2025高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：橢圓綜合應(yīng)用（重難點(diǎn)）含答案

橢圓綜合應(yīng)用重難點(diǎn)專題2025高考數(shù)學(xué)

專項(xiàng)復(fù)習(xí)含答案

橢圓綜合庖用重難點(diǎn)專題

?？冀Y(jié)論及公式

結(jié)論一:點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系判斷

22

點(diǎn)P(g,go)和橢圓/7+%~=l(Q>b>0)的位置關(guān)系：

a2o

22

(1)點(diǎn)P3o，Uo)在橢圓內(nèi)O當(dāng)■+當(dāng)V1;

a2b2

22

(2)點(diǎn)P(g,"o)在橢圓上o巖?+符=1;

ab

22

(3)點(diǎn)P(ru0,y())在橢圓外u>—H—>1.

ab

結(jié)論二:橢圓切線有關(guān)的一些結(jié)論

22

(1)若點(diǎn)P(g,yo)為橢圓qH——=1(Q>b>0)上一點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)P且與橢圓相切的切線方程為芻/+

aba

VoV=1

b2一.

(2)若點(diǎn)P(xo,yt))為橢圓《+%=l(a>b>0)外一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作兩條直線分別切橢圓于人、B兩點(diǎn)，則

ab

切點(diǎn)弦AB所在的直線方程為苦+粵=1.

a2b2

2/

(3)橢圓與+4=l(a>b>0)的兩條切線互相垂直，則兩條切線的交點(diǎn)一定落在圓/+峭=&2+〃

ab

上，該圓也稱為蒙日?qǐng)A.

結(jié)論三:橢圓的弦長(zhǎng)及中點(diǎn)弦有關(guān)結(jié)論

22

(1)若點(diǎn)P(g,%)在橢圓號(hào)+4=l(a>b>0)內(nèi)非原點(diǎn)，則被P平分的弦所在的直線方程是否+

aba

22

Voy=x0yQ

歹一盛淳.

(2)線段AB是橢圓更+當(dāng)=l(a>b>0)的不平行于對(duì)稱軸的弦,M(xo,yo)為線段4B的中點(diǎn)，則

a2b2

2

77_67_丹0

koM*kAB=----,即kAB-------.

aano

(3)弦長(zhǎng)公式

2

27.

當(dāng)直線AB的斜率為阮且與橢圓4十七=l(a>b>0)相交于4g,4),8(g,紡)兩個(gè)不同的點(diǎn)，則弦

ab,一

長(zhǎng)公式的常見(jiàn)形式有：???

2

①\AB\=Vl+fc|^—x2|；

②表

MH=J1+瓦一紡l(k￥O)；

③\AB\=Vl+fc2-d（g+電）2—4十巡2;

—4幼1y2（k00）?

(4)橢圓的任一條焦點(diǎn)弦的一個(gè)端點(diǎn)與另一個(gè)端點(diǎn)在相應(yīng)準(zhǔn)線上的射影的連線過(guò)這個(gè)焦點(diǎn)到這條準(zhǔn)線

的垂線段的中點(diǎn).

(5)直線Ar+砌+。=0與橢圓g+%=l(a>b>0)有公共點(diǎn)oA2a2+B2b2>C?.'，="時(shí)相切,

ab

“〉”時(shí)相交.

(6)焦點(diǎn)弦(過(guò)焦點(diǎn)的弦)，焦點(diǎn)弦中以通徑(垂直于長(zhǎng)軸的焦點(diǎn)弦)最短，弦長(zhǎng)Ln=岑.

a

MV2

(7)在橢圓與+、=l(a>b>0)中，若7WN是過(guò)中心的一條弦，P是橢圓上異于河、N的一點(diǎn)，則有

ab

22

(8)過(guò)橢圓%=l(a>b>0)的右焦點(diǎn)尸(c,0)的直線交橢圓于4%口),口(電,例)兩點(diǎn)，且有N

a~b

=AFB,則離心率e=Vl+fc2

/l+l

結(jié)論四:橢Bl系方程

(1)與橢圓￡■+與=l(a>b>0)共焦點(diǎn)的橢圓系方程為第一+小一=l(fc<62);

aba-kb-k

(2)與橢圓q4=l(a>b>0)有共同的離心率的橢圓系方程為q+%=/1或3+=/1(/1>0);

ababab

星型一橢Ml的切線向曜

ML已知P⑵—2)是離心率為J的橢圓三+￡=l(a>b>0)外一點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)P的光線被y軸反射后，所

2ab

有反射光線所在直線中只有一條與橢圓相切,則此條切線的斜率是()

A-1B--1ciD--l

【跟蹤訓(xùn)練】

1.國(guó)家體育場(chǎng)“鳥巢”的鋼結(jié)構(gòu)鳥瞰圖如圖1所示，內(nèi)外兩圈的鋼骨架是離心率相同的橢圓;某校體育館的

鋼結(jié)構(gòu)與“鳥巢”相同，其平面圖如圖2所示，若由外層橢圓長(zhǎng)軸一端點(diǎn)A和短軸一端點(diǎn)B分別向內(nèi)層橢

圓引切線AC,8。,且兩切線斜率之積等于—得，則橢圓的離心率為()

O???

星生二弦的中點(diǎn)問(wèn)題

22

ML已知橢圓E：與+4=l（a>b>0）的左焦點(diǎn)為尸，離心率為善.過(guò)點(diǎn)尸作直線。Z與橢圓E交于4

ab25

B兩點(diǎn),與直線g=—22交于點(diǎn)P,若P恰好是AB的中點(diǎn)，則直線Z的斜率為（）

A.4B.C.D.-4

25055

【跟蹤訓(xùn)練】

2社2

1.已知為橢圓C：亍+彳=1上兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)在圓x2+才=1上,則直線在4軸上截距

的取值范圍為.

?謝三亶線與確m位■關(guān)系的相關(guān)問(wèn)■

?tl.已知直線/："=?+2,橢圓。：亨+，=1.試問(wèn)當(dāng)k取何值時(shí)，直線Z與橢圓C：

（1）有兩個(gè)不重合的公共點(diǎn)；

（2）有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；

（3）沒(méi)有公共點(diǎn).

???

【跟蹤訓(xùn)練】

1.已知?jiǎng)狱c(diǎn)M到兩定點(diǎn)E（一口,0），用（小,0）的距離之和為4（0Vm<2）,且動(dòng)點(diǎn)河的軌跡曲線C過(guò)點(diǎn)

N（倔4），

⑴求?71的值；

（2）若直線心,=如+方與曲線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)48,求k的取值范圍.

鹿田四■!!中的定點(diǎn)與定值問(wèn)IK

Ml.已知橢圓「：亨+才=1,N為短軸頂點(diǎn)，橢圓r上兩個(gè)不同點(diǎn)PQ滿足APNQ=90°,則直線尸Q恒過(guò)

的定點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.

【跟蹤訓(xùn)練】

1.如圖，P為橢圓4:冬+^=l（a>6>0）上的一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)尸作橢圓E4+號(hào)=4（0<4V1）的兩條

abab

切線24、PB,斜率分別為自、自，若自?自為定值，則義=

???

星型五,?!中的）數(shù)底Bl及?值間?

?tl.（多選）已知尸為橢圓。:冬+*=1的左焦點(diǎn)，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O的直線I與橢圓。交于兩點(diǎn)，40，力

10o

軸,垂足為。（異于原點(diǎn)），3。與橢圓。的另一個(gè)交點(diǎn)為E,則（）

A.AB±AE

B.A4BD面積的最大值為4囂

C.448尸周長(zhǎng)的最小值為12

D.，+得的最小值為學(xué)

\AF\\BF\8

【跟蹤訓(xùn)練】

1.已知橢圓/+?=1的左、右焦點(diǎn)分別為小￡，過(guò)點(diǎn)月作直線交橢圓于M、N兩點(diǎn)，線段AW長(zhǎng)度的

最小值為3.若|麗|=］朝刈（旅［1,2］），則弦長(zhǎng)\MN\的取值范圍為.

■鼓六W中的定歡向星

ML已知橢圓+苧=1的上下頂點(diǎn)分別為人，B，過(guò)點(diǎn)P（0,3）且斜率為k（k<0）的直線與橢圓C自

上而下交于M,N兩點(diǎn)，直線BM與AN交于點(diǎn)G.

（1）設(shè)AN,BN的斜率分別為自，角,求自?歷的值；

（2）求證:點(diǎn)G在定直線上.

???

【跟蹤訓(xùn)練】

i.作斜率為4的直線i與橢圓+《=1交于48兩點(diǎn)，且「（方，母2）在直線i的左上方.

（1）當(dāng)直線Z與橢圓。有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，證明直線Z與橢圓。截得的線段48的中點(diǎn)在一條直線上;

（2）證明：△JR4B的內(nèi)切圓的圓心在一條定直線上.

星型七弦長(zhǎng)及面積向國(guó)

2

ML斜率為1的直線z與橢圓亍+才=i相交于兩點(diǎn)，則MH的最大值為（）

A.2B.芍C.增D.空

555

【跟蹤訓(xùn)練】

1.設(shè)直線Z：2c+y+2=0關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的直線為乙若V與橢圓/+?=1的交點(diǎn)為人、8,點(diǎn)P為橢圓上

的動(dòng)點(diǎn)，則使△MB的面積為，的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4???

星型八與橢Bl有關(guān)的數(shù)學(xué)文化問(wèn)IB

ML（多選）法國(guó)數(shù)學(xué)家加斯帕?蒙日被稱為“畫法幾何創(chuàng)始人”、“微分幾何之父”.他發(fā)現(xiàn)與橢圓相切的兩

條互相垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡是以該橢圓中心為圓心的圓，這個(gè)圓稱為該橢圓的蒙日?qǐng)A.若橢圓「

（+烏=l（a>b>0）的蒙日?qǐng)A為C-.x2+y2=曰c?,過(guò)。上的動(dòng)點(diǎn)刊作『的兩條切線,分別與。交于

ab2

P,Q兩點(diǎn)，直線PQ交「于兩點(diǎn)，則（）

A,橢圓r的離心率為^

B.ZWFQ面積的最大值為

C.M到r的左焦點(diǎn)的距離的最小值為（2-V2）a

D.若動(dòng)點(diǎn)。在「上,將直線DA,DB的斜率分別記為自，心，則自治=—]

【跟蹤訓(xùn)練】

1.（多選）祖隨（公元5-6世紀(jì),祖沖之之子），是我國(guó)齊梁時(shí)代的數(shù)學(xué)家,他提出了一條原理:“幕勢(shì)既同，

則積不容異.”這句話的意思是:兩個(gè)等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等，則這兩個(gè)幾

何體的體積相等.如圖將底面直徑皆為2b,高皆為a的橢半球體和已被挖去了圓錐體的圓柱體放置于同

一平面B上,用平行于平面￡且與6距離為d的平面截兩個(gè)幾何體得到S圓及S環(huán)兩截面，可以證明5圓=

S環(huán)總成立，若橢半球的短軸48=6,長(zhǎng)半軸CD=5,則下列結(jié)論正確的是（）

A.橢半球體的體積為30兀

B.橢半球體的體積為15兀

C.如果CF=4FD,以斤為球心的球在該橢半球內(nèi)，那么當(dāng)球F體積最大時(shí)，該橢半球體挖去球尸后，體

積為平兀

O

D.如果CF=4FD,以尸為球心的球在該半球內(nèi)，那么當(dāng)球尸體積最大時(shí),該橢半球體挖去球F后，體積

為29兀

???

課后突破訓(xùn)練

22

1.已知橢圓C：手+事=1,過(guò)左焦點(diǎn)尸的直線。Z與橢圓交于兩點(diǎn)，（點(diǎn)A在加軸上方），若衣=

2方，則直線。Z的斜率的值為（）

D.-1

2

272

2.已知橢圓與+鼻=l（a>b>0）的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為點(diǎn)尸（c,O）（b>c）和點(diǎn)4,直線l：6x-5y-28

ab

=0交橢圓于尸,Q兩點(diǎn)，若尸恰好為△APQ的重心，則橢圓的離心率為（）

A.乎B.空C.造D.

/J3O

3已知直線2"+"一1=°與橢圓?￥+2=1交于4口兩點(diǎn)'P為C的右頂點(diǎn),則△燃汨的面積為

B2^3

4.（多選）已知E，E分別為橢圓。：名+/=l（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓上任意一點(diǎn)（不在x軸

ab

上），△「耳另外接圓的圓心為H,APE用內(nèi)切圓的圓心為了，直線PI交x軸于點(diǎn)河，O為坐標(biāo)原點(diǎn).則

（）

四+霽］成立

A.存在使得力=赤+4

M\PFV

2

B.前?用的最小值為多

C.過(guò)點(diǎn)/的直線I斜率為自，且與橢圓相交于A,B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為N,直線ON的斜率為無(wú)，則

,,_b2

卜1卜2——7

a

國(guó)

D.橢圓。的離心率e=

5.（多選）月光石不能頻繁遇水，因?yàn)槠渲饕煞质氢涒c硅酸鹽.一塊斯里蘭卡月光石的截面可近似看成

由半圓和半橢圓組成，如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系，半圓的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半圓所在的圓過(guò)橢圓的右

焦點(diǎn)F（3,0），橢圓的短軸與半圓的直徑重合.若直線,=力（方>0）與半圓交于點(diǎn)與半橢圓交于點(diǎn)

則下列結(jié)論正確的是（）???

B.線段AB長(zhǎng)度的取值范圍是(0,3+32)

C.△AB尸面積的最大值是,(2+1)D.△OAB的周長(zhǎng)存在最大值

6.已知橢圓《+才=1,直線。，過(guò)點(diǎn)M(l,0)且與橢圓。相交于兩點(diǎn).過(guò)點(diǎn)A作直線①=3的垂線，

垂足為D則直線過(guò)力軸上的定點(diǎn)坐標(biāo)為.

7.如圖是數(shù)學(xué)家GeminadDmdeZ加用來(lái)證明一個(gè)平面截圓錐得到的截面是橢圓的模型(稱為丹德林雙球

模型):在圓錐內(nèi)放兩個(gè)大小不同的小球，使得它們分別與圓錐側(cè)面、截面相切，設(shè)圖中球Q和球。2的半

徑分別為1和3,002=8，截面分別與球O1和球。2切于點(diǎn)E和F,則此橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為.

22

8.已知F(V2,0)為橢圓。:與+七=l(a>b>0)的右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F的直線I與橢圓。交于兩點(diǎn)，P

ab

為AB的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).若△。尸P是以O(shè)F為底邊的等腰三角形,且△OFP外接圓的面積為尊，

O

則橢圓。的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為.

2?/2

9.已知橢圓C：力+霍=1的兩個(gè)焦點(diǎn)為E，鳥，P為橢圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)(小,")為APE用的內(nèi)心，則小

+n的最大值為.

10.已知橢圓+y2=l,過(guò)點(diǎn)0(0,4)的直線I與橢圓。交于不同兩點(diǎn)河,N(M?在DN之間)，有以下四

個(gè)結(jié)論：

①若，橢圓。變成曲線及則曲線E的面積為4兀；

ly'=2y

②若A是橢圓。的右頂點(diǎn)，且/M4N的角平分線是c軸,則直線Z的斜率為—2；

③若以MN為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)O,則直線I的斜率為±2西；

④若DN=4而，則A的取值范圍是1<4W

O

其中正確的序號(hào)是.

???

22

11.已知橢圓。號(hào)+與=l(a>b>0)的上一點(diǎn)(g,%)處的切線方程為筆+顰=1,橢圓。上的點(diǎn)與

a2b2a2b2

其右焦點(diǎn)尸的最短距離為V2-L離心率為警

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若點(diǎn)P為直線C=2上任一點(diǎn)，過(guò)P作橢圓的兩條切線上4,P8,切點(diǎn)為4B,求證：，PF.

12.橢圓C：5+^=l(a>6>0)的左右焦點(diǎn)分別為E,H，焦距為26，點(diǎn)河為橢圓上位于x軸上方的一

ab~

點(diǎn)，蕨?謁=0,且△曬用的面積為2.

(1)求橢圓。的方程；

(2)設(shè)橢圓C的左、右頂點(diǎn)分別為48,直線PQ交橢圓C于P,Q兩點(diǎn),記直線AP的斜率為自，直線

BQ的斜率為后，已知自=3心求證:直線PQ恒過(guò)定點(diǎn).

???

橢圓綜合庖用重難點(diǎn)專題

覆?？冀Y(jié)論及公式

結(jié)論一:點(diǎn)與桶圓的位置關(guān)系判斷

22

點(diǎn)P(g,go)和橢圓與+%~=l(a>b>0)的位置關(guān)系：

a2o

22

(1)點(diǎn)P3o，Uo)在橢圓內(nèi)O當(dāng)■+當(dāng)V1；

a2b2

22

(2)點(diǎn)P(*o，no)在橢圓上O當(dāng)■+駕=1；

ab

22

(3)點(diǎn)P(岔o，n0)在橢圓外o—H—>1.

ab

結(jié)論二:橢圓切線有關(guān)的一些結(jié)論

22

(1)若點(diǎn)P(g,g())為橢圓-\——=l(Q>b>0)上一點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)F且與橢圓相切的切線方程為2宇+

aba

V網(wǎng)=1

b2一.

(2)若點(diǎn)P(xo,yo)為橢圓《+%=l(a>b>0)外一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作兩條直線分別切橢圓于人、B兩點(diǎn)，則

ab

切點(diǎn)弦AB所在的直線方程為苦+粵=1.

a2b2

2/

(3)橢圓與+當(dāng)=l(a>b>0)的兩條切線互相垂直，則兩條切線的交點(diǎn)一定落在圓/+才=&2+〃

ab

上，該圓也稱為蒙日?qǐng)A.

結(jié)論三，桶BI的弦長(zhǎng)及中點(diǎn)弦有關(guān)結(jié)論

22

(1)若點(diǎn)P(g,%)在橢圓4+4=l(a>b>0)內(nèi)非原點(diǎn)，則被P平分的弦所在的直線方程是否+

aba

22

VoU=費(fèi)?隊(duì)

丁一盛立

(2)線段是橢圓名+當(dāng)=l(a>b>0)的不平行于對(duì)稱軸的弦,M(xo,yo)為線段4B的中點(diǎn)，則

a2b2

77_627_b2g

koM*kAB=----,即kAB-------.

aajo

(3)弦長(zhǎng)公式

2

27.

當(dāng)直線AB的斜率為阮且與橢圓4十七=l(a>b>0)相交于4g,4),8(g,紡)兩個(gè)不同的點(diǎn)，則弦

ab,一

長(zhǎng)公式的常見(jiàn)形式有：???

2

①\AB\=Vl+fc|^—x2|；

②MH=J1+表

瓦一紡l(k￥O)；

③\AB\=Vl+fc2-d（g+電）2—4十巡2;

—4幼1y2（k00）?

(4)橢圓的任一條焦點(diǎn)弦的一個(gè)端點(diǎn)與另一個(gè)端點(diǎn)在相應(yīng)準(zhǔn)線上的射影的連線過(guò)這個(gè)焦點(diǎn)到這條準(zhǔn)線

的垂線段的中點(diǎn).

(5)直線Ar+砌+。=0與橢圓g+%=l(a>b>0)有公共點(diǎn)oA2a2+B2b2>C?.'，="時(shí)相切,

ab

“〉”時(shí)相交.

(6)焦點(diǎn)弦(過(guò)焦點(diǎn)的弦)，焦點(diǎn)弦中以通徑(垂直于長(zhǎng)軸的焦點(diǎn)弦)最短，弦長(zhǎng)Ln=岑.

a

MV2

(7)在橢圓與+、=l(a>b>0)中，若7WN是過(guò)中心的一條弦，P是橢圓上異于河、N的一點(diǎn)，則有

ab

22

(8)過(guò)橢圓%=l(a>b>0)的右焦點(diǎn)尸(c,0)的直線交橢圓于4%口),口(電,例)兩點(diǎn)，且有N

a~b

=AFB,則離心率e=Vl+fc2

/l+l

結(jié)論四:橢Bl系方程

(1)與橢圓￡■+與=l(a>b>0)共焦點(diǎn)的橢圓系方程為第一+小一=l(fc<62);

aba-kb-k

(2)與橢圓q4=l(a>b>0)有共同的離心率的橢圓系方程為q+%=/1或3+=/1(/1>0);

ababab

星型一橢Ml的切線向曜

ML已知P⑵—2)是離心率為J的橢圓三+￡=l(a>b>0)外一點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)P的光線被y軸反射后，所

2ab

有反射光線所在直線中只有一條與橢圓相切,則此條切線的斜率是()

A-fB-JD--1

【答案】。

【分析】由題意知b2=設(shè)過(guò)點(diǎn)P的直線方程為：。+2=k(x—2),反射后的切線方程為：y——kx—2k—

2,聯(lián)立切線方程與橢圓的方程，利用A=0求解即可.

【詳解】由題意可知e=￡=E，又Q2=b?+。2,故/=；Q2,

a24

設(shè)過(guò)點(diǎn)P的直線斜率為k,則直線方程為：。+2=%(力一2),即o=卜/一2%—2???

則反射后的切線方程為：y——kx—2fc—2

y——kx—2ek—2{

由<//_得(3+4k2)/+16fc(fc+1)力+16k2+32%+16—3a2=0,

、薪+講=1

因?yàn)樗蟹瓷涔饩€所在直線中只有一條與橢圓相切，

.?.A=[16fc(fc+1)F—16(3+4fc2)(16fc2+32k+16-3a2)=0,

化簡(jiǎn)得:4a2肥+3a2=16fc2+32k+16,即感=%…，解得一：

[3a=32Zc+16=g

所以這條切線的斜率為—k=—[.

8

故選：D.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，及關(guān)于直線對(duì)稱的直線方程，解決直線與橢圓的位置關(guān)系

的相關(guān)問(wèn)題，其常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元、化簡(jiǎn)，然后應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程，解

決相關(guān)問(wèn)題.涉及弦中點(diǎn)的問(wèn)題時(shí)用“點(diǎn)差法”解決,往往會(huì)更簡(jiǎn)單.

【跟蹤訓(xùn)練】

1.國(guó)家體育場(chǎng)“鳥巢”的鋼結(jié)構(gòu)鳥瞰圖如圖1所示，內(nèi)外兩圈的鋼骨架是離心率相同的橢圓;某校體育館的

鋼結(jié)構(gòu)與''鳥巢”相同，其平面圖如圖2所示，若由外層橢圓長(zhǎng)軸一端點(diǎn)A和短軸一端點(diǎn)B分別向內(nèi)層橢

圓引切線AC,皿,且兩切線斜率之積等于一!■，則橢圓的離心率為()

O

圖1

R2

D?哼

【答案】。

【分析】設(shè)出外層橢圓方程，利用離心率表達(dá)出內(nèi)層橢圓方程，設(shè)出直線方程,聯(lián)立后由根的判別式得到玩=

—虺二與居=("平~，利用斜率乘積列出方程，求出”=高，從而求出離心率.

(l-A)a2Aaza：3

【詳解】設(shè)外層橢圓方程為g4=1,則內(nèi)層橢圓方程為g+*=a(o<a<i),

abab

設(shè)過(guò)4點(diǎn)的切線方程為g=自(劣+0),自V0,

與—4(0VXV1)聯(lián)立得：(b?+Q%；)/2+2o3玩/+Q%：——o,

ab

由Ai=4a6炭一4(/+a?而)g%；—4a2/)=。得：而=,

(1—/l)a

設(shè)過(guò)點(diǎn)B的切線方程為y=kx+b,

2???

22

與匹？+-^-=/1(0</1<1)聯(lián)立得：&+a%)/+2012k2bx+(1—^)afe=0,

ab

由海=4a%萬(wàn)—4&+(?磅(1—Ra?/=0得：忘=g"眩

Ab2(1-4_〃_4

從而愛(ài)篇=

(1—/i)a2Aa2a49

位b22

故滔一

橢圓的離心率為

故選：C.

星生二弦的中點(diǎn)問(wèn)題

22

?|1.已知橢圓E-.^+%=l（a>6>0）的左焦點(diǎn)為F,離心率為三.過(guò)點(diǎn)F作直線。2與橢圓E交于A,

B兩點(diǎn)，與直線夕=—2x交于點(diǎn)P,若P恰好是AB的中點(diǎn)，則直線Z的斜率為（)

R21「V212

A—B-50CDn?一石

2'-

【答案】B

【分析】設(shè)橢圓焦距為2c,再設(shè)出4（力1,m）,_8（力2,紡）,_?（力0,隊(duì)）三點(diǎn)，由y0=—2x0,

通過(guò)計(jì)算可得到要二型=與，進(jìn)而得到b2=拮a?,即可解得斜率.

傷一劣22a25

【詳解】設(shè)橢圓焦距為2c,所以且=占.

a5

設(shè)4%,%）,_8施,統(tǒng)）,_?（%%）,則y0=-2x0,

4+4=1

"%，由兩式相減可得曷一曷yi-

且4+=0,

":坐=1a2b2

If?十b2T

（為+22）（21一電）+（幼+紡）（陰一隊(duì)）

即=0,

b2

根據(jù)條件可得：的+曲=2痢%+紡=2加,

2g（電一電）+2伙）（%一%）

故0,

?2b2

2

由為一2%可得修=萬(wàn)b.

因?yàn)椤?=-^-a2，所以M,

2525

即直線。，的斜率為k=￡=2

2a250

故選：B.

【跟蹤訓(xùn)練】

???

22

1.已知A、B為橢圓C：手+魯=1上兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)在圓/+娟=1上,則直線4B在4軸上截距

ao

的取值范圍為.

【答案】（―8,—1]U[1.+00）

【解析】設(shè)4（力1，%），B（力2,紡），48中點(diǎn)。（四）,%），直線AB:y=kx-\-TTI,代入橢圓方程消去"得到關(guān)于力的一

元二次方程，由韋達(dá)定理求出g+62,為劣2,即可求出,,0=卻；統(tǒng)用k,?n表示，再將其代入為2+

才=1中，看成關(guān)于興的方程由二次函數(shù)根的分布即可求m的范圍.

【詳解】設(shè)直線AB:y=kx+m,4（g,納）,8（力2,仇）,48中點(diǎn)。（四）,隊(duì)）,

(y=kx-\-m

由<*/_可得：3/+4(k力+m)2=12,即(3+4*)/2++4771?-12=0,

、7+1-=1

—8km47n,一12

所以為+22=XiX—

3+4/23+4fc2

yi+V2=k(>i+g)+2m=；令爸+2m=,

3+4"3+4V

—4km3nz

所以g=，y

3+^°3+4fc2

因?yàn)辄c(diǎn)D（xo,yo）在圓/+才=1上,

所以(一4kn；j+(3-2J=],整理可得:知肥+(24-16m2)fc2+9-9m2=0,

設(shè)方=/,則16r+(Zd-lGrz/K+g—gm2：。在力>0有解，

所以△=(24—16m2)2-4xl6X(9一9館2)>0,整理得：m2>j,

解得:m>或m4一°^，

①對(duì)稱軸力=I,囁224>0,解得:m>或m，此時(shí)方程在力>0―有解;

(二16nz2—24々八怎怎

②由《32，可得「〈館&-1或14771V「一，

[/(0)=9-9m2<022

綜上所述：mW—1或？n>l

所以直線AB在沙軸上截距的取值范圍為（一co,—1]U[1,+co）.

故答案為：（—8,—1]U[l,+oo）

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛:設(shè)直線AB:y=kx+m,A（x\,y^,B（心，紡）,AB中點(diǎn)D（x0,y^），將直線與橢圓方程聯(lián)立,

利用根與系數(shù)的關(guān)系可以將熱，為用瓦山表示，再將g,現(xiàn)代入圓的方程看成關(guān)于k的方程由解即可.

星型三亶線與播1位?關(guān)系的相關(guān)問(wèn)國(guó)

ML已知直線/：y=?+2,橢圓。：4+才=1.試問(wèn)當(dāng)k取何值時(shí)，直線Z與橢圓C：

（1）有兩個(gè)不重合的公共點(diǎn);

⑵有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；???

（3）沒(méi)有公共點(diǎn).

【答案】（1）%V—率或%＞率；（2）%=土今；（3）—空.

【分析】直線2的方程與橢圓。的方程聯(lián)立，根據(jù)判別式結(jié)合條件即得.

（y=kx-\-2

⑴由4/2一，可得（1+4稻劣之+I6fcrc+12=0,

E+礦=1

依題意，得△=（16乃2—4X（1+4fc2）x12=16（4*—3）,

當(dāng)A＞0,即看＜一今或時(shí)，方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，

可知原方程組有兩組不同的實(shí)數(shù)解，這時(shí)直線Z與橢圓。有兩個(gè)不重合的公共點(diǎn);

（2）當(dāng)△=（）,即七=一4或k=今時(shí)，方程有兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)根，

可知原方程組有兩組相同的實(shí)數(shù)解，這時(shí)直線，與橢圓。有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；

（3）當(dāng)△＜（）,即一空＜乎時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，

可知原方程組沒(méi)有實(shí)數(shù)解，這時(shí)直線2與橢圓。沒(méi)有公共點(diǎn).

【跟蹤訓(xùn)練】

1.已知?jiǎng)狱c(diǎn)M到兩定點(diǎn)E（—m,0）,￡（m,0）的距離之和為4（0＜?。?）,且動(dòng)點(diǎn)M的軌跡曲線C過(guò)點(diǎn)

'（伍

⑴求m的值；

（2）若直線Z：y=Rc+四與曲線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)48,求k的取值范圍.

【答案】⑴聲；（2）（—oo,―^）U（：,+oo）.

【分析】（1）根據(jù)橢圓的定義結(jié)合條件可得菖+卡=1,進(jìn)而即得；

（2）聯(lián)立直線方程與橢圓方程，根據(jù)判別式即得.

（1）由0VmV2,得2mzV4,

又動(dòng)點(diǎn)7W到兩定點(diǎn)E（一館,。），E（rn,。）的距離之和為4,

所以曲線。是以兩定點(diǎn)回（一山,0）,月（巾,0）為焦點(diǎn)，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為2的橢圓，

設(shè)曲線。的方程為岑+%=＞0）,

4b2

則得2+2=1,解得/=1,由c2=a2—

解得c?=3,所以nz=V3;

（2）由題可知曲線。的方程為W—F?/2—1,

由（于+“=1，可得k2M+2，^2+1=0,

[y^kx+V2'4'???

解得k<―或卜>g,

所以看的取值范圍為（一00,—J）U（y,+<x>）.

星整四折吧中的定點(diǎn)與定值問(wèn)摩

例1.已知橢圓r：與+，=1,N為短軸頂點(diǎn)，橢圓r上兩個(gè)不同點(diǎn)PQ滿足APNQ=90°,則直線PQ恒過(guò)

的定點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.

【答案】0

【分析】設(shè)直線PQ的方程為：^=%7+±,。21）,與橢圓聯(lián)立，求得韋達(dá)定理，又/貓口=90°,則而?謁=

0,代入化簡(jiǎn)可以得到參數(shù)方滿足的方程，解得1的值，即可求得定點(diǎn)，從而解得定點(diǎn)的橫坐標(biāo).

【詳解】設(shè)N（O,l）,F（a?i,?/i）,Q（62,紡），直線P。的方程為："=心力+力（方#1）,

y—kx+t

由題意知k必然存在，聯(lián)立2=1'

化簡(jiǎn)得(1+4k2)/+8ktx+4t2—4=0,

(Xi+X2=-.7^2

由韋達(dá)定理知，生晝匕

1+4隊(duì)

又/NPQ=90°,則屜?而=0,

即re巡2+(%—1)(y2-1)=(1+優(yōu)),巡2+k(t-1)(g+◎)+廿-2t+1=0,

代人韋達(dá)定理，化簡(jiǎn)得5/—2t—3=0,解得t="p-或1=1(舍)；

5

所以過(guò)定點(diǎn)（0,—日），定點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0,

同理，根據(jù)對(duì)稱性可得，當(dāng)Mo,-i）時(shí)，定點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0,

故答案為：o

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求直線過(guò)定點(diǎn)，需要求得直線方程，根據(jù)斜率和截距的關(guān)系，判斷定點(diǎn)的值，在求解過(guò)程中,

常常聯(lián)立直線與圓錐曲線方程,通過(guò)韋達(dá)定理代入條件化簡(jiǎn)來(lái)求得參數(shù)間的關(guān)系，從而求得結(jié)果.

【跟蹤訓(xùn)練】

1.如圖，P為橢圓及：冬+^=l（a>6>0）上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作橢圓E星+號(hào)=40<4<1）的兩條

abab

切線24、PB,斜率分別為自、自，若自?自為定值，則義=

???

【分析】根據(jù)題意，設(shè)過(guò)點(diǎn)P的切線方程為v=kc+m,聯(lián)立切線與橢圓用的方程，由A=o結(jié)合韋達(dá)定理表

示出瓦?比,根據(jù)阮?防為定值,找出比例關(guān)系即可求解.

【詳解】設(shè)點(diǎn)P(g,%)，則循=1一警,

a

設(shè)過(guò)點(diǎn)P的切線方程為"=%力+皿，其中m=yQ—kx0,

y=kx-\~m

聯(lián)立4力2/，得（Q2k2+/）/+2771kQ2j；+。2（M2一加2）=0,

EL

由△=0得/l（a2fc2+b2）=m2,

又因M=g（）—k/o,所以火/青+^）=（go—kg）2,

化簡(jiǎn)得（/la2—To）fc2+2gg+Ab2—y1—0,

...,_Ab2-yl_G-l）f>2+5^

故號(hào)"2=兀。=為2—式'

又因自?自為定值，所以即彳=3.

Aaza22

故答案為：;.

【點(diǎn)睛】求定值問(wèn)題常見(jiàn)的方法有兩種:

(1)從特殊入手，求出定值,再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)；

(2)直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值.

星型五林I1中的?■范■及■值向照

例1.(多選)已知F為橢圓。：立三=1的左焦點(diǎn)，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)。的直線'與橢圓C交于兩點(diǎn),/OU

軸,垂足為。(異于原點(diǎn))，8。與橢圓。的另一個(gè)交點(diǎn)為E,則()

A.AB±AE

B.△/BD面積的最大值為

C.A4B9周長(zhǎng)的最小值為12

D.—+T的最小值為等

\AF\\BF\8

【答案】ABD???

【分析】對(duì)于A設(shè)4小,"），則_B（—7R,—71）,。（7?2,0）,設(shè)E（力1,%）,利用點(diǎn)差法推出瓦仍?瓦鉉=—1,判斷A；利用

基本不等式結(jié)合三角形面積公式，判斷B;利用橢圓的定義以及幾何性質(zhì)判斷C;利用基本不等式中“1”的巧

用，結(jié)合基本不等式可判斷D

【詳解】對(duì)于A設(shè)4M，4），則8（——?I）,_D（M,O）,設(shè)石（如納），

由題意可知?71#0,館#/1,771+/1。0,

則某+4=L4+￥=i，兩式相減得咋比+

168168168

(九+陰)(九一切)

即