2025年高考數(shù)學一輪復習：離心率問題

第68煉圓錐曲線的離心率問題

離心率是圓錐曲線的一個重要幾何性質，一方面刻畫了橢圓，雙曲線的形狀，另一方面

也體現(xiàn)了參數(shù)a,c之間的聯(lián)系。

一、基礎知識：

1、離心率公式：e=-(其中c為圓錐曲線的半焦距)

a

(1)橢圓：ee(O,l)

(2)雙曲線：ee(1,+oo)

2、圓錐曲線中a,的幾何性質及聯(lián)系

(1)橢圓：a2=b2+c2,

①2a：長軸長，也是同一點的焦半徑的和：PR+PF2=2a

②2b；短軸長

③2c:橢圓的焦距

(2)雙曲線：c2=b2+a1

①2a：實軸長，也是同一點的焦半徑差的絕對值：|尸片―尸巴卜2a

②2b；虛軸長

③2c:橢圓的焦距

3、求離心率的方法：求橢圓和雙曲線的離心率主要圍繞尋找參數(shù)。，4c的比例關系(只需

找出其中兩個參數(shù)的關系即可)，方法通常有兩個方向：

(1)利用幾何性質：如果題目中存在焦點三角形(曲線上的點與兩焦點連線組成的三角形),

那么可考慮尋求焦點三角形三邊的比例關系，進而兩條焦半徑與a有關，另一條邊為焦距。

從而可求解

(2)利用坐標運算：如果題目中的條件難以發(fā)掘幾何關系，那么可考慮將點的坐標用a,A,c

進行表示，再利用條件列出等式求解

2、離心率的范圍問題：在尋找不等關系時通?？蓮囊韵聨讉€方面考慮：

(1)題目中某點的橫坐標(或縱坐標)是否有范圍要求：例如橢圓與雙曲線對橫坐標的范

圍有要求。如果問題圍繞在“曲線上存在一點”，則可考慮該點坐標用a,4c表示，且點坐

標的范圍就是求離心率范圍的突破口

(2)若題目中有一個核心變量，則可以考慮離心率表示為某個變量的函數(shù)，從而求該函數(shù)

的值域即可

(3)通過一些不等關系得到關于a,A,c的不等式，進而解出離心率

注：在求解離心率范圍時要注意圓錐曲線中對離心率范圍的初始要求：橢圓：ee(O,l),

雙曲線：ee(L+oo)

二、典型例題：

思路：本題存在焦點三角形△「耳心，由線段尸片的中點在y軸上，。為耳工中點可得

PF2//y軸，從而PFr,_LF[F],又因為NPFR—30°,則直角三角形APKK中，

|P￡|:歸閶:憂閶=2:1:6,且2a=|尸團+|尸閶,2c=|耳閶,所以

.c=c=2c=閨笈|=石

"a2a歸耳|+歸閭3

答案：A

小煉有話說：在圓錐曲線中，要注意。為耳工中點是一個隱含條件，如果圖中存

在其它中點，則有可能與。搭配形成三角形的中位線。

22

例2：橢圓卷+3=1(0<6<24)與漸近線為了±2,=0的雙曲線有相同的焦點

耳,與，P為它們的一個公共點，且/耳「工=90。，則橢圓的離心率為

思路：本題的突破口在于橢圓與雙曲線共用一對焦點，設片鳥=2c,在雙曲線中，

—=—=>a:b:c=2;1;\/5,不妨設P在第一象限，則由橢圓定義可得：

a2

尸耳+P瑪=4、/W,由雙曲線定義可得：PFX-PF2=2a因為/耳月工=90°,

(PE+Pg)2+(P—PB)2

.?.|P制?+|P片「=布而陷「+歸工「=

2

代入可得：48+I』°-=8c2nc=———

5a6

…V30

答案：一

6

小煉有話說：在處理同一坐標系下的多個圓錐曲線時，它們共同的要素是聯(lián)接這些圓錐曲

線的橋梁，通常以這些共同要素作為解題的關鍵點。

22

例3：如圖所示，已知雙曲線會―方=l（a〉6〉0）的右焦點為歹，過歹的直線/交雙曲

線的漸近線于A3兩點，且直線/的傾斜角是漸近線Q4傾斜角的2倍，若AF=2FB,

則該雙曲線的離心率為（)

A.逑273

B.-^―c叵

435D-T

思路：本題沒有焦半徑的條件，考慮利用點的坐標求解，則將所涉及的點坐標盡力用a,

2ab

y~~T~2x-c

a-b2abclabc

nV=-----29----27ory=將AF=2FB轉化為坐標語言，

?b3a-b'a2+。2

y=±一

a

門labc-labc

貝"力=一2%即F—7=2-—解得a:6:c=:1:2,從而e=

a+b3a-Z?3

答案：B

例4：設耳，心分別為雙曲線「一［=1（?！?］〉0）的左、右焦點，雙曲線上存在一點P

ab

9

使得I|+1P鳥|=3瓦|尸￡|?|P耳\=-ab,則該雙曲線的離心率為

459

A.—B.—C.—D.3

334

思路：條件與焦半徑相關，所以聯(lián)想到歸娟一|尸修=2。，進而與

9

|「用+|「耳|=34|。耳|?|「鳥|=^",找到聯(lián)系，計算出a力的比例，從而求得e

解：M尸耳|-|P引=2a

??.（|W|+|P閭丫-（1MHp閭）2=4|平卜「閭

即9b2-4a2=9ab=>9b2-9ab-4a2=0

（b^bb1b4

.*.9-—9?±—4=0解得：-=（舍）或2=?

\aJaa3a3

7C4廠C5

a:/7:c=3:4:5--—

a3

答案：B

22

例5：如圖，在平面直角坐標系xOy中，4,4,4,5為橢圓=+4=1（?！?〉0）的四

ab

個頂點，E為其右焦點，直線4名與直線男尸相交于點T,線段OT與橢圓的交點加恰

為線段OT的中點，則該橢圓的離心率為.

思路：本題涉及的條件多與坐標有關，很難聯(lián)系到參數(shù)的幾何意

義，所以考慮將點的坐標用a,b,c進行表示，在利用條件求出離心。

首先直線入％8產的方程含a,。,c,聯(lián)立方程后交點T的坐標可

用a,b,c進行表示（TjjELj.+c）］）,則OT中點

^a-ca-c）

'ac縱。+。）,

M,再利用〃點在橢圓上即可求出離心率e

a-c"2(a-c

解：直線4坊的方程為:

-ab

xbx-ay=-ab

直線可尸的方程為：一+小聯(lián)立方程可得：

ccy-bx=-be

解得：丁(屈￡,仇。+。)),

a-ca-c

則M(------,--------)在橢圓=+力=l(a>b>0)上,

a-c2(〃一c)ab

c1(〃+c)2

=1,c2+1Oac—3a?=0,/+10e_3=0

(a-c)24(a-c)2

解得：e=2幣-5

答案：e=2近-5

YV

例6：已知F是雙曲線二一R=l(a>0,b>0)的左焦點，E是該雙曲線的右頂點，過點尸

且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A,3兩點，若AABE

是銳角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍為

()

A.(1,+8)B.(1,2)

C.(1,1+V2)D.(2,1+回

思路：從圖中可觀察到若為銳角三角形，只需要/4EB為銳角。由對稱性可得只需

NAEFe](),?]即可。且AF,EE均可用。，仇c表示，|AF|是通徑的一半，得：|AF|=—,

I莊|=〃+c,所以tanA￡y=^^~=------<1^—-----<1^——<lne<2,

\FE\a^a+c)a^a+c)a

即ee(l,2)

答案：B

小煉有話說：(1)在處理有關角的范圍時，可考慮利用該角的一個三角函數(shù)值，從而將角

的問題轉變?yōu)檫叺谋戎祮栴}

(

（2）本題還可以從直線AE的斜率入手，E（a,Q）,A-c,一,利用1,0）即可求

、a?

出離心率

A.(0,V2-l)B.—,1C,0,—D.(72-1,1)

I2JI2J

思路：耳為焦點三角形/7熊的內角，且對邊為焦半徑|尸閭，歸片|,所以

csinAPFFCJ尸娟_c

利用正弦定理對等式變形：-----------2X

sin/P與工sinsinZPFFa|P7^|a

ZPF2FXX2

r\2

再由|P閶+|尸耳|=2a解得：|P閭=^-,再利用焦半徑的范圍為（a—c,a+c）可得（由

于依題意，尸非左右頂點，所以焦半徑取不到邊界值a-c,a+c）：

22222

2a,a-c<2aQ>—C//—\

a-c<--<。。n<n,,解得ee挺—1,1

a+c2a?<a?+24c+e2+2e-l>0'7

答案：D

例8：己知耳，鳥是橢圓石：三+三=1（?！?〉0）的左右焦點，若橢圓上存在點尸，使得

ab

PFJPF2,則橢圓離心率的取值范圍是（）

思路一：考慮在橢圓上的點尸與焦點連線所成的角中，當尸位于橢圓短軸頂點位置時，

ZF}PF2達到最大值。所以若橢圓上存在PF]1PF2的點P,則短軸頂點與焦點連線所成的

0

角8290°,考慮該角與a,。,c的關系，由橢圓對稱性可知，ZOPF2=->45°,所以

tanZOPR==—>1,c>Z?c2>Z?2=>c2>?2-c2,進而二2!即622工，

2\OP\ba222

6「拒、

解得e2——，再由ee(0,l)可得ew——,1

2L2)

思路二：由，P巴可得NRPF]=90°,進而想到焦點三角形RPF2的面積：

S△"6=b2tg芻詈=62,另一方面：S*”=；.|月6卜|甫二5|詞,從而

(人2b2

2nly尸I二—，因為尸在橢圓上，所以孫￡[—》,句，即|%|二一<b^b<c,

再同思路一?可解得：eeL—2,1J

思路三：g可想到可\?可[=0,進而通過向量坐標化，將數(shù)量積轉為方程。設

尸(x,y)，E(—c,0)，E(c,0),則有PFi=(-c-x,-y),PF[=(c-x,-y),則

PFiPE=x2+/-c2=0,即尸點一定在以。為圓心，c為半徑的圓上，所以只需要

該圓與橢圓有交點即可，通過作圖可發(fā)現(xiàn)只有半徑時才可有交點，所以c2b,同思

路一可解得eV，1

注：本題對尸在圓上也可由LPg判定出尸在以耳身為直徑的圓上，進而寫出圓方程

思路四：開始同思路三一樣，得到尸所在圓方程為必+>2=。2,因為尸在橢圓上，所以聯(lián)

22222

bx+ay=crb2/2八2222

立圓和橢圓方程：<,，工代入消去x可得：b2(c2-y2)+a2y2=a2b2,整

+y-=c''

A4A4

224222

理后可得：cy=by,由丁式一反可可得：y-—<b^>c>bf同思路一

即可解得：ee

答案:

小煉有話說：本題的眾多思路重點區(qū)別在：一是從條件中想到橢圓的哪些性質與結論，不

同的結論得到不同的突破口；二是在解決離心率時是選擇用幾何特點數(shù)形結合去解還是通過

坐標方程用代數(shù)方式計算求解

例9：設點4，4分別為橢圓二+4=1（。〉6〉0）的左右焦點，若在橢圓上存在異于點

ab

A，4的點P，使得尸。，尸4，其中。為坐標原點，則橢圓的離心率e的取值范圍是（）

A.qB."JC.D.

思路：本題取值范圍的突破口在“橢圓上存在點P”，則P的橫縱坐標分別位于

（一,aa）,中，所以致力于計算P的坐標，設/后,為）,題目中4（a,0）,由

可得P也在以為直徑的圓上。即+y2=—,所以聯(lián)立方程:

"4

埒入i八。,02

即——x"—cix+b=0,由已知可得

a

、ay

4（a,0）也是圓與橢圓的一個交點，所以由韋達定理可得：ax0=―——,再根

據的范圍可得：—a<——<ci=>b2<c?=>a?—c?<c?=>/〉一,解得ee——,1

。2I2J

答案：D

小煉有話說：本題運用到了一個求交點的模型：即已知一個交點，可利用韋達定理求出另

一交點，熟練使用這種方法可以快速解決某些點的坐標

例10：如圖，已知雙曲線二―==l（a〉0］〉0）上有一點A,它關于原點的對稱點為8,

ab

點廠為雙曲線的右焦點，且滿足Ab,5尸，設NA3E=a,且ae［二，芻，則該雙曲線

離心率e的取值范圍為（）

A.[V3,2+V3]B.[A/2,V3+1]

FX

C.[V2,2+V3]D.[V3,V3+1]B°

思路：本題與焦半徑相關，所以考慮a,c的幾何含義，A尸，BF可得AAB尸為直角三角形，

且|AB|=2\OF\=2c,結合ZABF=a可得|=2csina,忸耳=2ccosa，因為A,3關

于原點對稱，所以|人同即為8的左焦半徑。所以有2a=忸同一|4百=2c（cosa—sina）,

則e=，=------------=--------7-----r-,即關于a的函數(shù)，在ae[―,—]求值域即

lacosa-sina后(%)126

V2cosa+—

I4j

可

71re57r二品+土]?

aH—G

4I4）

所以e￡

答案：B

三、歷年好題精選

22

1、已知雙曲線=-3=l（a>02>0）,M,N是雙曲線上關于原點對稱的兩點，P是雙

ab

曲線上的動點，直線PM,PN的斜率分別為左，右（尢?&/（）），若|修+隹|的最小值為1，

則雙曲線的離心率為（）

“萬.由63

A?V2B?C.D.—

222

2、（2016,新余一中模擬）已知點A是拋物線必=4丁的對稱軸與準線的交點，點B為拋

物線的焦點，尸在拋物線上且滿足|州|=加|?卻，當加取最大值時，點尸恰好在以A3為

焦點的雙曲線上，則雙曲線的離心率為（）

A.A/2+1B.^±1c.於D.V5-1

22

22

3、已知耳，尺分別是雙曲線二-香=1（?！?〉0）的左、右焦點，過點￡且垂直于x軸

a"b

的直線與雙曲線交于A8兩點，若△A3月是鈍角三角形，則該雙曲線離心率的取值范圍是

()

A.],+oo)B.+l,+ooC.(1,1+V2)D.+l,+oo

4、設耳,K分別是雙曲線2=1（?！?力〉0）的左右焦點，若雙曲線左支上存在一點

M,使得加?（麗+西"）=0,O為坐標原點，且|阿卜三|瓦同，則該雙曲線的離

心率為（）

6+1

A.y/3+1B.------

2

V6+V2

C.A/6+A/2D.--------

2

5、（2016四川高三第一次聯(lián)考）橢圓3+%=1（。〉?！?）和圓V+y2=：+2c

（c為橢圓的半焦距）對任意fe[L21恒有四個交點，則橢圓的離心率e的取值范圍為（）

6、如圖，內外兩個橢圓的離心率相同，從外層橢圓頂點向內層橢圓

引切線AC3。，設內層橢圓方程為3+方=1（?！?。〉0），外層

229

橢圓方程為廠三1（?！担?,機〉1）若4。,5。的斜率之積為一，則橢圓的

（ma）（mb）16

離心率為

7、（2015,新課標II）已知A8為雙曲線E的左右頂點，點加在E上，AABM為等腰三

角形，且頂角為120。，則E的離心率為（）

A.A/5B.2C.73D.血

8、（2016,宜昌第一中學12月考）已知雙曲線方=1（。〉0力〉0）的左、右焦點分

別為耳，工，點M在雙曲線的左支上，且|加鳥|=7|上陰|,則此雙曲線離心率的最大值為

()

457

A.一B.一c.2D.-

333

22

9、（2015,山東）平面直角坐標系xOy中，雙曲線G：=—力〉0）的漸近線

ab

與拋物線。2：%2=2加（2>0）交于點。4瓦若AQAB的垂心為。2的焦點，則G離心

率為________

10、（2014,湖北）已知耳,工是橢圓和雙曲線的公共焦點，P是它們的一個公共點，且

7T

則橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值為（）

462百0-

A.------B.------C.3D?2

33

22

11、（2014,浙江）設直線％—3y+加=0（MW0）與雙曲線=■-￡=1（〃>0乃〉0）的兩

條漸近線分別交于點AB,若點P（〃0）滿足|必|=|尸同，則該雙曲線的離心率是

解得：

習題答案：

1、答案：B.

n2a2s2t2

解析：謖M(p,q),N(-p,-q),P(s,t),貝U7T=L=17T=L

abab

2_22

兩式相減得:=

q-rbz

而周+|/自+|*22、慳=阡；=2\憶竺=1，則

p-s\\-p-s'p-sp+s丫p-_s2va"a

2b=a,4Z?2=a2=>4c2-4tz2=a2n5a2=4c2=>e2=』ne=-.

42

2,答案：A

解析：由拋物線方程可得：A（0,-l）,5（0,1）,過尸作準線的垂線，垂足為舷，所以

EL1

\PB\=\PM\,所以==可知機取得最大值時，NK4M最小，數(shù)形結

\PB\sinPAM

合可知當AP與拋物線相切時，NR4M最小。設=—1,聯(lián)立方程=4y,

y-kx-1

即爐―4丘+4=0,則A=0n左=1,此時P（2,l）,貝。|叢|=2后,歸同=2,所以

2a=\PA\-\PB\=2y/2-2^a=42-l，則e=￡=、i—=0+1

aV2-1

3、解析：???△ABB為鈍角三角形，且人工=6乙,乙4鳥耳>45。

1

b22

即AF>FF,:,—>2c=>c2-a2-lac>0

X{2a

即e2-2e-l>0^e>l+y/2

答案：B

4、答案：A

思路：已知條件與焦半徑相關，先考慮焦點三角形M4月的特點，從阡麗?（麗7+砥）=0

入手，可得用僅用+西1），數(shù)形結合可得四邊形0Mp6為菱形，所以

\OM\=\OF^\=\OF^,可判定AMF'F2為直角三角形。

\MF\-.|叫=6：3n\MFt\=y[3k\MF^=3k,可得閨閭=+\MF2f=2辰

.c=2j怩閶2尿不

"2a\MF^-\MF\3k-也k

5、答案：B

bt

----F2c<Q

2

解析：由橢圓與圓有四個不同的交點，貝心對任意恒成立，即

btL」

----\-2ob

12

b+2c<a5e2-4e>0

5c2-4ac>0

b，平方變形后可得：，=>

-+2c>b-(72+17c2>0e2>—

1217

6、答案,T

解析：設切線AC的方程為丁=勺@—〃澗），切線的方程為y=&x+7仍，聯(lián)立切線

AC與內層橢圓方程，得所以

(bx)2+(ay)'=(ab)

僅2+a雷卜2—2mc^k^x+席a"k；-a2b2=0，由A=0可得：=—?,同理

a~m

:b:c=4:3:*i。即e=E

-1）,所以將收=

7、答案：D

22

解析：設雙曲線方程為二一之=1（?！?力〉0）,如、/

a~b-\Ay/

圖所示：忸叫引他仁^^^鉆加二口口過點“作\/

aW，x軸于N,在Rt^BMN中，

W~-3~&KG2ai1*4^

\BN\=a,\MN\=sJ3a,所以V（2a,島），代入雙曲/-i-A

（Zap/d\\

線方程可得：=l可得：/T-\

ab/s\

3=lna：b：c=l：l：^2,從而e=—=42

ba

8、答案：A

解析：由雙曲線可知|北里|—|北用|=6|町|=2。，所以|同4|=三，因為點