2024屆江蘇省南京市高考三模數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

2024屆江蘇省南京市雨花臺中學(xué)高考三模數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.集合/={xeN「l<x<4}的子集個(gè)數(shù)為（）

A.2B.4C.8D.16

2.將編號為1,2,3,4的4個(gè)小球隨機(jī)放入編號為1,2,3,4的4個(gè)凹槽中，每個(gè)凹槽放一個(gè)小球,

則至少有2個(gè)凹槽與其放入小球編號相同的概率是（）

1r7c7-17

A.-B.—C.—D.—

4241224

3.已知復(fù)數(shù)Z滿足卜-才=2+乙則復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)的軌跡為（）

A.圓B.橢圓C.雙曲線D.拋物線

4.已知方程sin2a+2sinacosa-2sina-4cosa=0,貝Ucos%-sinacoso=（）

4334

A.—B.—C.——D.—

5555

5.在平行四邊形NBC。中，點(diǎn)區(qū)廠分別滿足礪前，存=：灰.若麗=兀而+國,

則實(shí)數(shù)的值為（）

1177

A.——B.-C.——D.-

5555

6.已知eJlg3,Z?=lg（ln3）,c=ln1,則b,。的大小關(guān)系是（）

A.c<b<aB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a

7.已知球。的直徑為尸C=26,43是球面上兩點(diǎn)，且PA=PB=?ZAPB=,則三棱

錐的體積（）

A.@B.V3C.—D.V6

22

22

8.己知雙曲線C:=-4=l（a>0,b>0）的左，右頂點(diǎn)分別為4,4，尸是雙曲線上不同于4,

ab

4的一點(diǎn)，設(shè)直線4P,4尸的斜率分別為心加則當(dāng)，+山（桃2）取得最小值時(shí)，雙曲線C的

離心率為（）

A.孚B.V2c.V3D.2

試卷第1頁，共4頁

二、多選題

9.下列命題中正確的是（）

A.已知隨機(jī)變量則O（3X+2）=12

B.P（B）=P（AB）+P辟）

C.已知一組數(shù)據(jù)：7,7,8,9,5,6,8,8,則這組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)是8

D.某小組調(diào)查5名男生和5名女生的成績，其中男生成績的平均數(shù)為9,方差為11；

女生成績的平均數(shù)為7,方差為8,則這10名學(xué)生成績的方差為10.5

10.在棱長為3的正方體N3CD-4800中，M是4月的中點(diǎn)，N在該正方體的棱上運(yùn)動(dòng),

則下列說法正確的是（）

A.存在點(diǎn)N,使得MV//BG

B.三棱錐河一43。的體積等于:

C.有且僅有兩個(gè)點(diǎn)N,使得〃平面43G

D.有且僅有三個(gè)點(diǎn)N,使得N到平面43cl的距離為百

11.下列等式中正確的是（）

88

A.才以=28

B.

*-=1k=2

春k-1,18、

c.y——=i——D.￡?)=墨

hk\8!k=0

12.已知圓。i+/=2,過點(diǎn)M（l,3）的直線/交圓。于A,3兩點(diǎn)，且|/8|=2,則直線/

的方程為.

13.分形幾何學(xué)的創(chuàng)立為解決傳統(tǒng)科學(xué)眾多領(lǐng)域的難題提供了全新的思路.圖1是長度為1

的線段，將圖1中的線段三等分，以中間部分的線段為邊，向外作等邊三角形，再將中間部

分的線段去掉得到圖2,稱為“一次分形”；用同樣的方法把圖2中的每條線段重復(fù)上述操作,

得到圖3,稱為“二次分形”……,依次進(jìn)行““次分形"（〃eN*）.規(guī)定：一個(gè)分形圖中所有

線段的長度之和為該分形圖的長度，要得到一個(gè)長度不小于30的分形圖，則〃的最小整數(shù)

值是.（取lg3,0.4771,lg2?0.3010）

試卷第2頁，共4頁

圖1圖2圖3

14.古希臘數(shù)學(xué)家托勒密在他的名著《數(shù)學(xué)匯編》里給出了托勒密定理，即圓的內(nèi)接凸四邊

形的兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積.已知NGAD為圓的內(nèi)接四邊形/BCD的兩

條對角線，sinZCBD:sinZBDC:sinZBAD=1：1：V3,AC=4,則△48。面積的最大值

為.

四、解答題

15.在三角形48c中，角4B,C所對的邊分別為a,b,c,已知

(Q-c)(sinA+sinC)=Z?(sinA-sinB),

(I)求角C的大小；

(11)若0=百且6氏，求6-g”的取值范圍.

16.如圖1,在直角梯形48CD中，AB//DC,AB1BC,ZBAD=45°,AB=6,CD=2,E,F分

別為4D,3C的中點(diǎn)，沿即將平面EFCD折起，使二面角。-斯-3的大小為60。，如圖2

所示，設(shè)分別為/民8尸的中點(diǎn)，P為線段AD上的動(dòng)點(diǎn)(不包括端點(diǎn)).

⑴求證：CN1AE；

7Ap

⑵若直線依與平面ZOE所成角的正弦值是求

5AD

17.學(xué)習(xí)強(qiáng)國中有兩項(xiàng)競賽答題活動(dòng)，一項(xiàng)為“雙人對戰(zhàn)”，另一項(xiàng)為“四人賽”.活動(dòng)規(guī)則如

下：一天內(nèi)參與“雙人對戰(zhàn)”活動(dòng)，僅首局比賽可獲得積分，獲勝得2分，失敗得1分；一天

內(nèi)參與“四人賽”活動(dòng)，僅前兩局比賽可獲得積分，首局獲勝得3分，次局獲勝得2分，失敗

均得1分.已知李明參加“雙人對戰(zhàn)”活動(dòng)時(shí)，每局比賽獲勝的概率為:；參加“四人賽”活動(dòng)

2

試卷第3頁，共4頁

(每天兩局)時(shí)，第一局和第二局比賽獲勝的概率分別為D1.李明周一到周五每天都參

加了“雙人對戰(zhàn)”活動(dòng)和“四人賽”活動(dòng)(每天兩局)，各局比賽互不影響.

(1)求李明這5天參加“雙人對戰(zhàn)”活動(dòng)的總得分X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

⑵設(shè)李明在這5天的“四人賽”活動(dòng)(每天兩局)中，恰有3天每天得分不低于3分的概率為

/(P).求p為何值時(shí)，/(P)取得最大值.

2222

18.已知平面直角坐標(biāo)系無2y中，橢圓E:1+%=l(a>6>0)與雙曲線C:4=1.

⑴若E的長軸長為8,短軸長為4,直線乙：>=履+機(jī)優(yōu)w±2)與C有唯一的公共點(diǎn)W,過M

且與人垂直的直線分別交x軸，>軸于點(diǎn)工?0)1(0/)兩點(diǎn)，當(dāng)“運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)。(xj)的

軌跡方程；

⑵若E的長軸長為4,短軸長為2,過E的左焦點(diǎn)片作直線4與E相交于己。兩點(diǎn)(尸在x軸

上方)，分別過尸作E的切線，兩切線交于點(diǎn)N,求△貓。面積的最小值.

19.已知｛%｝是由正整數(shù)組成的無窮數(shù)列，該數(shù)列前〃項(xiàng)的最大值記為即

Mn^max｛al,a2,---,an｝;前〃項(xiàng)的最小值記為”,即叫=min,”如…,%｝，令P"=M"-m"

(〃=1,2,3,…)，并將數(shù)列｛p,｝稱為｛冊｝的“生成數(shù)列”.

⑴若知=3",求其生成數(shù)列｛p,J的前〃項(xiàng)和；

(2)設(shè)數(shù)列也｝的“生成數(shù)列”為｛%｝,求證：P?=q?;

⑶若｛p,J是等差數(shù)列，證明：存在正整數(shù)%,當(dāng)〃》時(shí)，an,an+l,an+2,…是等差數(shù)列.

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

題號12345678910

答案DBDBBCCAABDBC

題號11

答案BCD

1.D

【分析】先求出集合，再求出子集個(gè)數(shù)即可.

【詳解】由題意，得/={04,2,3},故集合/子集個(gè)數(shù)為2,=16個(gè).

故選：D.

2.B

【分析】利用排列組合，先求出將編號為1,2,3,4的4個(gè)小球隨機(jī)放入編號為1,2,3,4的4個(gè)

凹槽中的放法數(shù)，再求出至少有2個(gè)凹槽與其放入小球編號相同的放法數(shù)，再利用古典概率

公式，即可求出結(jié)果.

【詳解】將編號為123,4的4個(gè)小球隨機(jī)放入編號為123,4的4個(gè)凹槽中，共有A：=24種

放法，

恰有2個(gè)凹槽與其放入小球編號相同的有C；=6種放法，4個(gè)凹槽與其放入小球編號相同的

有1種放法，

C2+17

所以至少有2個(gè)凹槽與其放入小球編號相同的概率是尸=,

鼠424

故選：B.

3.D

【分析】設(shè)2=》+行卜/€11),運(yùn)用復(fù)數(shù)加、減運(yùn)算及復(fù)數(shù)模的公式計(jì)算即可.

【詳解】設(shè)2=》+行(x,yeR),則w=x-yi,

所以z+^=x+yi+x-yi=2x,z-z=(x+yi)-(x-yi)=2yi,

所以|z-z「二4y之，

又|z-z「=z+z,所以4y=2x,即y=—x,

所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)的軌跡為拋物線.

故選：D.

答案第1頁，共16頁

4.B

【分析】由sin2a+2sinacosa-2sina-4cosa=0,變形為⑸口。+2cosa/sina—2)=0,得

到tana=-2,再由cos?。-sinacosa=巫勺逆等，利用商數(shù)關(guān)系求解.

cosa+sina

【詳解】解：因?yàn)榉匠蘳in2a+2sinacosa-2sina-4cosa=0,

所以sincr(sincr+2cosa)—2(sina+2cosa)=0,

即(sina+2costz)(sina-2)=0,則sina+2cosa=0或sina-2=0(舍去),

所以tana=-2,

匚匚「I2.COS26Z-sincrcoscr

所以COSa-S1I16ZCOS6Z=----------------------------------

cosa+sina

1-tana1-(-2)3

1+tan2al+(-2)25'

故選：B

5.B

【分析】設(shè)在=1,方=B，由赤=g就，DF=^DC,得至1」元=7+；3,#=；3+B，

結(jié)合平面向量的基本定理，化簡得到-)+否=,+；〃)@+[2+〃]坂，即可求解.

【詳解】由題意，T&AB=a,AD=b＞則在平行四邊形ABCD中，

因?yàn)閷?；Z，~DF=^DC,所以點(diǎn)￡為5C的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在線段。。上，且C尸=2。尸，

——?11-

所以ZE=3+―6,/T7=+6,

23

又因?yàn)辂?2赤+〃/，^~BD=~AD-~AB=b-a，

所以菖+b=AA.E+juA.F—Aftz+~Z?)+6j—++,

111

4+—〃=—l

解得’;，所以〃=!。

所以2+

1

—A4~—1

故選：B.

答案第2頁，共16頁

【點(diǎn)睛】平面向量的基本定理的實(shí)質(zhì)及應(yīng)用思路：

1、應(yīng)用平面向量的基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)時(shí)利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量

的加、減或數(shù)乘運(yùn)算；

2、用平面向量的基本定理解決實(shí)際問題的一般思路是：先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將

條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運(yùn)算來解決.

6.C

【分析】根據(jù)題意結(jié)合對數(shù)函數(shù)單調(diào)性分析判斷即可.

【詳解】因?yàn)閑"=lg3,可得。=ln(lg3),

且31g3=lg27>l,則lg3>；,可得ln(lg3)>lng,所以a>c；

又因?yàn)閘n3>l>lg3>0,則lg(ln3)>0>ln(lg3),所以6>a；

綜上所述：.

故選：C

7.C

【分析】利用球體的性質(zhì)先計(jì)算球心到平面4打的距離，再根據(jù)棱錐的體積公式計(jì)算即可.

【詳解】由題意可知八4必為正三角形，設(shè)其外接圓圓心為半徑為八

.2r=-------=>PM=r=\

則n.兀，且四_1平面/尸5,

sin—

3

所以(W=尸2.=&，故C到平面4PB的距離為2女，

所以三棱錐尸-/3C的體積為』x2行x且x(百Y=".

8.A

【分析】先根據(jù)雙曲線的方程，得到4再設(shè)2=x,通過求導(dǎo)，判斷函數(shù)

\a)a

答案第3頁，共16頁

/(x)=21nx+^的極小值點(diǎn)，得到2的值，再根據(jù)。，4c的關(guān)系求雙曲線的離心率.

xa

22

【詳解】設(shè)PQ,y)為雙曲線C上異于4、4兩點(diǎn)的任意一點(diǎn)，則1-看=1，

ab

又44(a,o),所以：

x+ax-ax-ax-aa

所以q+In⑶、3+21/,

b\a)ba

設(shè)2=%,貝!j/(x)=21nx+L(%>0),

ax

/，/\212x—11

因?yàn)?(x)=------2-2—>0=>x>—,

xxx2

所以/'(X)在，,上單調(diào)遞減，在+也［上單調(diào)遞增，所以當(dāng)X=g時(shí)，函數(shù)取得最小值.

即2=1時(shí)，f+in上住取得最小值.

a2b

此時(shí)：<7=2Z>=>a2=4Z>2=4(c2-a2)=>5a2=4c2e2=-^-r=—=>e=—.

V7aA2

故選：A

9.ABD

【分析】對于A,根據(jù)二項(xiàng)分布的方差計(jì)算公式求解；對于B,根據(jù)概率公式判斷；對于C,

先把數(shù)據(jù)從小到大排列，8個(gè)數(shù)中的第3個(gè)數(shù)即為結(jié)果；對于D,根據(jù)分層方差與總方差的

計(jì)算公式求解.

【詳解】對于A,隨機(jī)變量X?46,6,D(X)=6x|x|=|,則。(3X+2)=9D(X)=12,

故A正確；

對于B,P(B)=尸故B正確；

對于C,依題意，這組數(shù)據(jù)共8個(gè)，從小到大排列為5,6,7,7,8,8,8,9,

因?yàn)?x30%=2.4,所以第30百分位數(shù)是7,故C錯(cuò)誤；

對于D,依題意，設(shè)5名男生為再,馬，一工5，5名女生為%…，

這10名學(xué)生的平均成績元=，(5X9+5X7)=8,

這100名學(xué)生數(shù)學(xué)成績的方差底=^-[11+(9-8)2]+^-[8+(7-8)2]=10.5,故D正確.

答案第4頁，共16頁

故選：ABD.

10.BC

【分析】根據(jù)點(diǎn)M的位置容易判斷A,由嗑.4g=嚷4g求解可判斷B；當(dāng)N[,N]分別為

片民用。中點(diǎn)時(shí)，可判斷C；易證平面且。，平面/?！盖?/p>

4Q=002=&。=6，可判斷D.

【詳解】對于A,顯然無法找到點(diǎn)N,使得NV//8G，故A錯(cuò)；

11139

對于B,VM_AiBCt=VB_AxMCx=-S^MCi-315=-x-x-x3x3=-,故正確；

對于C,如圖所示N”N2分別為8避出￡中點(diǎn)，有肱V,〃平面48G，兒亞2〃平面4臺￡，

故正確；

對于D,易證耳。1?平面43C],8QJ■平面NCD],^.BXOX=O1O2=O2D=^B]D=y/3,

所以有點(diǎn)用,4c,。四點(diǎn)到平面4g的距離為百，故D錯(cuò).

故選：BC

小Dx

11.BCD

【分析】利用(1+x)8的展開式與賦值法可判斷A,利用組合數(shù)的性質(zhì)C：+C：=C"可判斷B,

利用階乘的裂項(xiàng)法可判斷C,構(gòu)造(l+x)"=(l+x)8(l+尤了求其含V的項(xiàng)的系數(shù)可判斷D.

【詳解】對于A,因?yàn)?1+X)8=C；+C；X+C：X2+...+C；X8,

88

令X=l,得28=1+C；+C；+…+C：=l+Zcj,貝！]￡《=28-1,故A錯(cuò)誤；

k=lk=\

對于B,因?yàn)镃；+C：=C

8

所以Ec：=c；+C；+C；+???+《=C；+C；+C；+…+C；

k=2

答案第5頁，共16頁

=C；+C；+…+C；=-=C；+C；=C：,故B正確；

1TLi,11眉一(左一1)!(左一1)(左一1)!k-1

」丁，口刀("1)!k\左!(4-1)!-后-今！k!'

所心，、以，￡左蕓一r1?￡[『1一1升『11721r13r“十T1虬1,J1，注故c十正確.?

對于D,(1+x)16=(l+x)8(l+x)8,

對于(1+X);其含有爐的項(xiàng)的系數(shù)為C：6，

對于(1+X)8(1+X)8,要得到含有V的項(xiàng)的系數(shù)，

須從第一個(gè)式子取出左(。＜左V8,左€N)個(gè)x,再從第二個(gè)式子取出8-上個(gè)X,

882

它們對應(yīng)的系數(shù)為2cte/=z(c；y,

k=0k=0

8

所以E?)-2=C，故D正確.

k=0

故選：BCD.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題D選項(xiàng)解決的關(guān)鍵是，利用組合的思想，從多項(xiàng)式(l+x)1l+x)8

中得到含有x8的項(xiàng)的系數(shù)，從而得解.

12.x=l或4x-3y+5=0

【分析】當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)求出|力用；當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，設(shè)/的方程為

y-3=k(x-l),利用所以由圓心(0,0)到直線/的距離d、手、圓的半徑構(gòu)成的直角三角

形求出上可得答案.

【詳解】當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，設(shè)/的方程為x=l,

[x=lfx=l\x=\

[x+y=2卜=1[7=-1

所以|1一(一1)|=2=|明,符合題意;

當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，設(shè)/的方程為V-3=Mx-l),

因?yàn)閨/同=2,所以圓心(0,0)到直線/的距離d=,

71+k

答案第6頁，共16頁

由邑f+/=2,得左=：,

43

4

所以直線/的方程為k3=?1）,

則直線」的方程為x=l或4x-3y+5=0.

故答案為：x=l或4x-3y+5=0.

13.12

【分析】根據(jù)題意得到每次分形后所得線段之和為首項(xiàng)為4;，公比是4;的等比數(shù)列，求出〃

33

次分形后線段之和為,列出不等式，結(jié)合〃eN*,求出“212.

4

【詳解】由題意得：“n次分形”后線段之和是“（n-1）次分形”后所得線段之和的且

一次分形后線段之和為:1義4=4；,故每次分形后所得線段之和可看出首項(xiàng)為4彳，公比是4；的

3333

等比數(shù)列，故〃次分形后線段之和為（X弓:故（￡]:30,兩邊取對數(shù)得：

（21g2-lg3）77>l+lg3,又〃eN*,解得:n>\2,故〃的最小整數(shù)值為12.

故答案為：12

14.373

【分析】先通過正弦定理得到CD:8C:8。=1:1:6,再結(jié)合托勒密定理求出AD+AB=A6

最后由面積公式及基本不等式即可求出最大值.

【詳解】如圖，可知NA4O+N8CD=180。，由誘導(dǎo)公式可得sinNB/OusinNBCZ）,

答案第7頁，共16頁

A

又sinZCBD:sinZ.BDC:sinABAD=1:1:百，

故sin/CBD:sin/BDC:sin/BCD=1:1：A/-3,

在△BC。中，由正弦定理可得co：Bc：5z)=1:1：6,

所以設(shè)CD=k,BC=k,BD=Ck,

由余弦定理可得cos/BCD=kfk2=_L,

2k22

27rTT

因?yàn)?BCDe(0#),所以故=

33

則由托勒密定理可得C52￡>+CD-48=NC-8D,

所以k-AD+k-AB=辰-4,所以40+48=4百，

又S-BD=^AD-AB-smZDAB=-AB-AD<g。=3，,

當(dāng)且僅當(dāng)AB=AD時(shí)取等號.

故△48。面積的最大值為3VL

故答案為：3A/3.

15.(I)(II)斗，百

3L2)

【解析】(1)利用正弦定理將角化邊，再利用余弦定理求出角C；

(2)由正弦定理可得b=2sin8,a=2sin/,將6-工。轉(zhuǎn)化為關(guān)于B的三角函數(shù)，利用三角

2

函數(shù)的性質(zhì)求出取值范圍.

【詳解】解：(1)(ci-c)(sinA+sinC)=Z?(sinA-sinB)

222

由正弦定理，(a—c)(a+c)=6(a—6),^a-c=ab-b

由余弦定理，cosC=g-+b~~C-=-,

2ab2

答案第8頁，共16頁

又???Ce(O,萬)

b_a_c_V3

(2)因?yàn)椤?百且bNc,由正弦定理得sinBsin/sinC

T

:.b=2sinB,a=2sinA,

2%

'：B+A=—

3

2萬

...4=------B

3

'：b>c

:.B>C

"八2〃

33

廠.工。

6—=2sinB—sin/=2sin3—sin胃.B

2

=-sin5-—cos5

22

=VJsin(B-?)

71,n7171

:.—<B——<—

662

71

—<sin|5--|<1

26

:.b--ae

2

7

【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理解三角形，三角恒等變換以及正弦函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.

16.(1)證明見解析

AP

(2)-----二

vJAD5

【分析】(1)由已知可證得斯，平面5C/，進(jìn)而可證得即，CN,通過證出CNL跳"

證得CN_L平面/2FE,即可證得結(jié)果；

(2)以N為原點(diǎn)，NQ,沏,NC所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

求出/DE平面的一個(gè)法向量，以及訴,即可利用線面角的向量公式解出.

【詳解】(1),??旦下分別為/3BC的中點(diǎn),昉〃48.

答案第9頁，共16頁

EF1FB,EF1FC

■：FBCFC=F,FB,FCu平面BCF

;.EF_L平面8CF,,；CNu平面BCF,EFLCN,

■：NCFB是二面角C一EF-B的平面角，:.ZCFB=60°.

FC=FB,:ABCF為等邊三角形，

CN1BF.

EF("IBF=F,EF,BFu平面ABFE,

，CN_L平面/8FE,

又/Eu平面ABFE,CNLAE.

(2)設(shè)/￡中點(diǎn)為。，由(1)知NQ,A?,NC兩兩垂直，以N為原點(diǎn)，NQ,NB,NC所在直

線分別為x軸，F(xiàn)軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

AB=6,CD=2,ABAD=45°,CF=BF=2,

C(0,0,V3),A(6,1,0),￡,(4,-1,d),Z)(2,0,^3)，.3,1,。，

.-.Z5=(-4,-1,V3),ZE=卜2,-2,01疝=6,0,0),

設(shè)平面ADE的法向量為五=(x,y,z),貝!]

n-AE=0f2x+2y=0

一即r

n-AD=0[-4x-y+s/3z=0

取x=l,貝！]y=—l,z=百，萬=(1,—1,君)，

設(shè)方=%茄=(Y2,-46勾，2e(0,1),

:.MP=MA+AP=(3,0,0)+(-42-2,5^2)=(3-42,-2,V3/l),

設(shè)A0與平面/DE所成的角為6?,則

sin9=\cosMP,n\==/

11國(3-4行+分+3萬

答案第10頁，共16頁

_________3_________3

V5A/2022-24A+95'

解得力=［或2=1（舍）

,AP_1

一罰一不

17.⑴分布列見解析，E（X）=7.5（分）

2

⑵P二

【分析】（1）X可取5,6,7,8,9,10,求出對應(yīng)隨機(jī)變量的概率，從而可求出分布列，

再根據(jù)期望公式求出數(shù)學(xué)期望即可；

（2）先求出一天得分不低于3分的概率，再求出恰有3天每天得分不低于3分的概率為了（P）,

再根據(jù)導(dǎo)出求出函數(shù)“P）的單調(diào)區(qū)間，即可得出答案.

【詳解】（1）解：X可取5,6,7,8,9,10,

「"AC；出If，*X=6）=C；小出4.

2

*X=7）=嗯IX5

尸（X=8）=C；

16

P（X=9）=C：［I尸（X=10）=C；?1

32

分布列如下:

X5678910

155551

P

323216163232

所以E（X）=5X—+6x—+7x—+8x—+9x—+10x—=7.5（分）；

323216163232

（2）解：設(shè)一天得分不低于3分為事件A,

則尸（/）==

則恰有3天每天得分不低于3分的概率

答案第11頁，共16頁

/（。）=。［寸］“一寸［2=黑（2。+1）3（1-02,

則/"）=《*6（2。+1『（1-。）2-［x2（2p+1）3（1-0

=熱20+1『（1-0（4-100,

當(dāng)0<p<：7時(shí)，/'（p）>o,當(dāng)（9<P<1時(shí)，/'（0<o,

所以函數(shù)"P）在［,|］上遞增，在［*1］上遞減，

所以當(dāng)/時(shí)，/（0取得最大值.

22

18.（1）---匕=1（尸0）

1002517

⑵恪

6

【分析】（1）根據(jù)題意可得。=4,6=2,得到雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后利用直線

/］：y=履+加（左w±2）與C有唯一的公共點(diǎn)M,過〃且與4垂直的直線分別交x軸，V軸于

點(diǎn)Z（x,0）,8（0,y）兩點(diǎn),即可求解;

丫2I----y=1,

（2）依題意,E:---\-y2=1，設(shè)4：%=W-G,聯(lián)立47結(jié)合韋達(dá)定理，得到切線

4

x=ty一框,

方程，然后根據(jù)兩條切線方程聯(lián)立，結(jié)合構(gòu)造函數(shù)求解三角形面積最值即可.

【詳解】（1）

短軸長為4,所以。=44=2,c：--^=l,

因?yàn)椤甑拈L軸長為8,

416

y=kx+m

聯(lián)立方程，22,得（4一左2）、2一2癡x-加2-16=0（左w±2）,

-------------=1

〔416

答案第12頁，共16頁

又/1與C有唯一的公共點(diǎn)所以A=（-2折）2-4（4-r）（_加2-16）=0,

-2kmkm4k

即蘇=4斤2—16，W的橫坐標(biāo)為一4-k2m

+4左力、_..-4k2+m216二匚a4/4k16、

寸巴x=代入>=玄+加中，y=--------=----，所以川----,----，

mmmymm)

一日」7工士衛(wèi)士小、，161(4左、“k20

過"且與4垂直的直線為=一7％"1---，貝!jx=-20x—,y=-----,

mk\mJmm

所以加=,k=—,又加2=4左2_i6，所以^^=客--16,

yyy

222

即工_匕=1（尸o）,所以。的軌跡方程為工一匕=1（"o）.

10025v710025,7

(2)

因?yàn)椤甑拈L軸長為4,短軸長為2,所以a—2,b—1,c—

2

E:?+/=l,左焦點(diǎn)片卜月,0卜

當(dāng)4斜率為o時(shí)，P,。分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，此時(shí)切線平行無交點(diǎn),

當(dāng)4斜率不為0時(shí)，設(shè)l/x=ty苜,

A+2_]

由Ja+VT得,2+4)/一2回一l=0,A=16/+16>0,

x=ty一粗,

設(shè)尸(國,%),。(%,%)，貝!!/+%=4^，乂乂

廣+4r+4

\PQ\=J1+L|必一%I=Jl+?/(m+力)2-4%%

-X

橢圓在x軸上方對應(yīng)方程為y

答案第13頁，共16頁

一演

則點(diǎn)P處切線斜率為4卜兄4%，

點(diǎn)尸處切線方程為y-必=-4（尤-匹），即于+必了=1,

同理可得點(diǎn)。處的切線方程為等+%了=1,

呼+必尸1①，

4(72-71)4（%一弘）

由，得“

+y^y=1②，