復(fù)變函數(shù)課件

§4.4解析函數(shù)零點的孤立性與唯一性定理11/8/20241目的與要求:

理解解析函數(shù)零點的孤立性;理解唯一性定理;掌握最大模原理.

重點：

解析函數(shù)零點的孤立性;

唯一性定理;最大模原理

難點：解析函數(shù)零點的孤立性;理解唯一性定理

.11/8/202421、解析函數(shù)零點的孤立性2、唯一性定理3、最大與最小模原理第四節(jié)

解析函數(shù)零點的孤立性與唯一性定理知識點11/8/20243

定義4.7

設(shè)f(z)在解析區(qū)域D內(nèi)一點a的值為零，即：f(a)=0，則稱a為解析函數(shù)f(z)的一個零點.如果在|z-a|<R內(nèi)，解析函數(shù)f(z)不恒為零，我們將它在點a展成冪級數(shù)，此時，冪級數(shù)的系數(shù)不必全為零，故必有一正數(shù)m(m≥1)，使得合乎上述條件的m稱為零點a的階(級)，a稱為f(z)的m階(級)零點。特別是當(dāng)m=1時，a也稱為f(z)的簡單零點.1.解析函數(shù)的零點及其孤立性11/8/20244定理4.17

不恒為零的解析函數(shù)f(z)以a為m級零點的充要條件為:其中(4.14)在點a的鄰域|z-a|<R內(nèi)解析,且證必要性由假設(shè)，只要令即可。充分性是明顯的。11/8/2024511/8/2024611/8/2024711/8/2024811/8/20249零點的孤立性11/8/202410定理4.18

如在|z-a|<R內(nèi)解析的函數(shù)f(z)不恒為零，a為其零點，則必有a的一個鄰域，使得f(z)在其中無異于a的零點(簡單來說就是，不恒為零的解析函數(shù)的零點必是孤立的)。(2)在K內(nèi)有f(z)的一列零點{zn}(zn≠0)收斂于a,推論4.19

設(shè)(1)f(z)在鄰域K:|z-a|<R內(nèi)解析;即存在{zn}

K,(zn≠0)

f(zn)=0,zn→a

注：條件（2）可改為f(z)在K:|z-a|<R內(nèi)某一子域（某一段弧）上等于零。11/8/20241111/8/2024122.零點的唯一性11/8/202413(1)函數(shù)f1(z)，f2(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，(2)D內(nèi)有一個收斂于a∈D的點列{zn}(zn≠a)，滿足,則在D內(nèi)有f1(z)

f2(z).

定理4.20(解析函數(shù)的唯一性定理)設(shè)：11/8/20241411/8/202415推論4.21

設(shè)在區(qū)域D內(nèi)解析的函數(shù)f1(z)及f2(z)在D內(nèi)的某一子區(qū)域(或一小段弧)相等,則它們在D內(nèi)恒等.推論4.22

一切在實軸上成立的恒等式,在z平面上也成立,只要這個恒等式的兩邊在z平面上都是解析的.11/8/202416例1

在復(fù)平面解析、在實軸上等于sinx的函數(shù)只能是sinz.解

設(shè)f(z)在復(fù)平面解析、在實軸上等于sinx，那么f(z)-sinz在復(fù)平面解析、在實軸上等于0，由解析函數(shù)的唯一性定理，在復(fù)平面上f(z)-sinz=0，即f(z)=sinz.11/8/202417例2是否存在著原點解析的函數(shù)f(z)，分別滿足下列條件:解（1）由于及都以0為聚點，由解析函數(shù)的唯一性定理，f(z)=z是在原點解析并滿足的唯一的解析函數(shù)；但此函數(shù)不滿足條件。因此在原點解析并滿足這些條件的函數(shù)不存在。（2）由于，由解析函數(shù)的唯一性定理，是在原點解析并滿足此條件的唯一解析函數(shù)。11/8/2024183.最大模原理定理4.23(最大模原理)設(shè)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，則|f(z)|在D內(nèi)任何點都不能達(dá)到最大值，除非在D