山東專用2025屆高考數(shù)學二輪專題闖關(guān)導練四熱點問題專練熱點十四新定義新背景新情境含解析

PAGE熱點(十四)新定義，新背景，新情境1．定義集合A，B的一種運算：A*B＝{x|x＝x1＋x2，其中x1∈A，x2∈B}，若A＝{1,2,3}，B＝{1,2}，則A*B＝()A．{1,2,3,4,5}B．{2,3,4,5}C．{2,3,4}D．{1,3,4,5}2．規(guī)定記號“⊙”表示一種運算，定義a⊙b＝eq\r(ab)＋a＋b(a，b為正實數(shù))，若1⊙k2<3，則k的取值范圍是()A．(－1,1)B．(0,1)C．(－1,0)D．(0,2)3．設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若eq\f(Sn,S2n)為常數(shù)，則稱數(shù)列{an}為“祥瑞數(shù)列”．已知等差數(shù)列{bn}的首項為1，公差不為0，若數(shù)列{bn}為“祥瑞數(shù)列”，則數(shù)列{bn}的通項公式為()A．bn＝n－1B．bn＝2n－1C．bn＝n＋1D．bn＝2n＋14．2024年東京夏季奧運會將設(shè)置4×100米男女混合泳接力這一新的競賽項目，競賽的規(guī)則是：每個參賽國家派出2男2女共計4名運動員競賽，依據(jù)仰泳→蛙泳→蝶泳→自由泳的接力依次，每種泳姿100米且由一名運動員完成，每個運動員都要出場．現(xiàn)在中國隊確定了備戰(zhàn)該項目的4名運動員名單，其中女運動員甲只能擔當仰泳或者自由泳，男運動員乙只能擔當?shù)净蜃杂捎?，剩下的男女各一名運動員則四種泳姿都可以上，那么中國隊的布陣方式共有()A．6種B．12種C．24種D．144種5．定義一種運算：eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(ab,cd))＝ad－bc.已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sinxsin\f(π,3),cosxcos\f(π,3)))，為了得到函數(shù)y＝sinx的圖象，只須要把函數(shù)y＝f(x)的圖象上全部的點()A．向左平移eq\f(π,3)個單位長度B．向右平移eq\f(π,3)個單位長度C．向上平移eq\f(π,3)個單位長度D．向下平移eq\f(π,3)個單位長度6．[2024·湖南長郡中學模擬]已知向量a與b的夾角為θ，定義a×b為a與b的向量積，且a×b是一個向量，它的模|a×b|＝|a||b|sinθ.若u＝(2,0)，u－v＝(1，－eq\r(3))，則|u×(u＋v)|＝()A．4eq\r(3)B.eq\r(3)C．6D．2eq\r(3)7．定義eq\f(n,\i\su(i＝1,n,u)i)為n個正數(shù)u1，u2，u3，…，un的“歡樂數(shù)”．若已知數(shù)列{an}的前n項的“歡樂數(shù)”為eq\f(1,3n＋1)，則數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(36,an＋2an＋1＋2)))的前2019項和為()A.eq\f(2018,2019)B.eq\f(2019,2020)C.eq\f(2019,2018)D.eq\f(2019,1010)8．定義一種運算：(a1，a2)?(a3，a4)＝a1a4－a2a3，將函數(shù)f(x)＝(eq\r(3)，2sinx)?(cosx，cos2x)的圖象向左平移n(n>0)個單位長度，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)，則n的最小值為()A.eq\f(π,12)B.eq\f(π,4)C.eq\f(5π,12)D.eq\f(π,3)9．(多選題)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D，假如對隨意的x∈D，存在y∈D，使得f(x)＝－f(y)成立，則稱函數(shù)f(x)為“H函數(shù)”．下列為“H函數(shù)”的是()A．y＝sinxcosxB．y＝lnx＋exC．y＝2xD．y＝x2－2x10．(多選題)若函數(shù)y＝f(x)的圖象上存在不同的兩點，使得函數(shù)的圖象在這兩點處的切線的斜率之和等于常數(shù)t，則稱函數(shù)y＝f(x)為“t函數(shù)”．下列函數(shù)中可以稱為“2函數(shù)”的是()A．y＝x－x3B．y＝x＋exC．y＝xlnxD．y＝x＋cosx11．(多選題)已知單位向量i，j，k兩兩的夾角均為θeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＜θ＜π，且θ≠\f(π,2)))，若空間向量a＝xi＋yj＋zk(x，y，z∈R)，則有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)稱為向量a在“仿射”坐標系O-xyz(O為坐標原點)下的“仿射”坐標，記作a＝(x，y，z)θ，則下列命題正確的是()A．已知a＝(1,3，－2)θ，b＝(4,0,2)θ，則a·b＝0B．已知a＝，b＝，其中x，y，z均為正數(shù)，則當且僅當x＝y(tǒng)時，向量a，b的夾角取得最小值C．已知a＝(x1，y1，z1)θ，b＝(x2，y2，z2)θ，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)θD．已知eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1,0,0)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(0,1,0)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(0,0,1)，則三棱錐O-ABC的表面積S＝eq\r(2)12．(多選題)[2024·新高考Ⅰ卷]信息熵是信息論中的一個重要概念．設(shè)隨機變量X全部可能的取值為1,2，…，n，且P(X＝i)＝pi>0(i＝1,2，…，n)，eq\i\su(i＝1,n,p)i＝1，定義X的信息熵H(X)＝－eq\i\su(i＝1,n,p)ilog2pi.()A．若n＝1，則H(X)＝0B．若n＝2，則H(X)隨著p1的增大而增大C．若pi＝eq\f(1,n)(i＝1,2，…，n)，則H(X)隨著n的增大而增大D．若n＝2m，隨機變量Y全部可能的取值為1,2，…，m，且P(Y＝j(luò))＝pj＋p2m＋1－j(j＝1,2，…，m)，則H(X)≤H(13．甲、乙兩人玩猜數(shù)字嬉戲，先由甲心中想一個數(shù)字，記為a，再由乙猜甲剛才所想的數(shù)字，把乙猜的數(shù)字記為b，其中a，b∈{1,2,3,4,5}，若|a－b|≤1，就稱甲、乙“心有靈犀”．現(xiàn)隨意找兩人玩這個嬉戲，則他們“心有靈犀”的概率為________．14．已知函數(shù)f(x)的圖象在點(x0，f(x0))處的切線為l：y＝g(x)，若函數(shù)f(x)滿意?x∈I(其中I為函數(shù)f(x)的定義域)，當x≠x0時，[f(x)－g(x)](x－x0)＞0恒成立，則稱x0為函數(shù)f(x)的“轉(zhuǎn)折點”．已知函數(shù)f(x)＝ex－eq\f(1,2)ax2－2x在區(qū)間[0,1]上存在一個“轉(zhuǎn)折點”，則a的取值范圍是________．15．高斯是德國聞名的數(shù)學家，近代數(shù)學奠基者之一，享有“數(shù)學王子”的稱號，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)x∈R，用[x]表示不超過x的最大整數(shù)，則y＝[x]稱為高斯函數(shù)．例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3，已知函數(shù)f(x)＝eq\f(2x＋3,1＋2x＋1)，則函數(shù)y＝[f(x)]的值域為________．16．在實數(shù)集R中定義一種運算“*”，具有如下性質(zhì)：(1)對隨意a，b∈R，a*b＝b*a；(2)對隨意a∈R，a*0＝a；(3)對隨意a，b∈R，(a*b)*c＝c*(ab)＋(a*c)＋(b*c)－5c則對于函數(shù)f(x)＝x*eq\f(1,x)(x＞0)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝____________，函數(shù)f(x)的最小值為____________．熱點(十四)新定義，新背景，新情境1．答案：B解析：當x1＝1時，x2可以取1或2，則x1＋x2＝2或3；當x1＝2時，x2可以取1或2，則x1＋x2＝3或4；當x1＝3時，x2可以取1或2，則x1＋x2＝4或5.∴A*B＝{2,3,4,5}．故選B.2．答案：A解析：因為定義a⊙b＝eq\r(ab)＋a＋b(a，b為正實數(shù))，1⊙k2<3，所以eq\r(k2)＋1＋k2<3，化為(|k|＋2)(|k|－1)<0，所以|k|<1，所以－1<k<1.故選A.3．答案：B解析：設(shè)等差數(shù)列{bn}的公差為d(d≠0)，eq\f(Sn,S2n)＝k，因為b1＝1，則n＋eq\f(1,2)n(n－1)d＝keq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2n＋\f(1,2)×2n2n－1d))，即2＋(n－1)d＝4k＋2k(2n－1)d，整理得(4k－1)dn＋(2k－1)(2－d)＝0.因為對隨意的正整數(shù)n上式均成立，所以(4k－1)d＝0，(2k－1)(2－d)＝0，解得d＝2，k＝eq\f(1,4).所以數(shù)列{bn}的通項公式為bn＝2n－1.故選B.4．答案：A解析：依據(jù)題意，若甲選擇仰泳，乙可以選擇蝶泳或自由泳，剩余兩人隨意選擇剩下的兩種泳姿，有Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)＝2×2＝4種選法，若甲選擇自由泳，則乙只能選擇蝶泳，剩余兩人隨意選擇剩下兩種泳姿，有Aeq\o\al(2,2)＝2種選法，因此一共有4＋2＝6種選法，故選A.5．答案：A解析：由題設(shè)知，f(x)＝sinxcoseq\f(π,3)－cosxsineq\f(π,3)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))，所以為了得到函數(shù)y＝sinx的圖象，只須要把函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))的圖象上全部的點向左平移eq\f(π,3)個單位長度．故選A.6．答案：D解析：通解易知v＝(1，eq\r(3))，u＋v＝(3，eq\r(3))，設(shè)向量u與u＋v的夾角為θ，則cosθ＝eq\f(\r(3),2)，所以sinθ＝eq\f(1,2)，又|u＋v|＝2eq\r(3)，|u|＝2，所以|u×(u＋v)|＝2×2eq\r(3)×eq\f(1,2)＝2eq\r(3).優(yōu)解設(shè)向量u與u＋v的夾角為θ，因為u＋v＝(3，eq\r(3))，|u＋v|＝2eq\r(3)，|u|＝2，所以|u×(u＋v)|＝|u||u＋v|sinθ＝|u||u＋v|·eq\r(1－\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(u·u＋v,|u||u＋v|)))2)＝eq\r(|u|2|u＋v|2－[u·u＋v]2)＝eq\r(4×12－36)＝2eq\r(3).故選D.7．答案：B解析：由題意得數(shù)列{an}的前n項和Sn＝eq\f(n,\f(1,3n＋1))＝3n2＋n，易知an＝6n－2.于是，eq\f(36,an＋2an＋1＋2)＝eq\f(36,6n×6n＋1)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)，故數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(36,an＋2an＋1＋2)))的前2019項和為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,3)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－\f(1,4)))＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2019)－\f(1,2020)))＝1－eq\f(1,2020)＝eq\f(2019,2020).故選B.8．答案：C解析：由新運算可知f(x)＝eq\r(3)cos2x－sin2x＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))，所以將函數(shù)f(x)的圖象向左平移eq\f(5π,12)個單位長度后，得到函數(shù)y＝2coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(5π,12)))＋\f(π,6)))的圖象，即y＝－2cos2x的圖象，明顯該函數(shù)為偶函數(shù)．經(jīng)檢驗知選項A，B，D錯誤，選C.9．答案：AB解析：由題意，得“H函數(shù)”的值域關(guān)于原點對稱．A中，y＝sinxcosx＝eq\f(1,2)sin2x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))，其值域關(guān)于原點對稱，故A是“H函數(shù)”；B中，函數(shù)y＝lnx＋ex的值域為R，故B是“H函數(shù)”；C中，因為y＝2x＞0，故C不是“H函數(shù)”；D中，y＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，其值域不關(guān)于原點對稱，故D不是“H函數(shù)”．綜上所述，A，B是“H函數(shù)”，故選AB.10．答案：CD解析：設(shè)切點的橫坐標分別為x1，x2，對于A，y′＝1－3x2，所以兩條切線的斜率之和為2－3(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2))，由于x1，x2不能同時為零，所以2－3(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2))＜2，不符合題意；對于B，y′＝1＋ex，所以兩條切線的斜率之和為2＋＋＞2，不符合題意；對于C，y′＝lnx＋1，所以兩條切線的斜率之和為2＋lnx1＋lnx2＝2＋ln(x1x2)，當x1，x2互為倒數(shù)時，兩切線的斜率之和為2，符合題意；對于D，y′＝1－sinx，所以兩條切線的斜率之和為2－sinx1－sinx2，當sinx1＋sinx2＝0，即x1＝2kπ－x2或x1＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k＋\f(1,2)))π＋x2(k∈Z)時，兩條切線的斜率之和為2，符合題意．綜上所述，故選CD.11．答案：BC解析：對于A，由題可知a·b＝(i＋3j－2k)·(4i＋2k)＝4i2＋12i·j－8i·k＋2i·k＋6j·k－4k2＝4＋12cosθ－6cosθ＋6cosθ－4＝12cosθ.由于θ≠eq\f(π,2)，所以a·b≠0，故該命題不正確；對于B，由題可知a＝xi＋yj，b＝zk，cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(\f(1,2)x＋yz,\r(x2＋y2＋xy)·z)＝eq\f(1,2)eq\r(1＋\f(xy,x2＋y2＋xy))，由基本不等式可知當且僅當x＝y(tǒng)時，cos〈a，b〉取最大值，即兩向量夾角取得最小值，故該命題正確；對于C，由題可知a＋b＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j＋(z1＋z2)k＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)θ，故該命題正確；對于D，由題可知三棱錐O-ABC是棱長為1的正四面體，其表面積S＝4×eq\f(1,2)×1×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)，故該命題不正確．綜上，故選BC.12．答案：AC解析：對于選項A，若n＝1，則p1＝1，log21＝0，∴H(X)＝－p1log2p1＝－log21＝0，A正確；對于選項B，當p1＝eq\f(1,4)時，H(X)＝－eq\i\su(i＝1,n,p)ilog2pi＝－(p1log2p1＋p2log2p2)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)log2\f(1,4)＋\f(3,4)log2\f(3,4)))，當p1＝eq\f(3,4)時，H(X)＝－eq\i\su(i＝1,n,p)ilog2pi＝－(p1log2p1＋p2log2p2)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)log2\f(3,4)＋\f(1,4)log2\f(1,4)))，由此可得，當p1＝eq\f(1,4)與p1＝eq\f(3,4)時，信息熵相等，∴B錯誤；對于選項C，若pi＝eq\f(1,n)，則H(X)＝－eq\i\su(i＝1,n,p)ilog2pi＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)log2\f(1,n)＋…＋\f(1,n)log2\f(1,n)))＝n×eq\f(log2n,n)＝log2n，∴H(X)隨著n的增大而增大，C正確；對于選項D，若n＝2m，隨機變量Y的可能取值為1,2，…，m，由P(Y＝j(luò))＝pj＋p2m＋1－j(j＝1,2，…，m)知，P(Y＝1)＝p1＋p2m；P(Y＝2)＝p2＋p2m－1；P(Y＝3)＝p3＋p2m－2；…；P(Y＝m)＝pm＋pm＋1.H(X)＝－[(p1log2p1＋p2mlog2p2m)＋(p2log2p2＋p2m－1log2p2m－1)＋…＋(pmlog2pm＋pm＋1log2pm＋1)]，H(Y)＝－[(p1＋p2m)log2(p1＋p2m)＋(p2＋p2m－1)log2(p2＋p2m－1)＋…＋(pm＋pm＋1)log2(pm＋pm＋1)]，H(Y)－H(X)＝－[(p1＋p2m)log2(p1＋p2m)＋…＋(pm＋pm＋1)log2(pm＋pm＋1)]＋p1log2p1＋p2mlog2p2m＋…＋pmlog2pm＋pm＋1log2pm＋1＝p1·log2eq\f(p1,p1＋p2m)＋…＋p2m·log2eq\f(p2m,p1＋p2m).易知0<eq\f(p1,p1＋p2m)<1，…，0<eq\f(p2m,p1＋p2m)<1，∴l(xiāng)og2eq\f(p1,p1＋p2m)<0，…，log2eq\f(p2m,p1＋p2m)<0，∴H(Y)<H(X)，故D錯誤．13．答案：eq\f(13,25)解析：隨意兩人猜數(shù)字時互不影響，故各有5種可能，故基本領(lǐng)件有