一元二次不等式及其應(yīng)用（精講）高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)原卷版

【一輪復(fù)習(xí)講義】2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)(新高考通用)

第05講一元二次不等式及其應(yīng)用(精講)

題型目錄一覽

①不含參數(shù)的一元二次不等式的解

法

②含參數(shù)的一元二次不等式的解法

③一元二次不等式綜合應(yīng)用

④分式不等式與絕對值不等式的解

法

一、知識(shí)點(diǎn)梳理

1.一元二次不等式

一元二次不等式ox?+6x+c〉0(aw0),其中A=ZJ2-4ac,石,9是方程

ax?+6x+c〉0(aw0)的兩個(gè)根，且石<%2

(1)當(dāng)。>0時(shí)，二次函數(shù)圖象開口向上.

(2)①若A>0,解集為｛x|x>%2或^<%｝?

②若A=0,解集為｛x|xGR且x/———1.

③若A<0,解集為R.

(2)當(dāng)。<0時(shí)，二次函數(shù)圖象開口向下.

①若A>0,解集為｛%|不<%<%｝

②若AW0,解集為0

2.分式不等式

⑴手>0o/(x)?g(尤)>0

g(x)

⑵，<°o/(x)?g(x)<0

g(x)

C)/(x)>cd(x)?g(x)N°

g(x)〔g(x)豐0

(4)以乜0。尸)"。

g(x)[g(x)豐0

3.絕對值不等式

⑴|/(%)|>|g(x)|o"(x)]2>[g(x)]2

(2)|/(x)|>g(x)(g(x)>0)of(x)>g(x)期(x)<-g(x);

|/(x)|<g(x)(g(x)>0)o—g(x)</(x)<g(x)；

(3)含有兩個(gè)或兩個(gè)以上絕對值符號(hào)的不等式，可用零點(diǎn)分段法和圖象法求解

【常用結(jié)論】

1.已知關(guān)于x的不等式依2+"+c>0的解集為(加，ri)(其中相〃>0),解關(guān)于X的不等式

ex1+bx+a>0.

由Q—+—+。>。的解集為(血，〃)，得:〃d)2+人工+。>0的解集為(!，，~),即關(guān)于x的不

xxnm

等式ex2+bx+a>0的解集為(―,—).

nm

已知關(guān)于x的不等式o?+法+c>0的解集為舊，〃)，解關(guān)于元的不等式ex2+bx+a<0.

由Q*2+"+c>0的解集為⑺，〃)，得:〃d)2+/+c40的解集為(-8,—]U[―，+8)即關(guān)

xxnm

于九的不等式—+"+々<0的解集為(_QO,—]U[―,+00).

nm

2.已知關(guān)于x的不等式—+"+c>。的解集為(加，")(其中”相>0)，解關(guān)于x的不等式

ex1-bx+a>0.

由辦2+陵+。>0的解集為⑺，")，得:Q(J_)2一6工+°>0的解集為(一_L,一J_)即關(guān)于x的不

xxmn

等式C一〃x+a>。的角尾集為(一_L,__).

mn

3.已知關(guān)于x的不等式+汝+。>。的解集為(形，〃)，解關(guān)于x的不等式ex1-bx+a<0.

由Q%2+笈+。>0的解集為(相，〃)，得:一人工+?！?的解集為(_8,一_L]U[_J_,+00)

xxmn

即關(guān)于X的不等式52一法+。40的解集為(一8,--]U[--，+00),以此類推.

mn

4.已知關(guān)于x的一元二次不等式/+6x+c>0的解集為R,則一定滿足|“>°;

A<0

Q<0

5.已知關(guān)于x的一元二次不等式g?+"+。>。的解集為。，則一定滿足

A<0；

〃<0

6.已知關(guān)于X的一元二次不等式改2+加;+。<0的解集為R，則一定滿足

A<0；

4〉0

7.已知關(guān)于x的一元二次不等式g?+Z?%+cvO的解集為。,則一定滿足

A<0

二、題型分類精講

IJ

題型一不含參數(shù)的一元二次不等式的解法

畬策略方法解一元二次不等式的四個(gè)步驟

囪一地示攀決菱形一務(wù)三方疏系藪夫手索曲標(biāo)灌拓惠I

國]T并算需應(yīng)藥灌的加麗裝：

:求出對應(yīng)的一元二次方程的根，晟根據(jù)判別式:

[說明方程有沒有實(shí)根；

阿鏟天手破而近下手取市面丁奇叮示擎表物

，解集；

【典例1】函數(shù)=J-x、2x+3的定義域是()

A.[—1,3]B.(-oo,-l]u[3,+oo)

C.[-3,1]D.(-00,-3ML+8)

【典例2】不等式x(2-x)>0的解集為()

A.{x|x<2}B.{x|x>2}C.{x|x<0或x>2}D.{x[0<x<2}

【題型訓(xùn)練】

一、單選題

1.(2020年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷(新課標(biāo)I))已知集合4={回--3；1-4<0},8={-4,1,3,5},

則A「3=()

A.{-4,1}B.{1,5}

C.{3,5}D.{1,3}

2.（貴州省貴陽市五校2023屆高三聯(lián)合考試（五）理科數(shù)學(xué)試題）已知集合

A={x|%2—5尤4。},={x|尤=2"+1,"wN},則A（"|3=（）

A.{0,123,4,5}B,{1,2,3,4,5}C.{1,3,5}D,{3,5}

3.（陜西省榆林市2023屆高三三模數(shù)學(xué)試題）若橢圓加爐+（療+1卜2=1的焦距大于0,

則機(jī)的取值范圍是（）

C.（-1,1）D.（-l,0）U（0,l）

二、填空題

4.不等式一2/+3無一;N0的解集為.

17Y

5.不等式/v半的解集為.

22

6.若方程=+工=1表示焦點(diǎn)在無軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

aa+2

題型二含參數(shù)的一元二次不等式的解法

畬策略方法解含參不等式的分類討論依據(jù)

【典例1】關(guān)于x的不等式依"-（。-2.-240（。€尺）的解集不可熊是（

A.0B.R

~21「2、

C.一一,1D.（-oo,llu一一,+oo

_〃_a）

【題型訓(xùn)練】

一、單選題

1.（遼寧省丹東市2023屆高三總復(fù)習(xí)質(zhì)量測試（一）數(shù)學(xué)試題）已知集合

A=|(x+l)(x-tz)<o|,B={-3,-2,l},若且Ac3w0,則。=()

A.-3B.-2C.0D.1

2.(華大新高考聯(lián)盟2023屆高三下學(xué)期3月教學(xué)質(zhì)量測評(píng)理科數(shù)學(xué)試題)若集合

A=,集合5={R|x—l|vl},滿足AcB={x[l<x<2}的實(shí)數(shù)〃的取值范

圍是()

A.tz<3B.a<3

C.a>3D.a>3

二、填空題

—x—2〉0.

3.已知關(guān)于x的不等式組2SicyC的整數(shù)解的集合為{(-2},則實(shí)數(shù)后的取值范

圍是.

4.(重慶市第十一中學(xué)2023屆高三上學(xué)期10月自主質(zhì)量抽測數(shù)學(xué)試題)設(shè)

-(m+l)x+m<0,若。是月的充分條件，求實(shí)數(shù)加的取值范圍是

x+2

三、解答題

5.解下列關(guān)于x的不等式：(X+?)(X-26Z+1)<0.

6.解下列關(guān)于x的不等式62+g+2)x+i>og*o).

7.解下列關(guān)于x的不等式/+公+1<0.

題型三一元二次不等式綜合應(yīng)用

畬策略方法一元二次不等式與韋達(dá)定理及判別式結(jié)合問題思路

1.牢記二次函數(shù)的基本性質(zhì).

2.含參的注意利用根與系數(shù)的關(guān)系找關(guān)系進(jìn)行代換.

【典例1】若不等式以2+次+c>o的解集為何-1<%<2},則不等式

a(*2+i)+6(x_i)+c>2ox的解集是()

A.1x|0<x<3}B.{%|尤<0或x>3}

C.1x|l<x<3}D.1x|-l<x<3}

【典例2】關(guān)于x的方程f+（m—2）%+2根-1=0恰有一根在區(qū)間（0,1）內(nèi)，則實(shí)數(shù)機(jī)的取

值范圍是（）

ABc2

-[rl]-Q'l]-[?]D.邛-2何

【題型訓(xùn)練】

一、單選題

1.（北京市第一0一中學(xué)2023屆高三下學(xué)期數(shù)學(xué)統(tǒng)練三試題）已知關(guān)于x的不等式

/+依+>>0（°>0）的解集是{xlxwd},,則下列四個(gè)結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）

A.a2=4b

,1

B.a-+->4

b

c.若關(guān)于尤的不等式v+6-6<o的解集為a，%）,則占%>。

D.若關(guān)于x的不等式/+辦+/><c的解集為（為，9）,且上-赴|=4,則c=4

2.（山東省山東師范大學(xué)附屬中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題）已知關(guān)

于X的不等式辦2+法+1>0的解集為,其中m<0,則2+1■的最小值為

）ab

（）

A.-2B.2C.2A/2D.3

3.已知關(guān)于尤的不等式/+3+“+3>0的解集為R,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）.

A.（—2,6）B.（―oo,—2）u（6,+<?）

C.[-2,6]D.（-<?,-2]U[6,-KO）

4.若關(guān)于彳的不等式爐-6%+11-a<0在區(qū)間（2,5）內(nèi)有解，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.（-2,+oo）B.（3,+oo）C.（6,+oo）D.（2,+oo）

5.己知方程/+（根-2）X+5T〃=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且兩個(gè)實(shí)數(shù)根都大于2,則實(shí)

數(shù)機(jī)的取值范圍是（）

A.（-5,-4）U（4,+?）B.（-5,+8）

C.（-5,-4）D.（Y,-2）U（4,+s）

6.設(shè)。為實(shí)數(shù)，若方程d一2分+“=0在區(qū)間（-M）上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則a的取值

范圍是（）.

A.（-8,0）51,+8）B.（-1,0）

C.1-g,。）D.；,o]u（l,+8）

7.已知函數(shù)〃%）=2f+法+。⑶0為實(shí)數(shù)），/（—10）=〃12）.若方程〃x）=0有兩個(gè)正

11

實(shí)數(shù)根為，演，則一+一的最小值是（）

%九2

A.4B.2C.1D.1

二、填空題

8.已知關(guān)于無的不等式渥-fcc+c>0的解集是，鞏-1口（2,+⑸，則關(guān)于x的不等式

ax2+to+c<0的解集為.

9.已知關(guān)于x的不等式辦2+2次+8>0的解集為（-（?,加）口（\,+，|,其中相<0,貝*+：的

最小值是.

10.（上海市寶山區(qū)2023屆高三二模數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)〃尤）=二匕一;（a>0且awl）,

若關(guān)于x的不等式/■（依2+6x+c）>0的解集為（1,2）,其中6e（-6,l）,則實(shí)數(shù)。的取值范圍

是.

11.（福建省大田縣第一中學(xué)2022屆高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題）若關(guān)于x的不等式

-爐+.+2）“—2a>0恰有1個(gè)正整數(shù)解，則。的取值范圍是.

12.方程X2-（2-。卜+5-。=0的兩根者口大于2,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

13.方程尤2一2分+4=0的兩根均大于1,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

題型區(qū)分式不等式與絕對值不等式的解法

畬策略方法絕對值不等式和分式不等式解法

1.分式不等式化為二次或高次不等式處理.

2.根式不等式絕對值不等式分類討論或用幾何意義或者平方處理.

【典例1]不等式一^41的解集為（）

x-2

A.[一3⑵B.(^,-3]C.[-3,2)D.(一叫一引U(2,+<?)

【典例2】不等式段-1|<1的解集為（）

A.RB.x\x<0或x>j

【題型訓(xùn)練】

一、單選題

1.（天一大聯(lián)考皖豫名校聯(lián)盟2023屆高三第三次考試數(shù)學(xué)試題）已知集合

M={y\y>l},N=,則McN=()

A.[1,2]B.[2,+oo)C.[1,2)D.工+⑹

------>1,X￡Z1,

2.（新疆維吾爾自治區(qū)部分學(xué)校2023屆高三二模數(shù)學(xué)（理）試題）集合A=x

x+2

8={尤,為1~10以內(nèi)的質(zhì)數(shù)},記Ac3=Af,則（）

A.leMB.C.3色MD.4^M

3.（黑龍江省哈爾濱市第九中學(xué)校2023屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題）已知集合

A.(1,2]B.(1,2)C.[-1,5]D.[-1,5)

4.（浙江省寧波市2023屆高三下學(xué)期4月模擬（二模）數(shù)學(xué)試題）若集合4=卜卜-[<3},

B={^|2V<8