高中數(shù)學(xué)課件-2.3向量的坐標(biāo)表示和空間向量基本定理

空間向量與立體幾何第二章1．在給定的空間直角坐標(biāo)系中，i，j，k分別為x軸，y軸，z軸正方向上的單位向量，對于空間任意向量a，存在唯一一組三元有序?qū)崝?shù)(x，y，z)，使得a＝xi＋yj＋zk.我們把a(bǔ)＝xi＋yj＋zk叫作a的標(biāo)準(zhǔn)正交分解，把i，j，k叫作標(biāo)準(zhǔn)正交基．__________叫作空間向量a的坐標(biāo)，記作a＝_________，a＝____________叫作向量a的坐標(biāo)表示．(x，y，z)(x，y，z)(x，y，z)(x，y，z)(x，y，z)2．向量坐標(biāo)的求法若向量a不在任何一個坐標(biāo)平面內(nèi)，把a(bǔ)的起點移到坐標(biāo)原點，以a為對角線，以x軸，y軸，z軸為棱，作長方體．長方體各棱長就是相應(yīng)______________．與平面向量一樣，向量起點在原點時，終點坐標(biāo)就是向量坐標(biāo)．3．向量a在向量b上的投影一般地，若b0為b的單位向量，稱a·b0＝____________為向量a在向量b上的投影．任一向量在坐標(biāo)軸正方向上的投影就是此向量相應(yīng)坐標(biāo)．坐標(biāo)的絕對值|a|cos〈a，b〉4．空間向量基本定理如果向量e1、e2、e3是空間三個不共面的向量，a是空間任一向量，那么存在唯一一組實數(shù)λ1，λ2，λ3，使得a＝_____________________.λ1e1＋λ2e2＋λ3e35．基底(1)空間中不共面的三個向量e1、e2、e3叫作這個空間的一個__________．(2)空間中任意三個不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個________．(3)如果作為空間的一個基底的三個基向量兩兩互相垂直，那么這個基底叫作__________．基底基底正交基底6．特殊向量的坐標(biāo)表示若向量a平行x軸，則a＝(x,0,0)．若向量a平行y軸，則a＝(0，y,0)．若向量a平行z軸，則a＝(0,0，z)．若向量a平行xOy平面，則a＝(x，y,0)．若向量a平行yOz平面，則a＝(0，y，z)．若向量a平行zOx平面，則a＝(x,0，z)．1．用空間三個不共面的已知向量a，b，c可以線性表示出空間任意一個向量，而且表示的結(jié)果是唯一的．2．空間任意三個不共面的向量都可以作為表示空間向量的一個基底．3．由于0可看作是與任意一個非零向量共線，與任意兩個非零向量共面，所以三個向量不共面，就隱含它們都不是0.要明確：一個基底是一個向量組，一個基向量是指基底中的某一個向量，二者是相關(guān)聯(lián)的不同概念．4．用基底中的基向量表示向量(即向量的分解)，關(guān)鍵是結(jié)合圖形，運(yùn)用三角形法則、平行四邊形法則及多邊形法則，逐步把待求向量轉(zhuǎn)化為基向量的“代數(shù)和”．5．空間向量基本定理的證明空間向量的坐標(biāo)表示[分析]

若向量a可以用基向量e1，e2，e3表示為a＝xe1＋ye2＋ze3，則(x，y，z)就是a在基底{e1，e2，e3}下的坐標(biāo)．

空間向量基本定理投影問題[點評]

本題為綜合題，用到了投影公式．(3)題中可由i·k＝i·j＝k·j＝0，i·i＝1，j·j＝k·k＝1求出．[點評]

求投影有兩種方法：①先求出兩個點A、B分別在平面上的投影A′、B′，則A′、B′的連線就為AB在平面上的投影；②根據(jù)公式a·b0＝|a|cos〈a，b〉，b0為b的單位向量．探索性問題設(shè)a1＝2i－j＋k，a2＝i＋3j－2k，a3＝－2i＋j－3k，a4＝3i＋2j＋5k，試問是否存在實數(shù)λ、μ、v，使a4＝λa1＋μa2＋va3成立？如果存在，求出λ、μ、v的值；如果不存在，請給出證明．[點評]

本題的意思是a4能否用a1，a2，a3線性表示．其實，只要a1，a2，a3不共面，就可以表示空間任一向量．線性運(yùn)算在向量運(yùn)算中具有十分重要的作用．課堂鞏固訓(xùn)練一、選擇題1．如果a、b與任何向量都不能構(gòu)成空間的一個基底，則(

)A．a(chǎn)與b共線

B．a(chǎn)與b同向C．a(chǎn)與b反向

D．a(chǎn)與b共面[答案]

A[解析]

因為空間任意三個不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個基底，因此，a、b必與任何向量共面，所以a、b為共線向量．故選A.[答案]

A3．向量a＝(0,2,3)，則(

)A．a(chǎn)平行于x軸

B．a(chǎn)平行于平面yOzC．a(chǎn)平行于平面zOx D．a(chǎn)平行于平面xOy[答案]

B[解析]

因為a的橫坐標(biāo)為0，所以a平行于平面yOz.5．設(shè)x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空間的一個基底，給出下列向量組：①{a，b，x}，②{x，y，z}，③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}，其中可以作為空間的基底的向量組有________個．[答案]

3[解析]

②③④都可以作為空間