2024年九年級(jí)中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：平面幾何輔助線常見類型含答案

幾何輔助線第1章角平分線PAGE2024年九年級(jí)中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：平面幾何輔助線常見類型目錄2024年九年級(jí)中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：平面幾何輔助線常見類型TOC\o"1-2"\h\u第1章角平分線1.1作垂線 11.2作平行線 31.3截取等線段 4第2章中點(diǎn)2.1構(gòu)造中位線 82.2構(gòu)造中線 10第3章全等3.1遇到中點(diǎn)倍長(zhǎng)中線或作平行線 173.2遇到平分線段作平行線 203.3構(gòu)造共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)全等（手拉手） 223.4構(gòu)造鄰邊相等對(duì)角互補(bǔ) 283.5構(gòu)造一線三等角全等 323.6構(gòu)造腳拉腳全等 373.7構(gòu)造十字架全等 413.8構(gòu)造等腰直角三角形和平行四邊形 45第4章直角三角形和等腰三角形4.1倍長(zhǎng)一直角邊構(gòu)造等腰三角形 574.2雙勾股定理 59第5章相似5.1構(gòu)造A字型或8字型相似 655.2構(gòu)造共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)相似（手拉手） 735.3構(gòu)造一線三等角相似 795.4構(gòu)造十字架相似 855.5構(gòu)造共邊共角相似 89第6章二倍角6.1作二倍角的平分線構(gòu)造等腰三角形 1056.2延長(zhǎng)二倍角的一邊構(gòu)造等腰三角形（由倍角造半角） 1066.3延長(zhǎng)半角的一邊構(gòu)造等腰三角形（由半角造倍角） 1096.4在三角形內(nèi)或外構(gòu)造二倍角 111第7章四點(diǎn)共圓和輔助圓7.1四邊形對(duì)角互補(bǔ) 1187.2同底同側(cè)張等角（定弦定角） 1197.3利用圓的定義構(gòu)造輔助圓（共頂三等腰） 1217.4作三角形的外接圓 123參考答案與解析第1章角平分線1.1作垂線 1291.2作平行線 1301.3截取等線段 131第2章中點(diǎn)2.1構(gòu)造中位線 1362.2構(gòu)造中線 137第3章全等3.1遇到中點(diǎn)倍長(zhǎng)中線或作平行線 1453.2遇到平分線段作平行線 1473.3構(gòu)造共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)全等（手拉手） 1493.4構(gòu)造鄰邊相等對(duì)角互補(bǔ) 1553.5構(gòu)造一線三等角全等 1603.6構(gòu)造腳拉腳全等 1643.7構(gòu)造十字架全等 1673.8構(gòu)造等腰直角三角形和平行四邊形 172第4章直角三角形和等腰三角形4.1倍長(zhǎng)一直角邊構(gòu)造等腰三角形 1874.2雙勾股定理 189第5章相似5.1構(gòu)造A字或8字型相似 1965.2構(gòu)造共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)相似（手拉手） 2055.3構(gòu)造一線三等角相似 2135.4構(gòu)造十字架相似 2215.5構(gòu)造共邊共角相似 225第6章二倍角6.1作二倍角的平分線構(gòu)造等腰三角形 2536.2延長(zhǎng)二倍角的一邊構(gòu)造等腰三角形（由倍角造半角） 2546.3延長(zhǎng)半角的一邊構(gòu)造等腰三角形（由半角造倍角） 2566.4在三角形內(nèi)或外構(gòu)造二倍角 258第7章四點(diǎn)共圓和輔助圓7.1四邊形對(duì)角互補(bǔ) 2697.2同底同側(cè)張等角（定弦定角） 2707.3利用圓的定義構(gòu)造輔助圓（共頂三等腰） 2717.4作三角形的外接圓 273PAGE7第1章角平分線1.1作垂線已知條件：如圖，點(diǎn)P是∠MON平分線上一點(diǎn)，PA⊥OM于點(diǎn)AMOBNPA輔助線作法：過點(diǎn)P作MOBNPA結(jié)論：PA＝PB（角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等）典例透析AC例1BDEAC例1BDE例1如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于點(diǎn)EAC例1BDEAC例1BDE怎樣解作輔助線的依據(jù)：BD平分∠ABC，DE⊥AB輔助線作法：過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F結(jié)論：DF＝DE思路點(diǎn)撥：根據(jù)DF＝DE及AB，BC的長(zhǎng)，分別求出△ABD和△DBC的面積．ACAC例1BDE解：例2．如圖，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于點(diǎn)E，DE＝1，求BC的長(zhǎng)．ABABC例2DEABC例2DEF怎樣解作輔助線的依據(jù)：AD平分∠BAC，DE⊥AB輔助線作法：過點(diǎn)D作DF⊥AC于點(diǎn)F結(jié)論：DF＝DE思路點(diǎn)撥：根據(jù)DF＝DE及∠B＝30°，∠C＝45°，分別求出BD和DC的長(zhǎng)．AABC例2DE我能解解：針對(duì)訓(xùn)練1．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DC＝4，△ABD的面積是28，求AB的長(zhǎng)．AABC第1題D2．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，AD＝5，DC＝4，求AB的長(zhǎng)．AABC第2題D3．如圖，在四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，BC＝CD，AB＝4，AD＝10，CE⊥AD于點(diǎn)E，求DE的長(zhǎng)．AAEBDC第3題4．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，點(diǎn)D為∠ACB的外角平分線上一點(diǎn)，且∠ADB＝45°，BD交AC于點(diǎn)E，求證：AE＝AB．AA第4題DEBPCAB第5題DCFE5．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，AF平分∠CAB，交CD于點(diǎn)E，若ACAB第5題DCFE1.2作平行線MONPQ已知條件：如圖，點(diǎn)PMONPQ輔助線作法：過點(diǎn)P作PQ∥ON交OM于點(diǎn)Q結(jié)論：OQ＝PQ典例透析例1如圖，在△ABC中，∠ABC＝30°，∠ACB＝45°，BD平分∠ABC，DC＝2，求BD的長(zhǎng)．ABABC例1EDHABC例1D怎樣解作輔助線的依據(jù)：BD平分∠ABC輔助線作法：過點(diǎn)D作DE∥AB交BC于點(diǎn)E，DH⊥BC于點(diǎn)H結(jié)論：DH＝，BE＝DE＝2DH思路點(diǎn)撥：由∠ACB＝45°，DC＝2，可得DH，由DE∥AB，可得∠DEH＝∠ABC＝30°，得到BE，DE，EH的長(zhǎng)，在Rt△BDH中，根據(jù)勾股定理求出BD的長(zhǎng)．AABC例1D我能解解：ABC例2DABC例2EDH例2如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC＝30°，BD平分∠ABCABC例2DABC例2EDH怎樣解作輔助線的依據(jù)：BD平分∠ABC，CD平分∠ACB輔助線作法：過點(diǎn)D作DE∥AB交BC于點(diǎn)E，DH⊥BC于點(diǎn)H結(jié)論：BE＝DE＝CD思路點(diǎn)撥：導(dǎo)角可得∠DEC＝∠DCE＝30°，則BE＝DE＝CD，在Rt△BDH中，根據(jù)勾股定理求出BD的長(zhǎng)．ABABC例2D解：針對(duì)訓(xùn)練AB第1題CD1．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，求證：AC＋AB第1題CDABC第2題OED2．如圖，在△ABC中，AB＝4，AC＝5，BC＝6，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，BD與CE相交于點(diǎn)OABC第2題OED1.3截取等線段已知條件：如圖，點(diǎn)P是∠MON平分線上一點(diǎn)，點(diǎn)A是射線OM上一點(diǎn)，MONPAB輔助線作法：在ON上截取MONPAB結(jié)論：△OAP≌△OBP典例透析例1如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，AD平分∠BAC，AC＝2，求CD的長(zhǎng)．ABABC例1DABC例1DE怎樣解作輔助線的依據(jù)：AD平分∠BAC輔助線作法：在AB上截取AE＝AC，連接DE結(jié)論：CD＝DE＝BE思路點(diǎn)撥：導(dǎo)角可得∠EDB＝∠ABC，則CD＝DE＝BE＝AB－AE＝AB－AC．ABABC例1D解：例2如圖，在△ABC中，∠A＝60°，角平分線BD與CE相交于點(diǎn)O，求證：OD＝OE．ABABC例2FDEOABC例2DEO怎樣解作輔助線的依據(jù)：BD平分∠ABC，CE平分∠ACB輔助線作法：在BC上截取BF＝BE，連接OF結(jié)論：OF＝OE思路點(diǎn)撥：導(dǎo)角可得∠BOC＝120°，則∠BOF＝∠BOE＝∠COD＝60°，則∠COF＝∠COD＝60°，可得△OCD≌△OCF，則OD＝OF＝OE．ABABC例2DEO解：針對(duì)訓(xùn)練1．如圖，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD是∠BAC的平分線，AB＝3，BD＝2，求AC的長(zhǎng)．AAB第1題DC2．如圖，在△ABC中，AB＝5，AC＝10，AD是角平分線，∠ADB＝45°，求AD的長(zhǎng)．ABAB第3題CODEAB第2題DC3．如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，角平分線BD與CE相交于點(diǎn)O，記四邊形BEDC的面積為S1，△BOC的面積為S2，求證：S1＝2S2．培優(yōu)必練AB第1題DCE1．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，點(diǎn)E為AC邊上一點(diǎn)，∠DEC＝∠B，DE＝BD，ABAB第1題DCE2．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，BD＝5，DC＝3，求AB的長(zhǎng)．AAB第2題DCABC第3題ED3．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BD平分∠ABC，AE⊥BD交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)EABC第3題ED4．如圖，在△ABC中，AB＝4，BC＝5，BD為∠ABC的角平分線，CD⊥BD于點(diǎn)D，連接AD，若△ABC的面積為m，求△ACD的面積（用含m的式子表示）．AADBC第4題AB第6題CD5．如圖，在△ABC中，∠ACB＝2∠ABC＝45°，AB第6題CDAABC第5題6．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，探究線段BD與CD的數(shù)量關(guān)系．DAB第7題GCEF7．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是對(duì)角線AC上的一點(diǎn)，EF⊥AC交BC于點(diǎn)F，DE的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)GDAB第7題GCEFAB第8題DCEFG8．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，中線AD與角平分線BE交于點(diǎn)F，點(diǎn)G為CE的中點(diǎn)，連接FGAB第8題DCEFG9．如圖，在△ABC中，∠BAC＝135°，AD⊥AC，AE⊥AB，BD＝5，CE＝12，求DE的長(zhǎng)．AABEDC第9題10．如圖，將邊長(zhǎng)為3的正方形ABCD沿直線EF折疊，使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)M落在邊AD上，點(diǎn)C落在點(diǎn)N處，MN與CD交于點(diǎn)P，折痕分別與邊AB，CD交于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接BM．MDAB第10題CMDAB第10題CPFNE（2）若DP＝1，求MD的長(zhǎng)．11．在△ABC中，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，BD與CE相交于點(diǎn)O．AABC圖1DEOB圖2COAABC圖1DEOB圖2CODE第11題（2）如圖2，若∠A＝90°，＝，求的值．幾何輔助線第2章中點(diǎn)PAGE16PAGE第2章中點(diǎn)2.1構(gòu)造中位線已知條件：如圖，在△ABC中，點(diǎn)D為邊AB的中點(diǎn)，且已知BC的長(zhǎng)輔助線作法：取AC的中點(diǎn)E，連接DEABDCE結(jié)論：DE是△ABC的中位線，DE∥BC，ABDCE典例透析例1如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝4，點(diǎn)D為邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊AB上，且∠BED＝30°，求DE的長(zhǎng)．ABABCDE例1ABCDEF例1怎樣解作輔助線的依據(jù)：點(diǎn)D為邊BC的中點(diǎn)，AC＝4輔助線作法：取AB的中點(diǎn)F，連接DF結(jié)論：DF∥AC，DF＝思路點(diǎn)撥：由DF是△ABC的中位線，可知DF∥AC，DF＝＝2，則∠DFE＝180°－∠A＝90°，由∠BED＝30°，可得DE＝2DF＝4．ABABCDE例1解：ABCF例2DEABCF例2DEG例2．如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，點(diǎn)E是AC上一點(diǎn)，點(diǎn)FABCF例2DEABCF例2DEG怎樣解作輔助線的依據(jù)：點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)輔助線作法：取AC的中點(diǎn)G，連接FG結(jié)論：FG∥AB，F(xiàn)G＝思路點(diǎn)撥：由FG是△ABC的中位線，可知FG∥AB，F(xiàn)G＝，導(dǎo)角可得EG＝FG，則EC＝EG＋GC．我能解ABABCF例2DE針對(duì)訓(xùn)練1．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是AC上一點(diǎn)，∠A＝2∠DEC，求證：AB＋AE＝CE．AAEBC第1題DABCDE第2題2．如圖，在△ABC中，AB＞AC，AD平分∠BAC，BD⊥AD，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，求證：DE＝(AB－ABCDE第2題3．如圖，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝6，點(diǎn)D是邊AC上一點(diǎn)，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，若DE平分△ABC的周長(zhǎng)，則DE的長(zhǎng)是_________．BBC第3題EADACB第4題DEF4．如圖，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD平分∠BAC，點(diǎn)E是AC上一點(diǎn)，點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，EF∥ACB第4題DEF2.2構(gòu)造中線直角三角形中已知條件：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D為斜邊AB的中點(diǎn)輔助線作法：連接CDABCD結(jié)論：CDABCD等腰三角形中已知條件：如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)輔助線作法：連接AD結(jié)論：∠BAD＝∠CAD，AD⊥BC（等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線及底邊上的高線互相重合）AABCD典例透析ABC例1EFABC例1EFD例1如圖，在△ABC中，點(diǎn)E是邊AC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，EF∥BC，∠ABC例1EFABC例1EFD怎樣解作輔助線的依據(jù)：點(diǎn)E是邊AC的中點(diǎn)，EF∥BC，∠AFB＝90°輔助線作法：取AB的中點(diǎn)D，連接DE，DF結(jié)論：DE∥BC，DE＝，DF＝思路點(diǎn)撥：由DE是△ABC的中位線，可知DE∥BC，DE＝，由DF是Rt△ABF的斜邊AB上的中線，可知DF＝，由EF∥BC，可知D，F(xiàn)，E三點(diǎn)共線，則EF＝DE－DF．ABABC例1EF解：ABC例2DEABC例2DEO例2如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，將△ABC例2DEABC例2DEO怎樣解作輔助線的依據(jù)：∠BAC＝90°，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)輔助線作法：連接BE交AD于點(diǎn)O結(jié)論：AD＝，∠BEC＝90°思路點(diǎn)撥：由AD是Rt△ABC的斜邊BC上的中線，可知AD＝，由點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)及翻折，可知∠BEC＝90°，由面積法求出OB的長(zhǎng)，則BE＝2OB，在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理求出CE的長(zhǎng)．ABABC例2DE解：例3在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AC，BC上，且∠EDF＝90°，AE＝3，BF＝4，求EF的長(zhǎng)．ADADEBC例3FADEBC例3F怎樣解作輔助線的依據(jù)：AC＝BC，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)輔助線作法：連接CD結(jié)論：CD⊥AB，CD＝AD＝思路點(diǎn)撥：由CD是等腰直角△ABC的斜邊AB上的中線，可知CD⊥AB，CD＝AD＝，由∠EDF＝90°可知∠ADE＝∠CDF，∠A＝∠DCF＝45°，可得△ADE≌△CDF，則AE＝CF，在Rt△ECF中，根據(jù)勾股定理求出EF的長(zhǎng)．AADEBC例3F我能解解：ADBC例4ADBC例4EF例4在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，點(diǎn)D為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，ADADBC例4ADBC例4EF怎樣解作輔助線的依據(jù)：AC＝BC，DB＝DC輔助線作法：過點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F結(jié)論：DF＝CE＝BE＝思路點(diǎn)撥：由DB＝DC可知DF＝CE＝BE，在Rt△ADF中，根據(jù)勾股定理求出AF的長(zhǎng)，則DE＝CF＝AC－AF．AADBC例4我能解解：針對(duì)訓(xùn)練B第1題EDACH1．如圖，在正方形ABCD中，AB＝2，E是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，BH⊥AE于點(diǎn)H，連接B第1題EDACH2．如圖，AB∥CD，∠ADC＝90°，點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，連接AM，DM，求證：AM＝DM．AABC第2題DM3．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，AF⊥BE于點(diǎn)F，連接DF，求證：DF＝DC．DDAB第3題CEF4．如圖，在△ABC中，∠B＝15°，∠C＝30°，點(diǎn)D為BC邊上一點(diǎn)，∠ADC＝45°，求證：BD＝DC．AAB第4題CD5．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，過點(diǎn)C作直線l∥AB，點(diǎn)D為直線l上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合），連接AD，作DE⊥AD交直線BC于點(diǎn)E，連接AE，求證：∠AED＝∠BAC．AABlE第5題CDA第6題EDBC6．如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，點(diǎn)D，E在邊BC上，若∠DAE＝30°，tan∠EAC＝EQ\F(1,3)，則BD＝A第6題EDBC7．如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為邊BC，AD上的點(diǎn)，連接EF，BD交于點(diǎn)G，若DE平分∠CEF，BG＝BE，則DF的長(zhǎng)為_________．AADF第7題EBCG8．如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E為邊AC上的動(dòng)點(diǎn)，線段BE的垂直平分線交AD于點(diǎn)F，交BE于點(diǎn)G，連接EF，求證：∠BEF＝∠BAF．BBDC第8題AEFG9．如圖，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝80°，AD，AE，AF分別是中線、角平分線和高線，探究線段AB，CE，DF之間的數(shù)量關(guān)系．AAB第9題CDEF10．如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，BE⊥AC于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)P，若BP＝3，PE＝1，求AE的長(zhǎng)．AAB第10題CDPE11．如圖，在△ABC中，∠A＝60°，BD⊥AC于點(diǎn)D，CE⊥AB于點(diǎn)E，連接DE，若BE＝1，DE＝eq\r(,7)，求CD的長(zhǎng)．AAB第11題CDE培優(yōu)必練AB第1題CED1．如圖，在△ABC中，AB＝5，AC＝6，BC＝7，BD，CE分別是∠ABC，∠ACB的平分線，AD⊥BD于點(diǎn)D，AE⊥CEAB第1題CED2．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，AD⊥BC于點(diǎn)D，BE，CF為角平分線，AD分別與BE，CF相交于點(diǎn)M，N，點(diǎn)G，H分別為FN，EM的中點(diǎn)，求GH的長(zhǎng)．AAB第2題DCEFMNGHADB第3題CGMEF3．如圖，四邊形ABCD和四邊形CEFG都是正方形，點(diǎn)E在CD上，點(diǎn)G在BC的延長(zhǎng)線上，M是ADB第3題CGMEF4．如圖，點(diǎn)E為正方形ABCD外一點(diǎn)，AB＝4，∠AED＝90°，點(diǎn)F為CE的中點(diǎn)，連接BF，求BF的最大值．EEAD第4題BCF5．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E為△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，∠BEC＝90°，∠CED＝∠ABE，DE＝2，AB＝6，求BC的長(zhǎng)．AAD第5題BCE6．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，點(diǎn)D，E分別為邊AB，BC上的動(dòng)點(diǎn)，且DB＝DE，過點(diǎn)E作EF⊥DE交AC于點(diǎn)F，連接DF，求DF的最小值．AA第6題BCEDF7．如圖，在△ABC中，∠ABC＝75°，AD⊥BC于點(diǎn)D，AD＝EQ\F(1,2)BC，求證：AC＝BC．第7題第7題BCAD8．如圖，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，點(diǎn)D為邊BC上一點(diǎn)，連接AD，將△ABD沿AD翻折得到△AED，連接CE并延長(zhǎng)交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，若CE＝6，EF＝9，求AF的長(zhǎng)．AABCDEF第8題CABEFGD第9題9．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D，E分別是邊BC，AB上的點(diǎn)，∠ADC＝∠EDB，過點(diǎn)E作EF⊥ADCABEFGD第9題（1）求證：∠AEG＝∠BED；（2）若EQ\F(CD,BD)＝EQ\F(1,n)，求EQ\F(AG,CG)的值（用含n的式子表示）．ABC第10題DNHEFM10．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，將線段CA繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角小于90°）得到CD，ABC第10題DNHEFM（1）求∠AEC的度數(shù)；（2）過點(diǎn)C作CF⊥AB于點(diǎn)F，點(diǎn)M，N分別為CF，DE的中點(diǎn)，連接MN，若AC＝BC＝4，求MN的長(zhǎng)．11．如圖，在△ABC中，D，E分別是邊AB，AC上的點(diǎn)，且BD＝BC＝CE，∠CDE＝30°，CD與BE相交于點(diǎn)F．ABCEABCEDF第11題（2）探究線段AD，AE，EF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（3）若AE＝kEF，求EQ\F(BC,EF)的值（用含k的式子表示）．幾何輔助線第3章全等PAGE35PAGE第3章全等3.1遇到中點(diǎn)倍長(zhǎng)中線或作平行線ABDCE已知條件：如圖，在△ABC中，ABDCE輔助線作法：延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE＝AD，連接BE（或者過點(diǎn)B作BE∥AC，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E）結(jié)論：△ACD≌△EBD典例透析例1如圖，在△ABC中，AB＝3，AC＝5，BC邊上的中線AD＝2，求△ABC的面積．ABABC例1DABC例1DE怎樣解作輔助線的依據(jù)：AD是BC邊上的中線輔助線作法：延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE＝AD，連接CE結(jié)論：△ABD≌△ECD思路點(diǎn)撥：根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可得CE＝AB，根據(jù)勾股定理的逆定理可知∠E為直角，△ABC的面積即等于△AEC的面積．AABC例1D我能解解：例2．如圖，在△ABC中，點(diǎn)E是中線AD上一點(diǎn)，∠CED＝∠BAD，求證：CE＝AB．ABABCDEABC例2DEF怎樣解作輔助線的依據(jù)：AD是BC邊上的中線輔助線作法：過點(diǎn)B作BF∥EC，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F結(jié)論：△FBD≌△ECD思路點(diǎn)撥：根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可得BF＝CE，∠F＝∠CED＝∠BAD，則AB＝BF＝CE．AABC例2DE我能解解：針對(duì)訓(xùn)練ABC第1題EFD1．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E為CD上一點(diǎn)，BE＝AC，BE的延長(zhǎng)線交AC于點(diǎn)ABC第1題EFD2．如圖，在△ABC中，∠BAC＝120°，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，∠DAC＝90°，AC＝2，求△ABC的面積．AABC第2題DADEFBC第3題3．如圖，△ABC和△ADE均為等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，連接BE、CD，取CD的中點(diǎn)F，連接AFADEFBC第3題4．如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)D為邊BC上一點(diǎn)，連接AD，將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到AE，連接BE交AC于點(diǎn)F，求證：CD＝2AF．AABC第4題DEFADBC第5題ED′PGH5．如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)P為邊CD上一點(diǎn)，連接AP并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，將△APD沿AP折疊得到△APD'，連接D'D交AP于點(diǎn)H，點(diǎn)G為AE的中點(diǎn)，當(dāng)∠EAD'＝2∠AED'時(shí)，求證：GH＝EQ\F(1,ADBC第5題ED′PGH6．如圖，將矩形ABCD繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到矩形EFCG，使點(diǎn)B落在AD邊上的點(diǎn)F處，連接BG交CF于點(diǎn)M，求證：BM＝GM．EEADFMBC第6題G7．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD⊥AB于點(diǎn)D，點(diǎn)E是線段CB上一點(diǎn)，連接ED，將線段ED繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到EF，連接AF交CD于點(diǎn)G，求證：AG＝GF．第7題第7題FBCEADG8．如圖，在△ABC和△DBC中，AC＝BC，∠ACB＝∠BDC＝90°，連接AD，將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AE，連接BE交CD于點(diǎn)F，求證：BF＝EF．AAB第8題CEFD9．如圖，△ABC和△EFC都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠FEC＝90°，點(diǎn)E在邊AB上，AD⊥BC于點(diǎn)D，連接AF，點(diǎn)G是AF的中點(diǎn)，連接DG，EG，求證：△GDE是等腰直角三角形．AACBDGEF第9題10．如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)D為邊BC上一點(diǎn)，連接AD，將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到AE，使∠CAE＝∠ADB，連接BE交AC于點(diǎn)F．AEBC第10題DAEBC第10題DF（2）若BD＝kDC，求EQ\F(AF,FC)的值（用含k的式子表示）．3.2遇到平分線段作平行線ABCFGDE已知條件：如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是AB邊上一點(diǎn)，點(diǎn)E是AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接DE交BCABCFGDE輔助線作法：過點(diǎn)D作DG∥AC交BC于點(diǎn)G結(jié)論：△DFG≌△EFC典例透析例1如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是AB邊上一點(diǎn)，點(diǎn)E是AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接DE交BC于點(diǎn)F，且BD＝CE，DF＝EF，求證：AB＝AC．ADADBCFE例1ADBCFGE例1怎樣解作輔助線的依據(jù)：DF＝EF輔助線作法：過點(diǎn)D作DG∥AC交BC于點(diǎn)G結(jié)論：△DFG≌△EFC思路點(diǎn)撥：根據(jù)△DFG≌△EFC可得DG＝CE＝DB，則∠B＝∠DGB＝∠ACB，AB＝AC．AADBCFE例1我能解解：例2如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)D是AB邊上一點(diǎn)，點(diǎn)E是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接DE交AC于點(diǎn)F，且DF＝EF，過點(diǎn)D作DG⊥AC于點(diǎn)G，若AB＝2，求GF的長(zhǎng)．ABABC例2EDGFABC例2EDGHF針對(duì)訓(xùn)練ABCGFDE第1題1．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是AB邊上一點(diǎn)，點(diǎn)E是AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接DE交BC于點(diǎn)F，過點(diǎn)D作DG⊥BC于點(diǎn)G，若DF＝EF，GFABCGFDE第1題2．如圖，△ABC和△ADE均為等腰三角形，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，AD⊥BD，延長(zhǎng)ED交BC于點(diǎn)F，求證：BF＝CF．AADEBC第2題F3．如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，且BD＝2CE，過點(diǎn)E作EF⊥DE交BC于點(diǎn)F，連接DF，求證：DF＝AD＋CF．AADEBFC第3題4．如圖，在等邊△ABC中，D是AB邊上一點(diǎn)，E是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且AD＝CE，連接DE交AC于點(diǎn)F，若△ADF的周長(zhǎng)∶△CEF的周長(zhǎng)＝6∶5，求△ADF的面積∶△CEF的值．AADFBEC第4題3.3構(gòu)造共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)全等（手拉手）已知條件：如圖，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAEABCDE輔助線作法：ABCDE結(jié)論：△ABD≌△ACE典例透析例1如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D是BC邊上一點(diǎn)，連接AD，將AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到AE的位置，使∠DAE＋∠BAC＝180°，連接BE，取BE的中點(diǎn)F，連接AF，求證：CD＝2AF．EAEAFBC例1DEAFBC例1DG怎樣解作輔助線的依據(jù)：AB＝AC，∠DAE＋∠BAC＝180°輔助線作法：將△ACD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△ABG結(jié)論：△ACD≌△ABG思路點(diǎn)撥：由三角形全等可得CD＝BG，∠DAC＝∠GAB，等角可得G，A，E三點(diǎn)共線，AF是△BEG的中位線．EEAFBC例1D我能解解：例2如圖，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，以BC為斜邊向下作等腰直角三角形BCD，連接AD，求AD的最大值．ABABC例2DEABC例2D怎樣解作輔助線的依據(jù)：BD＝CD，∠BDC＝90°輔助線作法：將△ACD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△EBD結(jié)論：△ACD≌△EBD思路點(diǎn)撥：由三角形全等可得BE＝AC，ED＝AD，∠EDB＝∠ADC，△ADE是等腰直角三角形，由三角形三邊關(guān)系可得AE的取值范圍，從而得到AD的最大值．我能解解：AABC例2D針對(duì)訓(xùn)練ABCDE第1題1．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD⊥BC于點(diǎn)B，點(diǎn)E在BC上，∠DAE＝45°，求證：DEABCDE第1題2．如圖，在四邊形ABCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，∠ABD＝15°，AB＝AC＝2，則AD的長(zhǎng)為_________．AAB第2題CD3．如圖，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E為邊AC上一點(diǎn)，AE＝2，點(diǎn)F為AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，∠BEF＝60°，則DF的長(zhǎng)為_________．AABCDEF第3題4．如圖，點(diǎn)D為等邊△ABC外一點(diǎn)，∠ADC＝60°，CD＝2，則△BDC的面積為_________．AAB第4題CD5．如圖，點(diǎn)D是等腰Rt△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠ABC＝90°，∠ADB＝135°，AD＝1，CD＝5，則BD的長(zhǎng)為_________．AAB第5題CDABC第6題DE6．如圖，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠BAD＝15°，AD＝4，則點(diǎn)DABC第6題DE7．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E在邊CD上，連接AE，作∠BAE的平分線AF交BC于點(diǎn)F，連接EF，若DE＝5，BF＝8，則EF的長(zhǎng)為_________．AADBC第7題FEAPBC第8題8．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠APB＝120°，∠APC＝90°，AP＝eq\r(,2)，則△PBC的面積為_________APBC第8題9．如圖，△BAC，△DEB和△AEF都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DEB＝∠AEF＝90°，點(diǎn)E在△ABC內(nèi)，連接AD，CF，判斷AD與CF的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由．BBACD第9題EF10．如圖，點(diǎn)P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，PB＝PC，∠BPC＝2∠BAC，求證：PA＝PB．AAB第10題CP11．如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E為AB上一點(diǎn)，以DE為邊作等邊△DEF，連接AF，求證：AF＝EF．BB第11題CADEF12．如圖，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DEC＝90°，點(diǎn)D在斜邊AB上，連接AE并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)F，求證：AE＝EF．AAB第12題CFDE13．如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊AC，BC上，且AD＝CE，連接AE與BD相交于點(diǎn)P，過點(diǎn)C作CF∥BD，交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，求證：AP＝CF．AABCEPDF第13題B第14題DCEFA14．如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，AC上，∠EDF＝120°，B第14題DCEFA15．如圖，在△ABC中，AB＝3，BC＝4eq\r(,2)，∠ABC＝15°，以AC為直角邊向外作等腰Rt△ACD，∠ACD＝90°，求BD的長(zhǎng)．CC第15題BDAAB第16題CD16．如圖，點(diǎn)D為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，AB＝AC，AD＝CD，∠ADC＝90°，∠ABD＝∠BCD，AB第16題CD17．如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD＝90°，AB＝AD，AC＝eq\r(,13)，BC＝3，CD＝eq\r(,5)，求四邊形ABDC的面積．BBCAD第17題AB第18題CEDGF18．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，CE⊥BD交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，點(diǎn)F在BD上，AG⊥AF交線段CE于點(diǎn)GAB第18題CEDGF19．如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠BCD＝30°，BC＝2eq\r(,3)，AC＝7，求CD的長(zhǎng)．AAC第19題DB20．如圖，點(diǎn)D為等邊△ABC外一點(diǎn)，∠ADC＝90°，AD＝2，CD＝eq\r(,3)，求BD的長(zhǎng)．AAB第20題CDADC第21題B21．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D為BC下方一點(diǎn)，∠BDC＝45°，若BD＝2，CD＝3eq\r(,2)，求ADADC第21題B22．如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，∠ADC＝45°，AB＝BC，△ABD的面積為9，求AD的長(zhǎng)．BB第22題CDA23．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，點(diǎn)D，E分別在邊AC，BC上，∠DBC＝10°，∠CAE＝40°，求∠BDE的度數(shù)．AABCED第23題24．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)D在MC上，將線段AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到線段AE，連接DE，過點(diǎn)M作AB的垂線，交DE于點(diǎn)N，用等式表示線段EN與DN的數(shù)量關(guān)系，并證明．AAB第24題CEMND3.4構(gòu)造鄰邊相等對(duì)角互補(bǔ)已知條件：在四邊形ABCD中，∠BAD＋∠BCD＝180°，AB＝AD輔助線作法1：如圖①，過點(diǎn)A作BC，CD的垂線，垂足為E，F(xiàn)結(jié)論：①△ABE≌△ADF；②△ACE≌△ACF；③AC平分∠BCD（知二推一）AABDC圖①EF輔助線作法2：如圖②，延長(zhǎng)CD到E，使DE＝BC，連接AE結(jié)論：①△ABC≌△ADE；②△AC＝AE；③AC平分∠BCD（知二推一）AABDC圖②E特殊情況：如圖③，90°鄰邊相等對(duì)角互補(bǔ)，結(jié)論：①AC平分∠BCD；②BC＋CD＝eq\r(,2)AC；③S四邊形ABCD＝S△ACE如圖④，60°,120°鄰邊相等對(duì)角互補(bǔ)，結(jié)論：①AC平分∠BCD；②BC＋CD＝AC；③S四邊形ABCD＝EQ\F(eq\r(,3),4)AC2．如圖⑤，120°,60°鄰邊相等對(duì)角互補(bǔ)，結(jié)論：①AC平分∠BCD；②BC＋CD＝eq\r(,3)AC；③S四邊形ABCD＝EQ\F(eq\r(,3),4)AC2．ABCABC圖⑤DEABC圖④DEAC圖③BDE典例透析例1如圖，點(diǎn)M，N分別為∠AOB的邊OA，OB上的點(diǎn)，OM≠ON，點(diǎn)P為∠AOB角平分線上的一點(diǎn)，若∠AOB＋∠MPN＝180°，求證：PM＝PN．AOAON例1HPBGMAON例1PBM怎樣解作輔助線的依據(jù)：OP平分∠AOB，∠AOB＋∠MPN＝180°輔助線作法：過點(diǎn)P作PG⊥OA于點(diǎn)G，PH⊥PB于點(diǎn)H結(jié)論：△PGM≌△PHNAON例1PBM思路點(diǎn)撥：導(dǎo)角AON例1PBM我能解解：例2如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠ACD＝∠ADB，求證：AC平分∠BCD．AAEBDC例2AABDC例2怎樣解作輔助線的依據(jù)：AB＝AD，∠ACD＝∠ADB輔助線作法：延長(zhǎng)CD到E，連接AE，使AE＝AD結(jié)論：△AEC≌△ABC思路點(diǎn)撥：設(shè)∠ABD＝∠ADB＝α，∠BDC＝β，導(dǎo)角證∠EAC＝∠BAC，△AEC≌△ABC，可得結(jié)論．我能解ABABDC例2例3如圖，在△ABC中，分別以AB，AC為斜邊向外作等腰Rt△ABD和等腰Rt△ACE，點(diǎn)D，B，C在同一直線上，連接DE，若AB＝2eq\r(,2)，AC＝eq\r(,13)，求DE的長(zhǎng)．DCDC例3EABDC例3FEAB怎樣解作輔助線的依據(jù)：等腰Rt△ABD和等腰Rt△ACE輔助線作法：延長(zhǎng)DC到F，使CF＝AD，連接EF結(jié)論：△ADE≌△CFE思路點(diǎn)撥：導(dǎo)角證△ADE≌△CFE，可得△DEF是等腰直角三角形，在Rt△ADC中，利用勾股定理求出DC，從而得到DF和DE的長(zhǎng)．DCDC例3EAB解：針對(duì)訓(xùn)練1．如圖，在四邊形ABCD中，AD＝CD，∠ABC＝∠ADC＝90°，AB＝3，BD＝4eq\r(,2)，則BC＝_________．AADB第1題C2．如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠BCD＝60°，BC＝7，CD＝2，則AC＝_________．AADB第2題CADBC第3題FE3．如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E為邊CD上一點(diǎn)，∠AEB＝45°，過點(diǎn)E作EF⊥AE交BC于點(diǎn)F，若ADBC第3題FE4．如圖，在四邊形ABCD中，BD平分∠ABC，DE⊥AC，AE＝CE，若∠ABC＝α，求∠ADE（用含α的式子表示）．AADBC第4題E5．如圖，OC平分∠AOB，點(diǎn)P為OC上一點(diǎn)，PD⊥OA于點(diǎn)D，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊OA，OB上，∠PEO＋∠PFO＝180°，探究OE，OF與OD的數(shù)量關(guān)系，并證明．OOB第5題FADEP6．如圖，在四邊形ABCD中，BD平分∠ABC，AD＝CD＝2，AB＝3，BC＝5，求BD的長(zhǎng)．BBC第6題DA7．如圖，在四邊形ABCD中，BD平分∠ABC，AB＝AD＝CD＝3，BD＝5，求BC的長(zhǎng)．DDABC第7題8．如圖，在四邊形ABCD中，BD平分∠ABC，∠BDC＝90°，AB＝7，AD＝CD＝15，求BC的長(zhǎng)．DDBC第8題A9．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，∠BCD＝∠BAD，求證：BD＝CD．AABCD第9題10．如圖，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，點(diǎn)M是直線AO上一點(diǎn)，點(diǎn)P，N分別是射線OC，OB上的點(diǎn)，PM＝PN，OM＝1，ON＝3，求OP的長(zhǎng)．第10題第10題OB圖1PANCMOB備用圖AC11．定義：有一組鄰邊相等且對(duì)角互補(bǔ)的四邊形稱為“等補(bǔ)四邊形”．如圖，在邊長(zhǎng)為3的正方形ABCD中，點(diǎn)E為CD邊上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)C，D重合），連接AE交BD于點(diǎn)F，過F作FG⊥AE交BC于點(diǎn)G，若四邊形CEFG是“等補(bǔ)四邊形”，求CE的長(zhǎng)．DDFABC第11題GE12．如圖，在□ABCD中，AB＝AC，∠BAC＝45°，過點(diǎn)B作BE⊥AC于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作FG⊥AD于點(diǎn)G，連接EG．DAGBC第12題DAGBC第12題EF（2）探究AC與EG的數(shù)量關(guān)系，并證明．13．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，將線段AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AD，旋轉(zhuǎn)角為α，∠DAC的平分線AE與射線BD相交于點(diǎn)E，連接CE．ABCED第13題ABC備用圖（1）當(dāng)0°＜α＜90°時(shí)，求證：BD＋2CEABCED第13題ABC備用圖（2）當(dāng)0°＜α＜180°，AE＝2eq\r(,2)CE時(shí)，求EQ\F(DE,BD)的值．3.5構(gòu)造一線三等角全等已知條件：如圖1，點(diǎn)P在線段AB上，∠1＝∠2＝∠3，AP＝BD（或AC＝BP或CP＝PD）結(jié)論：△CAP≌△PBD已知條件：如圖2，點(diǎn)P在AB的延長(zhǎng)線上，∠1＝∠2＝∠3，AP＝BD（或AC＝BP或CP＝PD）ABDPC1ABDPC123123DPCBA圖1圖2典例透析ADBC例1EFADBC例1EFG例1如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是邊BC上一點(diǎn)，連接AE，將ADBC例1EFADBC例1EFG怎樣解作輔助線的依據(jù)：∠B＝∠AEF＝90°輔助線作法：過點(diǎn)F作FG⊥BC，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G結(jié)論：△ABE≌△EGF思路點(diǎn)撥：由正方形的性質(zhì)和三角形全等可得BC＝AB＝EG，BE＝FG，則FG＝BE＝CG，∠FCG＝45°，∠DCF＝45°．AADBC例1EF我能解解：ABCDE例2ABCD例2例2如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，將AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AD，連接CD，若∠ACDABCDE例2ABCD例2怎樣解作輔助線的依據(jù)：∠ACB＝∠BAD＝90°輔助線作法：過點(diǎn)D作DE⊥AC，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E結(jié)論：△ABC≌△DAEABCD例2思路點(diǎn)撥：由三角形全等可得AC＝DE，BC＝AE，由∠ACD＝135°可知△CDE是等腰直角三角形，由CD的長(zhǎng)可得CE，DEABCD例2我能解解：例3如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E為CD邊上一點(diǎn)，將△ADE沿AE折疊得到△AFE，將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG，若AG＝FG，求證：CE＝DE．ADADGC例3BHEFADGC例3BEF怎樣解作輔助線的依據(jù)：AG＝FG，∠GAE＝∠AFE＝90°輔助線作法：過點(diǎn)G作GH⊥AF于點(diǎn)H結(jié)論：△AEF≌△GAHADGC例3BEF思路點(diǎn)撥：導(dǎo)角可證ADGC例3BEF我能解解：針對(duì)訓(xùn)練1．如圖，在四邊形ABCD中，∠ACB＝∠ADC＝90°，AC＝BC，AD＝1，BD＝5，則CD的長(zhǎng)為_________．AABC第1題DC2．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝8，點(diǎn)D是AC邊上一點(diǎn)，連接DB，將線段DB繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到DE，連接CE，若△CDE的面積為6，則AD的長(zhǎng)為_________．BBC第2題DAE3．如圖，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，點(diǎn)D為△ABC外一點(diǎn)，連接AD，BD，CD，若∠ADB＝90°，AD＝1，CD＝eq\r(,13)，則AC的長(zhǎng)為_________．AABC第3題D4．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，連接AE，將△ABE沿AE翻折得到△AFE，連接DF，過點(diǎn)C作CG⊥DF交DF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，若CG＝1，則AB的長(zhǎng)為_________．AADBC第4題GFE5．如圖，在△ABC中，AB＝AC，BC＝a，將CA繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到CD，連接BD，求△BDC的面積（用含a的代數(shù)式表示）．AABC第5題DABDC第6題E6．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D為BC邊上一點(diǎn)，BE⊥AD于點(diǎn)E，連接CE，∠CEDABDC第6題E7．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，點(diǎn)D為AB邊上一點(diǎn)，BD＝eq\r(,2)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，AC上，且DE＝DF，∠EDF＝45°，求BE的長(zhǎng)．AAB第7題ECDFAB第8題ECFD8．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，等邊△DEF的頂點(diǎn)分別在邊AB，BC，AC上，AB第8題ECFD9．如圖，直線y＝kx－4k經(jīng)過定點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B（0，2eq\r(,3)），點(diǎn)C為x軸上點(diǎn)A右側(cè)的一點(diǎn)，∠ABC＝30°，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．AAC第9題xOBy10．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)P為邊AD上一點(diǎn)，連接CP，點(diǎn)B關(guān)于CP的對(duì)稱點(diǎn)為E，連接ED并延長(zhǎng)交CP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接AF，求證：DE＝eq\r(,2)AF．AADBC第10題FPE11．如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為邊BC，CD上的點(diǎn)，連接AE，AF，∠EAF＝45°，BE＝1，求DF的長(zhǎng)．AADC第11題BEF12．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E為AB邊上一點(diǎn)，AE＝3，點(diǎn)F在邊CD上，點(diǎn)G在CD的延長(zhǎng)線上，∠GEF＝45°，設(shè)DF＝x，DG＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．AADBC第12題FEG13．如圖，在△ABC中，D為邊BC上一點(diǎn)，連接AD，將AD繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到DE，連接BE，∠DBE＝45°．ABCDABCDE第13題（2）若AC＝5，BE＝，BD∶DC＝5∶2，求AB的長(zhǎng)．14．如圖，直線y＝－x＋m（m＞0）與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)C為射線AB上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D的坐標(biāo)是（m，m），以CD為邊向右作正方形CDEF．（1）求證：點(diǎn)F在x軸上；（2）連接BE，若BE＝nBC，求點(diǎn)E的坐標(biāo)（用含m，n的式子表示）．CCO第14題DAByFEx3.6構(gòu)造腳拉腳全等已知條件：如圖①，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠CDE＝90°，連接BE，點(diǎn)F為BE的中點(diǎn)，連接AF，DFABFEDCG圖①結(jié)論：ABFEDCG圖①輔助線作法：延長(zhǎng)AF到G，使FG＝AF，連接AD，DG，EG．已知條件：如圖②，△ABC是等邊三角形，△DCE是等腰三角形，∠CDE＝120°，連接BE，點(diǎn)F為BE的中點(diǎn)，連接AF，DFACDBFEG圖②結(jié)論：AF＝eq\r(,3)DFACDBFEG圖②輔助線作法：延長(zhǎng)AF到G，使FG＝AF，連接AD，DG，EG．已知條件：如圖③，△ABC和△DCE都是直角三角形，∠BAC＝∠CDE＝90°，∠ACB＝∠DCE，連接BE，點(diǎn)F為BE的中點(diǎn)，連接AF，DF結(jié)論：AF＝DF，∠AFD＝180°－2∠ACB輔助線作法：取BC的中點(diǎn)G，CE的中點(diǎn)H，連接AG，F(xiàn)G，DH，F(xiàn)H．AADBFECG圖③H典例透析例1如圖，四邊形ABCD和四邊形CEFG都是正方形，連接AF，點(diǎn)M為AF的中點(diǎn)，連接DM，EM，探究線段DM，EM的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并加以證明．ADADBCHEFGNM例1ADBCEFGM例1怎樣解作輔助線的依據(jù)：正方形ABCD和正方形CEFG，點(diǎn)M為AF的中點(diǎn)輔助線作法：過點(diǎn)F作FH⊥CD于點(diǎn)H，交DM的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，連接ED，EN結(jié)論：DM＝EM，DM⊥EMADBCEFGM例1思路點(diǎn)撥：先證△ADM≌△FNM，再導(dǎo)角證△DCE≌△NFE，可得△EDN是等腰直角三角形，則ADBCEFGM例1我能解解：例2如圖，△ABC是等腰三角形，△CDE是等邊三角形，∠BAC＝120°，連接BD，點(diǎn)F為BD的中點(diǎn)，連接AF，EF，探究線段AF，EF的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并加以證明．CBCBF例2DAEGCBFDAE例2怎樣解作輔助線的依據(jù)：△ABC是等腰三角形，△CDE是等邊三角形，∠BAC＝120°，點(diǎn)F為BD的中點(diǎn)輔助線作法：延長(zhǎng)AF到G，使FG＝AF，連接AE，DG，EG結(jié)論：EF＝eq\r(,3)AF，EF⊥AF思路點(diǎn)撥：先證△ABF≌△GDF，再導(dǎo)角證△ACE≌△GDE，可得△AEG是等邊三角形，則EF＝eq\r(,3)AF，EF⊥AF．CCBF例2DAE我能解解：例3如圖，在△ABC和△AEF中，∠ACB＝∠AFE＝90°，∠ABC＝∠AEF＝30°，AE＝EQ\F(1,2)AB，B，E，F(xiàn)三點(diǎn)在同一條直線上，點(diǎn)G是BE的中點(diǎn)，連接CG，過點(diǎn)E作EH⊥AE交CG于點(diǎn)H，求EQ\F(CH,AC)的值．FBFBC例3EGMAHFBC例3EGAH怎樣解作輔助線的依據(jù)：∠ACB＝∠AFE＝90°，∠ABC＝∠AEF＝30°，AE＝EQ\F(1,2)AB，點(diǎn)G是BE的中點(diǎn)輔助線作法：取AE的中點(diǎn)M，連接FM，F(xiàn)C，GM結(jié)論：△MFG≌△AFC，△FGC和△EGH都是等邊三角形思路點(diǎn)撥：先導(dǎo)角證△MFG≌△AFC，可得△FGC和△EGH都是等邊三角形，等量代換可得EQ\F(CH,AC)的值．FFBC例3EGAH我能解解：針對(duì)訓(xùn)練ABC第1題DEF1．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，分別以AB，AC為斜邊向外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，連接DE，求證：S五邊形AEBCFABC第1題DEFABCDEF第2題2．如圖，△ABC是等腰三角形，△CDE是等邊三角形，∠BAC＝120°，點(diǎn)F為BD上一點(diǎn)，∠FAE＝60ABCDEF第2題BE第3題CAD3．如圖，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠CDE＝90°，設(shè)四邊形ABED的面積為S1，△ACD的面積為S2，若S1－BE第3題CAD4．如圖，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠ADE＝90°，點(diǎn)D在線段BC上，延長(zhǎng)BC到F，使DF＝BD，連接EC、EF，求證：△ECF等腰直角三角形．AABD第4題CFEACFDBE第5題5．如圖，△ABC和△BDE都是直角三角形，∠BAC＝∠BED＝90°，∠ABC＝∠EBD，連接CD，點(diǎn)F為CD的中點(diǎn)，連接AF，EF，求證：AF＝ACFDBE第5題6．如圖，△ABC和△DCE都是等邊三角形，點(diǎn)F在線段AD上，AF＝3DF，點(diǎn)G，H分別為BC，DE的中點(diǎn)，連接FG，F(xiàn)H，求證：FG⊥FH且FG＝eq\r(,3)FH．BBG第6題CDAHEF7．如圖1，△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠CED＝90°，連接AD，BD，點(diǎn)F為BD的中點(diǎn)，連EF．（1）探究AD與EF的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并證明；（2）如圖2，過點(diǎn)C作CG⊥EF于點(diǎn)G，連接AG，若CG＝2，EG＝3，EF＝5，求四邊形AGCD的面積．BBC圖1FA第7題DEBC圖2ADEGF3.7構(gòu)造十字架全等已知條件（正十字架）：如圖①，△ABC和△BDE都是直角三角形，∠ABC＝∠BDE＝90°，AC⊥BE，AB＝BD結(jié)論：△ABC≌△BDE已知條件（斜十字架，通常出現(xiàn)在等邊三角形中）：如圖②，在△ABC和△BDE中，∠ABC＝∠BDE，∠BAC＝∠DBE，AB＝BDABCDE圖①BABCDE圖①BCD圖②AE典例透析例1如圖，將邊長(zhǎng)為8的正方形ABCD折疊，使點(diǎn)D落在BC邊的中點(diǎn)E處，點(diǎn)A落在點(diǎn)F處，折痕為MN，則AM的長(zhǎng)是_________．ADADBC例1ENMFADBC例1ENMFG怎樣解作輔助線的依據(jù)：正方形ABCD，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)輔助線作法：連接DE，過點(diǎn)M作MG⊥CD于點(diǎn)G結(jié)論：△MNG≌△DEC思路點(diǎn)撥：先導(dǎo)角證△MNG≌△DEC，在Rt△NEC中利用勾股定理求出CN的長(zhǎng)，可得AM的長(zhǎng)．ADADBC例1ENMF解：例2如圖，在△ABC中，∠ABC＝45°，點(diǎn)D，E分別為邊AB，BC上的點(diǎn)，且AE＝AC＝CD，求證：CE＝eq\r(,2)BD．ABABC例2EDABC例2EDFG怎樣解作輔助線的依據(jù)：∠ABC＝45°，AE＝AC＝CD輔助線作法：分別過點(diǎn)D，A作BC的垂線，垂足為F，G結(jié)論：△ACG≌△CDF思路點(diǎn)撥：先導(dǎo)角證△ACG≌△CDF，再利用等腰三角形的三線合一和等量代換可證結(jié)論．AABC例2ED我能解解：例3如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，連接AE，將△ADE沿AE翻折得到△AFE，連接BF并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)G，若EG＝1，求AB的長(zhǎng)．ADADBC例3EFGADBC例3HEFG怎樣解作輔助線的依據(jù)：∠ABC＝45°，AE＝AC＝CD輔助線作法：分別過點(diǎn)D，A作BC的垂線，垂足為F，G結(jié)論：△ACG≌△CDF思路點(diǎn)撥：先導(dǎo)角證△ACG≌△CDF，再利用等腰三角形的三線合一和等量代換可證結(jié)論．AADBC例3EFG我能解解：針對(duì)訓(xùn)練1．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為邊BC，CD上的點(diǎn)，且CE＝DF，AE與BF相交于點(diǎn)O，連接OC，OD，OD＝AD，則OC的長(zhǎng)為_________．BBEC第1題FADO2．如圖，在△ABC中，∠B＝45°，點(diǎn)D，E分別在邊AB，BC上，AE⊥CD，AE＝CD，BE∶CE＝3∶4，S△AEC＝10，則S△DBE＝_________．BBC第2題DEA3．如圖，在四邊形ABCD中，AB⊥BC，AC⊥BD，AC＝BD，垂足為E，若AB＝1，AD＝eq\r(,5)，則CD的長(zhǎng)為_________．BB第3題CDA4．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是邊BC上一點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)F是邊AB上一點(diǎn)，∠BAD＋∠BCF＝∠B，AD＝CF，BE＝3，則AF的長(zhǎng)為_________．AAC第4題BFEDAB第5題FCDE5．如圖，在△ABC中，∠B＝45°，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，AE⊥CD于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，AF＝AB第5題FCDEAADEBCFG第6題AABC第7題EDF6．如圖，在□ABCD中，BE平分∠ABC交AD于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作AF⊥DC交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，交BE于點(diǎn)G，且AB＝AF，求證：DE＝CF＋AG．7．如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D，E分別在邊AC，BC上，∠ADB＝∠AEB＝60°，AE與BD交于點(diǎn)F，若AF＝a，CE＝b，求BE的長(zhǎng)（用含a，b的式子表示）．8．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D為BC下方一點(diǎn)，∠BDC＝90°，AE⊥BD于點(diǎn)E，AF⊥CE交BD于點(diǎn)F，若CD＝2，BD＝8，求AF的長(zhǎng)．AABCDEF第8題9．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ADB＝90°，點(diǎn)E是AB上一點(diǎn)，CE交BD于點(diǎn)F，AE＝DF，BC＝BD＝BE，若四邊形ABCD的面積為63，求BF的長(zhǎng)．BBC第9題FADE10．如圖，將正方形ABCD折疊，使點(diǎn)B落在邊AD上點(diǎn)E處，點(diǎn)C落在點(diǎn)G處，折痕為MN，EG交CD于點(diǎn)F．ADBC第10題ENMADBC第10題ENMGF（2）若AE＝2，DE＝4，求FN的長(zhǎng)．11．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)E在邊AC上，且AE＝BD，連接BE，過點(diǎn)A作AF⊥BE于點(diǎn)F，過點(diǎn)D作DG∥BC交AF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H．DH第11題AEBDH第11題AEBCGF（2）若DG＝kGH，求EQ\F(AF,AG)的值（用含k的式子表示）．12．如圖，將邊長(zhǎng)為12的正方形ABCD折疊，使點(diǎn)A落在邊CD上點(diǎn)E處，折痕為MN．（1）若MN＝13，求BN的長(zhǎng)；ADMBADMBCNFE第12題3.8構(gòu)造等腰直角三角形和平行四邊形ACFEBGD已知條件：如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)D，E分別是邊AC，BC上的點(diǎn)，且AC＝BE，AD＝CEACFEBGD輔助線作法：過點(diǎn)B作BG⊥BC，且BG＝CE，連接AG，EG結(jié)論：△AEG是等腰直角三角形，四邊形ADBG是平行四邊形，∠BFE＝45°典例透析GBE例1CAFD例1如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2eq\r(,5)，DB⊥BC，點(diǎn)E是邊BC上一點(diǎn)，且CE＝BD＝1，連接AE，DE，DE交AB于點(diǎn)F，∠AFE＝45GBE例1CAFDBBE例1CAFD怎樣解作輔助線的依據(jù)：∠C＝90°，DB⊥BC，CE＝BD，∠AFE＝45°輔助線作法：過點(diǎn)E作EG⊥DE交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，連接DG結(jié)論：△DEG是等腰直角三角形，四邊形AGDB是平行四邊形思路點(diǎn)撥：先導(dǎo)角證△BDE≌△CEG，則△DEG是等腰直角三角形，再證四邊形AGDB是平行四邊形，可得DG，DE的長(zhǎng)，在Rt△DBE中利用勾股定理求出BE的長(zhǎng)．BBE例1CAFD我能解解：ABE例2CDAFBE例2CD例2如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D在邊AC上，點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上，且AD＝CEABE例2CDAFBE例2CD怎樣解作輔助線的依據(jù)：∠ACB＝90°，AD＝CE，∠ABC＋∠DEC＝135°輔助線作法：過點(diǎn)A作AF⊥AC，過點(diǎn)D作DF⊥DE交AF于點(diǎn)F，連接EF結(jié)論：△AFD≌△CDE，四邊形ABEF是平行四邊形思路點(diǎn)撥：由三角形全等可得DF＝DE，△DEF是等腰直角三角形，∠DEF＝45°，由∠ABC＋∠DEC＝135°，可得∠ABC＋∠CEF＝180°，四邊形ABEF是平行四邊形，則AB＝EF＝．AABE例2CD我能解解：PAGBD例3CEFHABD例3CEF例3如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)EPAGBD例3CEFHABD例3CEF怎樣解作輔助線的依據(jù)：∠C＝90°，∠BFD＝45°輔助線作法：過點(diǎn)D作DG⊥AD且DG＝AD，連接AG，過點(diǎn)G作GH⊥BC交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，過點(diǎn)B作BP⊥BC交AG于點(diǎn)P結(jié)論：△ADG是等腰直角三角形，四邊形APBE是平行四邊形ABD例3CEF思路點(diǎn)撥：先證△ADC≌△DGH，再證四邊形APBE是平行四邊形，設(shè)PB＝AE＝x，將梯形GHCA的面積分為梯形GHBPABD例3CEF我能解解：針對(duì)訓(xùn)練1．如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，角平分線BD與CE相交于點(diǎn)O，且CD＝AB，求證：BE＝AD．AABC第1題DOE2．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠ADC＝90°，點(diǎn)F在DC的延長(zhǎng)線上，且CF＝AD，過點(diǎn)F作EF∥BC，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，求證：AE＝CD，BC＝EF．AA第2題EFBCD3．如圖，在△ABC中，BD⊥AC于點(diǎn)D，點(diǎn)E是邊BC上一點(diǎn)，連接AE交BD于點(diǎn)F，若∠AEC＝45°，BF＝2，DF＝AC＝3，求BC的長(zhǎng)．AAFBC第3題EDBG第4題CADEFO4．如圖，四邊形ABCD和四邊形CEFG都是正方形，點(diǎn)E在邊CD上，點(diǎn)G在BC的延長(zhǎng)線上，連接AF與BG第4題CADEFO5．如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，點(diǎn)D，E分別是邊AB，AC上的點(diǎn)，且BD＝AE，連接BE與CD交于點(diǎn)O，∠BOD＝45°，求證：AB＝CE，CD＝eq\r(,2)BE．AAOED第5題BC6．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，點(diǎn)D為邊AC上一點(diǎn)，AD＝2，點(diǎn)E為邊BC上一點(diǎn)，連接AE與BD交于點(diǎn)F，∠AFD＝45°，求CE的長(zhǎng)．BBC第6題EFDA7．如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，點(diǎn)D，E分別為邊AB，AC上的點(diǎn)，連接BE，CD交于點(diǎn)F，若∠BFD＝30°，BD＝3，CE＝4，CD＝10，求BE的長(zhǎng)．AABC第7題EDF8．如圖，在△ABC中，∠B＝30°，點(diǎn)D，E分別為邊AB，BC上的點(diǎn)，且AE⊥CD，AE＝CD，若CE＝2，AD＝4eq\r(,3)，求四邊形ADEC的面積．第8題第8題BCEAD9．如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為邊AB，AC上的點(diǎn)，且BF＝eq\r(,2)DE，BF與DE相交于點(diǎn)G，∠FGD＝45°，若BE＝1，DE＝eq\r(,10)，求AC的長(zhǎng)．AAFEGBC第9題D10．如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)E在邊AB上，點(diǎn)F在BC的延長(zhǎng)線上，且AE＝CF，連接DF，EF，若∠AEF＋∠BFE＝90°，△CDF的面積為2，求EF的長(zhǎng)．AAD第10題BFEC11．【基礎(chǔ)鞏固】（1）如圖1，在矩形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AD，CD上的點(diǎn)，AE＝CD，DE＝CF，求證：AF＝eq\r(,2)CE．【嘗試應(yīng)用】（2）如圖2，AB＝CD，AB與CD交于點(diǎn)O，∠BOD＝60°，直線AC與直線BD的夾角為30°，AC＝1，BD＝eq\r(,3)，求AB的長(zhǎng)．【拓展提高】（3）如圖3，在△ABC中，∠A＝45°，點(diǎn)D，E分別是邊AC，AB上的點(diǎn)，BD與CE交于點(diǎn)O，BD＝CE，∠BOC＝120°，BE＝4，CD＝3eq\r(,2)，求BD的長(zhǎng)．BBC圖1第11題ADEFACD圖2BBC圖3OOAED培優(yōu)必練AB第1題CED1．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別為邊BC，AC上的點(diǎn)，DC＝AC，∠B＝∠AED＝45°，若CE＝1，BDAB第1題CED2．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為12，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是邊BC上一點(diǎn)，過點(diǎn)O作OF⊥OE交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，若△OEF的面積為39，則EF的長(zhǎng)為_________．AADFOB第2題CEAB第3題FCED3．如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接AE，BE，EF，EF＝DF，∠EFD＝2∠AB第3題FCEDAFECBD第4題4．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D為AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接DB，將DB繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到DE，連接CE，過點(diǎn)A作AF∥BC交CE于點(diǎn)AFECBD第4題5．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊AC上，DF⊥BE交AB于點(diǎn)F，DG⊥DE交AB于點(diǎn)G，求證：AF＝FG．BB第5題DCAEFGAFCBDE第6題6．如圖，△ABC為等邊三角形，點(diǎn)D為邊AC上一點(diǎn)，點(diǎn)E為BD的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF⊥AE，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)FAFCBDE第6題7．如圖，在△ABC和△DEF中，∠BAC＝∠EDF＝90°，∠B＝∠DEF＝60°，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，連接AD并延長(zhǎng)到點(diǎn)G，使AD＝DG，連接CF，CG，F(xiàn)G，求證：△CFG是等邊三角形．AABGCDEF第7題ACB第8題EFMN8．如圖，△ABC和△AEF都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠AFE＝90°，點(diǎn)M，N分別為BF和CE的中點(diǎn)，求證：MNACB第8題EFMNADECB第9題FGHE9．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，AF⊥BE于點(diǎn)F，DG⊥CF于點(diǎn)G，交BE于點(diǎn)H，求EQ\F(DG,ADECB第9題FGHE10．如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AC，∠ABD＝∠ACD＝60°，求證：BD＋CD＝AB．AABC第10題D11．如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，∠ADB＝60°，點(diǎn)E是線段AD上一點(diǎn)，DE＝CD，連接BE，點(diǎn)F是線段AE上一點(diǎn)，BF＝BE，求證：AF＝2DE．AABC第11題DFE12．如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD＝120°，∠BCD＝90°，AB＝AD，點(diǎn)E為邊BC上一點(diǎn)，∠AEB＝60°，求證：BE＝2CE．AABCDE第12題13．如圖，在△ABC中，AC＝BC，AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E在AC上，∠AEB＝60°，BD＝3，CE＝6，求DC的長(zhǎng)．AACB第13題DE14．如圖，點(diǎn)D為等邊△ABC外一點(diǎn)，∠ADC＝30°，點(diǎn)E為BD的中點(diǎn)，連接AE，CE，并延長(zhǎng)CE交AD于點(diǎn)F．ACBEACBEF第14題（2）求證：AE⊥CF．15．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)F是DE的中點(diǎn)，連接AF，BF，AF交BC于點(diǎn)G，若∠AFB＝90°，求證：AG＝2BF＋BG．AABCDEFG第15題16．如圖，△ABC和△ADE都是等邊三角形，連接BD與CE交于點(diǎn)F，連接AF，探究AF，BF，CF的數(shù)量關(guān)系，并證明．AABC第16題EFD17．如圖，點(diǎn)D為等邊△ABC外一點(diǎn)，∠ADC＝90°，過點(diǎn)B作BE⊥CD于點(diǎn)E，求證：AD＋BE＝eq\r(,3)DE．AADEBC第17題18．如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)D，E分別為邊BC，AC上的點(diǎn)，且BD＝CE，連接AD與BE交于點(diǎn)F，點(diǎn)G為線段EF上一點(diǎn)，AG＝AE，求證：DF＋FG＝BF．AABC第18題DFGE19．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝a，AD為BC邊上的中線，點(diǎn)E為線段AD上一點(diǎn)，∠EBD＝30°，點(diǎn)F為線段DE上一點(diǎn)，點(diǎn)G為BE延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且GF＝GC，設(shè)四邊形CFEG的面積為S，求S關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式．CCB第19題DAEFG20．如圖，在△ABC中，∠BAC＝120°，點(diǎn)D，E分別為邊BC，AC上的點(diǎn)，CD＝CA，∠ADE＝30°，若AE＝2，BD＝8，求CE的長(zhǎng)．AACB第20題DE21．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D為AB邊上一點(diǎn)，以CD為底作等腰△CDE，∠DCE＝∠A，點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)，求證：EF⊥BC．CCBA第21題DEF22．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在對(duì)角線BD和邊CD上，且∠EAF＝45°，求證：AE⊥EF．AADCB第22題FE23．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)F為AC的中點(diǎn)，EF⊥AC，∠DCE＝45°，連接DE，求證：ED＝EC，ED⊥EC．AAEBDFC第23題24．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)F為AC的中點(diǎn)，EF⊥AC，∠EDC＝45°，連接DE，求證：ED＝EC，ED⊥EC．AAEBDFC第24題25．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是BC邊上一點(diǎn)，點(diǎn)F是∠BCD的外角平分線上一點(diǎn)．CB第25題DAEFP（1）若AECB第25題DAEFP（2）若AE＝EF，求證：AE⊥EF．26．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E為邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，CF＝BC，連接CE，DF，點(diǎn)M為線段CE的中點(diǎn)，點(diǎn)N在線段DF上（不與點(diǎn)D重合)，且AM＝MN．求證：（1）AM⊥MN；（2）AE＝eq\r(,2)DN．MMADFB第26題CNE27．如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)D為BC邊上一點(diǎn)，將△ABD沿AD翻折得到△AED，連接CE并延長(zhǎng)交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．（1）求∠F的度數(shù)；ACBDEFGH第27題（2）過點(diǎn)D作DG∥AC交AB于點(diǎn)G，連接EG交ACBDEFGH第27題28．如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，點(diǎn)D，E分別為邊AB，AC上的點(diǎn)，連接BE，DE，CD，BE與CD交于點(diǎn)F．CB第28題EADF（1）若BD＝CB第28題EADF（2）若BD＝CE，∠BFD＝45°，求證：DE＝CE．29．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E為AD上一點(diǎn)，連接BE，CE．ABC第29題DE（1）若∠CED＝90°，求證：∠BED＝45°ABC第29題DE（2）若∠BED＝45°，求證：∠CED＝90°，AE＝4DE．30．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AD，BC上，將正方形沿著EF翻折，點(diǎn)B恰好落在CD邊上的點(diǎn)B′處．A′B′ADECA′B′ADECB第30題F（2）設(shè)B′D＝x，AE＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．31．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，角平分線AD與BE交于點(diǎn)F．（1）求∠AFB的度數(shù)．CA第31題NBFDME（2）點(diǎn)M為DE的中點(diǎn)，連接MF并延長(zhǎng)交CA第31題NBFDME32．如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點(diǎn)D為△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，AD＝AC，連接DC，將DC繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到DE，連接CE交AD于點(diǎn)F，連接AE，BD．（1）求證：△ADE≌△BCD；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E落在AB上時(shí)，求AE∶BE的值；（3）如圖3，若F為AD的中點(diǎn)，BD＝2，求AD的長(zhǎng)．CCA圖1B第32題DEFCA圖2BEDFCA圖3BEFD33．已知點(diǎn)D是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接AD，BD，CD，以AD，BD為鄰邊作□ADBE，以AD，CD為鄰邊作□ADCF．（1）如圖1，點(diǎn)G為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)H為AC與DF的交點(diǎn)，DG∥AC，若DB2＋DF2＝40，求DB＋DF的值；（2）如圖2，若∠ADB＝90°，∠BDC＝150°，求證：□ADBE的面積是□ADCF的面積的兩倍．AABC第33題圖1DEFGHBC圖2