數(shù)學課后導練：直角坐標系平面上的伸縮變換

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精課后導練基礎達標1。在同一平面直角坐標系中，經(jīng)過伸縮變換后，曲線C變?yōu)榍€2x′2+8y′2=1,則曲線C的方程為（)A。50x2+72y2=1B。9x2+100y2=1C.25x2+36y2=1D。x2+y2=1答案：A2.將曲線x2+y2=1伸縮變換為=1的伸縮變換公式為（）A.B。C。D.答案：A3.在平面直角坐標系中，求下列方程所對應的圖形經(jīng)過伸縮變換后的圖形。(1)5x+2y=0;(2)x2+y2=1。解:（1）由伸縮變換得①①代入5x+2y=0得10x′+6y′=0,經(jīng)伸縮變換后仍為直線。（2）將①代入x2+y2=1中得=1，圓變成橢圓.4.在同一平面直角坐標系中，將曲線x2-36y2—8x+12=0變成曲線x′2-y′2-4x′+3=0，求滿足圖象變換的伸縮變換.解：設伸縮變換為將其代入方程x′2—y′2-4x′+3=0得λ2x2-μ2y2—4λx+3=0與x2—36y2-8x+12=0比較系數(shù)得，∴λ=,μ=3.∴變換為x′=x,y′=3y。5.△ABC中,若BC的長為4，中線AD的長為3，則點A的軌跡方程是_____________。答案：x2+y2=9（y≠0）6。在氣象臺A正西方向300千米處有一臺風中心,它以每小時40千米的速度向東北方向移動,距臺風中心250千米以內(nèi)的地方都要受其影響.問：從現(xiàn)在起，大約多長時間后，氣象臺A所在地將遭受臺風影響持續(xù)多長時間?解：如圖所示,以氣象臺為坐標原點,正東方向為x軸正方向，建立直角坐標系。則現(xiàn)在臺風中心B的坐標為（—300，0）.根據(jù)題意，可知，t小時后，B1的坐標為（—300+40tcos45°,40tsin45°），即（—300+20t,20t),因為以臺風中心為圓心，以250千米為半徑的圓上或圓內(nèi)的點將遭受臺風影響，所以B1在圓上或圓內(nèi)時，氣象臺將受臺風影響。所以令|AB1|≤250，即（-300+20t）2+(20t）2≤2502,整理得16t2-120t+275≤0.解得≤t≤,1.99≤t≤8。61。故大約2小時后,氣象臺A所在地將遭受臺風影響，大約持續(xù)6個半小時.7.如右圖,已知A、B、C是直線m上的三點,且|AB|=|BC｜=6，⊙O′切直線m于點A，又過B、C作⊙O′異于m的兩切線,切點分別為D、E，設兩切線交于點P，（1）求點P的軌跡方程;（2）經(jīng)過點C的直線l與點P的軌跡交于M、N兩點,且點C分所成的比等于2∶3，求直線l的方程.分析:先根據(jù)圓切線的定義,可得到點P的軌跡是橢圓,然后建立適當?shù)淖鴺讼登蟪鳇cP的軌跡方程來;根據(jù)定比分點坐標公式,找出相關點的坐標來，列出方程組求出點M、N的坐標，從而求出直線方程。解：（1）∵|PE｜=｜PD｜,|BD｜=|BA｜，｜CE|=|CA｜，∴｜PB|+|PC｜=|PD｜+|DB|+｜CE|-|PE|=｜BD|+|CE｜=｜AB|+｜CA｜=18＞6=|BC｜,∴P點軌跡是以B、C為焦點,長軸長等于18的橢圓。以B、C兩點所在直線為x軸，線段BC的垂直平分線為y軸建立直角坐標系，則可設橢圓的方程是+=1（a＞b＞0）。（2)略.綜合運用8.學校科技小組在計算機上模擬航天器變軌返回試驗.設計方案如下圖:航天器運行（按順時針方向)的軌跡方程為+=1，變軌(即航天器運行軌跡由橢圓變?yōu)閽佄锞€)后返回的軌跡是以y軸為對稱軸、M(0,）為頂點的拋物線的實線部分,降落點為D（8,0)。觀測點A（4，0）、B（6，0）同時跟蹤航天器.（1）求航天器變軌后的運行軌跡所在的曲線方程；（2）試問:當航天器在x軸上方時,觀測點A、B測得離航天器的距離分別為多少時,應向航天器發(fā)出變軌指令？分析：本題是有關橢圓與雙曲線的實際應用問題，所求的拋物線方程不是標準方程的形式，可以將其視為對應的標準方程的拋物線進行一定的平移后所得到，從而將問題解決;有關求曲線的交點問題通常是解它們的方程所組成的方程組，從而求解。解：(1)設曲線方程為y=ax2+,由題意可知0=a·64+,即a=?！嗲€方程為y=。(2）設變軌點為C(x,y),根據(jù)題意可知得4y2-7y-36=0，y=4或y=(不合題意，舍去）.∴y=4，得x=6或x=-6(不合題意,舍去)，∴C點的坐標為(6，4),｜AC|=，|BC|=4。答：當觀測點A、B測得AC、BC距離分別為、4時，應向航天器發(fā)出變軌指令.9。(2006江蘇高考,4)為了得到函數(shù)y=2sin(+),x∈R的圖象,只需把函數(shù)y=2sinx，x∈R的圖象上所有的點（)A。向左平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變)B.向右平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變）C。向左平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標伸長到原來的3倍(縱坐標不變）D。向右平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標伸長到原來的3倍(縱坐標不變)答案：C拓展探究10。在平面直角坐標系xOy中，有一個以F1(0，—)和F2（0，）為焦點、離心率為的橢圓.設橢圓在第一象限的部分為曲線C，動點P在C上，C在點P處的切線與x、y軸的交點分別為A、B，且向量。求：（1)點M的軌跡方程；（2）||的最小值.解：（1)橢圓方程可寫為=1，式中a＞b＞0，且得a2=4，b2=1，所以曲線C的方程為x2+=1(x＞0,y＞0).y=（0＜x＜1),y′=。設P（x0，y0），因P在C上,有0＜x0＜1,y0=,y′|=，得切線AB的方程為y=(x—x0）+y0.設A(x,0）和B（0，y）,由切