2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之解答題：集合（10題）

2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之小題狂練600題(解答題)：集合(10題)

—.解答題(共10小題)

1.(2024?蘇州模擬)設(shè)S為空間直角坐標(biāo)系E中的一個(gè)非空閉凸集，即SW0,且若尤,yeS,則對(duì)任意ke[0,

1]有kx+(1-左)疾亂且對(duì)任意的yeCES,都存在e>0,使得{xCE|y-x<e}UCES,這里同為線(xiàn)段a

的長(zhǎng)度.稱(chēng)TuR的下確界或最大下界為6斤，定義為小于等于在T中的所有數(shù)的最大實(shí)數(shù)，如果不存

在這樣的實(shí)數(shù)，則記為-8.己知若。為閉集，則CE。為開(kāi)集.

(1)設(shè)點(diǎn)w(0,1,0),S={(%,y,0)|0<x3<y<y[3x],證明：S為非空閉凸集，并求譏-x\.

XES

(2)證明：對(duì)任意存在唯一的一個(gè)元eS,使得|y—羽=—x|；

xes

(3)證明：對(duì)任意y《ES,存在非零向量p以及實(shí)數(shù)c>0,使得對(duì)任意xCS,都有：p-y^p'x+c.

2.(2024?臺(tái)州模擬)設(shè)A,B是兩個(gè)非空集合，如果對(duì)于集合A中的任意一個(gè)元素x,按照某種確定的對(duì)

應(yīng)關(guān)系力在集合2中都有唯一確定的元素y和它對(duì)應(yīng)，并且不同的尤對(duì)應(yīng)不同的y；同時(shí)B中的每一

個(gè)元素y,都有一個(gè)A中的元素尤與它對(duì)應(yīng)，則稱(chēng)/：A-B為從集合A到集合8的一一對(duì)應(yīng)，并稱(chēng)集合

A與8等勢(shì)，記作彳=耳.若集合A與8之間不存在——對(duì)應(yīng)關(guān)系，則稱(chēng)A與8不等勢(shì)，記作Z4月.

例如：對(duì)于集合人="*,8={2川〃6N*},存在——對(duì)應(yīng)關(guān)系y=2x(xCA,y￡B),因此Z=反

%2y2==

(1)已知集合C={(x,y)|W+y2=l},D={(x,y)|一+—=1},試判斷C=O是否成立？請(qǐng)說(shuō)

43

明理由；

(2)證明：

①(0,1)-(-00,+OO);

②N**{x\xcN*}.

3.(2024?景德鎮(zhèn)模擬)設(shè)X,y是非空集合，定義二元有序?qū)蟈Xy={(尤，y)|xCX,匹卜}為X和F

的笛卡爾積.若RUXXK則稱(chēng)R是X到Y(jié)的一個(gè)關(guān)系.當(dāng)(x,y)eR時(shí)，則稱(chēng)x與y是R相關(guān)的，

記作xRy.已知非空集合X上的關(guān)系R是XXX的一個(gè)子集，若滿(mǎn)足VxCX,有則稱(chēng)R是自反的：

若Vx,yEX,有xRy,則yRx,則稱(chēng)R是對(duì)稱(chēng)的；若Vx,y,zEX,有xRy,yRz,則xRz,則稱(chēng)R是傳遞

的.且同時(shí)滿(mǎn)足以上三種關(guān)系時(shí)，則稱(chēng)R是集合X中的一個(gè)等價(jià)關(guān)系，記作?.

(1)設(shè)乂={1,2,3,4,5,6},R={(1,2),(1,3),(1,4),(1,6),(2,2),(2,5),(3,2),

(4,2),(4,4),(5,5)},A={1,2,3},B={4,5,6),求集合尸={y|xeA,xRy}^Q={x\yEB,

xRy}；

(2)設(shè)R是非空有限集合X中的一個(gè)等價(jià)關(guān)系，記X中的子集印R=｛yeR尤ex,xRy｝為x的R等價(jià)類(lèi),

求證：存在有限個(gè)元素MWX,使得X=uni=l[xi]R,且對(duì)任意方？，[刈|RA[切?=6G,JG｛1,2,…,

?));

(3)已知數(shù)歹U｛/y｝是公差為1的等差數(shù)列，其中瓦一，依N+,數(shù)列｛.｝滿(mǎn)足與=鴕，其中

°n~L狂an

mWO,前”項(xiàng)和為8(尤N+).若給出?上的兩個(gè)關(guān)系&=｛((m,n),(p,q))e(其x悔)|筆&=

am-t-(zn

黑判和/?2=｛((m,71),(P，q))6(嚼X壯)|沿鬻C｛四｝,ieN+),請(qǐng)求出關(guān)系R=K1AR2,判斷

R是否為N?上的等價(jià)關(guān)系.如果不是，請(qǐng)說(shuō)明你的理由；如果是，請(qǐng)證明你的結(jié)論并請(qǐng)寫(xiě)出N?中所有

等價(jià)類(lèi)作為元素構(gòu)成的商集合N?/?.

4.(2024?馬鞍山模擬)已知S是全體復(fù)數(shù)集C的一個(gè)非空子集，如果Vx,疾5,總有x+y,x-y,x-y￡S,

x

則稱(chēng)S是數(shù)環(huán).設(shè)尸是數(shù)環(huán)，如果①尸內(nèi)含有一個(gè)非零復(fù)數(shù)；②Wx,yeF且y=0,有-6F,則稱(chēng)尸是

'y

數(shù)域.由定義知有理數(shù)集Q是數(shù)域.

(1)求元素個(gè)數(shù)最小的數(shù)環(huán)S；

(2)證明：記Q(W)=｛a+g6|a,bGQ｝,證明：Q(遮)是數(shù)域；

(3)若Fi,尸2是數(shù)域，判斷乃U尸2是否是數(shù)域，請(qǐng)說(shuō)明理由.

5.(2024?重慶模擬)設(shè)集合S、T為正整數(shù)集N*的兩個(gè)子集，S、T至少各有兩個(gè)元素.對(duì)于給定的集合

S,若存在滿(mǎn)足如下條件的集合T：

①對(duì)于任意a,beS,若aWb,都有abeT；②對(duì)于任意a,beT,若a〈b,則一eS.則稱(chēng)集合T為集

a

合S的“K集”.

(1)若集合Si=｛l,3,9｝,求Si的“K集”71；

(2)若三元集S2存在“K集”乃，且乃中恰含有4個(gè)元素，求證：1WS2；

(3)若$3=｛xi,xi,初｝存在"K集"，且求〃的最大值.

6.(2024?順義區(qū)一模)給定正整數(shù)設(shè)集合A=｛ai,ai,,,,,an].若對(duì)任意i,戶(hù)｛1,2,…，n],

ai+aj,可兩數(shù)中至少有一個(gè)屬于A,則稱(chēng)集合A具有性質(zhì)P.

(I)分別判斷集合｛1，2,3｝與｛-1,0,1,2｝是否具有性質(zhì)P；

(II)若集合A=｛1,a,b｝具有性質(zhì)尸，求a+6的值；

(III)若具有性質(zhì)尸的集合B中包含6個(gè)元素，且1B8,求集合艮

7.（2023?南陽(yáng)模擬）已知集合，={x|xW-3或x敘2},B={x|l<x<5},C={x\m-l^x^2m].

(1)求ACB,(CRA)UB；

(2)若BCC=C,求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

8.(2023?福建二模)一個(gè)由實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合M稱(chēng)為“幸運(yùn)集”，若它滿(mǎn)足以下性質(zhì)：

(1)對(duì)每個(gè)無(wú)，yE.M,x^y,數(shù)x+y,孫均不是0且恰好有一個(gè)是有理數(shù)；

(2)對(duì)每個(gè)xCM,/是無(wú)理數(shù)，求幸運(yùn)集中元素個(gè)數(shù)的最大可能值.

9.(2023?順義區(qū)二模)已知實(shí)數(shù)集A={ai,ai,???,an]定義(p(A)={aiaj\ai，@WA,i為}.

(I)若4={-2,0,1,2},求(p(A)；

(II)若隼(A)={0,-6,-8,-12,12,18,24},求集合A；

(III)若A中的元素個(gè)數(shù)為9,求cp(A)的元素個(gè)數(shù)的最小值.

10.(2023?東城區(qū)模擬)對(duì)非空數(shù)集4B,定義A-B={x-巾CA,y&B],記有限集T的元素個(gè)數(shù)為⑺.

(1)若4={1,3,5},2={1,2,4},求|A-A|,\B-B\,\A-B\；

(2)若|A|=4,AUN*,B={1,2,3,4},當(dāng)|A-為最大時(shí)，求A中最大元素的最小值；

(3)若囿=圜=5,|4-用=0-目=21,求|A-目的最小值.

2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之小題狂練600題(解答題)：集合(10題)

參考答案與試題解析

一.解答題(共10小題)

1.(2024?蘇州模擬)設(shè)S為空間直角坐標(biāo)系E中的一個(gè)非空閉凸集，即SW0,且若x,年5,則對(duì)任意長(zhǎng)［0,

1］有kx+(1-左)y&S,且對(duì)任意的yeCES,都存在e>0,使得{尤6比-尤<e}=CES,這里圈為線(xiàn)段a

的長(zhǎng)度.稱(chēng)TuR的下確界或最大下界為。療，定義為小于等于在T中的所有數(shù)的最大實(shí)數(shù)，如果不存

在這樣的實(shí)數(shù)，則記為-8.已知若。為閉集，則CE。為開(kāi)集.

(1)設(shè)點(diǎn)w(0,1,0),S={(%,y,0)|0<x3<y<V3x］,證明：S為非空閉凸集，并求譏力w-x\.

XES

(2)證明：對(duì)任意y《ES,存在唯一的一個(gè)元eS,使得|y—羽=譏/ly—x|；

XES

(3)證明：對(duì)任意y《ES,存在非零向量p以及實(shí)數(shù)c>0,使得對(duì)任意xCS,都有：p-y^p'x+c.

【考點(diǎn)】元素與集合的屬于關(guān)系的應(yīng)用.

【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；集合；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】⑴證明見(jiàn)解答，譏=今1

(2)證明見(jiàn)解答；

(3)證明見(jiàn)解答.

【分析】(1)先用定義證明S為非空閉凸集，然后確定llw-xll的最小值為］即可；

(2)利用凸集的定義，分存在性和唯一性?xún)煞矫孀C明；

(3)直接根據(jù)幾何意義，通過(guò)幾何直觀以及內(nèi)積的性質(zhì)證明.

【解答】證明：(1)由于(0,0,0)eS,故SW0.

由于對(duì)任意(xo,yo,0)GCES,有y()V筮或、()>遮%0或XO<O,故可取

'］3I±

小譏Q(就一出),久o—J就一4(蛭-Vo)),y0<球

￡=H(y0-V3%0),y0>瑞，y0>V3x0'

x

-4o^yoNxQx0<0

-x22

則在\\(x,y,z)-(x0,y0,0)11=o)+(7-7o)+<￡時(shí)，首先有—

222x_x222

7(%-x0)+(y-yo)+z<￡,k-xolV(o)+(y-yo)+z<s>故：

如果M)V瑞，就有y-加W|y—Vol<￡W4(端一Vo)，且久一刈)2Tx—*ol>—￡2-久o+

［謂一'(謂一Vo).

11

故+](瑞一%)，久3>就一4(端一小)，所以

31x11<0,

y-x<y0+4(o-%)-就+/(舄一%)=2(為一舄)

從而(羽y,z)ECES；

如果yo〉B%o，就有y—y0之Ty—y°l>一￡之一4(y°一遮%°)，且%—％o工1%-％ol<￡<4(、()一

V3%0).

11

故y>y。-4(y0一百萬(wàn)。)，x<%0+^(y0-V3%0)>所以

y-V3x>y0-1(y0-V3x0)-V3%0一苧(為-V3x0)=(y0-V3x0)>0，

從而(x,y,z)ECES.

如果X0<0,就有久—Xo<\x-Xo\VEV—2%O，故X<2%O<0.

從而(%,y,z)GCES.

綜上，有｛(x,y,z)EE\(x,y,z)-(xo,yo,0)<e｝UCES,故S是閉集.

由于對(duì)a,Z?20,左€[0,1],設(shè)(p⑺=攵/+(1-女)戶(hù)-Qka+(1-女)力3,貝!J

“⑺=3(1-k)?-3(1-k)(ka+(1-k)t)2=3(1-k)(？-(ka+Cl-k)t)2)=k(1-k)

(t-a)((2-左)t+ka).

故只要依(0,1),就有<pG)在[0,上遞減，在[。，+8)上遞增，故叩(b)2(p(a)=0,即左/+

(1-k)b3^(ka+(1-k)b)3.

顯然，當(dāng)長(zhǎng)｛0,1｝時(shí)，有％/+(i-k)廬=(3+(1-左)8)3.

故無(wú)論如何都有％/+(1-%)/2(3+(1-k)b)3.

故若(xi,y\,0),(X2,”，0)ES,kE[O,1],貝U

3

ky±+(1-fc)y2Nkxf+(1-fc)%2N(K+(1-fc)x2)，ky1+(1-fc)y24k?->j3x1+(1-fc)-

A/3%2=V3(/c%i+(1—k)x：2),kx\+(1-%)x2W0+0=0.

故(fcn+(1-k)X2,kyi+(1-^)yi,0)GS,所以S是凸集.

綜上，S是閉凸集.

由于對(duì)％=(",v,0)ES,有故

\\w-x\\=y/u2+(v-l)2=J@2+/)+(3—1)2+春)一(

2j2-u-2-1(v-l)-1=+I(V3u-v)>=

而對(duì)%o=(苧，*，O)eS,有||卬一&11=息+壺=.

故譏/||w-x||=亍

xes乙

i

（2）設(shè)〃=根據(jù)〃=譏/y-%的定義，對(duì)任意正整數(shù)〃，譏fy-％+彳不是y-%的上界，從

XESXESXESn

1

而可取xnES,使得y—x<infy—%

nXESn

那么xne｛xeE\y-x^l｝f所以｛皿｝是有界序列.

從而該序列一定有一個(gè)收斂子列｛%欹｝,記%欹7總由于S是閉集，故元es.

1

在II、-V譏川丫一刈+丁兩邊同時(shí)取極限就得到||y-五||<inf\\y-x\\.

XESnkxes

根據(jù)〃=inf\\y-%||的定義及元eS^infWy-x\\<||y-x||,所以||y一五||=m/||y-x||.

xesxesxes

假設(shè)對(duì)不相等的xi,X2ES有||y-=||y-gll=譏/lly-％11，由于xi，xz,y互不相同，而三角形

XES

的中線(xiàn)長(zhǎng)一定小于與該中線(xiàn)具有公共端點(diǎn)的兩條邊中的較長(zhǎng)邊的長(zhǎng)度，故根據(jù)幾何意義有||y-%寇||

<max（\\y-xr\\,\\y-x2\\）<inf\\y-x\\.

xes

而第I：.￡s,這與譏/||y一%||的定義矛盾，所以這樣的元是唯一的.

2XES

（3）

設(shè)元如（2）所說(shuō)，過(guò)元作y-元的法平面a,如果存在，ES,使得/和y在a的同側(cè)（不包括/本身），

則。至岫元和一確定的直線(xiàn)上的投影」?jié)M足—V||y-列=譏力<一刈,而S是凸集,故怎S,這

xes

與譏f||y-%||的定義矛盾.

XES

所以S中每個(gè)點(diǎn)都在a上或在a的不包含y的一側(cè)，從而對(duì)任意x€S,y-x在y-元上的投影不小于|y-x\,

從而有（y-x）-（y-x）>|y-x|2.

所以取p=y—元，c—\y—x|2,就有（y-恒成立，即p?y》p?x+c.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量加法法則的幾何應(yīng)用，平面向量數(shù)量積的幾何意義，解答本題的關(guān)鍵點(diǎn)在于利

用幾何意義與向量結(jié)合，從而得到相應(yīng)的代數(shù)結(jié)論.同時(shí)，本題的（2）小問(wèn)的證明過(guò)程使用了結(jié)論：

爐中的有界序列必定有收斂子列，這是（2）結(jié)論背后的本質(zhì)，難以規(guī)避，屬于難題.

2.（2024?臺(tái)州模擬）設(shè)A,8是兩個(gè)非空集合，如果對(duì)于集合A中的任意一個(gè)元素?zé)o，按照某種確定的對(duì)

應(yīng)關(guān)系了,在集合8中都有唯一確定的元素y和它對(duì)應(yīng)，并且不同的無(wú)對(duì)應(yīng)不同的y；同時(shí)8中的每一

個(gè)元素y,都有一個(gè)A中的元素尤與它對(duì)應(yīng)，則稱(chēng)力A-B為從集合A到集合8的一一對(duì)應(yīng)，并稱(chēng)集合

A與2等勢(shì)，記作了=瓦若集合A與2之間不存在---對(duì)應(yīng)關(guān)系，則稱(chēng)A與B不等勢(shì)，記作彳力萬(wàn).

例如：對(duì)于集合4=汽*,B={2a|”eN*},存在——對(duì)應(yīng)關(guān)系y=2x(xeA,y&B),因此彳=正

久2-y2==

(1)已知集合C={(x,y)*+/=1},D={(x,y)|—+—=1},試判斷C=0是否成立？請(qǐng)說(shuō)

43

明理由；

(2)證明：

①(0,1)=(-8,+00);

②N*中{x\xGN*}.

【考點(diǎn)】元素與集合關(guān)系的判斷.

【專(zhuān)題】新定義；集合思想；分析法；集合；數(shù)據(jù)分析.

【答案】(1)成立，理由見(jiàn)解析；

(2)證明見(jiàn)解析.

【分析】(1)根據(jù)新定義判斷即可；

(2)①取特殊函數(shù)滿(mǎn)足定義域?yàn)?0,1),值域?yàn)镽即可利用其證明；

②設(shè)A=N*,B={4xUN*},假設(shè)了=巨，利用反證法得證.

【解答】解：(1)設(shè)尸(尤o,yo)eC,Q=(x,y)eD,令f=2二)'

^=加。，

則c與。存在一一對(duì)應(yīng)，所以集合乙=方.

1

(2)①取函數(shù)y=汝荏兀(X—2),其中尤(0,1),yE(-8,+oo),兩個(gè)集合之間存在一一對(duì)應(yīng)，故

(0,1)=(-8,+00).

備注：函數(shù)舉例不唯一，只要保證定義域?yàn)?0,1),值域?yàn)镽即可，

ri1(1

---2,05,ln2x,05，

如：y二=12或丫=2等均可，

—Y+2,7T〈XVI.-2%),亍<xVI.

\x-l2v-ITLvCZ72

②設(shè)A=N*,B={x|xCN*},

假設(shè)4=8,即存在對(duì)應(yīng)關(guān)系/：Af3為一一對(duì)應(yīng)，

對(duì)于集合8中的元素{1},{2},{1,2},至少存在一個(gè)xeA(xWl,且xW2)與這三個(gè)集合中的某一個(gè)

對(duì)應(yīng)，所以集合A中必存在娓/(%).

記。={xeA|x時(shí)(尤)},則￡)三4,故D6B,

從而存在ae4,使得/(a)=￡>；

若a&D,貝!|aS/(a)—D,矛盾；

若a《D,則aC/(a)=D,矛盾.

因此，不存在A到2的——對(duì)應(yīng)，所以彳力互

【點(diǎn)評(píng)】本題考查集合的應(yīng)用，考查理解能力和分析能力，屬于難題.

3.(2024?景德鎮(zhèn)模擬)設(shè)X,y是非空集合，定義二元有序?qū)蟈Xy={(x,y)|xCX,匹卜}為X和￥

的笛卡爾積.若RUXXY,則稱(chēng)R是X到y(tǒng)的一個(gè)關(guān)系.當(dāng)(x,y)CR時(shí)，則稱(chēng)尤與y是R相關(guān)的，

記作己知非空集合X上的關(guān)系R是XXX的一個(gè)子集，若滿(mǎn)足VxeX,有尤&,則稱(chēng)R是自反的：

若Vx,yEX,有xRy,則yRx,則稱(chēng)R是對(duì)稱(chēng)的；若Wx,y,zGX,有xRy,yRz,則xRz,則稱(chēng)R是傳遞

的.且同時(shí)滿(mǎn)足以上三種關(guān)系時(shí)，則稱(chēng)R是集合X中的一個(gè)等價(jià)關(guān)系，記作?.

(1)設(shè)乂={1,2,3,4,5,6},R={(1,2),(1,3),(1,4),(1,6),(2,2),(2,5),(3,2),

(4,2),(4,4),(5,5)},A={1,2,3},B={4,5,6),求集合P={y|x€A,xRy}^Q={x\yEB,

xRy}-,

(2)設(shè)R是非空有限集合X中的一個(gè)等價(jià)關(guān)系，記X中的子集印R={yexwex,xRy}為x的R等價(jià)類(lèi)，

求證：存在有限個(gè)元素?zé)oiCX,使得X=U“i=1㈤R,且對(duì)任意iWj,㈤尺d[芍]尺=巾(z>>6[1,2,…，

〃});

(3)已知數(shù)歹(]{』}是公差為1的等差數(shù)列，其中瓦力1—,在N+,數(shù)列{詞滿(mǎn)足勾=螃，其中

ai#0,前"項(xiàng)和為防(〃CN+).若給出輯上的兩個(gè)關(guān)系&={(⑺，n),(p,q))6(嚼x嚼)|衿察=

黑豹和R2={((m,m，(p,q))e(Mx悔)|需翳e{&},ieN+],請(qǐng)求出關(guān)系R=R1CR2,判斷

LLTJILinifiILtj

R是否為N?上的等價(jià)關(guān)系.如果不是，請(qǐng)說(shuō)明你的理由；如果是，請(qǐng)證明你的結(jié)論并請(qǐng)寫(xiě)出N章中所有

等價(jià)類(lèi)作為元素構(gòu)成的商集合輯/?.

【考點(diǎn)】元素與集合關(guān)系的判斷.

【專(zhuān)題】綜合題；整體思想；綜合法；集合；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】(1)P=[2,3,4,5,6},。={1,2,4,5)；

(2)證明見(jiàn)解答；

(3)R-{((m,n),(p,q))ExN+)\m+n=p+q,mp+nq為奇數(shù)},R是Nl上的等價(jià)關(guān)系,

證明見(jiàn)解答.

【分析】(1)結(jié)合所給定義，分別求出x=l,2,3時(shí)對(duì)應(yīng)的y的值，y=4,5,6時(shí)對(duì)應(yīng)的尤的值；

(2)結(jié)合所給定義中的自反性、對(duì)稱(chēng)性與傳遞性，借助反證法可得：Vx,y€X,總有印R=[y]R或印R

A[y]R=0,即可得證；

(3)借助等差數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算可得數(shù)列{即}為等差數(shù)列，結(jié)合題目所給條件借助反證法可得=

結(jié)合所給定義及奇偶性的討論即可得解.

【解答】解：(1)由「={y|xeA,xRy],A={1,2,3},

R={(1,2),(1,3),(1,4),(1,6),(2,2),(2,5),(3,2),(4,2),(4,4),(5,5)},

當(dāng)x=l時(shí)，有y=2,3,4,6,當(dāng)x=2時(shí)，有y=2,5,當(dāng)尤=3時(shí)，有y=2,

有P={2,3,4,5,6},

又2={4,5,6},Q—{x\yeB,xRy},

當(dāng)y=4時(shí)，有x=l,4,當(dāng)y=5時(shí)，有x=2,5,當(dāng)y=6時(shí)，有x=l,

則。={1,2,4,5}；

(2)證明：因?yàn)镽是X中的一個(gè)等價(jià)關(guān)系，由自反性可知》6印對(duì)故㈤R不為空集.

若[尤]RC[y]RW0,不妨假設(shè)ze[x]RCl[y]R,所以必有xRz與yRz,由自反性可知yRz即zRy,

再由傳遞性可知xRy.V?e[A]R,則xRm而尤Ry,BPyRx,

于是由傳遞性有yRa,故V°e[y]R,所以印

同理可證明[y|RU[x]R,所以[x]R=[y]R.

綜上所述，Vx,yCX,總有印R=[y]R或印KC[y]R=0.

任取xiex構(gòu)成又任取x2eCx[xi]R構(gòu)成MR,

再任取構(gòu)成[%3]R,…,

以此類(lèi)推，因?yàn)閄是有限集合，結(jié)合上述結(jié)論可知必存在有限個(gè)元素x,WX(i=l,2,?n),

n

使得X=U[Xi],其中卬]RA㈤R=0gj)；

i=lR

?1k.

(3)證明：因?yàn)橥遅l—『％EN+,所以;----W——,

kbr-l2

11

故V〃EN+,----=-----+n—1W0,所以加必存在.

bn-lb±-l

11

由題意可知當(dāng)時(shí)，有■;-------------=1,

如一1

1

整理即：匕=2—彳」，

Dn-1

將“=等i代入得：%1=2_

n“九

即劭+1+劭一1=2詼，所以數(shù)列｛斯｝為等差數(shù)列，設(shè)其公差為d,

顯然加3CLp—CLn

當(dāng)m+n=p+q時(shí)，,成立.

ctm+anQp+Qq

當(dāng)機(jī)+〃#p+q時(shí)，因?yàn)榧恿?,—1,即數(shù)列｛斯｝不為常數(shù)列，

an

aaaaaaaa

..m~qp~n(.m~q^~(.p~n)(<2m+tln)—(ctp+dg)

貝nil〃根即+〃q,所以==~-~~~=77~~T=1,所以dm

CLm+CLnCLp+CLq++(0771+“71)_(。召+“q)

-dq—Ctm^Cln,BP〃〃+〃q=0.

.。2

由一=b]今d=a2一0]=(^i—l)^i-

a1一

而斯+〃夕=2〃1+("+q-2)d=ai?n+q-2)(/?i-1)+2)=0,因?yàn)椤?WO,所以(幾+q—2)(瓦—1)+2=

2

0=打一1

n+q—2.

7一

而瓦-1W--T9顯然此方程無(wú)解，所以?！?的#0,與題意矛盾，

K

綜上所述只有M+〃=p+q.所以Ri=｛((zn,n),(p,Q))exN^)\m+n=p+q).因?yàn)?np+因=

mp+nq

°i+a了叫由于數(shù)列｛即｝不為常數(shù)列，

當(dāng)初+收為偶數(shù)時(shí)，"尸史｛冊(cè)｝,

當(dāng)mp+nq為奇數(shù)時(shí)，---7np+迎=gmp+nq+iE｛4｝,

22

故預(yù)?+的為奇數(shù).所以&=｛((M，8)，(P，q))E(N?xN?)17np+nq為奇數(shù)),

R=&八&=｛((M，幾)，(P，q))E(N：xJV+)|m+九=p+q,mp+nq為奇數(shù)｝,

而仍升的為奇數(shù)，所以啊?與陽(yáng)一奇一偶，所以機(jī)，n,p,q三奇一偶或兩奇兩偶,

又m+n=p+q,所以機(jī)，n,p,q不可能三奇一偶，

故如p均為奇數(shù)，n,q均為偶數(shù)或機(jī)，p均為偶數(shù)，n,q均為奇數(shù).

m,p為奇數(shù)或pn,p為偶數(shù)

所以R=｛((m，九)，(p,Q))e(Af+xN+)\m+n=p+q,n,q為假數(shù)lLi,q為奇數(shù)

當(dāng)｛；=；時(shí)，((機(jī)，〃)，(m,〃))GR,所以7?是自反的；

當(dāng)((m,n),(p,q))GR,將加，〃與p,9取值對(duì)調(diào)，

則((p,q),(m,幾))GR,所以R是對(duì)稱(chēng)的；

當(dāng)((m,〃)，(p,q))ER與((p,q),(r,s))GR,即小+〃=p+q=r+s,

其中機(jī)，p,r為奇數(shù)，n，q,s為偶數(shù)或M,p,r為偶數(shù)，n,q,s為奇數(shù),

所以（（m,〃），（r,s））GR,所以R是傳遞的.

綜上所述，R是評(píng)上的等價(jià)關(guān)系，

其中N?/~={（zn,幾）E+n=2/c+Lm三i（bmod2）,kEN+,ie{0,1}}.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查元素和集合的關(guān)系，屬于難題.

4.（2024?馬鞍山模擬）已知S是全體復(fù)數(shù)集C的一個(gè)非空子集，如果Vx,yES,總有x+y,x-y,x*yESf

x

則稱(chēng)S是數(shù)環(huán).設(shè)廠是數(shù)環(huán)，如果①尸內(nèi)含有一個(gè)非零復(fù)數(shù)；②Wx,yeF且y=0,有-6尸，則稱(chēng)尸是

y

數(shù)域.由定義知有理數(shù)集Q是數(shù)域.

（1）求元素個(gè)數(shù)最小的數(shù)環(huán)S；

（2）證明：記Q（W）={a+g6|a,bGQ）,證明：Q（遮）是數(shù)域；

（3）若為，乃是數(shù)域，判斷乃U尸2是否是數(shù)域，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【考點(diǎn)】元素與集合關(guān)系的判斷.

【專(zhuān)題】集合思想；綜合法；集合；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】（1）S={0}；

（2）證明過(guò)程見(jiàn)解析；

（3）F1UF2不一定是數(shù)域，理由見(jiàn)解析.

【分析】（1）根據(jù)數(shù)環(huán)的概念求解；

（2）根據(jù)數(shù)域的概念證明；

（3）FIUF2不一定是數(shù)域，舉反例說(shuō)明即可.

【解答】解：（1）S是數(shù)環(huán)，所以集合S非空，即S至少含有一個(gè)復(fù)數(shù)，

取a&S,則a-a=0eS,

而顯然{0}是一個(gè)數(shù)環(huán)，故5={0}；

（2）證明：顯然0,1￡Q（V3）,對(duì)任意a1+瓦be。（b），a2+b2y/3eQ（V3）.ai,b\,ai,teGQ,

由O是數(shù)域知，（的+±（a2+。2百）=（的±42）+（Jh土b2）V3eQ（g），（的+^iV3）?（a2+

八6、,」以八、一八，卜、牝+%遮a1a2-3&1&2arb2-bra2r-

⑦百）=（的。2+3瓦玩）+（a/?+瓦）5CQ（舊），=al_3b，+a，_3b，V3e

Q電）,

故Q（遮）={a+V3fo|a,bEQ］是一個(gè)數(shù)域；

（3）FIUF2不一定是數(shù)域，理由如下：

取&=Q(遮)={a+V3b|a,6eQ},F2=(2(V2)={a+y[2b\a,bGQ),

則百eQ(b),V2eQ(V2),但遮?加=乃6(2(舊)uQ(V^),

故BUR不是數(shù)域，

而若H,R是數(shù)域，且乃仁政，則為口乃=尸2是數(shù)域.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了集合中的新定義問(wèn)題，考查了元素與集合的關(guān)系，屬于中檔題.

5.(2024?重慶模擬)設(shè)集合S、T為正整數(shù)集N*的兩個(gè)子集，S、T至少各有兩個(gè)元素.對(duì)于給定的集合

S,若存在滿(mǎn)足如下條件的集合T：

①對(duì)于任意a,beS,若aWb,都有abeT；②對(duì)于任意a,b&T,若a〈b,則'eS.則稱(chēng)集合T為集

a

合S的“K集”.

(1)若集合S1={1,3,9},求Si的“K集”71；

(2)若三元集S2存在“K集”乃，且72中恰含有4個(gè)元素，求證：1WS2；

(3)若S3={xi,XI,■■■,Xn}存在"K集"，且求"的最大值.

【考點(diǎn)】元素與集合關(guān)系的判斷.

【專(zhuān)題】綜合題；集合思想；綜合法；集合；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】⑴T={3,9,27}；

(2)證明見(jiàn)解答；

(3)4.

【分析】(1)根據(jù)定義直接求解；

(2)利用反證法推矛盾即可證明；

(3)設(shè)結(jié)合(2)的結(jié)論推出xi=l不成立，結(jié)合定義和尤1W1得“W4即可求解.

【解答】解：(1)若S1={1,3,9),由題意可得，1X3,1X9,3X9GT,即3,9,276T,此時(shí)1,y,

27

6S],滿(mǎn)足題意，

91

2727

假設(shè)集合T中還有第四個(gè)元素為則由題意可知：若￡<3,即丁>9,則工￡51，所以不成立；

若/>3,則：ESi，所以/=3或9或27,矛盾.故集合T中無(wú)四個(gè)元素，所以集合7={3,9,27).

(2)設(shè)集合S2={〃1,〃2,。3},不妨設(shè)

假設(shè)1WS2,即。1=1,則且。2,43,a2c13ET,

由②知二￡S2，注意到IV察V的，故有」=①即的=今，所以$2={1,。分，

。202a2

故a2a3=堵￡7，即a2f^ET，因?yàn)榧蟃中有4個(gè)元素，故設(shè)7={。2，堵，境，￡},

，則華>a|,所以半

由②可得:若t<a2《$2,矛盾;

若力〉。2，26s2,則工=1或〃2或道，所以￡=〃2或嫌或成，與集合元素的互異性矛盾,

假設(shè)錯(cuò)誤，故WS2.

(3)S3=｛%>…，xn1之N*,Xr,%2，…，xnEN*,不妨設(shè)lWxi〈X2<…V%,

XoX-nX-ntXi

所以％1X2ET,X2XnET,XlX2<X2Xn,故-----=一GS3，同理可得一GS3(1<t<J<H),

X±X2%iXi

若%1=L與(2)類(lèi)似得S3=｛L%2,好，…，域T｝，從而必有無(wú)2，尹一3￡7,

..J

對(duì)任意的1-3,有%/=—X^￡$3，即短，???%2n-4^39所以2〃-4W〃-l,即〃W3.

x2

若"1,即"2,1<^7<xn,故瓷=/_、=X"-2,=犯’資="

XX

1尤11xr%1%1%1

所以%2=無(wú)/，%3="；，***/Xj2-1=1，工打—,即S3—｛%i，%/，,,,,｝，從而必有工半，X：,

…，短1TeT,

,xj

對(duì)任意的3W/W2九-1,必有％/=TES3，即蝮，者，…％尹一4^$3，所以2〃-4W九，即〃W4.

X1'

綜上，得〃W4,又〃=4時(shí)，有5=｛2,4,8,16｝,T=｛8,16,32,64,128｝符合題意，

所以w的最大值為4.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查元素和集合的關(guān)系，屬于中檔題.

6.(2024?順義區(qū)一模)給定正整數(shù)〃N3,設(shè)集合A=｛m,a2,an].若對(duì)任意i,je｛l,2,,,,,n),

ai+aj,勾兩數(shù)中至少有一個(gè)屬于A,則稱(chēng)集合A具有性質(zhì)P.

(I)分別判斷集合｛1,2,3｝與｛-1,0,1,2｝是否具有性質(zhì)P；

(II)若集合A=｛1,a,b｝具有性質(zhì)尸，求a+6的值；

(III)若具有性質(zhì)P的集合B中包含6個(gè)元素，且163,求集合2.

【考點(diǎn)】元素與集合關(guān)系的判斷；數(shù)列的應(yīng)用.

【專(zhuān)題】計(jì)算題；集合思想；綜合法；集合；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】(I)集合｛1,2,3｝不具有性質(zhì)P,集合｛-1,0,1,2｝具有性質(zhì)尸.

(II)-1.

、1132112

(III){—2,—1/0,1/2},{—L一工,0/1/]},L可，-0，3fI)'{-3,-2,

—1/0/1/2｝或｛—2，—1/—2，0，2f1｝，

【分析】(I)根據(jù)性質(zhì)P的定義，即可判斷兩個(gè)集合是否滿(mǎn)足.

(II)根據(jù)性質(zhì)尸的定義，首先確定。6｛1,〃，b],再討論1+Z?是否屬于集合｛1,0,b｝,即可確定Z?

的取值，即可求解.

(ni)首先確定集合5中有o,并且有正數(shù)和負(fù)數(shù)，然后根據(jù)性質(zhì)尸討論集合中元素的關(guān)系，即可求解.

【解答】解：(I)集合{L2,3}中的3+3=6任{1,2,3),3-3=0直1,2,3),

所以集合{1,2,3}不具有性質(zhì)產(chǎn)，

集合{-1,0,1,2}中的任何兩個(gè)相同或不同的元素，相加或相減，兩數(shù)中至少有一個(gè)屬于集合{-1,

0,1,2),所以集合{-1,0,1,2}具有性質(zhì)產(chǎn)；

(II)若集合A={1,a,。}具有性質(zhì)P,記m=相〃%{1,a,b},則m21,

令ai=aj=m,則2相￡{1,a,b},從而必有0e{l,a,b},

不妨設(shè)〃=0,則4={1,0,b],Z?W0且bWl,

令的=Laj=b,則{1+41-Z?}A{1,0,分#0,且{1+4b-1}A{1,0,Z?}W0,后0且二WL

以下分類(lèi)討論：

①當(dāng)1+加{1,0,。}時(shí)，若1+8=0=匕=-1,止匕時(shí)，A={1,0,-1}滿(mǎn)足性質(zhì)產(chǎn)；

若1+6=1=8=0,舍；若l+b=b,無(wú)解；

②當(dāng)1+於{1,0,切時(shí)，則{1-4b-1}C{1,0,b],注意6W0且bWl,可知Z?無(wú)解；

經(jīng)檢驗(yàn)A={1,0,-1}符合題意，

綜上a+b=-1；

(III)首先容易知道集合3中有0,有正數(shù)也有負(fù)數(shù)，

不妨設(shè)3={-從，-bk-\,…，-bi,0,ai,???,ai],其中左+/=5,0<ai<---<ab0<Z?i<---<

bk,

根據(jù)題意{m-a/,…,ai-1-ai]Q{-bkf-bk-i,…,-b\],

且{從-bl,bk-1-b\,…，bi-b\]^{a\,ai,…a/},從而(鼠Z)=(2,3)或(3,2),

①當(dāng)(怎Z)=(3,2)時(shí)，{to-b\,加-歷}={。1,ai},

并且{-加+加，-Z?3+Z?2}={-bi,-歷}今加=Z?i+Z?2,ai-aiE{ai,42}今。2=2QI,

由上可得(歷，bi)=(to-bi,fo-b2)=(〃2,ai)=(2ai,ai),并且/?3=Z?i+/?2=3m,

綜上可知8={-3m,-2tzi,-ai,0,a\,2示1}；

②當(dāng)Qk,Z)=(2,3)時(shí)，同理可得5={-2QI,-a\,0,a\,2ai,3m},

據(jù)此，當(dāng)5中有包含6個(gè)元素，且1EB時(shí)，符合條件的集合5有5個(gè)，

11Q7117

分另U是{—2,—1,0,1/2},{-1，—0，2f1，2)f{-W，—W，0，3f可，1}/{-3，—

2,—1/0,1f2}或{—楙，—1/—0，1)?

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查元素和集合的關(guān)系，屬于中檔題.

7.(2023?南陽(yáng)模擬)己知集合4={尤|尤W-3或無(wú)三2},B={x|l<x<5},C={x\m-l^x^2m}.

(1)求AAB,(CRA)UB；

(2)若8CC=C,求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

【考點(diǎn)】交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算.

【專(zhuān)題】集合思想；定義法；集合.

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【分析】(1)根據(jù)交集、補(bǔ)集和并集的定義計(jì)算即可；

(2)由8CC=C知C&B,討論機(jī)的取值情況，求出滿(mǎn)足條件的機(jī)取值范圍.

【解答】解：(1)集合A={x|xW-3或無(wú)三2},B={x|l<x<5},

；.AnB={x|2Wx<5},

CRA={X|-3<x<2},

(CRA)UB={X|-3<x<5}；

(2)'：BDC=C,：,CQB,

又C={沖nTWxW2m},

①當(dāng)C=0時(shí)，-1>2〃2,解得優(yōu)<-1;

m—1<2m

m-l>l,2<m<|；