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認(rèn)證類型：個(gè)人認(rèn)證

認(rèn)證主體：李**（實(shí)名認(rèn)證）

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IP屬地：河北 上傳時(shí)間：2024-11-10 格式：DOCX 頁(yè)數(shù)：43 大小：360.43KB 積分：6 舉報(bào) 版權(quán)申訴

PAGE1第12講函數(shù)的單調(diào)性與最值（6類核心考點(diǎn)精講精練）1.5年真題考點(diǎn)分布5年考情考題示例考點(diǎn)分析2024年天津卷，第20題,16分利用導(dǎo)數(shù)證明不等式利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問(wèn)題由導(dǎo)數(shù)求求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程(斜率)函數(shù)的最值(含參)2023年天津卷，第20題,16分求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程(斜率)利用導(dǎo)數(shù)證明不等式利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問(wèn)題2022年天津卷，第20題,16分求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程(斜率)利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問(wèn)題利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零2021年天津卷，第20題,16分求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程(斜率)利用導(dǎo)數(shù)研究能成立問(wèn)題函數(shù)極值點(diǎn)的辨析2020年天津卷，第20題,16分利用導(dǎo)數(shù)證明不等式2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較高，分值為16分【備考策略】1.理解、掌握函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，能夠判斷通過(guò)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性2.能掌握集合函數(shù)最值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系3.具備數(shù)形結(jié)合的思想意識(shí)，會(huì)借助函數(shù)圖像求解函數(shù)的最值4.會(huì)通過(guò)函數(shù)的單調(diào)性解抽象不等式.【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，一般給定函數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)的最值。知識(shí)講解知識(shí)點(diǎn)一.函數(shù)的單調(diào)性1.函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系條件結(jié)論函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上可導(dǎo)f′(x)＞0f(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)遞增f′(x)＜0f(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)遞減f′(x)＝0f(x)在(a，b)內(nèi)是常數(shù)函數(shù)2.常用結(jié)論（1）在某區(qū)間內(nèi)f′(x)＞0(f′(x)＜0)是函數(shù)f(x)在此區(qū)間上為增(減)函數(shù)的充分不必要條件．（2）可導(dǎo)函數(shù)f(x)在(a，b)上是增(減)函數(shù)的充要條件是對(duì)?x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子區(qū)間內(nèi)都不恒為零．知識(shí)點(diǎn)二．函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)1.函數(shù)f(x)在[a，b]上有最值的條件如果在區(qū)間[a，b]上函數(shù)y＝f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值．2.求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步驟（1）求函數(shù)y＝f(x)在(a，b)內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)y＝f(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值．3.常用結(jié)論.（1）若函數(shù)f(x)的圖象連續(xù)不斷，則f(x)在[a，b]上一定有最值．（2）若函數(shù)f(x)在[a，b]上是單調(diào)函數(shù)，則f(x)一定在區(qū)間端點(diǎn)處取得最值．（3）若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)，則相應(yīng)的極值點(diǎn)一定是函數(shù)的最值點(diǎn)．考點(diǎn)一、不含參函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間1.（廣東·高考真題）設(shè)函數(shù)fx=xlnx，則【答案】1【分析】根據(jù)f'x>0，則fx單調(diào)遞增，求解【詳解】fx=x令f'x∴fx的單調(diào)遞增區(qū)間為故答案為：1e2.（重慶·高考真題）設(shè)函數(shù)f(x)=x3+ax2（Ⅰ）a的值;（Ⅱ）函數(shù)y=fx【答案】（1）a=?3;（2）單調(diào)增區(qū)間是?∞,?1和3,+∞，減區(qū)間是?1,3.【分析】（1）求出f'xmin=?9?a23，利用?9?a23=?12，解方程可得結(jié)果；(2）求出f'x，在定義域內(nèi)，分別令【詳解】（1）fxf所以f'由條件得?9?a23=?12，解得所以a=?3(2）因?yàn)閍=?3，所以fxf'x=3x所以當(dāng)x<?1或x>3時(shí)，f當(dāng)?1<x<3時(shí)，f'所以fx=x3?3x2【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求出函數(shù)在某一點(diǎn)出的切線斜率，求增區(qū)間需解不等,f'x1.（2005·北京·高考真題）已知函數(shù)f(1)求fx(2)若fx在區(qū)間?2,2【答案】(1)?∞,?1，(2)?7.【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系即得；（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的最值的關(guān)系可得函數(shù)的最大值，可得a=?2，結(jié)合條件進(jìn)而即得.【詳解】（1）由fx=?x由f'x=?3x?3x+1所以函數(shù)fx的單調(diào)減區(qū)間為?∞,?1（2）因?yàn)閒'令f'x=0，解得xx?2?2,?1?1?1,22f?0+f2+a↘?5+a↗22+a則f2，f?1分別是fx所以f2=22+a=20，解得從而得函數(shù)fx在?2,2上的最小值為f2.（2024·黑龍江·模擬預(yù)測(cè)）已知f(x)=ax+bcosx在點(diǎn)π2(1)求a,b的值；(2)求fx在區(qū)間[0,【答案】(1)a=(2)單調(diào)遞增區(qū)間為0,π6和5π6,π【分析】（1）由題意可得π2+2fπ（2）由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而可求出極值.【詳解】（1）由f(x)=ax+bcosx，得因?yàn)閒(x)=ax+bcosx在點(diǎn)π2所以π2所以π2+2π解得a=1（2）f(x)=12x+因?yàn)閤∈[0,π]，所以x1當(dāng)x∈0,π6當(dāng)x∈π6,當(dāng)x∈5π6所以f(x)極大值為fπ6=綜上所述，f(x)在區(qū)間[0,π]上的單調(diào)遞增區(qū)間為0,π6和極大值為π12+33.（2025·甘肅張掖·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx=ex?a(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)求fx【答案】(1)a=1(2)答案見(jiàn)解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，將點(diǎn)2,1代入求解a；（2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性和極值.【詳解】（1）由已知得f'則f'0=所以fx的圖象在點(diǎn)0,f0處的切線方程為將點(diǎn)2,1代入得1=21?a+1，解得（2）所以fx=e所以f'令g(x)=x+1ex易得g'(x)>0在(?1,+∞)上恒成立，所以又g(0)=0，所以當(dāng)?1<x<0時(shí)，g(x)<0，即f'(x)<0，fx當(dāng)x>0時(shí)，g(x)>0，即f'(x)>0，fx所以fx的單調(diào)遞減區(qū)間為(?1,0)，單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+∞)，極小值為f考點(diǎn)二、含參函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間1.（·北京·高考真題）已知函數(shù)f(x)=2x?b(x?1)2，求導(dǎo)函數(shù)f【答案】導(dǎo)函數(shù)為f'當(dāng)b<2時(shí)，函數(shù)f(x)的增區(qū)間為(b?1,1)，減區(qū)間為(?∞,b?1)和當(dāng)b>2時(shí)，函數(shù)f(x)的增區(qū)間為(1,b?1)，減區(qū)間為(?∞,1)和當(dāng)b=2時(shí)，函數(shù)f(x)的減區(qū)間為(?∞,1)和【分析】根據(jù)函數(shù)的求導(dǎo)法則進(jìn)行求導(dǎo)，然后由導(dǎo)數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增，導(dǎo)數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減可得答案．【詳解】解：f'令f'(x)=0，得當(dāng)b?1<1，即b<2時(shí)，f'x(?b?1(b?1,1)(1,+f'(x)?0+?當(dāng)b?1>1，即b>2時(shí)，f'x(?(1,b?1)b?1(b?1,+f'(x)?+0?所以，當(dāng)b<2時(shí)，函數(shù)f(x)在(?∞,b?1)上單調(diào)遞減，在在(1,+∞當(dāng)b>2時(shí)，函數(shù)f(x)在(?∞,1)上單調(diào)遞減，在(1,b?1)上單調(diào)遞增，在當(dāng)b?1=1，即b=2時(shí)，f'(x)=?2(x?1)2<0，所以函數(shù)f(x)在綜上：導(dǎo)函數(shù)為f'當(dāng)b<2時(shí)，函數(shù)f(x)的增區(qū)間為(b?1,1)，減區(qū)間為(?∞,b?1)和當(dāng)b>2時(shí)，函數(shù)f(x)的增區(qū)間為(1,b?1)，減區(qū)間為(?∞,1)和當(dāng)b=2時(shí)，函數(shù)f(x)的減區(qū)間為(?∞,1)和2.（全國(guó)·高考真題）已知a∈R，求函數(shù)【答案】見(jiàn)解析.【分析】f'(x)=2xeax+ax2【詳解】f'①當(dāng)a=0時(shí)，若x<0，則f'(x)<0，若x>0,則所以a=0時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間?∞,0內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間②當(dāng)a>0時(shí)，由2x+ax2>0，解得x<?2a或x>0所以當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間?∞,?2a內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間③當(dāng)a<0時(shí)，由2x+ax2由2x+ax2<0，得x<0所以當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間?∞,0內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間01.（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=ax?1x?(a+1)【答案】答案見(jiàn)解析.【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后對(duì)參數(shù)a分類討論，注意討論正負(fù)以及與1a,1的關(guān)系，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)【詳解】函數(shù)f(x)=ax?1x?(a+1)求導(dǎo)得f'當(dāng)a<0時(shí)，ax?1<0，由f'(x)>0，得0<x<1；由f'因此函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+∞當(dāng)a>0時(shí)，若1a>1，即0<a<1，則由f'(x)>0，得0<x<1或x>1因此函數(shù)f(x)在(0,1),(1a,+若1a=1，即a=1，則f'(x)≥0恒成立，因此函數(shù)若1a<1，即a>1，則由f'(x)>0，得0<x<1a或因此函數(shù)f(x)在(0,1a),(1,+所以當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間是(0,1)，遞減區(qū)間是(1,+∞當(dāng)0<a<1時(shí)，函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間是(0,1),(1a,+當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間是(0,+∞當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間是(0,1a),(1,+2.（23-24高三下·北京·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=2ax?ln(1)若a=1，求函數(shù)fx(2)試討論函數(shù)fx【答案】(1)極小值為3，無(wú)極大值(2)答案見(jiàn)解析【分析】（1）當(dāng)a=1，求出f'x，令（2）求出f'x，分兩種情況討論【詳解】（1）若a=1，fx=2x?ln則f'令f'x=0由f'x>0，可得x>1，所以f由f'x<0，可得0<x<1，所以f所以fx在x=1處取得極小值，極小值為f（2）fx的定義域?yàn)?,+f'x=2a?當(dāng)a<0時(shí)，f'x<0，則f當(dāng)a>0時(shí)，令f'x=0，可得x=因?yàn)??1+8a4a<0所以當(dāng)0<x<1+1+8a4a則fx在0,當(dāng)x>1+1+8a4a則fx在1+綜上，當(dāng)a<0時(shí)，fx在0,+當(dāng)a>0時(shí)，fx在0,1+1+8a3.（北京·高考真題）已知函數(shù)f(x)=x3+a（Ⅰ）求a，c的值；（Ⅱ）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間．【答案】（Ⅰ）a=0，c=2（Ⅱ）見(jiàn)解析【詳解】（Ⅰ）因?yàn)楹瘮?shù)g(x)=f(x)?2為奇函數(shù)，所以，對(duì)任意的x∈R，g(?x)=?g(x)，即f(?x)?2=?f(x)+2．又f(x)=x3+a所以{a=?a，c?2=?c+2．解得（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)=x3+3bx+2當(dāng)b<0時(shí)，由f'(x)=0得x=±?b．xx(?∞，??(??b（f+0?0+所以，當(dāng)b<0時(shí)，函數(shù)f(x)在(?∞，??b)上單調(diào)遞增，在在(?b當(dāng)b>0時(shí)，f'(x)>0，所以函數(shù)f(x)在考點(diǎn)三、已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)1.（2023·全國(guó)·高考真題）已知函數(shù)fx=aeA．e2 B．e C．e?1 【答案】C【分析】根據(jù)f'x=a【詳解】依題可知，f'x=aex?1設(shè)gx=xex,x∈1,2，所以gx>g1=e，故e故選：C．2.（2023·全國(guó)·高考真題）設(shè)a∈0,1，若函數(shù)fx=ax【答案】5【分析】原問(wèn)題等價(jià)于f'x=axlna+【詳解】由函數(shù)的解析式可得f'x=則1+axln1+a≥?a故1+aa0=1≥?lna故lna+1≥?lna0<a<1結(jié)合題意可得實(shí)數(shù)a的取值范圍是5?1故答案為：5?11.（2019·北京·高考真題）設(shè)函數(shù)f（x）=ex+ae?x（a為常數(shù)）．若f（x）為奇函數(shù)，則a=；若f（x）是R上的增函數(shù)，則a的取值范圍是．【答案】-1;?∞,0.【分析】首先由奇函數(shù)的定義得到關(guān)于a的恒等式，據(jù)此可得a的值，然后利用導(dǎo)函數(shù)的解析式可得a的取值范圍.【詳解】若函數(shù)fx=ea+1ex+若函數(shù)fx=ex+ae?x即實(shí)數(shù)a的取值范圍是?∞,0【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性?單調(diào)性?利用單調(diào)性確定參數(shù)的范圍.解答過(guò)程中,需利用轉(zhuǎn)化與化歸思想,轉(zhuǎn)化成恒成立問(wèn)題.注重重點(diǎn)知識(shí)?基礎(chǔ)知識(shí)?基本運(yùn)算能力的考查.2.（2016·全國(guó)·高考真題）若函數(shù)fx=x?13sinA．?1,1 B．?1,13 C．?1【答案】C【詳解】試題分析：f'(x)=1?2故1?23(2即?43t2+at+53?0對(duì)t∈[?1,1]恒成立，構(gòu)造【考點(diǎn)】三角變換及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用【名師點(diǎn)睛】本題把導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)結(jié)合在一起進(jìn)行考查,有所創(chuàng)新,求解的關(guān)鍵是把函數(shù)單調(diào)性轉(zhuǎn)化為不等式恒成立,再進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問(wèn)題,注意與三角函數(shù)值域或最值有關(guān)的問(wèn)題,即注意正、余弦函數(shù)的有界性3.（上?！じ呖颊骖}）已知函數(shù)f(x)=x2+ax（1）討論函數(shù)fx（2）若函數(shù)fx在[2,+∞)上為增函數(shù)，求a【答案】（1）a=0時(shí)，f(x)為偶函數(shù)，a≠0時(shí)，f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；（2）a≤16．【解析】（1）根據(jù)奇偶性的定義判斷；（2）求出導(dǎo)函數(shù)f'(x)，由f'(x)≥0在【詳解】（1）函數(shù)定義域是{x|x≠0}，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，a=0時(shí)，f(x)=x2，則f(?x)=(?x)a≠0時(shí)，f(?x)=x2?ax，f(?x)+f(x)=2（2）f'(x)=2x?ax2∴x∈[2,+∞)時(shí)，2x3?a≥0，即a≤2x3，此時(shí)【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性，考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，掌握單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系是解題關(guān)鍵．4.（23-24高三上·海南?？凇るA段練習(xí)）已知函數(shù)fx=2?xexA．?∞,5e B．5e,+∞ 【答案】D【分析】由題意可得f'x≤0在0,5上恒成立，即a≥1?xex在【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)fx=2?x所以f'x=?所以a≥1?xex在0,5所以g'所以gx在0,5上單調(diào)遞減，所以?4故a≥1，所以a的取值范圍是1,+∞故選：D.5.（2023·寧夏銀川·三模）若函數(shù)f(x)=x22A．0<m<23 C．23≤m≤1【答案】B【詳解】首先求出f(x)的定義域和極值點(diǎn)，由題意得極值點(diǎn)在區(qū)間(m,m+13)內(nèi)，且m>0【分析】函數(shù)f(x)=x22且f'令f'(x)=0，得因?yàn)閒(x)在區(qū)間(m,m+1所以m>0m<1<m+1故選：B.考點(diǎn)四、已知函數(shù)存在單調(diào)性求參數(shù)1.（23-24高三上·福建泉州·階段練習(xí)）若函數(shù)?x=lnx?1A．?1,+∞ B．?1,+∞ C．?∞【答案】D【分析】根據(jù)條件得出存在x∈1,4，使?'x=1x?ax?2>0成立，即存在x∈1,4，使【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)?x=ln所以存在x∈1,4，使?'x=1令Gx=1x2?2x，所以當(dāng)1x=14，即x=4時(shí)，故選：D．2.（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·一模）在區(qū)間(0,π)上，函數(shù)y=a?A．(?∞,1) C．(?∞,π【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合函數(shù)單調(diào)性建立不等式，再構(gòu)造函數(shù)求出函數(shù)最大值即得.【詳解】函數(shù)y=a?cosx依題意，不等式xsinx?a+cosx>0在(0,π令f(x)=xsinx+cosx，當(dāng)x∈(0,π2)時(shí)，f'(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x∈(當(dāng)x=π2時(shí)，f(x)所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(?∞故選：C1.（22-23高三上·陜西·期中）若函數(shù)f(x)=x3+bx2A．?5,+∞ B．?3,+∞ C．?∞【答案】A【分析】由題意可推得f'x=3x2+2bx+3>0在13【詳解】由題可知f'x=3即3x+1x設(shè)g(x)=3(x+1當(dāng)13<x<1時(shí)，g'(x)<0，g(x)遞減，當(dāng)1<x<2時(shí)，故g(x)min=g(1)=6所以?2b<10，解得b>?5，所以b的取值范圍是?5,+∞故選：A2.（21-22高三上·江蘇蘇州·期中）若函數(shù)fx=lnx+axA．?2,+∞ B．?18,+∞ 【答案】D【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為a>?12x2在12【詳解】∵f(x)=ln∴f'若fx在區(qū)間12,2故a>?1令g(x)=?12x2，則∴g(x)>g1故a>?2.故選：D.3.（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx=14xA．?∞,2C．?∞,2【答案】D【分析】根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為f'x<0在1e,2上有解，得到a<【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)fx=1因?yàn)楹瘮?shù)fx在1可得f'x=即a<1+lnx令gx=1+lnx當(dāng)1e≤x<1時(shí)，?ln當(dāng)1<x≤2時(shí)，?lnxx所以gx在1e,1上單調(diào)遞增，在1,2上單調(diào)遞減，故g故選：D．4.（23-24高三上·陜西漢中·期末）若函數(shù)fx=lnx+ax2?2【答案】?8,+【分析】利用導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題，分離參數(shù)法求解即可.【詳解】定義域?yàn)閤∈0,+∞，而f'x=1x+2ax，由已知得函數(shù)fx=lnx+ax2?2在區(qū)間14,1故答案為：?8,+5.（24-25高三·上海·隨堂練習(xí)）設(shè)函數(shù)y=fx，其中f(1)求f'(2)若y=fx在[1,+(3)若y=fx在[2,4]【答案】(1)f'(2)[2,+∞(3)0,2【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)法則直接計(jì)算即可；（2）由題意得f'(x)≥0在（3）由題意得f'(x)<0在[2,4]上有解，轉(zhuǎn)化為a<2【詳解】（1）由fx得f'所以f'（2）由題意得，f'(x)≥0在即a≥2x在因?yàn)閥=2x在[1,+∞)上遞減，所以所以a≥2，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為[2,+∞（3）由題意得，f'(x)<0在[2,4]上有解，即a<2因?yàn)閥=2x在所以1≤2所以0<a<2即實(shí)數(shù)a的取值范圍為0,2考點(diǎn)五、求已知函數(shù)的最值1.（2021·全國(guó)·高考真題）函數(shù)f(x)=|2x?1|?2lnx【答案】1【分析】由解析式知f(x)定義域?yàn)?0,+∞)，討論0<x≤12、12<x≤1、【詳解】由題設(shè)知：f(x)=|2x?1|?2lnx定義域?yàn)椤喈?dāng)0<x≤12時(shí)，f(x)=1?2x?2ln當(dāng)12<x≤1時(shí)，f(x)=2x?1?2lnx，有當(dāng)x>1時(shí)，f(x)=2x?1?2lnx，有f'又f(x)在各分段的界點(diǎn)處連續(xù)，∴綜上有：0<x≤1時(shí)，f(x)單調(diào)遞減，x>1時(shí)，f(x)單調(diào)遞增；∴f(x)≥f(1)=1故答案為：1.2.（2018·全國(guó)·高考真題）已知函數(shù)fx=2sinx+sin【答案】?【分析】方法一：由f'【詳解】［方法一］：【通性通法】導(dǎo)數(shù)法f=2(cos令f'(x)>0，得cosx>12令f'(x)<0，得cosx<12則[f(x)]min故答案為：?3［方法二］：三元基本不等式的應(yīng)用因?yàn)閒(x)=2sin所以f=≤4當(dāng)且僅當(dāng)3?3cosx=1+cos根據(jù)f(?x)=?f(x)可知，f(x)是奇函數(shù)，于是f(x)∈?33故答案為：?3［方法三］：升冪公式＋多元基本不等式f(x)=sinf≤64當(dāng)且僅當(dāng)3sin2x2=1?根據(jù)f(?x)=?f(x)可知，f(x)是奇函數(shù)，于是f(x)∈?故答案為：?3［方法四］：化同角＋多元基本不等式+放縮f(x)==8tanx故答案為：?3［方法五］：萬(wàn)能公式＋換元+導(dǎo)數(shù)求最值設(shè)tanθ2=t，則f(x)當(dāng)t=0時(shí)，g(t)=0；當(dāng)t≠0時(shí)，g(t)=8當(dāng)t=?33時(shí)，g(t)有最小值故答案為：?3［方法六］：配方法f(x)=2==3當(dāng)且僅當(dāng)3cosx+sinx=0,sinx+3故答案為：?3［方法七］：【最優(yōu)解】周期性應(yīng)用＋導(dǎo)數(shù)法因?yàn)閒x=2sin即函數(shù)fx的一個(gè)周期為2π，因此x∈0,2當(dāng)x∈0,π時(shí)，當(dāng)x∈π,2=2(cosx+1)?(2cosx?1)，令f'x=0，解得x=π或x=53π故答案為：?3【整體點(diǎn)評(píng)】方法一：直接利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，得出極值點(diǎn)，從而求出最小值，是求最值的通性通法；方法二：通過(guò)對(duì)函數(shù)平方，創(chuàng)造三元基本不等式的使用條件，從而解出；方法三：基本原理同方法三，通過(guò)化同角利用多元基本不等式求解，難度較高；方法四：通過(guò)化同角以及化同名函數(shù)，放縮，再結(jié)合多元基本不等式求解，難度較高；方法五：通過(guò)萬(wàn)能公式化簡(jiǎn)換元，再利用導(dǎo)數(shù)求出最值，該法也較為常規(guī)；方法六：通過(guò)配方，將函數(shù)轉(zhuǎn)化成平方和的形式，構(gòu)思巧妙；方法七：利用函數(shù)的周期性，縮小函數(shù)的研究范圍，再利用閉區(qū)間上的最值求法解出，解法常規(guī)，是該題的最優(yōu)解．1.（2021·北京·高考真題）已知函數(shù)fx（1）若a=0，求曲線y=fx在點(diǎn)1,f（2）若fx在x=?1處取得極值，求f【答案】（1）4x+y?5=0；（2）函數(shù)fx的增區(qū)間為?∞,?1、4,+∞，單調(diào)遞減區(qū)間為?1,4，最大值為1，最小值為?【分析】（1）求出f1、f（2）由f'?1=0可求得實(shí)數(shù)a【詳解】（1）當(dāng)a=0時(shí)，fx=3?2xx2，則f此時(shí)，曲線y=fx在點(diǎn)1,f1處的切線方程為y?1=?4x?1（2）因?yàn)閒x=3?2x由題意可得f'?1=故fx=3?2xx?∞,?1?1?1,444,+∞f+0?0+f增極大值減極小值增所以，函數(shù)fx的增區(qū)間為?∞,?1、4,+∞，單調(diào)遞減區(qū)間為?1,4當(dāng)x<32時(shí)，fx>0；當(dāng)所以，fxmax=f2.（2020·北京·高考真題）已知函數(shù)f(x)=12?x（Ⅰ）求曲線y=f(x)的斜率等于?2的切線方程；（Ⅱ）設(shè)曲線y=f(x)在點(diǎn)(t,f(t))處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為S(t)，求S(t)的最小值．【答案】（Ⅰ）2x+y?13=0，（Ⅱ）32.【分析】（Ⅰ）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切點(diǎn)的坐標(biāo)，然后由點(diǎn)斜式可得結(jié)果；（Ⅱ）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，再得到切線在坐標(biāo)軸上的截距，進(jìn)一步得到三角形的面積，最后利用導(dǎo)數(shù)可求得最值.【詳解】（Ⅰ）因?yàn)閒x=12?x設(shè)切點(diǎn)為x0,12?x02，則?2由點(diǎn)斜式可得切線方程為：y?11=?2x?1，即2x+y?13=0（Ⅱ）[方法一]：導(dǎo)數(shù)法顯然t≠0，因?yàn)閥=fx在點(diǎn)t,12?t2令x=0，得y=t2+12，令y=0所以St=不妨設(shè)t>0(t<0時(shí)，結(jié)果一樣)，則St所以S't=3(由S't>0，得t>2，由S所以St在0,2上遞減，在2,+所以t=2時(shí)，St也是最小值為S2[方法二]【最優(yōu)解】：換元加導(dǎo)數(shù)法

S(t)=1因?yàn)镾(t)為偶函數(shù)，不妨設(shè)t>0，S(t)=1令a=t，則t=令g(a)=a4+12a，則面積為g'(a)=4因?yàn)閍>0，所以令g'(a)=0，得隨著a的變化，g'a0,22g?0+g減極小值增所以[g(a)]min所以當(dāng)a=2，即t=2時(shí)，[S(t)]因?yàn)閇S(t)]為偶函數(shù)，當(dāng)t<0時(shí)，[S(t)]min綜上，當(dāng)t=±2時(shí)，S(t)的最小值為32．[方法三]：多元均值不等式法同方法二，只需求出g(a)=a令g(a)=a當(dāng)且僅當(dāng)a3=4所以當(dāng)a=2，即t=2時(shí)，[S(t)]因?yàn)镾(t)為偶函數(shù)，當(dāng)t<0時(shí)，[S(t)]min綜上，當(dāng)t=±2時(shí)，S(t)的最小值為32．[方法四]：兩次使用基本不等式法同方法一得到S(t)=,下同方法一.【整體點(diǎn)評(píng)】（Ⅱ）的方法一直接對(duì)面積函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，方法二利用換元方法，簡(jiǎn)化了運(yùn)算，確定為最優(yōu)解；方法三在方法二換元的基礎(chǔ)上，利用多元均值不等式求得最小值，運(yùn)算較為簡(jiǎn)潔；方法四兩次使用基本不等式，所有知識(shí)最少，配湊巧妙，技巧性較高.3.（2017·北京·高考真題）已知函數(shù)f(x)=e（Ⅰ）求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程；（Ⅱ）求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,π【答案】(Ⅰ)y=1；（Ⅱ）最大值1；最小值?π【詳解】試題分析：（Ⅰ）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，先求斜率，再代入切線方程公式y(tǒng)?f0=f'0x?0中即可；（Ⅱ）設(shè)?x=f'x，求?試題解析：（Ⅰ）因?yàn)閒(x)=excos又因?yàn)閒(0)=1，所以曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程為y=1.（Ⅱ）設(shè)?(x)=ex(當(dāng)x∈(0,π2)所以?(x)在區(qū)間[0,π所以對(duì)任意x∈(0,π2]有?(x)<?(0)=0所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,π因此f(x)在區(qū)間[0,π2]上的最大值為f(0)=1【名師點(diǎn)睛】這道導(dǎo)數(shù)題并不難，比一般意義上的壓軸題要簡(jiǎn)單很多，第二問(wèn)比較有特點(diǎn)的是需要兩次求導(dǎo)數(shù)，因?yàn)橥ㄟ^(guò)f'x不能直接判斷函數(shù)的單調(diào)性，所以需要再求一次導(dǎo)數(shù)，設(shè)?x=f'x，再求?'x，一般這時(shí)就可求得函數(shù)?4.（24-25高三·上海·隨堂練習(xí)）函數(shù)y=32xA．（5，9） B．（－5，【答案】D【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)合題中條件得f'1?【詳解】因?yàn)閒'因?yàn)楹瘮?shù)y=3x+a+4，y=?2x在所以題中問(wèn)題等價(jià)于f'1?f'故選：D.5.（24-25高三·上?！るS堂練習(xí)）函數(shù)y=x3?3x?a在區(qū)間0,3上的最大值、最小值分別為M,NA．14 B．16 C．18 D．20【答案】D【分析】對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最值，進(jìn)而求得答案．【詳解】因?yàn)閒'x=3x2?3，函數(shù)而f0=?a，f1=?2?a，f3所以M?N=20，故選：D．考點(diǎn)六、利用單調(diào)性解抽象不等式1.（2007·陜西·高考真題）fx是定義在(0,+∞)上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù)，且滿足xf'A．a(chǎn)fb≤bfaC．a(chǎn)fa≤fb【答案】A【分析】構(gòu)造函數(shù)g(x)=xf(x)【詳解】解：令g(x)=xf(x)，g所以g(x)在(0,+1°若g(x)在(0,+∞即afa>bfb≥0①②兩式相乘得：所以fa2°若g(x)在(0,+∞)上為常函數(shù)，且即afa=bfb=0③③④兩式相乘得：所以fa綜上所述，bf故選：A2.（2004·湖南·高考真題）設(shè)f(x)、g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，f'(x)g(x)+f(x)g'(x)>0A．(?3,0)∪(3,+∞) C．(?∞,?3)∪(3,+∞【答案】D【分析】構(gòu)造函數(shù)?(x)=f(x)g(x)，利用已知可判斷出其奇偶性和單調(diào)性，進(jìn)而即可得出不等式的解集．【詳解】令?(x)=f(x)g(x)，則?(?x)=f(?x)g(?x)=?f(x)g(x)=??(x)，因此函數(shù)?(x)在R上是奇函數(shù)．①∵當(dāng)x<0時(shí)，?'(x)=f'(x)g(x)+f(x)故函數(shù)?(x)在R上單調(diào)遞增．∵?(?3)=f(?3)g(?3)=0，∴?(x)=f(x)g(x)<0=?(?3)，∴x<?3．②當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)?(x)在R上是奇函數(shù)，可知：?(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，且?（3）∴?(x)<0，的解集為(0,3)．③當(dāng)x=0時(shí)，?0∴不等式f(x)g(x)<0的解集是(?∞，?3)∪(0，3)故選：D1.（江西·高考真題）對(duì)于R上可導(dǎo)的任意函數(shù)fx，若滿足x?1A．f0+f2C．f0+f2【答案】C【分析】先由題意得到函數(shù)的單調(diào)性,然后跟根據(jù)單調(diào)性進(jìn)行判斷可得結(jié)論.【詳解】∵若f'x=0，則f若f'∴當(dāng)x>1時(shí),f'x≥0,fx遞增，當(dāng)x<1時(shí),f'∴f(0)>f(1),f(2)>f(1)，∴f(0)+f(2)>2f(1).故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)最值和單調(diào)性的關(guān)系,考查對(duì)基本概念的理解,解題時(shí)可根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)得到函數(shù)的單調(diào)性,進(jìn)而得到函數(shù)的最值情況,屬于中檔題.2.（2024·山東濰坊·三模）已知函數(shù)fx的導(dǎo)函數(shù)為f'x，且f1=e，當(dāng)A．0,1 B．0,+∞ C．1,+∞ 【答案】A【分析】由不等式化簡(jiǎn)構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得新函數(shù)的單調(diào)性，即可求解原不等式.【詳解】不等式fx?lnxe構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(x)?ex+因?yàn)閤>0時(shí)，f'x<1x所以g(x)在(0,+∞又因?yàn)間(1)=f(1)?e所以不等式f(x)?ex+lnx>0即fx?ln故選：A.3.（2024·吉林·二模）已知函數(shù)fx的定義域?yàn)?∞,0，其導(dǎo)函數(shù)f'xA．?2025,?2024 B．?2024,0C．?∞,?2024 【答案】A【分析】令gx=fxx2，求導(dǎo)可得gx【詳解】由題意知，當(dāng)x∈?∞,0令gx=f所以gx在?不等式fx+2024?(x+2024)即為gx+2024<g?1，所以x+2024>?1故選：A.4.（2024·寧夏銀川·三模）已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，f'(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，3f(x)+xf'(x)>0A．(1,+∞) C．(?∞,1) 【答案】D【分析】根據(jù)(x+1)3fx+1>16構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)求導(dǎo)發(fā)現(xiàn)利用已知條件可知恒為正數(shù)，所以可知gx【詳解】令gx=x因?yàn)楫?dāng)x>0時(shí)，3fx+xf'x又fx為奇函數(shù)，且圖象連續(xù)不斷，所以g由x+13fx+1>23故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：構(gòu)造函數(shù)是基本的解題思路，因此觀察題目所給的數(shù)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，以及函數(shù)與導(dǎo)數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，合理構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性是解題的關(guān)鍵.5.（2024·江西南昌·三模）已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且f2=?1，對(duì)任意x∈R，f(x)+xfA．?∞,1 B．?∞,2 C．【答案】A【分析】設(shè)gx=xfx，由g'(x)=f(x)+xf'(x)<0恒成立，【詳解】設(shè)gx=xfx∵對(duì)任意x∈R，f(x)+xf'(x)<0，∴g'由x+1fx+1>?2可得g(x+1)>g(2故選：A1．（2020高三·山東·專題練習(xí)）若函數(shù)y=x3+x2A．?∞,13 B．13,+∞ C．【答案】B【分析】利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，求出此函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由單調(diào)性得出需Δ≤0即可求解得選項(xiàng).【詳解】若函數(shù)y=x3+x2+mx+1是即Δ=4?12m≤0，∴m≥13．故m的取值范圍為故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的范圍，關(guān)鍵在于運(yùn)用其導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.2．（23-24高三上·天津東麗·期中）函數(shù)f(x)=12xA．(0,e) B．(e,+∞)【答案】D【分析】利用導(dǎo)數(shù)和偶函數(shù)性質(zhì)得到f(x)的單調(diào)性，則得到不等式，解出即可.【詳解】f(?x)=12?x2+當(dāng)x≥0時(shí)，f'(x)=x?sinx，設(shè)則?x在0,+∞上單調(diào)遞增，則?x≥?0則f(x)在0,+∞又因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，則f(x)在?∞則由f(lnx)>f(1)，得到lnx>1，即lnx>1故選：D.3．（22-23高三上·上海浦東新·期中）已知fx=2x2?ax+lnx【答案】?∞【分析】求導(dǎo)后得到4x2?ax+1≥0在x∈1,+∞上恒成立，參變分離后得到a≤4x+1x【詳解】f'x=4x?a+故只需4x2?ax+1≥0則a≤4x+1x在其中y'=4?1故4x+1x>5故答案為：?∞4．（23-24高三上·天津河?xùn)|·階段練習(xí)）若函數(shù)fx=x3?3ax2【答案】a≥【分析】fx在0,1內(nèi)單調(diào)遞減等價(jià)于f'x【詳解】f'∵fx在0,1∴f'x≤0在0,1內(nèi)恒成立，即3即6a≥3x?2x在∵gx=3x?2x在0,1∴6a≥1，∴a≥1故答案為：a≥5．（20-21高三下·天津靜?！るA段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=1（1）當(dāng)a=?1時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）是否存在實(shí)數(shù)a，使函數(shù)g(x)=f(x)?ax在(0,+∞)上單調(diào)遞增？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）增區(qū)間為(0,1)，(2,+∞)，減區(qū)間為(1,2)；（2）存在，a∈?∞,?【分析】（1）將a=?1代入，求出函數(shù)的定義域以及導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性之間的即可求解.（2）由題意可得g'(x)=f'(x)?a=x?2ax【詳解】解：（1）當(dāng)a=?1時(shí)，f(x)=1則f'當(dāng)0<x<1或x>2時(shí)，f'(x)>0，當(dāng)1<x<2時(shí)，f'(x)<0，f(x)單調(diào)遞減.∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1)，(2,+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(1,2).（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使g(x)=f(x)?ax在(0,+∞)上是增函數(shù)，則g'即x2?2x?2ax∴x2?2x?2a≥0∴a≤1又φ(x)=1x∈(0,+∞)的最小值為?1∴當(dāng)a≤?12時(shí)，又當(dāng)a=?12時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)，g'故當(dāng)a∈?∞,?g(x)=f(x)?ax在(0,+∞)上單調(diào)遞增.6．（20-21高三上·天津·期中）設(shè)函數(shù)fx=x3+mx+1，曲線y=f（1）求實(shí)數(shù)m；（2）求fx【答案】（1）m=?3；（2）?1,1.【解析】（1）先求解出f'x，然后根據(jù)切線與x軸平行得到f'（2）先將f'x因式分解，然后根據(jù)f'【詳解】解：（1）因?yàn)閒x=x又因?yàn)榍€y=fx在點(diǎn)1,f1處的切線與所以f'1=0即m=?3.（2）由（1）可知fx=當(dāng)x∈?1,1時(shí)，f當(dāng)x∈?∞,?1，1,+∞時(shí)，f所以fx的單調(diào)遞增區(qū)間為?∞,?1和1,+∞，單調(diào)遞減區(qū)間為?1,17．（23-24高三上·天津河?xùn)|·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)fx(1)當(dāng)m=2時(shí)，求fx在1,f(2)討論fx(3)若fx【答案】(1)x+y?3=0(2)答案見(jiàn)解析(3)m≥2【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義計(jì)算即可；（2）利用導(dǎo)數(shù)含參討論函數(shù)的單調(diào)性即可；（3）分離參數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值即可.【詳解】（1）當(dāng)m=2時(shí)，fx則fx在1,f1處的切線方程為：（2）由fx若m≤0，則f'x>0恒成立，即f若m>0，則x>m時(shí)，有f'x>0，即fm>x>0時(shí)，有f'x<0，即f綜上：若m≤0時(shí)，fx在0,+∞上單調(diào)遞增；若m>0時(shí)，fx（3）不等式fx設(shè)gx易知g'x在又g'1=0，所以x>1時(shí)有g(shù)'x即gx在0,1上單調(diào)遞減，在1,+所以gx故m的取值范圍2,+∞1．（23-24高三下·天津·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx(1)當(dāng)a=0時(shí)，求fx在點(diǎn)π(2)當(dāng)a=8時(shí)，討論函數(shù)fx(3)若fx<sin【答案】(1)y=?8x+2(2)f(x)在0,π4上單調(diào)遞增，在(3)(?【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，再由點(diǎn)斜式計(jì)算可得；（2）求出導(dǎo)函數(shù)，然后令t=cos（3）構(gòu)造g(x)=f(x)?sin2x，計(jì)算g'(x)的最大值，然后與0比較大小，得出【詳解】（1）當(dāng)a=0時(shí)fx=?sin又f'所以f'所以fx在點(diǎn)π4,fπ4（2）因?yàn)閒=a?令cos2x=t，又x∈0,令?(t)=a?3?2tt2當(dāng)a=8時(shí)f'則?(t)=8t2當(dāng)t∈0,12，?(t)<0，即當(dāng)x∈當(dāng)t∈12,1，?(t)>0，即當(dāng)x∈所以f(x)在0,π4上單調(diào)遞增，在（3）設(shè)g(x)=f(x)?sin則g=a?=a令cos2x=t，又x∈0,令φ(t)=at2則φ'所以φ(t)<φ(1)=a?3.1°若a∈(?∞,3]，則φ(t)<a?3≤0即g(x)在0,π2上單調(diào)遞減，所以所以當(dāng)a∈(?∞,3]時(shí)2°若a∈(3,+∞)，當(dāng)t→0，2又φ(1)=a?3>0.所以?t0∈(0,1)，使得φt0當(dāng)t∈t0,1，φ(t)>0所以當(dāng)x∈0,綜上可得a的取值范圍為(?∞【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題采取了換元，注意復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性t=cosx在定義域內(nèi)是減函數(shù)，若t0=cos2．（2023·天津河北·一模）已知函數(shù)fx(1)求fx(2)證明：fx(3)若a>0,b>0，且ab>1，求證：f【答案】(1)單調(diào)減區(qū)間為(0,+∞)，無(wú)增區(qū)間；(2)證明見(jiàn)解析；(3)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)二次求導(dǎo)，確定f'(x)<0，即可求得（2）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明xlnx?x2+x<e?x（3）根據(jù)（2）中所得可知fx≤?x，結(jié)合f(x)的單調(diào)性可得【詳解】（1）fx=xlnx?x2，f'x=lnx+1?2x故當(dāng)x∈(0,12)時(shí)，m'(x)>0，f'(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x∈(故f'(x)≤f'(12)=?（2）要證fx=xln∵xlnx?x2+x=x故當(dāng)x∈(0,1)，g'(x)>0，g(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(1,+∞)，g'故gx≤g1=0，則當(dāng)令?x=e?x?1+x，?'x=1?e而?0=0，∴當(dāng)x>0時(shí)，e?x（3）已知a>0,b>0，且ab>1，∴b>1由（1）可知，函數(shù)y=fx在0,+∞上單調(diào)遞減，由（2）可知，當(dāng)x>0時(shí)，xlnx?x2+x≤0∴fa+fb【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題第二問(wèn)的關(guān)鍵是能夠?qū)?wèn)題轉(zhuǎn)化為證明xln3．（23-24高三上·天津·期末）已知函數(shù)fx=ln(1)求曲線y=fx在點(diǎn)0,f(2)證明：gx(3)當(dāng)x≥0時(shí)，ax?fx≤gx【答案】(1)y=x(2)答案見(jiàn)解析(3)?【分析】（1）分別求得f'（2）構(gòu)造函數(shù)px=gx?fx?1=e（3）構(gòu)造函數(shù)mx=ax?fx【詳解】（1）fx所以f'所以切線方程為y=x.（2）設(shè)pxp'令qx所以qx在?1,+又因?yàn)閝0所以當(dāng)x>0時(shí)，qx=p'x所以px在?1,0上單調(diào)遞減，在0,+所以px≥p0（3）令mx則m'x=a令?x=m因?yàn)閥=1x+1,y=令dx=1x+1+1x+1情形一：當(dāng)2a?1≤0，即a≤12時(shí)，因?yàn)閯tdx∈0,2則?x在0,+∞上是減函數(shù)，可得?x所以mx在0,+∞上是減函數(shù)，則即ax?fx情形二：當(dāng)2a?1>0，即a>12時(shí)，?'且?'0=2a?1>0，當(dāng)x→+則存在x0∈0,+當(dāng)x∈0,x0時(shí)，?'x>0，所以當(dāng)x∈0,x0時(shí)，m'x所以mx>m0綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是?∞【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：第三問(wèn)的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)并連續(xù)求導(dǎo)來(lái)判斷單調(diào)性，結(jié)合2a?1與0的大小關(guān)系來(lái)進(jìn)行分類討論，從而順利得解.4．（23-24高三上·天津河北·期末）已知函數(shù)fx(1)當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=fx在點(diǎn)0,f(2)當(dāng)a>0時(shí)，求函數(shù)y=fx(3)在（2）的條件下，當(dāng)x∈1,3時(shí)，12≤f【答案】(1)y=2x?1(2)單調(diào)遞減區(qū)間是?∞,?(3)e【分析】（1）當(dāng)a=1時(shí)，分別求出f（2）對(duì)函數(shù)fx求導(dǎo)，令f'x=?4ax+1x?2e（3）由題意只需12≤fx【詳解】（1）a=1時(shí)，fx∴y+1=2x?0，整理得y=2x?1∴曲線y=fx在點(diǎn)0,f0處的切線方程為（2）fxf'令f'∵a>0，解得x=2或x=?14a，且滿足當(dāng)x變化時(shí)，f'x???22,+f-0+0-f↘極小值↗極大值↘∴函數(shù)y=fx單調(diào)遞減區(qū)間是?∞,?（3）由（2）可知，函數(shù)y=fx在區(qū)間1,2單調(diào)遞增，在區(qū)間2,3∴f1解得a≥e∵e∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為e8【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：第二問(wèn)的關(guān)鍵是將極值點(diǎn)先求出來(lái)，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系即可得解，第三問(wèn)的關(guān)鍵是由125．（23-24高三上·廣東深圳·階段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=(x?1)ex+a(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)a<?1時(shí)，若f(x)的極小值點(diǎn)為x0，證明：f(x)存在唯一的零點(diǎn)x1，且【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）求得f'(x)=xex+2ax=x(ex+2a)，分類討論a≥0，a<?1（2）由題意先表示出x1?x0=2lnx1?ln(2【詳解】（1）f'(x)=xe若a≥0，由ex+2a>0，則x∈(0,+∞)時(shí)，x∈(?∞,0)時(shí)，f'(x)<0，a<0時(shí)，令f'(x)=0，得x=0或x=若a<?12，則x∈(?∞,0)或x∈(ln(?2a),+∞)時(shí)，f'(x)>0，若a=?12，則f'(x)≥0在R上恒成立，f(x)在若?12<a<0，則x∈(?∞,ln(?2a))或x∈(0,+∞)時(shí)，f'(x)>0綜上，當(dāng)a≥0時(shí)，f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，在當(dāng)a<?12時(shí)，f(x)在(?∞,0)，當(dāng)a=?12時(shí)，f(x)在當(dāng)?12<a<0時(shí)，f(x)在(?∞,（2）由(1)知，a<?1時(shí)，f(x)在(?∞,0)，在(0,ln(?2a))上單調(diào)遞減，則f(x)的極小值點(diǎn)為由極大值f(0)=?1<0，f(1)=a<0且當(dāng)x趨近正無(wú)窮時(shí)，f(x)趨近正無(wú)窮，f(x)存在唯一的零點(diǎn)x1>1，滿足化簡(jiǎn)得，2(x∴l(xiāng)n(2x1∴x1設(shè)g(x)=2lnx?lng'(x)=2當(dāng)x∈(2,+∞)時(shí)，g'(x)>0，x∈(1,2)時(shí)，g'(x)<0，g(x)單調(diào)遞減，從而當(dāng)x=2時(shí)，g(x)有最小值g(2)=ln綜上所述，f(x)存在唯一的零點(diǎn)x1，且x【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的方法：（1）直接法：先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應(yīng)用；（2）構(gòu)造新函數(shù)法：將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究?jī)珊瘮?shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題；（3）參變量分離法：由fx=0分離變量得出a=gx，將問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為直線y=a6．（23-24高三上·天津靜?！るA段練習(xí)）已知函數(shù)fx=e(1)當(dāng)a=3時(shí)，求曲線y=fx在點(diǎn)0,f(2)討論函數(shù)fx(3)當(dāng)a>1時(shí)，證明：fx【答案】(1)3x?y=0(2)答案見(jiàn)解析(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）求出f'（2）求出導(dǎo)函數(shù)，按照a≥1和a<1分類討論研究函數(shù)的單調(diào)性即可；（3）把原不等式作差變形得ex+ax+cosx【詳解】（1）當(dāng)a=3時(shí)，fx=ex+2x?1又f0曲線y=fx在點(diǎn)0,f0處的切線方程為y?0=3x?0（2）因?yàn)閒x=e當(dāng)a≥1時(shí)，f'x=ex當(dāng)a<1時(shí)，由f'x=函數(shù)fx在區(qū)間ln由f'x=函數(shù)fx在區(qū)間?（3）要證fx即證ex即證ex設(shè)kx=x+故kx在0,+∞上單調(diào)遞增，又k0又因?yàn)閍>1，所以ax+所以ex①當(dāng)0<x≤1時(shí)，因?yàn)閑x+cos②當(dāng)x>1時(shí)，令gx=e設(shè)?x=g'x則m'x=ex所以mx即?'x所以?'x>?'所以?x>?1所以gx在1,+∞上單調(diào)遞增，即ex綜上可知，當(dāng)a>1時(shí)，ex即fx【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的常見(jiàn)形式是f(x)>g(x)，一般可構(gòu)造“左減右”的函數(shù)，即先將不等式f(x)>g(x)移項(xiàng)，構(gòu)造函數(shù)?(x)=f(x)?g(x)，轉(zhuǎn)化為證不等式?(x)>0，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為證明?(x)min>0，因此只需在所給區(qū)間內(nèi)判斷?'(x)7．（23-24高三上·天津·期中）已知函數(shù)fx=lnx+a+1(1)若曲線fx在點(diǎn)1,f1處的切線的斜率為3，求(2)當(dāng)x≥?2時(shí)，函數(shù)y=gx(3)若?x∈0,+∞，不等式g'【答案】(1)1(2)?(3)?【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義直接計(jì)算即可.（2）將原問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)換為方程gx=m?2有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，從而求導(dǎo)研究當(dāng)x≥?2時(shí)，函數(shù)（3）將原問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)換為a≤?x=ex?ln【詳解】（1）因?yàn)閒所以f'1=1+a+1=3（2）由題意gx=xex，所以g'當(dāng)x>?1時(shí)，g'x>0，所以g當(dāng)?2≤x<?1時(shí)，g'x<0，所以ggxmin=g?1=?所以m?2∈?1e所以m的取值范圍為?1（3）因?yàn)間'x?f(x)≥所以x+1ex?即a≤ex?設(shè)?x=e所以a≤?x?'設(shè)ux=x2e所以，函數(shù)ux在0,+因?yàn)閡12=所以，存在x0∈1當(dāng)0<x<x0時(shí)，?'x<0，函數(shù)?x單調(diào)遞減，