上海市九年級上學期數學期中模擬試卷（測試范圍：相似三角形、銳角的三角比）

2024-2025學年九年級上學期數學期中模擬試卷滿分：150 測試范圍：相似三角形、銳角的三角一、選擇題:(本大題共6題，每題4分，共24分下列兩個圖形一定相似的是 兩個菱 B．兩個周長相等的直角三角C．兩個正方 D．兩個等腰梯x:y21，那么2xyx等于（3: B．3 C．2

3，則α等于 A． B． C． D．下列說法中，正確的是 反向量，那么ab0B．如果a和ba 如果a和b ab，那么a

如果a2b（b為非零向量，那么aDEABACDEBC的條件是（AD:ABDE:C．AD:DBAE:

AD:DBDE:D．AE:ACAD:如圖，在VABC中，D、EAB、ACDEBCAEEC23S△ADE:S△BEC（4: B．4 C．4: 二、填空題:(本大題共12題，每題4分，共48分 km已知線段a3厘米，c12厘米，如果線段b是線段a和c的比例中項，那么b 厘米在VABC中，C90，AC2，BC3，則∠A的余切值為 已知點P是線段AB的一個黃金分割點，且APBP，那么AP:AB的比值 一段公路的坡度為1∶3，某人沿這段公路路面前進100米，他上升的最大高度 Rt△ABC中，C90,AC4,BC6，則VABC的內接正方形CFDE的邊長 在正方形網格中，VABC的位置如圖所示，則cosB的值 ABCD中，EAC上一點，設–––→

，若AE2EC， （結果用含ab的式子表示如圖，AB∥CD∥EF，它們依次交直線l1、l2于點A、C、E和點B、D、F，l1與l2相交于點O，如果AC2，OC1，OF3，BE8，那么DE的長為 清朝《數理精蘊》里有一首小詩《古色古香方城池：今有一座古方城，四面正中都開門，南門直行八里止，腳下有座塔聳立．又出西門二里停，切城角恰見塔形，請問諸君能算者，方城每邊長是幾？如圖所示，詩的意思是：有正方形的城池一座，四面城墻的正中有門，從南門口（點D）直行8里有一塔（點A，自西門（點E）直行2里至點B，切城角（點C）也可以看見塔，問這座方城每面城墻的長是 1所示安裝，支點AC分別固定在門框和門板上，門寬OD52cmAB18cmBC24cm，閉門器工作時，搖臂、連桿和OC2sinB

5，則AC的長 cm．如圖3，門板繞點O旋轉，當DB=90°時，點D到門框的距DK48cm，則OC的長

π

1

4sinabc且abc27，求a、b、c 已知l1∥l2∥l3AM3BM2BC4DF15DM,ED,EF某中學開展綜合與實踐活動，小宇所在的小組負責測量該校附近的ft坡的護坡石壩壩頂AB之間的距離AB5AC1米處(CD1米）DE0.78米，小組其他同學測得石壩與地面的傾斜角ABF67．請你根據以上信息，求出石壩壩頂AB之間的距離AB（sin670.92，cos670.39tan672.36)ABCDADBCEF分別是????BC的中點，????EF交于點GO為OFDCOE

設BAa，DCb，如果DE:BF1:3，那么FO ，EG ．(用向量a、b表示如圖，過VABCCABADF、EDDMFCAB若SAEFS四邊形MDEF23AEEDAEFB2AFED如圖，RtABCC90AC2BC4，PAB 當CACPAPCP平分∠ACBPBCPPQBC，PQCBQAPxBQyyx2024-202501滿分：150分 測試范圍：相似三角形、銳角的三角比一、選擇題:(本大題共6題，每題4分，共24分)下列兩個圖形一定相似的是（ ）A．兩個菱形 B．兩個周長相等的直角三角形【答案】C【知識點】相似多邊形用排除法求解．【答案】C【知識點】相似多邊形用排除法求解．【詳解】A.兩個菱形，對應邊成比例，對應角不一定成相等，故不符合題意；兩個周長相等的直角三角形，只有一個直角相同，銳角不一定相等，故不符合題意；兩個正方形，形狀相同，大小不一定相同，符合相似性定義，故符合題意；.C.【點睛】此題主要考查了相似多邊形的識別．理解相似多邊形的判斷依據是解題的關鍵．2x:y21，那么2xy:x等于（）A．3:2 B．3:1 C．2:1 D．2:3【答案】【答案】A【知識點】比例的性質x2k,yk，代入2xy:x即可求解．x2kyk，2xy:x4kk:2k3:2,故選：A．αcosα20

3，則α等于（ ）2【答案】B【知識點】根據特殊角三角函數值求角的度數A．30 B．50 C．60 D．80【答案】B【知識點】根據特殊角三角函數值求角的度數【分析】本題考查了特殊角的三角函數值的知識，解題的關鍵是熟記特殊角的三角函數值．【分析】本題考查了特殊角的三角函數值的知識，解題的關鍵是熟記特殊角的三角函數值．根據特殊角的三角函數值直接求解．【詳解】解：∵已知α為銳角，cosα20∴α2030，∴α50．3，2故選：B．下列說法中，正確的是（ ）→ → → → → →如果a和b是相反向量，那么ab0B．如果a和bab→ → → →

→ → → → →C．如果a=b，那么ab D．如果ab（b為非零向量，那么a∥b【答案】【答案】D【分析】根據向量的定義與性質，逐一對選項判斷即可．0，故本選項不符合題意；B、平行向量為方向相同或相反，模不一定相等，故本選項不符合題意；D、兩個向量方向相同，所以是平行向量，故本選項符合題意；答案：D．【點睛】本題考查了平面向量的定義與性質，熟練掌握平面向量的定義與性質是解本題的關鍵．DEABACDEBC的條件是（）AD:ABDE:BCC．AD:DBAE:ECAD:DBDE:BCD．AE:ACAD:DB【答案】【答案】C【知識點】由平行判斷成比例的線段的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊．【詳解】解：設DEBC，::::，選項選項A、B、D、不符合平行線分段成比例定理．（或兩邊的延長線）所得的對應線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊．∵AD:DBAE:EC，DEBC．故選：C．【點睛】此題主要考查平行線分線段成比例，解答此題的關鍵的是明確哪些對應線段成比例．學生初學，容易出錯．如圖，在VABC中，D、EAB、ACDEBCAE:EC23，那么S△ADE:S△BEC（）A．4:9 B．4:15 C．4:21 D．4:25【答案】【答案】B【知識點】相似三角形的判定與性質綜合、利用相似三角形的性質求解鍵．根據相似三角形的判定定理得到△ADE∽△ABC，根據相似三角形的性質計算即可．【詳解】解：∵DEBC，∴△ADE∽△ABC，AC BC ABAE:EC2:3，AE:ACAE:AECE2:5∴AEDEAD，ADESAE2 4SABCAC 25，ADADBD AB AC 5ADAE2，AD2，BD 3SADE2 AD2，1ADhSBDE1BDhBD 32設SADE為4x，則SABC為25x，S△BDE為6x，S△ADES△ADE4xS△BEC S△ABCS△ADES△BDE25x4x6x 15x 154x4，∴S△ADE:S△BEC4:15，故選：B．二、填空題:(本大題共12題，每題4分，共48分)【答案】48°或72°【分析】根據相似三角形的性質解答即可．【詳解】∵ABC與DEF相似，且，∠B≠∠A≠∠F，∴∠E＝∠B或∠E＝【答案】48°或72°【分析】根據相似三角形的性質解答即可．【詳解】∵ABC與DEF相似，且，∠B≠∠A≠∠F，∴∠E＝∠B或∠E＝∠A，∵∠B＝48°，∠A＝72°72°，故答案為：48°或72°．【點睛】本題考查相似三角形的性質，對應角相等是關鍵．在比例尺為2000000的地圖上，量得線段??兩地距離是12m，則??兩地實際距離為 km．【答案】【答案】240【知識點】成比例線段即可得出答案．【詳解】解：設實際距離為xcm，由題意得：12x 20000001，解得x24000000，經檢驗，x24000000是分式方程的解，24000000cm240km,故答案為：240．【答案】6【分析】本題考查了比例線段，根據比例中項的定義得到abbc，然后利用比例性質計算即可，解題的關鍵是理解四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比（即它們的長度比）與另兩條線段的比相等，ab【答案】6【分析】本題考查了比例線段，根據比例中項的定義得到abbc，然后利用比例性質計算即可，解題的關鍵是理解四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比（即它們的長度比）與另兩條線段的比相等，abcd，我們就說這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段，當abbc時，線段b是線段a和c的比例中項．【詳解】∵線段b是線段a和c的比例中項，abbc，即b2ac312，∴b6cm，在VABC中，C90，AC2，BC3，則∠A的余切值為 ．22【答案】3【知識點】解直角三角形的相關計算的定義是解題的關鍵．【詳解】解：在VABCC90AC2BC3，BC 3故答案為：．23【答案】512根據黃金分割的定義即可得出答案．【詳解】解：PABAPBP，【答案】512根據黃金分割的定義即可得出答案．【詳解】解：PABAPBP，AP51AB，2AP 51，AB 2故答案為：51．2一段公路的坡度為1∶3，某人沿這段公路路面前進100米，他上升的最大高度為 ．【答案】【答案】1010米．的鉛直高度，即此人上升的最大高度．【詳解】解：如圖．Rt??ABC中，tanA=1，AB=100米．3x2+（3x）2=1002，x=1010（負值舍去．故答案為：1010米．【點睛】此題主要考查學生對坡度坡角的掌握及勾股定理、三角函數的運用能力．12【答案】5【知識點】相似三角形的判定與性質綜合、根據正方形的性質求線段長【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質以及正方形的性質．根據正方形的性質可得出DEAC、EFBC，進而可得出△ADF∽△DBE，設正方形CFDEa，則AF4aBE12【答案】5【知識點】相似三角形的判定與性質綜合、根據正方形的性質求線段長【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質以及正方形的性質．根據正方形的性質可得出DEAC、EFBC，進而可得出△ADF∽△DBE，設正方形CFDEa，則AF4aBE6aa的方程，解之即可得出結論．【詳解】解：如圖，DEAC、EFBC，ABDE,BEDCAFD90，DEBE，AF DF設正方形CFDEa，AC4,BC6，AF4a,BE6a，a4a a6a，即10a24，a12，5故答案為： ．125在正方形網格中，VABC的位置如圖所示，則cosB的值為 【答案】【答案】22【知識點】勾股定理與網格問題、求角的余弦值【分析】本題主要考查余弦函數的定義和勾股定理，構建直角三角形是解題的關鍵．AD⊥BCDADBD5AB，再由余弦函數的定義求解即可．AD⊥BCD，∴AB= AD2+BD2= 52+52=52，∴cosDB=BD=AB5= 2．52 215 ABCD中，EAC上一點，設–––→→，

–––→，若AE2EC，則 ． AC → →

BE b DC （結果用含ab的式子表示．【答案】【答案】2→3ab→【知識點】向量的線性運算AE2AC，3–––→ABAEEB．【詳解】解：四邊形ABCD是平行四邊形，DC∥AB，DCAB．EACAE2EC，AE2AC，3ABAEEBAEBEab，2→→3DC–––→2→→3ab，故答案為：ab．32→→如圖，AB∥CD∥EF，它們依次交直線l1、l2于點A、C、E和點B、D、F，l1與l2相交于點O，如果AC2，OC1，OF3，BE8，那么DE的長為 ．1616【答案】3【知識點】由平行截線求相關線段的長或比值ABEFBOOE4，再利用CD∥EF，可得OD4，結合線段的和差，從而可得答案．3【詳解】解：∵ABEF，∴AOBO，OF OE∵∵AC2，OC1，OF3，∴OE 3∴BOOE4，∵CD∥EF，OF OE 3 4∴OD4，3∴DEODOE4416；3 3故答案為： ．163清朝《數理精蘊》里有一首小詩《古色古香方城池：今有一座古方城，四面正中都開門，南門直行八里止，腳下有座塔聳立．又出西門二里停，切城角恰見塔形，請問諸君能算者，方城每邊長是幾？如圖所示，詩的意思是：有正方形的城池一座，四面城墻的正中有門，從南門口（點D）直行8里有一塔（點A，自西門（點E）直行2里至點B，切城角（點C）也可以看見塔，問這座方城每面城墻的長是 里．【答案】8【答案】8【分析】本題考查了相似三角形的應用，正方形的性質，設這座方城每面城墻的長為x里，根據題意得到BECDBECADC90，證明△CEB∽△ADC，根據相似三角形的性質即可得到結論．【詳解】解：設這座方城每面城墻的長為x里，BECDBECADC∠DCE90CECD1xBE2AD8里，2BACD，△CEB∽△ADC，BECE，即221xCD AD1x8，2x8，故答案為：8．1所示安裝，支點AC分別固定在門框和門板上，門寬OD52cm，搖臂AB18cmBC24cm，閉門器工作時，搖臂、連桿和OC2，當門閉合時，

5，則AC的長為 cm．如圖3，門板繞點O旋轉，當DB=90°時，點D到門框的距離3DK48cm，則OC的長為 cm．【答案】【答案】188【知識點】其他問題（解直角三角形的應用）鍵．過AAEBCEAE、CEAC，作CFAKFE為C的對應點，設OC13x，分別表示出CF、OF、OEAF，用勾股定理即可求解．【詳解】解：過A作AEBCE為垂足，sinB5，3AE 5，AB 3AE 5，18 3AE65，BE AB2AE218265212，CEBCBE241212，ACCE2AE212265218．故答案：18．AC，作CFAKFE為C的對應點，CF∥DK，∴OCF∽ODK，OCCF，OD DKOCCF，52 48OC13，CF 12設OC13x，則CF12x，OFOC2CF213x212x25x，1AE18cmOEOC13x，AFOFOEAE5x13x181818x，又又AC AB2BC218224230，CF2AF2AC2，12x21818x2302整理得：13x218x160，x8x2（舍去，1132OC1388cm．138．三、解答題8計算：8

π3.14

0 22

4sin45．【答案】【答案】3案．【詳解】8π3.14 4sin450 12 2＝221422＝3．運算法則和特殊角的三角函數值是解題的關鍵．abc且abc27，求a、b、c的值【答案】a6【答案】a6b9c12．【知識點】比例的性質abck，則a2kb3kc4kkk的值即可2 3 4解答．abck，2 3 4∴a2k，b3k，c4k．∵∵abc27，27，∴a6，b9，c12．量用所設的未知數表示出來，實現(xiàn)消元．21．已知l1∥l2∥l3AM3BM2BC4DF15DM,ED,EF．DM5,ED25,EF2033【知識點】由平行截線求相關線段的長或比值【分析】本題考查了平行線分線段成比例定理；由平行線分線段成比例定理得出AMAC DF ME MB , DMDMAM是解決問題的關鍵．由平行線分線段成比例定理得出AMAC DF ME MB , DMDMAM，即可得出結論．【詳解】解：l1∥l2∥l3，AMDM,DMAM，AC DF ME MBBC4,DF15，3324 15 ME 2DM,DM3，5,ME103DEDMME25,EFDFDE20．3DM5,ED25,EF20．333某中學開展綜合與實踐活動，小宇所在的小組負責測量該校附近的山坡的護坡石壩壩頂AB之間的距離AB5AC1米處(CD1米）DE0.78米，小組其他同學測得石壩與地面的傾斜角ABF67．請你根據以上信息，求出石壩壩頂AB之間的距離(AB)（sin670.92，cos670.39tan672.36)【答案】【答案】4.2米【分析】本題考查的是解直角三角形的應用坡度坡角問題，熟記銳角三角函數的定義是解題的關鍵．過點AAGFC于GAGAB．【詳解】解：如圖，過點AAGFC于G，DEAG，DECD，AG ACDE0.78CD1AC5米，0.781，AG 5AG3.9，在Rt△ABGABG67，sinABGAG，ABABAGsinABG 0.923.94.2（米，答：石壩壩頂AB4.2米．ABCDADBCEF分別是????BC的中點，????EF交于點GO為????OFDC．OE的值；AB

→

–––→

–––→ → →【答案】(1)OE1AB 2(2)b，1→1 →→2 8ba【分析】本題主要考查三角形的中位線定理、相似三角形的判定與性質、平面向量；（1）由三角形中位線定理易得OF為BCD的中位線，進而可得OE為【答案】(1)OE1AB 2(2)b，1→1 →→2 8ba【分析】本題主要考查三角形的中位線定理、相似三角形的判定與性質、平面向量；（1）由三角形中位線定理易得OF為BCD的中位線，進而可得OE為ABDOE1；AB 2（2）FO1––→–––→2CDb,OE BA1→222aFEFOOE1→2 ab→，證DEG∽BFGEGDE1EG1FE，以此即可得到答案．FG BF 34（1）解：OF∥????FBC的中點，OF為BCD的中位線，點O為????的中點，又E為????的中點，OE為ABD的中位線，OE∥????OE1ABOE12AB 2（2）解：––→BAa DCb→，F(xiàn)O CDb,OE BA a，1––→1→2222FEFOOE ab–––→1→→2 ，AD∥BC，EGDE1EG1FG，F(xiàn)G BF 3EG1EF，43EG FE ba–––→→1 →48 ，故答案為： ，b1→1 →2 8 ba→．如圖，過VABCCABADF、EDDMFCABM．若SAEFS四邊形MDEF23AEED的值；【答案】(1)1023(2)見解析【分析】本題考查三角形相似的額判定與性質．（1）DM【答案】(1)1023(2)見解析【分析】本題考查三角形相似的額判定與性質．（1）DMFC，證明AEF∽ADM，得到AE2ADAEF，由SAEFS四邊形MDEF23，得到SSADMSAEFSADM25，進而得到AE2 SADAEFAE25，求出AEAE10AD AEED 5，即可求解；（2）由（1）知AEF∽ADM，得到AEDE AFMFAFAEAFDMFC，證明DE MFCF BF BC 2（1）解：DMFC，AEF∽ADM，BDM∽BCFDMBMBD1BF2BM2MF，即可證明結論．AE2 SADAEF，SADMSAEFS四邊形MDEF23，S△AEF:SADM2:5，AE2 SADAEFSADM2，5AEA