∩CD=P,所以AB,CD可確定一個(gè)平面,設(shè)為β.因?yàn)锳∈AB,C∈CD,B∈AB,D∈CD,所以A∈β,C∈β,B∈β,D∈β,所以AC?β,BD?β.因?yàn)锳C∩α=Q,所以Q∈α,Q∈β.同理,P∈α且P∈β,R∈α且R∈β.所以P,Q,R在α與β的交線上,故P,Q,R三點(diǎn)共線.(30分鐘60分)一、單選題(每小題5分,共20分)1.空間四點(diǎn)A,B,C,D共面而不共線,那么這四點(diǎn)中 ()A.必有三點(diǎn)共線 B.必有三點(diǎn)不共線C.至少有三點(diǎn)共線 D.不行能有三點(diǎn)共線【解析】選B.如圖(1)(2)所示,A,C,D均不正確,只有B正確.2.如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,O是B1D1的中點(diǎn),直線A1C交平面AB1DA.A,M,O三點(diǎn)共線 B.A,M,O,A1不共面C.A,M,C,O不共面 D.B,B1,O,M共面【解析】選A.連接A1C1,AC,則A1C1∥AC,所以A1,C1,C,A四點(diǎn)共面.所以A1C?平面ACC1A1.因?yàn)镸∈A1C,所以M∈平面ACC1A1.又因?yàn)镸∈平面AB1D1,所以點(diǎn)M在平面ACC1A1與平面AB1D1的交線上.同理點(diǎn)O在平面ACC3.如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1,E,F分別為棱A1B1,BB1的中點(diǎn),則D1A.AD上 B.B1C1C.A1D1上 D.BC上【解析】選B.由平面基本性質(zhì)知:D1E與CF的交點(diǎn)在平面A1B1C1D1上,也在平面BB1C1C【補(bǔ)償訓(xùn)練】1.如圖,四棱錐P-ABCD的底面ABCD是梯形,AB∥CD,若平面PAD∩平面PBC=l,則 ()A.l∥CD B.l∥BCC.l與直線AB相交 D.l與直線DA相交【解析】選D.因?yàn)樗睦忮FP-ABCD的底面ABCD是梯形,AB∥CD,所以AD與CB必相交于點(diǎn)M,且P是平面PAD和平面PBC的公共點(diǎn),又平面PAD∩平面PBC=l,所以P∈l,l與直線DA相交.2.在空間四邊形ABCD各邊AB,BC,CD,DA上分別取點(diǎn)E,F,G,H,若直線EF,GH相交于點(diǎn)P,則 ()A.點(diǎn)P必在直線AC上 B.點(diǎn)P必在直線BD上C.點(diǎn)P必在平面ABD內(nèi) D.點(diǎn)P必在平面BCD內(nèi)【解析】選A.因?yàn)镋F在平面ABC上,而GH在平面ADC上,且EF,GH相交于點(diǎn)P,所以P在平面ABC與平面ADC的交線上,因?yàn)锳C是平面ABC與平面ADC的交線,所以點(diǎn)P必在直線AC上.4.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,F為AD的中點(diǎn),E為棱D1A.四邊形 B.等腰梯形C.五邊形 D.六邊形【解析】選D.不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,當(dāng)0<DE≤QUOTE時(shí),截面為四邊形BMEF,如圖;特殊地,當(dāng)DE=QUOTE時(shí),截面為等腰梯形BFEC1,如圖;當(dāng)QUOTE<DE<1時(shí),截面為五邊形BFENM,不行能為六邊形,如圖.【補(bǔ)償訓(xùn)練】正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為4,點(diǎn)M為CC1的中點(diǎn),點(diǎn)N為線段DD1上靠近D1的三等分點(diǎn),平面BMN交AA1A.QUOTEB.QUOTEC.QUOTED.QUOTE【解析】選D.依據(jù)題意,畫出圖像如圖所示,過(guò)點(diǎn)B作BQ∥MN,且交AA1于點(diǎn)Q,易知BQ=NM,因?yàn)锽Q∥MN,所以點(diǎn)B,Q,M,N共面,四邊形BQNM是平行四邊形,所以此點(diǎn)Q的位置即平面BMN與AA1的交點(diǎn),過(guò)點(diǎn)N作NN′⊥CC1且交CC1于點(diǎn)N′,因?yàn)锳B=NN′,BQ=MN,∠BAQ=∠NN′M=90°,所以△BAQ和△NN′M全等,所以AQ=N′M,點(diǎn)N為線段DD1上靠近D1的三等分點(diǎn),所以點(diǎn)N′為線段CC1上靠近C1的三等分點(diǎn),又點(diǎn)M為CC1的中點(diǎn),所以N′M=QUOTECC1,又正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為4,所以N′M=QUOTE,即AQ=QUOTE.二、多選題(每小題5分,共10分,全部選對(duì)得5分,選對(duì)但不全的得3分,有選錯(cuò)的得0分)5.給出以下說(shuō)法,其中正確的是 ()A.不共面的四點(diǎn)中,其中隨意三點(diǎn)不共線B.若點(diǎn)A,B,C,D共面,點(diǎn)A,B,C,E共面,則點(diǎn)A,B,C,D,E共面C.若直線a,b共面,直線a,c共面,則直線b,c共面D.過(guò)直線外一點(diǎn)和直線上三點(diǎn)的三條直線共面【解析】選AD.在A中假設(shè)其中有三點(diǎn)共線,則該直線和直線外的另一點(diǎn)確定一個(gè)平面,這與四點(diǎn)不共面沖突,故其中隨意三點(diǎn)不共線,所以A正確;如圖,兩個(gè)相交平面有三個(gè)公共點(diǎn)A,B,C,且點(diǎn)A,B,C,D共面,點(diǎn)A,B,C,E共面,但A,B,C,D,E不共面,B不正確;選項(xiàng)C明顯不正確;在D中,過(guò)直線與直線外一點(diǎn)可確定一個(gè)一個(gè)平面,設(shè)為α,因此這三條直線都在平面α內(nèi),即三條直線共面,D正確.6.已知A,B表示不同的點(diǎn),l表示直線,α,β表示不同的平面,則下列推理正確的是 ()A.A∈l,A∈α,B∈l,B∈α?l?αB.A∈α,A∈β,B∈α,B∈β?α∩β=ABC.l?α,A∈l?A?αD.A∈α,A∈l,l?α?l∩α=A【解析】選ABD.對(duì)于選項(xiàng)A,由基本領(lǐng)實(shí)2知,l?α,故選項(xiàng)A正確;對(duì)于選項(xiàng)B,因?yàn)棣?β表示不同的平面,由基本領(lǐng)實(shí)3知,平面α,β相交,且α∩β=AB,故選項(xiàng)B正確;對(duì)于選項(xiàng)C,l?α分兩種狀況:l與α相交或l∥α.當(dāng)l與α相交時(shí),若交點(diǎn)為A,則A∈α,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤;由畫圖可知選項(xiàng)D成立.【補(bǔ)償訓(xùn)練】設(shè)P表示一個(gè)點(diǎn),a,b表示兩條直線,α,β表示兩個(gè)平面,下列說(shuō)法中正確的是 ()A.若P∈a,P∈α,則a?αB.若a∩b=P,b?β,則a?βC.若a∥b,a?α,P∈b,P∈α,則b?αD.若α∩β=b,P∈α,P∈β,則P∈b【解析】選CD.當(dāng)a∩α=P時(shí),P∈a,P∈α,但a?α,故A錯(cuò);當(dāng)a∩β=P時(shí),B錯(cuò);如圖:因?yàn)閍∥b,P∈b,所以P?a,所以由直線a與點(diǎn)P確定唯一平面α,又a∥b,由a與b確定唯一平面β,但β經(jīng)過(guò)直線a與點(diǎn)P,所以β與α重合,所以b?α,故C正確;兩個(gè)平面的公共點(diǎn)必在其交線上,故D正確.三、填空題(每小題5分,共10分)7.如圖所示,A,B,C,D為不共面的四點(diǎn),E,F,G,H分別在線段AB,BC,CD,DA上.(1)假如EH∩FG=P,那么點(diǎn)P在直線上;

(2)假如EF∩GH=Q,那么點(diǎn)Q在直線上.

【解析】(1)若EH∩FG=P,則點(diǎn)P∈平面ABD,P∈平面BCD,而平面ABD∩平面BCD=BD,所以P∈BD.(2)若EF∩GH=Q,則Q∈平面ABC,Q∈平面ACD,而平面ABC∩平面ACD=AC,所以Q∈AC.答案:(1)BD(2)AC8.已知△ABC三個(gè)頂點(diǎn)到平面α的距離分別是3,3,6,則其重心到平面α的距離為.(寫出全部可能值)

【解析】設(shè)A,B到平面α的距離為3;C到平面α的距離為6.①若A,B在平面同側(cè),且C在平面另一側(cè),則AB∥α,取AB中點(diǎn)D,連接CD,設(shè)重心為G.又D到平面α的距離d1=3,C到平面α的距離d2=6,由重心性質(zhì)可知:QUOTE=2,所以QUOTE=QUOTE,所以G∈α,所以G到平面α的距離為0.②若B,C位于平面同側(cè),A在平面另一側(cè),取AC中點(diǎn)D,連接BD,設(shè)重心為G,B,G,D在平面α內(nèi)的射影分別為:B′,G′,D′,如圖所示:DD′=QUOTE×QUOTE-3=QUOTE,BB′=3,又BG=2GD,所以GG′=2,即G到平面α距離為2.③若A,B,C在平面同側(cè),則AB∥α,取AB中點(diǎn)D,連接CD,設(shè)重心為G,C,D,G在平面α內(nèi)的射影分別為C′,D′,G′,如圖所示:DD′=3,CC′=