2020-2021學(xué)年福建省龍巖市長汀、連城、上杭、武平、漳平、永定六校（一中）高一下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

試卷第=page22頁，共=sectionpages33頁2020-2021學(xué)年福建省龍巖市長汀、連城、上杭、武平、漳平、永定六校（一中）高一下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．下列說法錯(cuò)誤的是（）A．零向量與任意向量都不平行B．長度等于1個(gè)單位長度的向量，叫做單位向量C．平行向量就是共線向量D．長度為0的向量叫做零向量【答案】A【分析】根據(jù)零向量與單位向量及共線向量的定義判斷可得；【詳解】解：模為的向量叫做零向量，規(guī)定：零向量與任意向量平行，長度為個(gè)單位長度的向量，叫做單位向量，故A錯(cuò)誤，BCD正確．故選：A2．已知向量，則（）A．0 B．3 C．1 D．【答案】B【分析】利用平面向量數(shù)量積運(yùn)算求解即可.【詳解】，所以．故選：B.3．（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先利用復(fù)數(shù)的乘方求得，代入利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以．故選：D.4．已知棱長為6的正方體的所有頂點(diǎn)均在球O的球面上，則球O的表面積為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由正方體的體對(duì)角線長是其外接球的直徑求解.【詳解】因?yàn)檎襟w的棱長為6，所以正方體的體對(duì)角線長度為，又因?yàn)檎襟w的體對(duì)角線長是其外接球的直徑，所以球O的半徑為，所以球O的表面積為．故選：B5．旅游區(qū)的玻璃棧道、玻璃橋、玻璃景觀臺(tái)等近年來熱搜不斷，因其驚險(xiǎn)刺激的體驗(yàn)備受追捧．某景區(qū)順應(yīng)趨勢，為擴(kuò)大營收，準(zhǔn)備在如圖所示的山峰和山峰間建一座空中玻璃觀景橋．已知兩座山峰的高度都是，從點(diǎn)測得點(diǎn)的仰角，點(diǎn)的仰角以及，則兩座山峰之間的距離（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意先求出，再由余弦定理求解即可【詳解】由題意可知：，，，由余弦定理得故選：C6．如圖所示的是一個(gè)四邊形用斜二測法畫出的直觀圖，它是一個(gè)底角為，腰和上底邊長都為4的等腰梯形，則原四邊形的周長為（）A． B．C． D．【答案】D【分析】由直觀圖還原成原圖是一個(gè)如圖所示的直角梯形，與軸平行的線段長度不變，與軸平行的線段長度加倍，所以由已知的數(shù)據(jù)可得，從而可求得答案【詳解】原圖是一個(gè)如圖所示的直角梯形，其中，則周長為．故選：D7．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，的外接圓半徑為R，若，則（）A． B． C． D．1【答案】A【分析】根據(jù)題設(shè)條件和正弦定理，得到，進(jìn)而求得，由余弦定理列出方程，求得，再由，得到，利用面積公式，即可求解．【詳解】在中，滿足，由正弦定理可得，即，因?yàn)?，可得，所以，可得，又由，可得，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，且，所以，解得或（舍去），由，所以，所以．故選：A.8．已知平行四邊形中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊上，連接交于點(diǎn)M，且滿足，則（）A． B．1 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)，得到，再由E，F(xiàn)，M三點(diǎn)共線求解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以．因?yàn)镋，F(xiàn)，M三點(diǎn)共線，所以．故選：B二、多選題9．若一個(gè)多面體共有5個(gè)面，則這個(gè)多面體不可能是（）A．三棱錐 B．四棱柱 C．三棱臺(tái) D．四棱臺(tái)【答案】ABD【分析】根據(jù)多面體的概念判斷即可；【詳解】解：由多面體的概念知，三棱錐有4個(gè)面，四棱柱和四棱臺(tái)有6個(gè)面，三棱臺(tái)有5個(gè)面．故選：ABD10．已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為P，則（）A．P在第二象限 B．P在第四象限C． D．z的虛部為【答案】AC【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算，求得，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義和共軛復(fù)數(shù)的概念，以及復(fù)數(shù)的基本概念，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】由題意，復(fù)數(shù)，所以其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，所以A正確，B錯(cuò)誤；由復(fù)數(shù)的虛部為，所以D錯(cuò)誤；又由共軛復(fù)數(shù)的概念，可得，所以C正確.故選：AC11．窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一．每年新春佳節(jié)，我國許多地區(qū)的人們都有貼窗花的習(xí)俗，以此達(dá)到裝點(diǎn)環(huán)境、渲染氣氛的目的，并寄托著辭舊迎新、接福納祥的愿望．圖一是一張由卷曲紋和回紋構(gòu)成的正六邊形剪紙窗花，已知圖二中正六邊形的邊長為4，圓O的圓心為正六邊形的中心，半徑為2，若點(diǎn)P在正六邊形的邊上運(yùn)動(dòng)，為圓O的直徑，則的取值可能是（）A．4 B．6 C．8 D．12【答案】CD【分析】根據(jù)，由求解.【詳解】，，，，因?yàn)椋缘娜≈捣秶牵蔬x：CD12．在中，，則（）A．當(dāng)時(shí)，B．不可能是直角三角形C．A的最大值為D．面積的最大值為【答案】AD【分析】A選項(xiàng)結(jié)合正弦定理邊化角，然后利用余弦定理即可判斷；B選項(xiàng)，舉出反例即可判斷；C選擇結(jié)合余弦定理表示出，然后利用均值不等式即可求出最值；D選項(xiàng)利用余弦定理表示出，進(jìn)而表示出，結(jié)合三角形的面積公式，利用函數(shù)求最值即可.【詳解】在中，設(shè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．由，可得，又，當(dāng)時(shí)，，解得，A正確；當(dāng)時(shí)，，滿足，為直角三角形，B錯(cuò)誤；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以A的最大值為，C錯(cuò)誤；，設(shè)，，當(dāng)時(shí)，S取最大值，且最大值為，D正確．故選：AD三、填空題13．已知非零向量滿足，且，則向量的夾角是_______．【答案】【分析】由向量垂直得到，即可得到，再根據(jù)及計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)椋?，即，所以．因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以．故答案為?4．如圖，在棱長為2的正方體中，P，Q分別為的中點(diǎn)，則過D，P，Q三點(diǎn)的平面截正方體所得截面的面積為________．【答案】【分析】由過D，P，Q三點(diǎn)的平面截正方體所得的截面為等腰梯形求解.【詳解】如圖所示：過D，P，Q三點(diǎn)的平面截正方體所得的截面為等腰梯形，因?yàn)椋灾g的距離為，所以梯形的面積為，故答案為；．15．《列子·湯問》記有古代傳說：“渤海之東，不知幾億萬里，有大壑焉，實(shí)為無底之谷，其下無底，名曰歸墟．”現(xiàn)代研究發(fā)現(xiàn)海洋藍(lán)洞是海底突然下沉的巨大“深洞”，從海面上看藍(lán)洞呈現(xiàn)出與周邊水域不同的深藍(lán)色，我國西沙群島的“三沙永樂龍洞”為世界最深的海洋藍(lán)洞，深達(dá)．若要測量如圖所示的藍(lán)洞的口徑，即A，B兩點(diǎn)間的距離，現(xiàn)在珊瑚群島上取兩點(diǎn)C，D，且A，B，C，D四點(diǎn)共面，測得，，則A，B兩點(diǎn)間的距離為________．【答案】【分析】在中易得，再在中，由正弦定理得到BD，然后在中，利用余弦定理求解.【詳解】如圖所示：在中，因?yàn)椋?，所以，則．在中，因?yàn)?，所以由正弦定理，得．在中，因?yàn)?，所以由余弦定理得，故．故答案為：四、雙空題16．若，則________，__________．【答案】【分析】先利用復(fù)數(shù)的除法求得，然后利用復(fù)數(shù)的求模公式和共軛復(fù)數(shù)的概念求得和.【詳解】因?yàn)椋裕蚀鸢笧椋海?五、解答題17．如圖，在直四棱柱中，底面為正方形，，M，N，P分別是的中點(diǎn)．（1）證明：平面平面．（2）求三棱錐的體積．【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）根據(jù)中位線的性質(zhì)可得，由線面平行的判定定理以及面面平行的判定定理即可求證；（2）由于，由體積公式計(jì)算三棱錐的體積即可求解.【詳解】（1）因?yàn)镸，N，P分別是的中點(diǎn)，所以．又平面平面，所以平面．同理平面，又，所以平面平面．（2）三棱錐的體積等于三棱錐的體積，因?yàn)榈酌鏋檎叫危?，所以，所以三棱錐的體積為.18．已知向量．（1）若，求與的夾角的余弦值；（2）若，求的值．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)向量結(jié)合，利用平面向量的夾角公式求解；（2）由，化簡得到，再由，利用二倍角的余弦公式求解.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，．又因?yàn)?，所以．?）若，則．所以，即，所以．因?yàn)?，所以，解得．因?yàn)椋裕?9．在①，②z的實(shí)部與虛部互為相反數(shù)，③z為純虛數(shù)這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并解答．問題：已知復(fù)數(shù)．（1）若_______，求實(shí)數(shù)m的值；（2）若m為整數(shù)，且，求z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1）答案見解析；（2）.【分析】（1）若選擇①，由，可知是一個(gè)大于零的實(shí)數(shù)，從而得進(jìn)而可求出實(shí)數(shù)m的值；若選擇②，由題意可得，解方程可得實(shí)數(shù)m的值；若選擇③，由題意可得從而可求出實(shí)數(shù)m的值；（2）由可得，再由m為整數(shù)，可得為平方數(shù)，為奇數(shù)，從而可求得實(shí)數(shù)m的值，進(jìn)而可得答案【詳解】解：（1）若選擇①因?yàn)?，所以解得．若選擇②因?yàn)閦的實(shí)部與虛部互為相反數(shù)，所以，解得或．若選擇③因?yàn)閦為純虛數(shù)，所以解得．（2）因?yàn)?，所以，所以．因?yàn)閙為整數(shù)，所以為平方數(shù)，為奇數(shù)．因?yàn)榛颍则?yàn)證可得，即．因?yàn)椋?，其在?fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為．20．如圖，平面四邊形是某公園的一塊草地，為方便市民通行，該公園管理處計(jì)劃在草地中間修一條石路（不考慮石路的寬度），．（1）求該草地的面積；（2）求石路的長度．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）連接．在中，利用余弦定理求得AC，再在中，利用余弦定理求得CD，然后草地的面積由和的面積和求解.（2）由，結(jié)合求解.【詳解】（1）如圖所示：連接．在中，由余弦定理可得，即，則．在中，由余弦定理可得，則，解得或（舍去）．的面積，的面積，故該草地的面積．（2）因?yàn)椋?，所以．由余弦定理可得，，即，解得，故，即石路的長度為．21．如圖，在棱長為6的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點(diǎn)E是BB1的中點(diǎn)，點(diǎn)F在棱AB上，且AF=2FB，設(shè)直線BD1、DE相交于點(diǎn)G.（1）證明：GF平面AA1D1D；（2）求B到平面GEF的距離.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）連接AD1，根據(jù)等比例關(guān)系易得FGAD1，根據(jù)線面平行的判定即可證GF平面AA1D1D；（2）若正方體的棱長為6，求、GE、，由余弦定理求可得，進(jìn)而求、及G到平面BEF的距離，由等體積知VB﹣GEF=VG﹣BEF即可求B到平面GEF的距離.【詳解】（1）證明：連接AD1，則，∴FGAD1，又AD1平面AA1D1D，F(xiàn)G平面AA1D1D，∴GF平面AA1D1D；（2）由題意，若正方體的棱長為6，則，GE=DE=×，，在△GEF中，由余弦定理可得cos，則sin，∴，，且G到平面BEF的距離為2，設(shè)B到平面GEF的距離為h，由等體積法有VB﹣GEF=VG﹣BEF，∴，解得，故B到平面GEF的距離為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問，應(yīng)用等體積法有VB﹣GEF=VG﹣BEF求點(diǎn)面距離.22．在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．（