2024年高考數(shù)學復(fù)習專項試題匯編：計數(shù)原理與概率統(tǒng)計

（9）計數(shù)原理與概率統(tǒng)計

——2024年高考數(shù)學真題模擬試題專項匯編

一、選擇題

1.［2024年新課標n卷高考真題］某農(nóng)業(yè)研究部門在面積相等的100塊稻田上種植一種新型水

稻，得到各塊稻田的畝產(chǎn)量（單位：kg）并部分整理如下表所示.

畝產(chǎn)[900,950)[950,1000)[1000,1050)[1050,1100)[1100,1150)[1150,1200)

頻數(shù)61218302410

根據(jù)表中數(shù)據(jù)，下列結(jié)論正確的是（）

A.100塊稻田畝產(chǎn)量的中位數(shù)小于1050kg

B.100塊稻田中畝產(chǎn)量低于1100kg的稻田所占比例超過80%

C.100塊稻田畝產(chǎn)量的極差介于200kg到300kg之間

D.100塊稻田畝產(chǎn)量的平均值介于900kg到1000kg之間

2.［2024屆.合肥一六八中學.模擬考試］在“美麗鄉(xiāng)村”評選活動中，某鄉(xiāng)鎮(zhèn)7個村的得分如下：

10,7,6,9,8,9,5,這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)分別是（）

A.7,9B.9,9C.9,8D.8,9

3.［2024屆.山西長治.一模?？迹菀阎龋?,貝U“a=l”是“，x+?。莸亩椪归_式中常數(shù)

項為60”的（）

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

4.［2024屆.山西長治.一模?？迹菪±钯I了新手機后下載了A,B,C,。個APP,已知手機桌

面上每排可以放4個APP,現(xiàn)要將它們放成兩排，若每排都有這4個中的APP,且A和3放

在同一排，則不同的排列方式有（）

A.288種B.336種C.384種D.672種

5.［2024屆.黑龍江齊齊哈爾.一模］某飲料廠生產(chǎn)A,3兩種型號的飲料，已知這兩種飲料的生

產(chǎn)比例分別為40%,60%,且這兩種飲料中的碳酸飲料的比例分別為20%,80%,若從該廠

生產(chǎn)的飲料中任選一瓶，則選到非碳酸飲料的概率約為（）

A.0.12B.0.20C.0.44D.0.32

6.［2024屆?南寧三中?二模］若有2名女生和4名男生到“山東旅發(fā)”大會的兩個志愿服務(wù)站參

加服務(wù)活動，分配時每個服務(wù)站均要求既有女生又有男生，則不同的分配方案種數(shù)為（）

A.16B.20C.28D.40

7.［2024屆.河北.模擬考試］某小學為提高課后延時服務(wù)水平和家長滿意度，對該校學生家長就

服務(wù)質(zhì)量、課程內(nèi)容、學生感受、家長認可度等問題進行隨機電話回訪.某天共回訪5位家長，

通話時長和評分情況如下表：

時長X（分鐘）1012141519

評分y60m751.2m+590

根據(jù)散點圖分析得知y與x具有線性相關(guān)關(guān)系且求得其回歸方程為丁=3.2%+29.8，則m=（）

A.61B.63C.65D.67

二、多項選擇題

8.［2024年新課標I卷高考真題］隨著“一帶一路”國際合作的深入，某茶葉種植區(qū)多措并舉

推動茶葉出口.為了解推動出口后的畝收入（單位：萬元）情況，從該種植區(qū)抽取樣本，得到

推動出口后畝收入的樣本均值元=2.1,樣本方差?=0.01.已知該種植區(qū)以往的畝收入X服從

正態(tài)分布N（L8,012）,假設(shè)推動出口后的畝收入Y服從正態(tài)分布N（亍,$2）,則（若隨機變量Z

服從正態(tài)分布則P（Z<〃+cr）a0.8413）（）

A.P（X>2）>0.2B.P（X>2）<0,5C.P（Y>2）>0.5D.P（Y>2）<0,8

9.［2024春.高二.江西宜春?月考?？迹菽炒螖?shù)學考試后，為分析學生的學習情況，某校從某年

級中隨機抽取了100名學生的成頻，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.為進一步分析商分

學生的成績分布情況，計算得到這100名學生中，成績位于［80,90）內(nèi)的學生成績方差為12,

成績位于［90.100）內(nèi)的同學成績方差為10.則（）

參考公式：樣本劃分為2層，各層的容量、平均數(shù)和方差分別為：m,x,s^,n,J,s；平

均數(shù)為①.樣本方差為$2,s；+（i）2］.

m+n'-」m+n1-」

B.估計該年級學生成績的中位數(shù)約為77.14

C.估計該年級成績在80分及以上的學生成績的平均數(shù)為87.50

D.估計該年級成績在80分及以上的學生成績的方差為30.25

三、填空題

10.[2024年新課標I卷高考真題]甲、乙兩人各有四張卡片，每張卡片上標有一個數(shù)字，甲的

卡片上分別標有數(shù)字1,3,5,7,乙的卡片上分別標有數(shù)字2,4,6,8.兩人進行四輪比賽,

在每輪比賽中，兩人各自從自己持有的卡片中隨機選一張，并比較所選卡片上數(shù)字的大小，數(shù)

字大的人得1分，數(shù)字小的人得0分，然后各自棄置此輪所選的卡片（棄置的卡片在此后的輪

次中不能使用）.則四輪比賽后，甲的總得分不小于2的概率為..

2+一（%-2?。?42

11.[2024屆.江蘇省前黃高級中學.一模]Iy）的展開式中XV的系數(shù)為.（用

數(shù)字作答）

四、雙空題

12.[2024屆.長沙市第一中學.模擬考試]某高中學校為了響應(yīng)上級的號召，促進學生的全面發(fā)

展，決定每天減少一節(jié)學科類課程，增加一節(jié)活動課，為此學校開設(shè)了傳統(tǒng)武術(shù)、舞蹈、書法、

小提琴4門選修課程，要求每位同學每學年至多選2門，從高一到高三3個學年將4門選修課

程學完，則每位同學的不同選修方式有種，若已知某同學高一學年只選修了舞蹈與

書法兩門課程，則這位同學高二學年結(jié)束后就修完所有選修課程的概率為.

五、解答題

13.[2024年新課標H卷高考真題]某投籃比賽分為兩個階段，每個參賽隊由兩名隊員組成.比

賽具體規(guī)則如下：第一階段由參賽隊中一名隊員投籃3次，若3次都未投中，則該隊被淘汰,

比賽成績?yōu)?分；若至少投中1次，則該隊進入第二階段.第二階段由該隊的另一名隊員投籃3

次，每次投籃投中得5分，未投中得0分，該隊的比賽成績?yōu)榈诙A段的得分總和.

某參賽隊由甲、乙兩名隊員組成，設(shè)甲每次投中的概率為p,乙每次投中的概率為q,各次投

中與否相互獨立.

(1)若p=0.4,4=0.5,甲參加第一階段比賽，求甲、乙所在隊的比賽成績不少于5分的概

率.

(2)假設(shè)0<p<q.

(i)為使得甲、乙所在隊的比賽成績?yōu)?5分的概率最大，應(yīng)該由誰參加第一階段比賽？

(ii)為使得甲、乙所在隊的比賽成績的數(shù)學期望最大，應(yīng)該由誰參加第一階段比賽？

14.[2024屆.山東臨沂.二模]“趕大集”出圈彰顯了傳統(tǒng)民俗的獨特魅力.為了解年輕人對“趕

大集”的態(tài)度，隨機調(diào)查了200位年輕人，得到的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下面的不完整的2x2列聯(lián)表所示

(單位:人).

非常喜歡感覺一般合計

男性3t100

女性t

合計60

⑴求才的值，試根據(jù)小概率a=0.01的獨立性檢驗，能否認為年輕人對“趕大集”的態(tài)度與性

別有關(guān)；

⑵從樣本中篩選出5名男性和3名女性共8人作為代表，這8名代表中有2名男性和2名女

性非常喜歡“趕大集”.現(xiàn)從這8名代表中任選3名男性和2名女性進一步交流，記X為這5

人中非常喜歡“趕大集”的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學期望E(X).

參考公式:/=正端騎焉E其中…+”小

a0.10.050.01

X”2.7063.8416.635

15.[2024屆.湖南師大附中.模擬考試]某大學有甲、乙兩個運動場.假設(shè)同學們可以任意選擇其

中一個運動場鍛煉，也可選擇不鍛煉，一天最多鍛煉一次，一次只能選擇一個運動場.若同學

們每次鍛煉選擇去甲或乙運動場的概率均為;，每次選擇相互獨立.設(shè)王同學在某個假期的三

天內(nèi)去運動場鍛煉的次數(shù)為X,已知X的分布列如下：(其中。>0,0<;?<1)

X0123

a

p〃(1-p)2aa(l-p)

P

(1)記事件4表示王同學假期三天內(nèi)去運動場鍛煉，?次a=0,1,2,3),事件3表示王同學在這三

天內(nèi)去甲運動場鍛煉的次數(shù)大于去乙運動場鍛煉的次數(shù).當時，試根據(jù)全概率公式求

產(chǎn)(3)的值;

⑵是否存在實數(shù)Q使得E(X)=g?若存在，求p的值：若不存在，請說明理由；

⑶記M表示事件“甲運動場舉辦鍛煉有獎的抽獎活動”,N表示事件“王同學去甲運動場鍛煉”,

0(尸(M)<1.已知王同學在甲運動場舉辦鍛煉有獎的抽獎活動的情況下去甲運動場鍛煉的概

率，比不舉辦抽獎活動的情況下去甲運動場鍛煉的概率大，證明：P(M\N)>P(M\N).

參考答案

1.答案：C

解析：對于A,因為前3組的頻率之和0.06+0.12+0.18=0.36<0.5,前4組的頻率之和

0.36+0.30=0.66>0.5,所以100塊稻田畝產(chǎn)量的中位數(shù)所在的區(qū)間為［1050,1100),故A不正

確；

對于B,100塊稻田中畝產(chǎn)量低于11001^的稻田所占比例為/)^^^義100%=66%,故8

不正確；

對于C,因為1200-900=300,1150-950=200,所以100塊稻田畝產(chǎn)量的極差介于200kg至

300kg之間，故C正確;

對于D,100塊稻田畝產(chǎn)量的平均值為

j^x(925x6+975xl2+1025xl8+1075x30+1125x24+1175xl0)=1067(kg),故D不正確.

綜上所述，故選C.

2.答案：D

解析：某鄉(xiāng)鎮(zhèn)7個村的得分：10,7,6,9,8,9,5,由小到大排序為：5,6,7,8,9,9,

10,所以中位數(shù)為8,眾數(shù)為9.

故選：D.

3.答案：B

=晨(2力~［彳］=CX26-r-^.

解析:的展開式的通項為

的常數(shù)項為C：-a4-22=60a4=60,則a=±l)

的二項展開式中常數(shù)項為60”的充分不必要條件.

故選：B.

4.答案：D

解析：選定一排放A和3的不同方法數(shù)是A；Aj,另一排放C,。的不同方法數(shù)是A；,

不同的排列方式有A；A：A：=2x12x12=288；

從C,。中取一個與A,3同排，不同的排列方式有A；A：A；A；=384,

所以不同的排列方式有288+384=672(種).

故選D.

5.答案：C

解析：由題意，選至U非碳酸飲料的概率為40%x(l—20%)+60%x(l—80%)=0.44.

故選：C.

6.答案：C

解析:第一步,先分組,分為一組2人,另一組4人，有C；C；=8種；分為每組各3人，有==6

種，分組方法共有14種.第二步，將兩組志愿者分配到兩個服務(wù)站共有A；=2種.所以，總的分

配方案有14x2=28種.故選：C.

7.答案：C

解析：依題意，^x=|x(10+12+14+15+19)=14,

—]

y=—x(60+/n+75+1.2/n+5+90)=46+0.447〃，

將樣本中心正,y)代入回歸方程y=3.2%+29.8，

得46+0.44m=3.2x14+29.8，解得m=65?

故選：C.

8.答案：BC

解析：由題意可知，X~N(1.8,012),所以尸(X>2)<P(X>1.8)=0.5,P(X<1,9)?0.8413,

所以P(X>2)〈尸(XNL9)=1—P(X<1.9)=1—0.8413=0.1587<。2,所以A錯誤，B正確.因

為y~N(2.1,012),所以尸(7<2.2)「0.8413,P(F>2)>P(F>2.1)=0.5,所以

P(2<Y<2,1)=P(2.1<y<2,2)=P(Y<2.2)-P(Y<2,1)?0.8413-0.5=0.3413,所以

P(y>2)=P(2<y<2.1)+P(y>2.1)^0.3413+0.5=0.8413>0,8,(另解:

P(Y>2)=P(Y<2.2)?0.8413>0.8)所以C正確，D錯誤.

綜上，選BC.

9.答案：BCD

解析：對于A選項，在頻率分布直方圖中，所有直方圖的面積之和為1.

則(2a+3a+7a+6a+2a)xl0=200a=l,解得a=0.005,A錯；

對于B選項，前兩個矩形的面積之和為(2a+3a)x10=50a=0.25<0.5.

前三個矩形的面積之和為(2a+3a+7a)x10=120a=0,6>0,5.

設(shè)該年級學生成績的中位數(shù)為機，貝I]me(70,80),

根據(jù)中位效的定義可得0.25+(m-70)x0.035-0.5,解得m?77.14,

所以，估計該年級學生成績的中位數(shù)約為77.14,B對；

對于C選項，估計成績在80分以上的同學的成績的平均數(shù)為一^義85+義95=87.5分,

6a+2a6a+2a

C對；

對于D選項，估計該年級成績在80分及以上的學生成績的方差為

|[12+(87.5-85)2]+^[10+(87.5-95)2]=30.25,D對.故選：BCD.

10.答案：-

2

解析：因為甲出卡片1一定輸，出其他卡片有可能贏，所以四輪比賽后，甲的總得分最多為

3.

若甲的總得分為3,則甲出卡片3,5,7時都贏，所以只有1種組合：3-2,5-4,7-6,1-8.

若甲的總得分為2,有以下三類情況：

第一類，當甲出卡片3和5時贏，只有1種組合，為3-2,5-4,1-6,7-8；

第二類，當甲出卡片3和7時贏，有3—2,7—4,1—6,5—8或3—2,7—4,1—8,5—6或3—2,

7—6,1-4,5-8,共3種組合；

第三類，當甲出卡片5和7時贏，有5—2,7—4,1-6,3—8或5—2,7—4,1-8,3—6或

5-4,7-2,1-6,3-8或5-4,7-2,1-8,3-6或5-2,7-6,1-4,3-8或5-2,7-6,

1-8,3-4或5-4,7-6,1-2,3-8,共7種組合.

綜上，甲的總得分不小于2共有12種組合，而所有不同的組合共有4x3x2x1=24(種)，所

以甲的總得分不小于2的概率尸=上19=上1.

242

11.答案：-40

解析：(x—2y)6的通項公式為4+1=C"~(—2y)'=q(—2)'產(chǎn)「V,

令r=2得，n=建(-2)2凸2=60卷2,此時60-廣2=120凸2,

令r=3得,n爪6(-2)尤y=-160%y,此時y,

49

故xy的系數(shù)為120—160=-40

故答案為：-40

12.答案：①.54②，或0.25

4

解析：由題意可得三個學年修完四門選修課程，每學年至多選2門，

則每位同學每年所修課程數(shù)為1,1,2或0,2,2.

先將4門選修課程按1,1,2分成三組，有C】C[C；種方式,再分到三個學年，有A；種不同

A；

方式，

由分步計數(shù)原理得，不同的選修方式共有C￡C.A；=36種.

尺

「202

同理，將4門選修課程按0,2,2分成三組，再排列，有金2.8=18種，

席

所以共有36+18=54種不同選修方式；

若將“某同學高一學年只選修了舞蹈與書法兩門課程”記為事件4將“高二學年結(jié)束后就修

完所有選修課程”記為事件反

根據(jù)題意，滿足事件A的所有選課情況共4種情況，其中包含高二選修完或高三選修完其他2

門，或是高二，高三各選1門，共4種情況，

其中同時滿足事件B的僅有1種情況.根據(jù)條件概率公式P(B|A)=[券，可知所求概率為;.

故答案為：54；1

4

13.答案：(1)0.686

⑵(i)甲

(ii)甲

解析：(1)設(shè)/="甲、乙所在隊進入第二階段”，則P(A)=1-(1-0.4)3=0.784.

設(shè)&="乙在第二階段至少得5分”，則P(4)=l—(1—0.5)3=0.875.

設(shè)&="甲、乙所在隊的比賽成績不少于5分”，則尸(4)=尸(A)?尸(4)=0.686.

(2)(i)設(shè)甲參加第一階段比賽時甲、乙所在隊得15分的概率為4,

則謂=[1一(1—p)31/=p/.(3—3p+p2).

設(shè)乙參加第一階段比賽時甲、乙所在隊得15分的概率為名，

則與=小3.(3_3q+/).

則與=pq(3q2-3Pqi+p2q2-3p2+3p1q-p1q1^=3pq{q-p)-{p+q-pq),

由0<p<q<l,得q-p>0,p+q-pq=p+q(l-p)>0,

所以編-名〉0,即編〉鄉(xiāng).

故應(yīng)該由甲參加第一階段比賽.

(ii)若甲參加第一階段比賽，則甲、乙所在隊的比賽成績X的所有可能取值為0,5,10,

15.

333

p(X=0)=(l-Jp)+[l-(l-Jp)]-(l-^)

P(X=5)=[1—(1—p)31c；.q.(l—4,

P(X=10)=[l—(1—p)31c；—q),

P(X=15)=[1—(1—p)31c：/,

2

所以E(X)=[1—(1-p)3].[15q(l—q)2+30^(l-^)+l5/]

==]5pq(p2—3〃+3).

若乙參加第一階段比賽，則甲、乙所在隊的比賽成績y的所有可能取值為0,5,10,15.

同理，可得E(y)=15pq(/_3q+3).

E(X)-E(Y)=15pq(p2-3p—/+3q)=15pq-(q-p)-(3-p-q),

由0<p<qKl,得q-P>0，3-p-q=3-(p-bq)>0,

所以E（X）-E（y）＞0,即E（X）＞E（y）.

故應(yīng)該由甲參加第一階段比賽.

14.答案：（1）年輕人對“趕大集”的態(tài)度與性別有關(guān)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.01.

（2）分布列見解析，E（x）=—

解析：（1）由題意可知：3f+（60-。=100,解得f=20,

2x2列聯(lián)表如下:

非常喜歡感覺一般合計

男性6040100

女性8020100

合計14060200

2_200x(60x20-80x40)2

__140x60x100x100-

200x20002

?9.524>6.635.

140x60x100x100

根據(jù)小概率值。=0.01的獨立性檢驗，認為年輕人對“趕大集”的態(tài)度與性別有關(guān)，此推斷犯

錯誤的概率不大于0.01.

（2）設(shè)進一步交流的男性中非常喜歡“趕大集”的人數(shù)為如女性中非常喜歡“趕大集”的人

數(shù)為〃，則X=7"+〃，且X的所有可能取值為1,2,3,4.

p(X=l)=p(m=0,?=l)=^^=^=^,

P(X=2)=p(m=L"=1)+P(m=o,"=2)==U，

I/I7v)cqC；Cq；cC；C；30

z^'il-Irsrs

p(X=3)=P(m=2,H=l)+P(m=l,n=2)=^y-^+-^^=—=-,

P(X=4)=P(m=2,n=2)=232=—二一.

v'v'C；C；3010

???X的分布列為

X1234

11321

p

1530To

12cl3.12,