數(shù)學(xué)課后導(dǎo)練：直線和圓的參數(shù)方程

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課后導(dǎo)練基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1.下列可以作為直線2x-y+1=0的參數(shù)方程的是(）A.（t為參數(shù)）B。（t為參數(shù))C.（t為參數(shù)）D.(t為參數(shù))解析一：根據(jù)所給的方程可知直線的斜率為2,而所給直線的參數(shù)方程中,A選項(xiàng)的斜率是1,B選項(xiàng)的斜率是—2，C選項(xiàng)的斜率是2,D選項(xiàng)的斜率是.所以只有C符合條件,這里C雖然不是標(biāo)準(zhǔn)式的參數(shù)方程，但是只有C能化成2x-y+1=0.解析二：化各參數(shù)方程為普通方程,再去比較.答案：C2。已知參數(shù)方程（a、b、λ均不為零,0≤θ≤2π).當(dāng)（1）t是參數(shù)；（2）λ是參數(shù);（3）θ是參數(shù),則下列結(jié)論中成立的是(）A.（1)（2)(3）均為直線B。只有(2）是直線C。（1）(2）是直線，(3）是圓D。（2)是直線，(1）（3)是圓錐曲線解析:若t是參數(shù),a、b、λ、θ為常數(shù),消去t得一個(gè)關(guān)于x、y的二元一次方程,故t是參數(shù)時(shí),參數(shù)方程表示直線，若λ是參數(shù)，a、b、t、θ是常數(shù)，消去λ后方程化為關(guān)于x、y的二元一次方程,故λ是參數(shù)時(shí)，參數(shù)方程仍表示直線;若θ是參數(shù)，a、b、t、λ是常數(shù),消去θ后方程化為(x-at)2+（y—bt）2=λ2,參數(shù)方程表示圓。答案:C3。兩條曲線的參數(shù)方程分別是(θ為參數(shù)),(t為參數(shù)）,則其交點(diǎn)個(gè)數(shù)為……(）A.0B。1C.0或1D。2解析：兩個(gè)參數(shù)方程分別表示線段x-y+2=0(-1≤x≤0,1≤y≤2）和橢圓+=1,所以兩曲線只有一個(gè)交點(diǎn)。答案：B4.若（λ為參數(shù)）與(t為參數(shù))表示同一條直線,則λ與t的關(guān)系是()A。λ=5tB.λ=—5tC.t=5λD。t=-5λ解析：依題意,由得—3λ=tcosα，由,得4λ=tsinα，消去α的三角函數(shù),得25λ2=t2，得t=±5λ,借助于直線的斜率可排除D。答案：C5。直線(t為參數(shù))被圓x2+（y-1)2=9所截得的線段長(zhǎng)等于（）A.3B。6C。9D.與α的值無關(guān)解析:把x=tcosα,y=1+tsinα代入圓的方程，得t2cos2α+t2sin2α=9,得t2=9,得t1=3，t2=—3，線段長(zhǎng)為|t1-t2｜=6。答案:B6.按照規(guī)律(t是參數(shù)）運(yùn)動(dòng)后，質(zhì)點(diǎn)從時(shí)間t1到t2經(jīng)過的距離是____________。解析:時(shí)間t1對(duì)應(yīng)的點(diǎn)A的坐標(biāo)是(a+t1cosθ,b+t1sinθ），時(shí)間t2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)B的坐標(biāo)是(a+t2cosθ,b+t2sinθ)，利用兩點(diǎn)距離公式可以求得質(zhì)點(diǎn)從時(shí)間t1到t2經(jīng)過的距離|AB|===|t1—t2|。答案:｜t1-t2|7。直線l經(jīng)過點(diǎn)M0（1，5），傾斜角為，且交直線x-y—2=0于M點(diǎn),則|MM0｜=___________.解析：直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），代入方程x—y—2=0中得1+t-(5+t)—2=0t=—6（—1).根據(jù)t的幾何意義即得|MM0|=6(—1).答案：6(-1)8。已知直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù)),其中實(shí)數(shù)α的范圍是（0,),則直線l的傾斜角是_____________.解析:首先要根據(jù)α的范圍把直線的參數(shù)方程化為標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程，根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)式結(jié)合α的范圍得出直線的傾斜角.答案:—α9.過點(diǎn)A(1,1）作直線,被橢圓+=1所截得的弦被此點(diǎn)平分,則此直線方程為__________。解析：設(shè)直線為（t為參數(shù))代入橢圓方程并整理得(4cos2α+9sin2α）t2+(8cosα+18sinα)t-23=0.∵t1+t2=0,∴8cosα+18sinα=0?！鄑anα=.∴直線方程為4x+9y—13=0。答案：4x+9y—13=010。下表是一條直線上的點(diǎn)和對(duì)應(yīng)參數(shù)的統(tǒng)計(jì)值：參數(shù)t262橫坐標(biāo)x2—12—30縱坐標(biāo)y5+65+37根據(jù)數(shù)據(jù)可知直線的參數(shù)方程是___________，轉(zhuǎn)化為普通方程是(一般式)___________,直線被圓(x-2）2+（y—5)2=8截得的弦長(zhǎng)為_______________。解析:這是一個(gè)由統(tǒng)計(jì)、直線參數(shù)方程和普通方程、圓的知識(shí)組成的綜合問題。充分考查了這幾部分知識(shí)的靈活運(yùn)用.首先,根據(jù)統(tǒng)計(jì)的基本知識(shí),觀察分析所給數(shù)據(jù)的特點(diǎn)給出直線的參數(shù)方程(t為參數(shù)),然后把參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程x+y-7=0,而由參數(shù)方程可知直線一定過點(diǎn)(2,5）,恰好是所給圓的圓心，所以直線被圓所截的弦長(zhǎng)恰好是圓的直徑，易知直徑長(zhǎng)為4.答案：(t為參數(shù)）x+y-7=04綜合運(yùn)用11。給出兩條直線l1和l2，斜率存在且不為0，如果滿足斜率互為相反數(shù)，且在y軸上的截距相等,那么直線l1和l2叫做“孿生直線".（1)現(xiàn)在給出4條直線的參數(shù)方程如下：l1：(t為參數(shù))；l2: (t為參數(shù))；l3:(t為參數(shù)）;l4:(t為參數(shù))。其中構(gòu)成“孿生直線”的是_________________.(2）給出由參數(shù)方程表示的直線l1：(t為參數(shù)),直線l2:(t為參數(shù)）,那么,根據(jù)定義，直線l1、直線l2構(gòu)成“孿生直線”的條件是________________.解析:根據(jù)條件,兩條直線構(gòu)成“孿生直線”意味著它的斜率存在不為0，互為相反數(shù)，且在y軸的截距相等,也就是在y軸上交于同一點(diǎn)。對(duì)于題(1）,首先可以判斷出其斜率分別為—1，1,-1,1,斜率互為相反數(shù)條件很明顯,再判斷在y軸上的截距.令x=0得出相應(yīng)的t值，代入y可得只有直線l1和直線l4在y軸上的截距相等,而其斜率又恰好相反，可以構(gòu)成“孿生直線”。對(duì)于題（2）首先寫出相應(yīng)斜率分別是tanα1和tanα2,因此要tanα1=-tanα2，即tanα1+tanα2=0；然后再考慮在y軸上的截距,首先在l1的參數(shù)方程中,令x=x1+tcosα1=0，可得t=代入得y=y1-x1tanα1。同理，可得直線l2在y軸上的截距是y=y2—x2tanα2。由定義中的條件“截距相等”可得y1—x1tanα1=y2-x2tanα2,即y1—y2=x1tanα1-x2tanα2。如果把tanα1=—tanα2代入式子還可以進(jìn)一步得到y(tǒng)1—y2=x1tanα1+x2tanα1，即y1-y2=(x1+x2）tanα1。答案：（1）直線l1和直線l4（2）tanα1+tanα2=0且y1—y2=x1tanα1-x2tanα2〔也可以寫成y1—y2=(x1+x2）tanα1〕12。過原點(diǎn)作直線l,交直線2x-y—1=0于A,交2x+y+3=0于B，若原點(diǎn)為線段AB的中點(diǎn)，求l的方程.解：設(shè)l的傾斜角為α,則l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）.將方程分別代入兩直線方程中，2tcosα-tsinα=1,得t1=;2tcosα+tsinα+3=0，得t2=?！逴（0，0)為AB中點(diǎn),∴t1+t2=0.-=04cosα=4sinα。∴k=tanα=1,所求l的方程為y=x.13.直線l經(jīng)過點(diǎn)(0，）斜率為2,交橢圓+=1于A、B兩點(diǎn),求AB中點(diǎn)到點(diǎn)(0,）的距離.解：由k=2=tanα，∴sinα=，cosα=，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù))。代入橢圓方程9（t）2+4（+t)2—36=05t2+16t-16=0.所求距離d=|t1+t2|=｜｜=.拓展探究14.已知直線l過點(diǎn)P(-1,1),傾斜角為θ，與拋物線y2=—8x交于A、B兩點(diǎn)。（1)求｜PA｜·|PB｜的最小值及此時(shí)l的方程；（2)若P(-1,1)平分線段AB,求l的方程；(3)若線段AB被P（—1，1）三等分,求l的方程.分析:由于題目所求部分有明確幾何意義，可考慮用直線的參數(shù)方程.解:設(shè)直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)）,代入拋物線方程并整理得t2sin2α+2tsinα+8tcosα—7=0.∵Δ=（2sinα+8cosα）2+28sin2α=48+16sin(2α+）＞0,∴它的兩根t1、t2為AB對(duì)應(yīng)的參數(shù)值。(1）|PA|·｜PB｜=|t1｜·|t2|=|t1t2|=.(α≠kπ，否則直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn))當(dāng)sinα=±1時(shí)，|PA｜·｜PB｜有最小值7,此時(shí)直線方程為x=—1。（2）若P為中點(diǎn),則t1+t2=0,∴=0?！鄈=tanα=-4.直線l的方程為4x+y+3=0.(3）P為AB的三等分點(diǎn)，不妨設(shè)｜PA｜=2|PB｜，即t1=—2t2,∴t1+t2=-t2，t1t2=—2t22。∴—2(t1+t2)2=t1t2.由韋達(dá)定理知,整理得（3sinα+8cosα)(sinα+8cosα)=0.∴k1=tanα1=，k2=tanα2=-8.故所求直線l的方程為8x+3y+5=0或8x+y+7=0。15。已知點(diǎn)Q是圓x2+y2=4上的動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)P（4,0）,若點(diǎn)M分所成的比為1∶2，求點(diǎn)M的軌跡.分析:本題是比較典型的求軌跡問題,一個(gè)點(diǎn)的位置隨另一點(diǎn)的位置的變化而變化，要求的是動(dòng)點(diǎn)的軌跡，可以先求出其軌跡方程，然后根據(jù)方程得知其軌跡.解：設(shè)點(diǎn)Q（2cosθ,2sinθ）、M（x,y），則由題意得即。兩式平方相加，得點(diǎn)M的軌跡方程為(－2）2+(）2=4，即（x－)2+y2=。故其軌跡為以點(diǎn)（,0)為圓心、為半徑的圓.16.已知實(shí)數(shù)x、y滿足(x+1)2+（y—2)2=16，求3x+4y的最值。分析:這樣的題目可考慮利用數(shù)形結(jié)合，把滿足方程的x、y視為圓（x+1)2+（y－2）2=16上的動(dòng)點(diǎn)，可考慮利用圓的參數(shù)方程來求解，也可引入向量來求解。解:由題意,設(shè)代入3x+4y=3(－1+4cosθ)+4(2+4sinθ）=20cos（θ+α)+5.于是3x+4y的最大、最小值分別為25、15.17.如圖，圓O1與圓O2的半徑都是1,|O1O2|=4，過動(dòng)點(diǎn)P分別作圓O1、圓O2的切線PM、PN（M、N分別為切點(diǎn)），使得PM=PN,試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,并求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程。分析：本題是一道很綜合的題目.由題意建立坐標(biāo)系,寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，由幾何關(guān)系式：PM=PN,即（PM）2=2（PN）2，結(jié)合圖形由勾股定理轉(zhuǎn)化為PO12－1=2（PO22－1