2024-2025學年北京市某中學高三年級上冊開學測試數(shù)學試題（含答案）

2024-2025學年北京市第二中學高三上學期開學測試數(shù)學試題

一、單選題：本題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

2

1.已知全集U=R,集合M={x\x-2%-3<0}和N={x\x=2k-lfk=1,2,…}的關(guān)系的韋恩(Perm)圖

如圖所示，則陰影部分所示的集合的元素共有()

2.若ZH,71是兩條不同的直線，是三個不同的平面，則下列命題正確的是()

A.若mu工0,則租_LaB.若aly,仇1夕，則/?〃y

C.若m1則a1/?D.若？?i〃a,九〃。，則?n〃7i

0,4

3.設a=log3OA,b=log43,c=3,則()

A.a<c<bB.b<c<aC.a<b<cD.b<a<c

4.已知函數(shù)/(%)的定義域為R.當％<0時，/(%)=%3-1；當一1<%<1時，/(-%)=-/(%)；當》>-

1-1

時，則/(6)=

A.-2B.-1C.0D.2

5.定義在(-8,+8)上的任意函數(shù)/(%)都可以表示成一個奇函數(shù)g(%)和一個偶函數(shù)八(%)之和，如果/(%)=

lg(10x+1),Xe(-00,4-00),那么()

A.g(x)=x,/i(x)=lg(10x+10-x+2)

B.g(X)=-[lg(10x+1)+x],h(x)=-[lg(10x+1)-x]

C.g(x)=I，h(久)=lg(10x+1)-|

D.g(x)=-p/i(x)=lg(10x+1)+]

6.設x為實數(shù)，則'<0”是“％+工W-2”的

X

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

7.用數(shù)字0,1,2,3,4,5組成沒有重復數(shù)字的五位數(shù)，其中比40000大的偶數(shù)共有

A.144個B.120個C.96個D.72個

8.按照“碳達峰”、“碳中和”的實現(xiàn)路徑，2030年為碳達峰時期，2060年實現(xiàn)碳中和，到2060年，純電

動汽車在整體汽車中的滲透率有望超過70%,新型動力電池迎來了蓬勃發(fā)展的風口.Peakert于1898年提

出蓄電池的容量C(單位：Ah),放電時間t(單位：％)與放電電流/(單位：4)之間關(guān)系的經(jīng)驗公式：C=In-

t,其中n為Peakert常數(shù)，為了測算某蓄電池的Peakert常數(shù)幾，在電池容量不變的條件下，當放電電流/=

204時，放電時間t=20h；當放電電流/=304時，放電時間t=10%.則該蓄電池的Peakert常數(shù)幾大約為

()(參考數(shù)據(jù)：32-0.30,lg3-0.48)

4S8

A-3B3C3D.2

9.已知定義在R上的函數(shù)y=/(x)滿足：函數(shù)y=/(x—1)的圖象關(guān)于直線％=1對稱，且當xe(—8,0)

時，/(%)+%((%)<0成立(/(%)是函數(shù)/(%)的導函數(shù))，若a=(si唯)/(sin)b=(In2)/(ln2),c=

2/，ogQ),則a,b,c的大小關(guān)系是()

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.a>c>b

10.已知函數(shù)/(久)=圖+(,；；)3m(a>0,且aA1)在(-8,+8)上單調(diào)遞減，且函數(shù)

g(x)=|/(尤)|+乂—2恰好有兩個零點，則a的取值范圍是()

A.品M胃B.[輔得C.(0,|]D?居

二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。

11.已知甲盒中有3個白球，2個黑球；乙盒中有1個白球，2個黑球.若從這8個球中隨機選取一球，該球是

白球的概率是；若從甲、乙兩盒中任取一盒，然后從所取到的盒中任取一球，則取到的球是白球的

概率是.

4432

12.若(1—2)=a4x+a3x+a2x+arx+a。,貝!Ja。=；?+?=.

13.已知直線％—y+m=0與圓C:x2+y2+4x-2y=0相交，能說明“直線X—y+m=0截圓C:/+

y2+4%-2y=0所得弦長不小于2后”是假命題的一個zn的值為.

14.已知點6、尸2分別是雙曲線盤—，=l(a>0,6>0)的左、右焦點，若在雙曲線右支上存在點P,滿足

1^21=|fiF2l>且尸2到直線PR的距離等于雙曲線的實軸長，則該雙曲線的漸近線方程為.

15.已知函數(shù)f(%)=V%3—%,給出下列四個結(jié)論：

①函數(shù)/(%)是奇函數(shù)；

②Yk6R,且kW0,關(guān)于％的方程/(%)-for=0恰有兩個不相等的實數(shù)根；

③已知P是曲線y=/(%)上任意一點，MT，。)，MRPI>|；

④設M(%i，yi)為曲線y=/(x)上一點，NO2,%)為曲線y=-/0)上一點.若1/+x2\=1,則|MN|>1.

其中所有正確結(jié)論的序號是.

三、解答題：本題共6小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

16.(本小題12分)

在△ABC中，2=鑼cos4=等.

a510

(1)求證：A4BC為等腰三角形；

(2)再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使△ABC存在且唯一，求6的值.

條件①：N8=~

條件②：△ABC的面積為舁

條件③：28邊上的高為3.

注：如果選擇的條件不符合要求，第(2)問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答

計分.

17.(本小題12分)

改革開放40年來，體育產(chǎn)業(yè)蓬勃發(fā)展反映了“健康中國”理念的普及.下圖是我國2006年至2016年體育

產(chǎn)業(yè)年增加值及年增速圖.其中條形圖為體育產(chǎn)業(yè)年增加值(單位：億元)，折線圖為體育產(chǎn)業(yè)年增長率(婚

(I)從2007年至2016年隨機選擇1年，求該年體育產(chǎn)業(yè)年增加值比前一年的體育產(chǎn)業(yè)年增加值多500億元

以上的概率；

(II)從2007年至2016年隨機選擇3年，設X是選出的三年中體育產(chǎn)業(yè)年增長率超過20%的年數(shù)，求X的分布

列與數(shù)學期望；

(III)由圖判斷，從哪年開始連續(xù)三年的體育產(chǎn)業(yè)年增長率方差最大？從哪年開始連續(xù)三年的體育產(chǎn)業(yè)年增

加值方差最大？(結(jié)論不要求證明)

18.(本小題12分)

已知在四棱錐P-4BCD中，底面ABCD是邊長為4的正方形，E1P4D是正三角形，平面PAD1平面

ABCD,E、F、G分另(］是PC、PD、BC的中點.

(1)求證：4B〃平面EFG；

⑵求平面EFG與平面力BCD夾角的大??；

(3)線段PA上是否存在點M,使得直線GM與平面EFG所成角為江若存在，求出線段PM的長度；若不存

在，說明理由.

19.(本小題12分)

已知橢圓C:芻+彳=l(a>b>0)過點4(—4,0),P(2,—3).

ab

(1)求橢圓c的方程以及離心率；

⑵設直線=此一2與橢圓C交于M,N兩點，過點N作直線y=-6的垂線，垂足為Q,判斷直線MQ是否過

定點，并證明你的結(jié)論.

20.(本小題12分)

已知函數(shù)f(x)=笠二。(久)=j-ax.

(1)求函數(shù)/(x)在x=5處的切線方程；

(2)若函數(shù)/Q)和函數(shù)g(x)的圖象沒有公共點，求實數(shù)a的取值范圍.

21.(本小題12分)

已知集合出={(%1，%2,…，工=1久1，X2,…,％n是正整數(shù)1,2,3,…，n的一個排列}5>2),函數(shù)

g(x)=%Jo對于(%,￡12,…即)65^,定義：九=g(%-a1)+。(七一(^)+…+g(%-七一力，i6

{2,3,…,71},瓦=0,稱仇為7的滿意指數(shù).排歹！1瓦,歷,…，如為排列生1，a2,…，的生成列；排列

電,42,…，與為排列瓦,。2,…，喝的母列.

(I)當幾=6時，寫出排列3,5,1,4,6,2的生成列及排列0,—1,2,-3,4,3的母列；

(II)證明：若的,a2,…,即和a，,a；,…，a=為%中兩個不同排列，則它們的生成列也不同；

T

(Ill)對于隊中的排列的,a2,-,an,定義變換：將排列的,a2,-,即從左至右第一個滿意指數(shù)為負數(shù)的項調(diào)

至首項，其它各項順序不變，得到一個新的排列.證明：一定可以經(jīng)過有限次變換T將排列的,。2,…,廝變

換為各項滿意指數(shù)均為非負數(shù)的排列.

參考答案

l.B

2.C

3.C

4.0

5.C

6.C

7.8

8.F

9.71

10.4

i7

1L，/0.5；；；；；—

I9T

13.0(答案不唯一)

14.4x±3y=0

15.②③④

16.1?：(1)在△ABC中，由5=爭，可得6=等成

rn>iAV10—T-zg2/1°。、2I2o710aV10

則由COSA=H，可得a*=(—^—)2+C2-2X—XY-C,

即(a—c)(3a+5c)=0,故有c=a,

故△ABC為等腰三角形.

(2)選擇條件①:48=狎,由⑴知c=a,則有乙4=NC=衰

此時cosA=cosg=cos哈+令=與土豐罌,

與已知矛盾，三角形無解.不能選；

選擇條件②：△ABC的面積為孩時，

i+tA710［曰.r>.7-n-AAc3、10V103

由cosA=—T-1#,sinB=sin(7T—2Z)=2smzcosA=2xx——=

13

有

故Xa2c

2-5-5,b—V10.

三角形存在且唯一，可選.

選擇條件③：AB邊上的高為3.

由cosA=得，sinB=sin(?！?A)=2sin4cos4=2XX

可得。=熹=，=5,則有c=5,b=^10.

三角形存在且唯一，可選.

綜上可知：選擇條件②時，三角形存在且唯一，b=710.

選擇條件③時，三角形存在且唯一，b=/To.

17.(I)設力表示事件”從2007年至2016年隨機選出1年，該年體育產(chǎn)業(yè)年增加值比前一年的體育產(chǎn)業(yè)年增

加值多500億元以上”.

由題意可知，2009年，2011年，2015年，2016年滿足要求，

故」3?

(H)由題意可知，X的所有可能取值為0,1,2,3,且

P(X=0)=m=%P(X=1)=竽=i；

L10°L10乙

P(X=2)=字=余p(x=3)=舁=2.

L10c10

所以X的分布列為：

X01.23

P衛(wèi)31

6221030

故X的期望E(X)=0x1+lx1+2x^-+3x^-=1.

OZ1UJU□

(III)從2008年或2009年開始連續(xù)三年的體育產(chǎn)業(yè)年增長率方差最大.從2014年開始連續(xù)三年的體育產(chǎn)業(yè)

年增加值方差最大.

18.(1)因為后、F分別是PC、PD的中點，所以EF〃CD,

又因為四邊形力BCD是正方形，所以力B〃CD,所以4B〃EF,

又EFu平面G￡T,AB,平面GEF,所以AB//平面￡TG；

(2)取力D的中點0,連接PO,OG,

因為回PAD是正三角形，所以P012D,

又平面PAD1平面ABCD,平面PADn平面4BCD=AD,平面P。u平面PAD,

所以。。1平面48。。，又。Gu平面48CD,所以P。10G,

由四邊形48CD是正方形，易得4BG。是矩形，所以4010G,

以。為坐標原點，。力,OG,OP為坐標軸建立如圖所示的空間直角坐標系,

則。(0,0,0),4(2,0,0),B(2,4,0),C(-2,4,0)D(-2,0,0),G(0,4,0),P(0,0,2A<3),

￡(-l,2,73),F(-l,0,73),

所以前=(0,-2,0),EG=(0,2,0，

設平面EFG的一個法向量為元=O，y,z),

則「?竺一2y-0，令z=l,則可得y=0,x=門，

口?EG=x+2y-V3z=0

所以平面EFG的一個法向量為元=

又平面4BCD的一個法向量為加=(0,0,273),

設平面EFG與平面4BCD夾角的大小為仇

麗宿

所以COS。=2<3_1

I西?同/3+1X2/3-5’

所以平面EFG與平面ABC。夾角的大小為與

(3)線段P4上不存在點M,使得直線GM與平面EFG所成角為，理由如下:

假設線段P4上存在點“，使得直線GM與平面EFG所成角為看

即直線GM與平面EFG的法向量元所成的角為熱

設兩=2兩,；I€[0,1],GM=GP+1PM=GP+APA,

所以前=(2Z,-4,2/3(1-A)),

所以cosg=\cos(GM,n)\=\GM-n\_73

司2^4Z2-6A+7

整理可得2萬-3A+2=0,A=(—3)2-4x2x2<0,所以方程無解,

所以線段P4上不存在點M,使得直線GM與平面EFG所成角為]

O

19.(1)將/(—4,0),P(2,—3)代入橢圓方程可得費+5=1且*+1

角軍得標=16,b2=12,故c?=a2—b2=4,

故橢圓方程為卷+著=1,離心率為e=?=，

(2)聯(lián)立Ly=kx—2與橢圓方程3/+4y2=48,消去y可得(3+4fc2)%2—16kx—32=0,

設M%,%)，Q(如-6)可得與+&=詆，”2=X，

71+6

則MQ的方程為y=(%一%2)-6,又yi=kxr-2,

xl-x2

,-324

-k-3-+--4Fo-4%9

令工:0,則V=一：2仇+6)_6=犯(或］+4)_6=-Eh--6=—6

、)%1-X%L%2%L%216k

2XX

-3+-4-/c/2~2~2

32kAQ(16k?2\)

------27—4%22

3+4kA

6=----------------6=-4

-36k：__~16k

irzp-2外寸/一2n不

故直線MQ經(jīng)過定點(0,-4).

cr、c°s%4日ix、一xsinx-cosx

20.(1)由/(%)=丁得尸c(%)=—/——

故函數(shù)f(無)在％=處的切線方程為y=—2(%—5)，即y=一7%+1；

(2)因為函數(shù)/(%)和函數(shù)g(%)的圖象沒有公共點，

故/(%)=0(、)，即=：一ax無實數(shù)根，

即當?shù)赪0時，cosx+ax2—1=0無實數(shù)根，

令九(%)=cosx+ax2—1,久W0,由于/i(—%)=h(x),故九(%)為偶函數(shù),

所以九(%)在(0,+8)上無實根,

又九’(%)=—sin%+2ax,i己m(%)=/iz(x)=—sinx+2ax,

則7n'(%)=2a-cosx,xG(0,+oo),

①當a<0時，ax2<0,—1<cosx<1,則cos%—1<0,

故h(x)=cosx+ax2—1<0,滿足h(%)=0在(0,+8)上無實根;

②當a=0時，/i(x)=cos%-1=0在(0,+8)上有實根，不符合題意；

③當a>:時，mz(x)=2a—cosx>0,則九'(%)=—sinx+2a%在(0,+8)上單調(diào)遞增，

則〃(%)>h'(0)=0,故九(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增,

則以%)>/i(0)=0,滿足h(%)=0在(0,+8)上無實根；

④當0<a<g時，因為zn'(%)=2a-cos%在(0,芻上單調(diào)遞增，

且M(0)=2a-l(0,M0=2a>0,

則存在唯一的％oe(0,§使得M(%o)=2a-cosx0=0,

當0<%<無。時，m'(xo)<0,當久。<x<］時，m'(%o)>0,

則m(%)=〃⑴在(0%)上單調(diào)遞減，在［o6)上單調(diào)遞增，

故％E(O,%o)時，"(%)<"(0)=0,故九(%)在(O,%o)上單調(diào)遞減，故h(%)<h(0)=0,

又/1(2加)=4a7T2>0,且h(%)在(0,+8)上連續(xù)，

故九(%)在(0,2")上有實數(shù)根，不符合題意，

綜合可知，實數(shù)a的取值范圍為(-8,0)U百+8).

21.(1)解:當n=6時,排歹13,5,1,4,6,2的生成列為0,1,-2,1,4,-3；

排歹！J0,—1,2,—3,4,3的母歹!］為3,2,4,1,6,5.

r

(II)證明:設如。2,…，U的生成列是瓦,b2f…，bn；優(yōu)1，a%，…，a'n的生成列是與b'i，02,…,bn.

從右往左數(shù)，設排列的,。2,…,與優(yōu)L優(yōu)2,…，優(yōu)九第一個不同的項為以與a、，

即：a九=a九，。九―1=a72-1，,?