2024-2025學年新教材高中數(shù)學第八章成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析8.2一元線性回歸模型及其應用教師用書教案新人教A版選擇性必修第三冊

PAGE8.2一元線性回來模型及其應用必備學問·素養(yǎng)奠基1.一元線性回來模型一元線性回來模型的完整表達式為QUOTE其中Y稱為因變量或響應變量,x稱為自變量或說明變量;a,b為模型的未知參數(shù),e是Y與bx+a之間的隨機誤差.具有相關關系的兩個變量,其樣本點散布在某一條直線y=bx+a的旁邊,可以用一次函數(shù)y=bx+a來描述兩個變量之間的關系嗎?提示:不能.2.最小二乘法與閱歷回來方程(1)最小二乘法=x+稱為Y關于x的閱歷回來方程,也稱閱歷回來函數(shù)或閱歷回來公式,其圖形稱為閱歷回來直線.這種求閱歷回來方程的方法叫做最小二乘法,求得的,叫做b,a的最小二乘估計.(2)閱歷回來方程的系數(shù)計算公式閱歷回來方程的計算公式的計算公式=

x+=QUOTE=QUOTE=QUOTE-QUOTE(3)閱歷回來方程的性質(zhì)①閱歷回來方程肯定過點__(QUOTE,QUOTE)__;

②一次函數(shù)=x+的單調(diào)性由的符號確定,函數(shù)遞增的充要條件是

>0__;

③的實際意義:當x增大一個單位時,增大個單位.正相關、負相關與的符號有何關系?提示:Y與x正相關的充要條件是>0,Y與x負相關的充要條件是<0.3.殘差(1)殘差:對于響應變量Y,通過觀測得到的數(shù)據(jù)稱為觀測值,通過閱歷回來方程得到的稱為預料值,觀測值減去預料值稱為殘差.(2)確定系數(shù):R2=1-越接近1,表示回來的效果越好.1.思維辨析(對的打“√”,錯的打“×”)(1)閱歷回來方程肯定過樣本中的某一個點.()(2)選取一組數(shù)據(jù)中的部分點得到的閱歷回來方程與由整組數(shù)據(jù)得到的閱歷回來方程是同一個方程.()(3)在閱歷回來模型中,R2越接近于1,表示說明變量和響應變量的線性相關性越強.()(4)在畫兩個變量的散點圖時,響應變量在x軸上,說明變量在y軸上.()提示:(1)×.閱歷回來方程肯定過點(QUOTE,QUOTE),可能過樣本中的某個或某些點,也可能不過樣本中的隨意一個點.(2)×.選取一組數(shù)據(jù)中的部分點得到的閱歷回來方程與由整組數(shù)據(jù)得到的閱歷回來方程不肯定是同一個方程.(3)√.(4)×.在畫兩個變量的散點圖時,說明變量在x軸上,響應變量在y軸上.2.若某地財政收入x與支出Y滿意閱歷回來方程=x++ei(單位:億元)(i=1,2,…),其中=0.8,=2,|ei|<0.5,假如今年該地區(qū)財政收入10億元,年支出預料不會超過()A.10億元 B.9億元C.10.5億元 D.9.5億元【解析】選C.=0.8×10+2+ei=10+ei,因為|ei|<0.5,所以9.5<<10.5.3.若施肥量x(kg)與水稻產(chǎn)量Y(kg)的閱歷回來方程為=5x+250,當施肥量為80kg時,預料水稻產(chǎn)量約為________kg.

【解析】把x=80代入閱歷回來方程可得其預料值=5×80+250=650(kg).答案:650關鍵實力·素養(yǎng)形成類型一求閱歷回來方程【典例】某種產(chǎn)品的廣告費用支出x與銷售額Y(單位:百萬元)之間有如下的對應數(shù)據(jù):x/百萬元24568Y/百萬元3040605070(1)畫出散點圖;(2)求閱歷回來方程;(3)試預料廣告費用支出為10百萬元時,銷售額多大?【思維·引】(1)按表中的數(shù)據(jù)在平面直角坐標系中描點即得散點圖;(2)由公式求出,,寫出閱歷回來方程;(3)利用閱歷回來方程分析.【解析】(1)散點圖如圖所示:(2)列出下表,并用科學計算器進行有關計算:i12345合計xi2456825yi3040605070250xiyi601603003005601380416253664145所以QUOTE=QUOTE=5,QUOTE=QUOTE=50,QUOTE=145,QUOTExiyi=1380.于是可得=QUOTE=QUOTE=6.5,=QUOTE-QUOTE=50-6.5×5=17.5.所以所求的閱歷回來方程為=6.5x+17.5.(3)依據(jù)上面求得的閱歷回來方程,當廣告費用支出為10百萬元時,=6.5×10+17.5=82.5(百萬元),即廣告費用支出為10百萬元時,銷售額大約為82.5百萬元.【內(nèi)化·悟】求閱歷回來方程前應留意什么問題?提示:對于性質(zhì)不明確的兩組數(shù)據(jù),要先作散點圖,從圖中看它們有無線性相關關系,有相關關系的求出的閱歷回來方程才有實際意義.【類題·通】求閱歷回來方程的步驟(1)畫散點圖:由樣本點是否呈條狀分布來推斷兩個量是否具有線性相關關系.(2)求回來系數(shù):若存在線性相關關系,則求回來系數(shù).(3)寫方程:寫出閱歷回來方程,并利用閱歷回來方程進行預料說明.【習練·破】某公司的生產(chǎn)部門調(diào)研發(fā)覺,該公司其次,三季度的月用電量Y與月份x線性相關,且數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下:月份456789月用電量(千瓦時)61627554656但核對電費報表時發(fā)覺一組數(shù)據(jù)統(tǒng)計有誤.(1)請指出哪組數(shù)據(jù)有誤,并說明理由;(2)在解除有誤數(shù)據(jù)后,求月用電量與月份之間的閱歷回來方程=x+,并預料統(tǒng)計有誤那個月份的用電量.(結(jié)果精確到0.1)【解析】(1)作散點圖如圖所示.因為用電量與月份之間線性相關,所以散點圖的樣本點分布在閱歷回來直線旁邊比較窄的帶狀區(qū)域內(nèi),而點(7,55)離其他點所在區(qū)域較遠,故(7,55)這組數(shù)據(jù)有誤.(2)解除(7,55)這一組有誤數(shù)據(jù)后,計算得QUOTE=6.4,QUOTE=30.2.因為=QUOTE≈9.98,=QUOTE-QUOTE≈-33.67,所以閱歷回來方程為=9.98x-33.67,當x=7時,≈36.2,即7月份的用電量大約為36.2千瓦時.類型二線性檢驗回來分析【典例】某運動員訓練次數(shù)與訓練成果之間的數(shù)據(jù)關系如表:次數(shù)(x)3033353739444650成果(Y)3034373942464851(1)作出散點圖;(2)求出閱歷回來方程;(3)作出殘差圖;(4)計算R2,并說明運動員的訓練次數(shù)對成果的影響占百分之幾.【思維·引】依據(jù)題意先作散點圖再求閱歷回來方程、殘差及R2.【解析】(1)作出該運動員訓練次數(shù)x與成果Y的散點圖,如圖所示.由散點圖可知,它們之間具有相關關系.(2)QUOTE=39.25,QUOTE=40.875,QUOTE=12656,QUOTExiyi=13180,所以=QUOTE≈1.0415,=QUOTE-QUOTE=-0.003875,所以閱歷回來方程為=1.0415x-0.003875.(3)殘差分析:下面的表格列出了運動員訓練次數(shù)和成果的原始數(shù)據(jù)以及相應的殘差數(shù)據(jù).xY3030-1.24113334-0.365635370.551437390.468439421.385444460.177946480.09495051-1.0711作殘差圖如圖所示.由圖可知,殘差點比較勻稱地分布在水平帶狀區(qū)域內(nèi),說明選擇的模型比較合適.(4)計算R2≈0.9855,說明白該運動員的訓練次數(shù)對成果的影響占98.55%.【類題·通】“R2、殘差圖”在回來分析中的作用(1)R2是用來刻畫回來效果的,由R2=1-可知R2越大,意味著殘差平方和越小,也就是說模型的擬合效果就越好.(2)殘差圖也是用來刻畫回來效果的,推斷依據(jù)是:殘差點比較勻稱地分布在水平帶狀區(qū)域中,帶狀區(qū)域越窄,說明模型擬合精度越高,回來方程預報精度越高.【習練·破】為探討質(zhì)量x(單位:g)對彈簧長度Y(單位:cm)的影響,對不同質(zhì)量的6個物體進行測量,數(shù)據(jù)如表所示:x51015202530Y7.258.128.959.9010.911.8(1)作出散點圖并求閱歷回來方程;(2)求出R2并說明回來模型擬合的程度;(3)進行殘差分析.【解析】(1)散點圖如圖.QUOTE=QUOTE×(5+10+15+20+25+30)=17.5,QUOTE=QUOTE×(7.25+8.12+8.95+9.90+10.9+11.8)≈9.487,計算得≈0.183,≈6.285.故所求閱歷回來方程為=6.285+0.183x.(2)列出殘差表為yi-i0.050.005-0.08-0.0450.040.025yi-QUOTE-2.237-1.367-0.5370.4131.4132.313所以QUOTE(yi-i)2≈0.01318,QUOTE(yi-QUOTE)2=14.6783.所以,R2=1-QUOTE≈0.9991,回來模型的擬合效果較好.(3)由殘差表中的數(shù)值可以看出第3個樣本點的殘差比較大,須要確認在采集這個樣本點的時候是否有人為的錯誤,假如有的話,須要訂正,重新建立回來模型;由表中數(shù)據(jù)可以看出殘差點比較勻稱地落在狹窄的水平帶狀區(qū)域中,說明選用的線性回來模型的精度較高,由以上分析可知,彈簧長度與所掛物體的質(zhì)量成線性關系.類型三非線性閱歷回來問題【典例】為了探討某種細菌隨時間x的改變繁殖個數(shù)Y的改變,收集數(shù)據(jù)如下:時間x/天123456繁殖個數(shù)Y612254995190(1)將天數(shù)做說明變量,繁殖個數(shù)做響應變量,作出這些數(shù)據(jù)的散點圖;(2)描述說明變量與響應變量之間的關系.【思維·引】先由散點圖確定相應的函數(shù)模型,再通過對數(shù)變換將非線性相關轉(zhuǎn)化為線性相關的兩個變量來求解.【解析】(1)由表中數(shù)據(jù)作散點圖如圖所示.(2)由散點圖看出樣本點分布在一條指數(shù)函數(shù)y=c1QUOTE的圖象的四周,其中c1和c2是待定系數(shù).于是令Z=lnY,則=x+(=lnc1,=c2),因此變換后的樣本點應當分布在直線=x+的四周,因此可以用閱歷回來模型來擬合Z與x的關系,則變換后的樣本數(shù)據(jù)如表:x123456Z1.792.483.223.894.555.25由表中數(shù)據(jù)得到閱歷回來方程=0.69x+1.115.因此細菌繁殖個數(shù)關于時間的非線性閱歷回來方程為=e0.69x+1.115.【內(nèi)化·悟】將非線性相關問題轉(zhuǎn)化為線性相關問題的依據(jù)是什么?提示:依據(jù)散點圖確定.【類題·通】1.非線性閱歷回來問題的解題步驟2.常見轉(zhuǎn)化類型(1)反比例函數(shù)y=a+QUOTE可作變換t=QUOTE,得y=a+bt.(2)冪函數(shù)型y=axb(a>0)可作變換Y=lny,m=lna,t=lnx,則有Y=m+bt.(3)指數(shù)型函數(shù)y=kabx(a>0且a≠1,k>0)可作變換Y=lny,m=lnk,則有:Y=m+(blna)x.【習練·破】某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣揚費,需了解年宣揚費x(單位:千元)對年銷售量Y(單位:t)和年利潤z(單位:千元)的影響.對近8年的年宣揚費xi和年銷售量yi(i=1,2,…,8)數(shù)據(jù)作了初步處理,得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值.QUOTE(xi-QUOTE)2QUOTE(wi-QUOTE)2QUOTE(xi-QUOTE)(yi-QUOTE)QUOTE(wi-QUOTE)(yi-QUOTE)46.65636.8289.81.61469108.8表中wi=QUOTE,QUOTE=QUOTEwi.(1)依據(jù)散點圖推斷,y=a+bx與y=c+dQUOTE哪一個相宜作為年銷售量Y關于年宣揚費x的回來方程類型?(給出推斷即可,不必說明理由)(2)依據(jù)(1)的推斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù),建立y關于x的回來方程;(3)已知這種產(chǎn)品的年利潤z與x,y的關系為z=0.2y-x.依據(jù)(2)的結(jié)果回答下列問題:①年宣揚費x=49時,年銷售量及年利潤的預報值是多少?②年宣揚費x為何值時,年利潤的預報值最大?附:對于一組數(shù)據(jù)(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其回來直線=+u的斜率和截距的最小二乘估計分別為=QUOTE,=QUOTE-QUOTE.【解析】(1)由散點圖可以推斷,y=c+dQUOTE相宜作為年銷售量Y關于年宣揚費x的回來方程類型.(2)令w=QUOTE,先建立Y關于w的閱歷回來方程.由于=QUOTE=QUOTE=68,=QUOTE-QUOTE=563-68×6.8=100.6,所以Y關于w的閱歷回來方程為=100.6+68w,因此Y關于x的閱歷回來方程為=100.6+68QUOTE.(3)①由(2)知,當x=49時,年銷售量Y的預報值=100.6+68QUOTE=576.6,年利潤z的預報值=576.6×0.2-49=66.32.②依據(jù)(2)的結(jié)果知,年利潤z的預報值=0.2(100.6+68QUOTE)-x=-x+13.6QUOTE+20.12.所以當QUOTE=QUOTE=6.8,即x=46.24時,取得最大值.故年宣揚費為46.24千元時,年利潤的預報值最大.【加練·固】如表是某年美國舊轎車價格的調(diào)查資料.運用年數(shù)12345678910平均價格(美元)2651194314941087765538484290226204視察表中的數(shù)據(jù),試問平均價格與運用年數(shù)間存在什么樣的關系?【解析】設x表示轎車的運用年數(shù),Y表示相應的平均價格,作出散點圖.由散點圖可以看出Y與x具有指數(shù)關系,令Z=lnY,變換得x12345678910Z7.8837.5727.3096.9916.6406.2886.1825.6705.4215.318作出散點圖:由圖可知各點基本上處于始終線旁邊,由表中數(shù)據(jù)可求出閱歷回來方程:=8.166-0.298x.因為舊車的平均價格與運用年數(shù)具有指數(shù)關系,所以其非線性閱歷回來方程為=e8.166-0.298x.課堂檢測·素養(yǎng)達標1.關于回來分析,下列說法錯誤的是()A.回來分析是探討兩個具有相關關系的變量的方法B.散點圖中,說明變量在x軸,響應變量在y軸C.回來模型中肯定存在隨機誤差D.散點圖能明確反映變量間的關系【解析】選D.用散點圖反映兩個變量間的關系時,存在