2024-2025版高中數(shù)學(xué)第三章不等式3.3.2.2簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的應(yīng)用學(xué)案新人教A版必修5

PAGE第2課時(shí)簡(jiǎn)潔線性規(guī)劃的應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能從實(shí)際問題中抽象出線性規(guī)劃問題,并加以解決.(數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)2.會(huì)求解線性規(guī)劃的最優(yōu)整數(shù)解問題.(數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算).關(guān)鍵實(shí)力·合作學(xué)習(xí)類型一線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用問題(數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例】某家具廠有木料90m3,五合板600m2,打算加工成書桌和書櫥出售.已知生產(chǎn)每張書桌須要木料0.1m3,五合板2m2,生產(chǎn)每個(gè)書櫥須要木料【思路導(dǎo)引】可先設(shè)出變量,寫出目標(biāo)函數(shù)和約束條件,轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題來求解.【解析】設(shè)生產(chǎn)書桌x張,生產(chǎn)書櫥y個(gè),利潤(rùn)為z元,則目標(biāo)函數(shù)為z=80x+120y,依據(jù)題意知,約束條件為QUOTE即QUOTE畫出可行域?yàn)槿鐖D所示對(duì)應(yīng)的整數(shù)點(diǎn),作直線l:80x+120y=0,并平移直線l,由圖可知,當(dāng)直線l過點(diǎn)C時(shí),z取得最大值,解QUOTE得C(100,400),所以zmax=80×100+120×400=56000,即生產(chǎn)100張書桌,400個(gè)書櫥,可獲得最大利潤(rùn).(變結(jié)論)例題中的條件不變,假如只支配生產(chǎn)書桌可獲利潤(rùn)多少?假如只支配生產(chǎn)書櫥呢?【解析】(1)若只生產(chǎn)書桌,則y=0,此時(shí)目標(biāo)函數(shù)z=80x,由例題解析圖可知zmax=80×300=24000,即只生產(chǎn)書桌,可獲利潤(rùn)24000元.(2)若只生產(chǎn)書櫥,則x=0,此時(shí)目標(biāo)函數(shù)z=120y,由例題解析圖可知zmax=120×450=54000,即只生產(chǎn)書櫥,可獲利潤(rùn)54000元.線性規(guī)劃的實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型(1)列表定條件:須要通過審題理解題意,找出各量之間的關(guān)系,最好是列成表格,找出線性約束條件.(2)定目標(biāo)函數(shù):寫出所探討的目標(biāo)函數(shù).(3)數(shù)形結(jié)合求最值:解線性規(guī)劃應(yīng)用題時(shí),先轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)潔的線性規(guī)劃問題,再按作圖、平移、求值的步驟完成即可.【補(bǔ)償訓(xùn)練】某公司生產(chǎn)A,B兩種產(chǎn)品,其中生產(chǎn)每噸A產(chǎn)品,須要甲染料1噸,乙染料4噸,丙染料2噸,生產(chǎn)每噸B產(chǎn)品,須要甲染料1噸,乙染料0噸,丙染料5噸,且該公司一天之內(nèi)甲、乙、丙三種染料的用量分別不超過50噸、160噸和200噸,假如A產(chǎn)品的利潤(rùn)為300元/噸,B產(chǎn)品的利潤(rùn)為200元/噸,設(shè)公司支配一天內(nèi)支配生產(chǎn)A產(chǎn)品x噸,B產(chǎn)品y噸.(1)用x,y列出滿意條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式,并在如圖所示的坐標(biāo)系中畫出相應(yīng)的平面區(qū)域;(2)該公司每天需生產(chǎn)A,B產(chǎn)品各多少噸可獲得最大利潤(rùn),最大利潤(rùn)是多少?【解析】(1)由題意可得,QUOTE可行域如圖所示.(2)設(shè)利潤(rùn)z=300x+200y,由QUOTE可得x=40,y=10,結(jié)合圖形可得x=40,y=10時(shí),zmax=14000.答:該公司每天需生產(chǎn)A,B產(chǎn)品分別為40噸,10噸可獲得最大利潤(rùn),最大利潤(rùn)為14000元.【拓展延長(zhǎng)】解答線性規(guī)劃應(yīng)用題的一般步驟(1)審題——細(xì)致閱讀,明確有哪些限制條件,起關(guān)鍵作用的變量有哪些.由于線性規(guī)劃應(yīng)用題中的變量比較多,為了理順題目中量與量之間的關(guān)系,有時(shí)可借助表格來理順.(2)轉(zhuǎn)化——設(shè)元.寫出約束條件和目標(biāo)函數(shù),從而將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)上的線性規(guī)劃問題.(3)求解——利用線性規(guī)劃求解.(4)作答——就應(yīng)用題提出的問題作出回答.【拓展訓(xùn)練】某人承攬一項(xiàng)業(yè)務(wù),需做文字標(biāo)牌4個(gè),繪畫標(biāo)牌5個(gè).現(xiàn)有兩種規(guī)格的原料,甲種規(guī)格每張3m2,可做文字標(biāo)牌1個(gè),繪畫標(biāo)牌2個(gè);乙種規(guī)格每張2m【解題指南】可先設(shè)出變量,寫出目標(biāo)函數(shù)和約束條件,轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題來求解.【解析】設(shè)須要甲種原料x張,乙種原料y張,則可做文字標(biāo)牌(x+2y)個(gè),繪畫標(biāo)牌(2x+y)個(gè),由題意可得QUOTE所用原料的總面積為z=3x+2y,可行域?yàn)槿鐖D陰影部分對(duì)應(yīng)的整數(shù)點(diǎn).在一組平行直線z=3x+2y中,經(jīng)過可行域內(nèi)的點(diǎn)且在y軸上截距最小的直線過直線2x+y=5和直線x+2y=4的交點(diǎn)(2,1),所以最優(yōu)解為x=2,y=1.所以運(yùn)用甲種規(guī)格原料2張,乙種規(guī)格原料1張,可使總的用料面積最小.類型二線性規(guī)劃中的最優(yōu)整數(shù)解問題(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例】某校今年支配聘請(qǐng)女老師x人,男老師y人,若x,y滿意(1)在如圖所示的坐標(biāo)系中作出可行域;(2)求該學(xué)校今年支配聘請(qǐng)的老師人數(shù)最多多少人?最少多少人?四步內(nèi)容理解題意條件:已知線性約束條件QUOTE,結(jié)論:(1)作出可行域;(2)支配聘請(qǐng)的老師人數(shù)最多多少人?最少多少人?思路探求作出可行域,求出可行域內(nèi)滿意條件的整點(diǎn).書寫表達(dá)(1)作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域?yàn)槿鐖D陰影部分對(duì)應(yīng)的整數(shù)點(diǎn):(注:圖中直線2x-y=5和x=6為虛線)(2)設(shè)z=x+y,則y=-x+z,平移直線y=-x+z,由圖象可知當(dāng)直線y=-x+z經(jīng)過點(diǎn)A時(shí),直線y=-x+z的截距最大,此時(shí)z最大.但此時(shí)z最大值取不到,由圖象可知當(dāng)直線經(jīng)過整點(diǎn)E(5,4)時(shí),z=x+y取得最大值,經(jīng)過點(diǎn)F(4,2)時(shí),z=x+y取得最小值.代入目標(biāo)函數(shù)z=x+y,得zmax=5+4=9,zmin=4+2=6.故該學(xué)校今年支配聘請(qǐng)的老師人數(shù)最多9人,最少6人.題后反思當(dāng)邊界的交點(diǎn)不是可行域內(nèi)的點(diǎn)時(shí),須要另外求區(qū)域內(nèi)的整數(shù)解,一般在交點(diǎn)的旁邊.找尋整點(diǎn)最優(yōu)解的三種方法(1)平移找解法:先打網(wǎng)格,描整點(diǎn),平移直線l,最先經(jīng)過或最終經(jīng)過的整點(diǎn)便是最優(yōu)整點(diǎn)解,這種方法應(yīng)充分利用整點(diǎn)最優(yōu)解的信息,結(jié)合精確的作圖才行,當(dāng)可行域是有限區(qū)域且整點(diǎn)個(gè)數(shù)又較少時(shí),可逐個(gè)將整點(diǎn)坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求值,經(jīng)比較求最優(yōu)解.(2)小范圍搜尋法:將求出的非整點(diǎn)最優(yōu)解旁邊的整點(diǎn)都求出來,代入目標(biāo)函數(shù),干脆求出目標(biāo)函數(shù)的最大(小)值.(3)調(diào)整優(yōu)值法:先求非整點(diǎn)最優(yōu)解及最優(yōu)值,再調(diào)整最優(yōu)值,最終篩選出整點(diǎn)最優(yōu)解.某運(yùn)輸公司有7輛載重量為6噸的A型卡車,4輛載重量為10噸的B型卡車,有9名駕駛員.在建筑某段高速馬路的工程中,此公司承包了每天運(yùn)輸360噸瀝青的任務(wù).已知每輛卡車每天來回次數(shù)為:A型車8次,B型車6次,每輛卡車每天來回的成本費(fèi)為:A型車160元,B型車280元.每天派出A型車與B型車各多少輛時(shí),公司花的成本費(fèi)最低?【解析】設(shè)公司每天所花成本費(fèi)為z元,每天派出A型車x輛,B型車y輛,則z=160x+280y,x,y滿意的約束條件為QUOTE作出不等式組的可行域?yàn)槿鐖D陰影部分對(duì)應(yīng)的整數(shù)點(diǎn).作直線l:160x+280y=0,即l:4x+7y=0.將l向右上方移至l1位置時(shí),直線l1經(jīng)過可行域上的M點(diǎn),由圖可知此時(shí)z取得最小值.由方程組QUOTE解得QUOTE但y=0.4不是整數(shù),故取x=7,y=1,此時(shí)z取得最小值.所以,當(dāng)每天派出A型車7輛、B型車1輛時(shí),公司所花費(fèi)用最低.【拓展延長(zhǎng)】在實(shí)際應(yīng)用問題中,有些最優(yōu)解往往須要整數(shù)解(比如人數(shù)、車輛數(shù)等),而干脆依據(jù)約束條件得到的不肯定是整數(shù)解,可以運(yùn)用枚舉法驗(yàn)證求最優(yōu)整數(shù)解,或者運(yùn)用平移直線求最優(yōu)整數(shù)解.最優(yōu)整數(shù)解有時(shí)并非只有一個(gè),應(yīng)詳細(xì)狀況詳細(xì)分析.調(diào)整優(yōu)值法時(shí),先求非整點(diǎn)最優(yōu)解及最優(yōu)值,再借助不定方程學(xué)問調(diào)整最優(yōu)值,最終篩選出最優(yōu)解.【拓展訓(xùn)練】某人有樓房一幢,室內(nèi)面積共180m2,擬分隔成兩類房間作為旅游客房,大房間每間18m2,可住游客5名,每名游客每天住宿費(fèi)為40元;小房間每間【解析】設(shè)隔出大房間x間,小房間y間,獲得收益為z元,則QUOTE即QUOTE則目標(biāo)函數(shù)為z=200x+150y=50(4x+3y),作出不等式組表示的平面區(qū)域,即可行域,如圖中陰影部分內(nèi)的整點(diǎn).作直線l:4x+3y=0,當(dāng)直線l經(jīng)過平移過點(diǎn)AQUOTE時(shí),4x+3y取得最大值,由于A點(diǎn)的坐標(biāo)不是整數(shù),而x,y∈N,所以點(diǎn)A不是最優(yōu)解.調(diào)整最優(yōu)解:由x,y∈N,知4x+3y≤37.令4x+3y=37,即y=QUOTE,代入約束條件①②,解得QUOTE≤x≤3.由于x∈N,得x=3,但此時(shí)y=QUOTE?N.再次調(diào)整最優(yōu)解:令4x+3y=36.即y=QUOTE,代入約束條件①②,解得0≤x≤4(x∈N).當(dāng)x=0時(shí),y=12;當(dāng)x=1時(shí),y=10QUOTE;當(dāng)x=2時(shí),y=9QUOTE;當(dāng)x=3時(shí),y=8;當(dāng)x=4時(shí),y=6QUOTE.所以最優(yōu)解為(0,12)和(3,8),這時(shí)zmax=1800.答:應(yīng)隔出小房間12間或大房間3間、小房間8間,可以獲得最大收益.【補(bǔ)償訓(xùn)練】?jī)深愃幤行С煞秩绫?成分藥品阿司匹林/mg小蘇打/mg可卡因/mg每片價(jià)格/元A(1片)2510.1B(1片)1760.2若要求至少供應(yīng)12mg阿司匹林,70mg小蘇打,28mg可卡因,兩類藥的最小總數(shù)是多少?怎樣搭配價(jià)格最低?【解析】設(shè)需用A和B兩種藥品分別為x片和y片,藥品總數(shù)為z片,價(jià)格為L(zhǎng)元.由題意,得約束條件QUOTE線性目標(biāo)函數(shù)為:藥品總數(shù)z=x+y.價(jià)格L=0.1x+0.2y.由不等式組作可行域如圖,取陰影部分的整點(diǎn),作直線l0:x+y=0,平移直線l0到l位置,l經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)z有最小值.由QUOTE解得點(diǎn)A坐標(biāo)為QUOTE.而點(diǎn)A不是整數(shù)點(diǎn),故不能作為最優(yōu)解.此時(shí),過點(diǎn)A的直線為lA:x+y=QUOTE,可行域內(nèi)與直線lA距離最近的整點(diǎn)有(1,10),(2,9),(3,8),使zmin=11,即藥品總數(shù)為11片,而相應(yīng)價(jià)格為L(zhǎng)1=0.1×1+0.2×10=2.1,L2=0.1×2+0.2×9=2.0,L3=0.1×3+0.2×8=1.9,其中的L3最小,所以Lmin=1.9(元),所以藥品最小總數(shù)為11片,其中3片A種藥、8片B種藥搭配的價(jià)格最低.類型三線性規(guī)劃的綜合應(yīng)用(數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模)角度1與向量相關(guān)的問題【典例】已知向量a=(1,3),b=(x,y),且變量x,y滿意QUOTE則z=a·b的最大值為.

【思路導(dǎo)引】利用向量運(yùn)算確定目標(biāo)函數(shù)后求最值.【解析】由變量x,y滿意QUOTE作出可行域如圖,聯(lián)立QUOTE解得AQUOTE,因?yàn)橄蛄縜=(1,3),b=(x,y),所以z=a·b=x+3y,化為y=-QUOTEx+QUOTE,由圖可知,當(dāng)直線y=-QUOTEx+QUOTE過A時(shí),直線在y軸上的截距最大,z有最大值為6.答案:6本例中若a=(2,1),試求z=a·b的最小值.【解析】z=a·b=2x+y,即y=-2x+z,則當(dāng)直線l:y=-2x+z平移到點(diǎn)(0,0)時(shí),z取得最小值z(mì)min=2×0+0=0.角度2與方程的根有關(guān)的問題

【典例】一元二次方程x2+ax+b=0的一個(gè)根在(0,1)內(nèi),另一個(gè)根在(1,2)內(nèi),則a+2b-3的值域?yàn)?

【思路導(dǎo)引】依據(jù)一元二次方程根的分布,利用對(duì)應(yīng)的函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)處取值正負(fù)確定限制條件,再利用線性規(guī)劃求值域.【解析】依據(jù)題意,令f(x)=x2+ax+b,由方程x2+ax+b=0的一個(gè)根在(0,1)內(nèi),另一個(gè)根在(1,2)內(nèi),則有QUOTE畫出對(duì)應(yīng)的可行域,如圖所示,△ABC的區(qū)域(不含邊界).其中,A(-1,0)、B(-2,0)、C(-3,2),令z=a+2b-3,當(dāng)a=-2,b=0時(shí),z=(-2)-3=-5,取得最小值,當(dāng)a=-3,b=2時(shí),z=(-3)+2×2-3=-2,取得最大值;故a+2b-3的值域?yàn)?-5,-2).答案:(-5,-2)已知一元二次方程x2+ax+b=0的一個(gè)根在[-2,-1]內(nèi),另一個(gè)根在[1,2]內(nèi),求a+b的取值范圍.【解析】設(shè)f(x)=x2+ax+b,因?yàn)橐辉畏匠蘹2+ax+b=0的一個(gè)根在[-2,-1]內(nèi),另一個(gè)根在[1,2]內(nèi),所以QUOTE即QUOTE作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖:則以a,b為坐標(biāo)軸的點(diǎn)(a,b)的存在區(qū)域?yàn)樗倪呅蜛BCD及其內(nèi)部,設(shè)z=a+b,即b=-a+z,平移直線b=-a+z,由圖象知當(dāng)直線b=-a+z經(jīng)過點(diǎn)B(0,-4)時(shí),直線b=-a+z的截距最小,此時(shí)z最小,z=0-4=-4,當(dāng)直線b=-a+z與直線CD:a+b+1=0重合時(shí),直線b=-a+z的截距最大,此時(shí)z=-1,即-4≤z≤-1,即a+b的取值范圍是[-4,-1].1.與向量有關(guān)的問題向量一般作為工具,利用向量的運(yùn)算可得目標(biāo)函數(shù)或限制條件,再利用線性規(guī)劃學(xué)問解題.2.與方程的根有關(guān)的問題若已知一元二次方程根的分布,可利用對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)求約束條件,方程的根即函數(shù)的零點(diǎn),依據(jù)零點(diǎn)的位置,轉(zhuǎn)化為區(qū)間端點(diǎn)處函數(shù)的正負(fù),即為約束條件.1.設(shè)x,y滿意約束條件QUOTE向量a=(2x,1),b=(1,m-y),則滿意a⊥b的實(shí)數(shù)m的最小值為()A.QUOTE B.-QUOTE C.QUOTE D.-QUOTE【解析】選B.由向量a=(2x,1),b=(1,m-y),a⊥b,得m=y-2x,依據(jù)約束條件畫出可行域,因?yàn)閙=y-2x,所以y=2x+m,將m的最小值轉(zhuǎn)化為直線y=2x+m在y軸上的截距,當(dāng)直線y=2x+m經(jīng)過點(diǎn)A時(shí),m最小,由QUOTE解得AQUOTE,所以滿意a⊥b的實(shí)數(shù)m的最小值為:-2×QUOTE+QUOTE=-QUOTE.2.已知α,β是方程x2+ax+2b=0的兩根,且α∈[0,1],β∈[1,2],a,b∈R,求QUOTE的最大值和最小值.【解析】因?yàn)镼UOTE所以QUOTE因?yàn)?≤α≤1,1≤β≤2,所以1≤α+β≤3,0≤αβ≤2,所以QUOTE建立平面直角坐標(biāo)系aOb,則上述不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示.令k=QUOTE,可以看成動(dòng)點(diǎn)P(a,b)與定點(diǎn)A(1,3)的連線的斜率.因?yàn)閗AB=QUOTE,kAC=QUOTE,所以QUOTE≤QUOTE≤QUOTE.故QUOTE的最大值是QUOTE,最小值是QUOTE.課堂檢測(cè)·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)學(xué)1.(教材二次開發(fā):例題改編)某旅行社租用A,B兩種型號(hào)的客車支配900名客人旅行,A,B兩種車輛的載客量分別為36人和60人,租金分別為1600元/輛和2400元/輛,旅行社要求租車總數(shù)不超過21輛,且B型車不多于A型車7輛,則租金最少為()A.31200元 B.36000元C.36800元 D.38400元【解析】選C.設(shè)租用A型車x輛,B型車y輛,目標(biāo)函數(shù)為z=1600x+2400y,則約束條件為QUOTE作出可行域,如圖中陰影部分所示,可知目標(biāo)函數(shù)過點(diǎn)(5,12)時(shí),有最小值z(mì)min=36800(元).2.鐵礦石A和B的含鐵率a,冶煉每萬(wàn)噸鐵礦石的CO2的排放量b及每萬(wàn)噸鐵礦石的價(jià)格c如表:ab/萬(wàn)噸c/百萬(wàn)元A50%13B70%0.56某冶煉廠至少要生產(chǎn)1.9萬(wàn)噸鐵,若要求CO2的排放量不超過2萬(wàn)噸,則購(gòu)買鐵礦石的最少費(fèi)用為百萬(wàn)元.

【解析】設(shè)購(gòu)買A,B兩種鐵礦石分別為x萬(wàn)噸、y萬(wàn)噸,購(gòu)買鐵礦石的費(fèi)用為z百萬(wàn)元,則z=3x+6y.由題意,約束條件為QUOTE作出可行域,如圖所示,由圖可知,目標(biāo)函數(shù)z=3x+6y在點(diǎn)A(1,2)處取得最小值z(mì)min=3×1+6×2=15.答案:153.已知點(diǎn)A(3,-1),點(diǎn)P(x,y)滿意線性約束條件QUOTEO為坐標(biāo)原點(diǎn),則在方向上的投影的取值范圍為.

【解析】因?yàn)锳(3,-1),P(x