同課異構：等腰三角形判定的相關證明、計算

等腰三角形判定的相關證明、計算上海市初級中學名師制作一、復習引入有兩條邊相等的三角形等角對等邊等腰三角形等邊對等角三線合一軸對稱圖形條件和結論互換性質定義判定二、例題講解例題1：如圖，在△ABC中，已知點D、E分別在AB、AC上，且BE=CD,∠1=∠2，試說明

△ABC是等腰三角形的理由.

分析：由已知條件可以得到什么？兩邊相等兩角相等BE=CD,∠1=∠2BC=CBCBDEBC12要說明△ABC是等腰三角形，就是要說明什么？△ABC是等腰三角形△DBC≌△ECB（S.A.S）∠ABC=∠ACB××××二、例題講解解：在△ECB與△DBC中，

BE=CD(已知），

∠1=∠2(已知）,

BC=BC（公共邊），所以△ECB≌△DBC

（S.A.S）.得∠ECB=∠DBC（全等三角形的對應角相等）.可知AB=AC（等角對等邊）.所以△ABC是等腰三角形.例題1：如圖，在△ABC中，已知點D、E分別在AB、AC上，且BE=CD,∠1=∠2，試說明

△ABC是等腰三角形的理由.

說明兩個三角形全等全等三角形的性質等角對等邊等腰三角形的判定××二、例題講解例題1：如圖，在△ABC中，已知點D、E分別在AB、AC上，且BE=CD,∠1=∠2，試說明

△ABC是等腰三角形的理由.

變式∠ABE=∠ACDADECB..要說明△ABC是等腰三角形，就是要說明什么？由已知條件可以得到什么？△ABC是等腰三角形兩邊相等兩角相等BE=CD,∠ABE=∠ACD∠A=∠A△ABE≌△ACD（A.A.S）AB=AC分析：二、例題講解例題1：如圖，在△ABC中，已知點D、E分別在AB、AC上，且BE=CD,∠1=∠2，試說明

△ABC是等腰三角形的理由.

變式∠ABE=∠ACDADECB..解：在△ABE與△ACD中，

∠ABE=∠ACD(已知），

∠A=∠A(公共角）,

BE=CD（已知），所以△ABE≌△ACD

（A.A.S）.得AB=AC（全等三角形的對應邊相等）.所以△ABC是等腰三角形.

例題1

解：在△ECB與△DBC中，

BE=CD(已知），

∠1=∠2(已知）,

BC=BC（公共邊），所以△ECB≌△DBC

（S.A.S）.得∠ECB=∠DBC（全等三角形的對應角相等）.可知AB=AC（等角對等邊）.所以△ABC是等腰三角形.等腰三角形的定義等腰三角形的判定方法等角對等邊AB=ACAB=AC△ABE≌△ACD

∠ECB=∠DBC

二、例題講解例題1：如圖，在△ABC中，已知點D、E分別在AB、AC上，且BE=CD,

(1)試說明

△ABC是等腰三角形的理由.

∠ABE=∠ACD變式ADECB..O(2)設BE與CD的交點為O，那么△OBC是等腰三角形嗎？為什么？要說明△OBC是等腰三角形OB=OC∠OBC=∠OCB△OBD≌△OCE能直接說明嗎？AB=AC∠ACB=∠ABC∠ABE=∠ACD分析：只有兩組角對應相等？？？二、例題講解例題1：如圖，在△ABC中，已知點D、E分別在AB、AC上，且BE=CD,

(1)試說明

△ABC是等腰三角形的理由.

∠ABE=∠ACD變式ADECB..O(2)設BE與CD的交點為O，那么△OBC是等腰三角形嗎？為什么？（2）解：因為AB=AC（已求）,所以∠ABC=∠ACB（等邊對等角）,又因為∠ABE=∠ACD（已知），所以∠ABC－∠ABE=∠ACB－∠ACD（等式性質）即∠OBC=∠OCB.所以OB=OC（等角對等邊）.即△OBC是等腰三角形．等角對等邊??等邊對等角等腰三角形的判定等腰三角形的性質二、例題講解例題2

如圖，點D在△ABC的邊AC上,已知∠A=100°，∠ABC=60°，∠ABD=40°，試指出圖中的相等線段，并說明理由.100°40°40°20°DBA100°40°在△ABD中CBA100°60°在△ABC中20°

利用三角形的內角和等于180°,求其它角的度數(shù)40°20°由已知條件，還可以求出圖中哪些角的度數(shù)？二、例題講解例題2如圖，點D在△ABC的邊AC上,已知∠A=100°，∠ABC=60°，∠ABD=40°，試指出圖中的相等線段，并說明理由.100°40°20°40°20°可看作是三角形的邊利用在一個三角形中“等角對等邊”來尋找圖中的相等線段圖中的相等線段

:AB=AD，BD=DC.100°40°40°二、例題講解因為∠A=100°，

∠ABD=40°（已知）,而∠A+∠ABD+∠ADB=180°（三角形內角和等于180°）,所以∠ADB=180°－∠A－∠ABD=40°（等式性質）.得∠ABD=∠ADB（等量代換）,所以AB=AD（等角對等邊）.例題2

如圖，點D在△ABC的邊AC上,已知∠A=100°，∠ABC=60°，∠ABD=40°，試指出圖中的相等線段，并說明理由.40°40°等角對等邊解：AB=AD，說理如下：100°40°40°20°20°二、例題講解例題2

如圖，點D在△ABC的邊AC上,已知∠A=100°，∠ABC=60°，∠ABD=40°，試指出圖中的相等線段，并說明理由.因為∠ABC=60°,∠ABD=40°（已知）,所以∠DBC=∠ABC－∠ABD=20°（等式性質）.因為∠A=100°∠ABC=60°（已知）,而∠A+∠ABC+∠C=180°

（三角形內角和等于180°）,所以∠C=180°－∠A－∠ABC=20°．得∠DBC=∠C（等量代換）.所以BD=DC（等角對等邊）.20°20°還有其它方法可以得到∠C=20°嗎？？因為∠ADB=∠DBC+∠C（三角形一個外角等于與它不相鄰的兩個內角和），所以∠C=∠ADB－∠DBC=40°－20°=20°．20°解：BD=DC，說理如下：等角對等邊二、例題講解例題2

如圖，點D在△ABC的邊AC上,已知∠A=100°，∠ABC=60°，∠ABD=40°，試指出圖中的相等線段，并說明理由.直線BD對△ABC形成分割，得到了兩個等腰三角形．100°40°40°20°20°NCAB三、習題訓練如圖，輪船由A處以每小時20海里的速度向正北方向航行，此時，測得燈塔C在北偏東40°的方向（即∠NAC=40°），半小時后，輪船航行到B處，測得燈塔C在北偏東80°的方向（即∠NBC=80°）．求輪船在B處時與燈塔C的距離．求輪船在B處時與燈塔C的距離t=小時分析:求線段BC的長度已知的兩個角有怎樣的位置關系？40°∠A=∠CAB=BCAB的長度=輪船行駛的路程=v=20海里/時)40°)80°三、習題訓練如圖，輪船由A處以每小時20海里的速度向正北方向航行，此時，測得燈塔C在北偏東40°的方向（即∠NAC=40°），半小時后，輪船航行到B處，測得燈塔C在北偏東80°的方向（即∠NBC=80°）．求輪船在B處時與燈塔C的距離．解：因為∠NAC=40°，

∠NBC=80°（已知）,而∠NBC=∠NAC+∠C（三角形一個外角等于與它不相鄰的兩個內角和）,所以∠C=80°-40°=40°（等式性質）.得∠NAC=∠C（等量代換）,所以AB=BC（等角對等邊）.答：輪船在B處時與燈塔C的距離是10海里．40°40°40°v=20海里/時t=小時說理部分計算部分四、歸納小結等腰三角形研究確定性質判定邊角有兩條邊相等的三角形是等腰三角形．有兩個角相等的三角形是等腰三角形．