專題06利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行不等式恒成立證明-2020-2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)知識題型全歸納（人教A版選修2-2）

導(dǎo)數(shù)章節(jié)知識題型全歸納專題06利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行不等式恒成立證明例：1．已知函數(shù)（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)，若對任意，恒有，求a的取值范圍.【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）.【分析】（1）借助題設(shè)條件運(yùn)用導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性的關(guān)系分類求解；（2）借助題設(shè)條件構(gòu)造函數(shù)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的知識推證.【詳解】解：（1）當(dāng)時，由已知得，所以，令得，即時，；時，；故單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2），由得，所以在單調(diào)遞減，設(shè)從而對任意，恒有，即，令，則等價于在單調(diào)遞減，即恒成立，從而恒成立，故設(shè)，則，當(dāng)時，為減函數(shù)，時，，為增函數(shù).∴,∴a的取值范圍為.【點(diǎn)晴】方法點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性和極值最值問題的重要而有效的工具．本題就是以含參數(shù)的函數(shù)解析式為背景，考查的是導(dǎo)數(shù)知識在研究函數(shù)單調(diào)性和極值等方面的綜合運(yùn)用和分析問題解決問題的能力．本題的第一問求解時借助導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，運(yùn)用分類整合的數(shù)學(xué)思想分類求出其單調(diào)區(qū)間和單調(diào)性；第二問的求解中則先構(gòu)造函數(shù)，然后再對函數(shù)求導(dǎo)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的知識研究函數(shù)的單調(diào)性，然后運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性，從而使得問題簡捷巧妙獲證．2．已知函數(shù)，.（1）設(shè)時，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）證明：當(dāng)時，.【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）由切點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線斜率，并由函數(shù)解析式求切點(diǎn)坐標(biāo)，寫出切線方程即可.（2）由題設(shè)得當(dāng)時，；設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，即可證結(jié)論.【詳解】解：（1）當(dāng)時，，，，，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為.（2）當(dāng)時，，設(shè)，，設(shè)，知其在上單調(diào)遞增，且，當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，即.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切點(diǎn)處的切線方程.（2）利用導(dǎo)數(shù)研究在不同區(qū)間的單調(diào)性，其中注意構(gòu)造中間函數(shù)研究單調(diào)性及其最小值，進(jìn)而確定.3．已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）求證：當(dāng)時，.【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）求得，由，結(jié)合，得到或，分類討論結(jié)合導(dǎo)數(shù)的符號，即可求解；（2）由（1）知當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，根據(jù)，轉(zhuǎn)化為在上恒成立，再結(jié)合，轉(zhuǎn)化為，設(shè)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解.【詳解】（1）由題意，函數(shù)，可得其定義域為，且.令，即，由，解得或①若，則，所以在上單調(diào)遞增，②若，此時，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增.③若，此時，方程的兩根為，且，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增.綜上所述；若，在上單調(diào)遞增﹔若，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）由（1）可知當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即在上恒成立，所以在上恒成立，下面證，即證，設(shè)，可得，設(shè)，可得在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，即當(dāng)時，.【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題：（1）直接構(gòu)造法：證明不等式轉(zhuǎn)化為證明，進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)；（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).變式1．已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）對任意，求證：．【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析．【分析】（1）求導(dǎo)，分和，分別令，求解；（2）將不等式，轉(zhuǎn)化為，令，用導(dǎo)數(shù)法證明即可．【詳解】解：（1）由題意得的定義域是，，當(dāng)時，恒成立，在單調(diào)遞增，當(dāng)時，令，解得，令，解得：，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；綜上：當(dāng)時，在單調(diào)遞增，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）證明：要證，即證，令，則，令，則，由在單調(diào)遞增，且，，存在唯一的實(shí)數(shù)，使得，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，綜上，，即．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，常構(gòu)造函數(shù)φ(x)，將不等式轉(zhuǎn)化為φ(x)＞0(或＜0)的形式，然后研究φ(x)的單調(diào)性、最值，判定φ(x)與0的關(guān)系，從而證明不等式．2．已知，函數(shù)（1）若，求的取值范圍；（2）記（其中）為在上的兩個零點(diǎn)，證明：．【答案】（1）；（2）證明見解析．【分析】（1）求導(dǎo)，對參數(shù)分類討論，根據(jù)單調(diào)區(qū)間，使最小值大于等于0，即可求得參數(shù)范圍.（2）先由函數(shù)有2個零點(diǎn)求出參數(shù)范圍及兩個零點(diǎn)的區(qū)間范圍，然后構(gòu)造新函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式，對于，方法一利用放縮法證明，方法二找到與的關(guān)系，利用不等式的傳遞性證得.【詳解】（1）解析：（ⅰ）當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，又符合條件，（ⅱ）當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，（ⅲ）當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，不符合條件，綜上可得：（2）令，則．記，由于，故在及上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．且當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，，當(dāng)時，．根據(jù)題意及圖像可知：．解法一：先證：令，，當(dāng)時，，單增，即，則；再證：只須證：只須證：即證：，令，，則，，單增，，，單減，則，即只須證：又解法二：先證：，證明同解法一；再證：．由于，故，化簡得：，所以，即．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)區(qū)間，從而求得最值問題，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，在證明不等式過程中借助放縮法，基本不等式性質(zhì)進(jìn)行證明.3．已知函數(shù)．（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（Ⅱ）證明：當(dāng)時，；（Ⅲ）確定實(shí)數(shù)的所有可能取值，使得存在，當(dāng)時，恒有．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）．【解析】試題分析：（1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)大于0，解出即可；（2）構(gòu)造函數(shù)F（x）=f（x）x+1，先求出函F（x）的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可；（3）通過討論k的范圍，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求解即可試題解析：（1）得.得，解得故的單調(diào)遞增區(qū)間是（2）令,則有當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時，，即當(dāng)時，（3）由（Ⅱ）知，當(dāng)時，不存在滿足題意．當(dāng)時，對于，有則從而不存在滿足題意．當(dāng)時，令，由得，．解得當(dāng)時，，故在內(nèi)單調(diào)遞增．從而當(dāng)，即綜上嗎，k的取值范圍是考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用6.1與ex和lnx例：1．已知函數(shù)．（Ⅰ）設(shè)是函數(shù)的極值點(diǎn)，求的值并討論的單調(diào)性；（Ⅱ）當(dāng)時，證明：．【解析】解：（Ⅰ），是函數(shù)的極值點(diǎn)，即，所以．（2分）于是函數(shù)，，由，可得，因此，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（6分）（Ⅱ）當(dāng)時，對于任意，恒成立，又，恒成立，，即，．即．2．已知函數(shù)．（Ⅰ）設(shè)是函數(shù)的極值點(diǎn)，求的值并討論的單調(diào)性；（Ⅱ）當(dāng)時，證明：．【解析】解：（Ⅰ），，，是函數(shù)的極值點(diǎn)，（1），解得．，定義域為，，，是的唯一零點(diǎn)，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增．（Ⅱ）證明：當(dāng)，時，，又，．取函數(shù)，，，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，得函數(shù)在時取唯一的極小值即最小值為（1）．，而上式三個不等號不能同時成立，故．3．已知函數(shù)．（Ⅰ）設(shè)是函數(shù)的極值點(diǎn)，求的值并討論的單調(diào)性；（Ⅱ）當(dāng)時，證明：．【解析】（Ⅰ）解：，，由是函數(shù)的極值點(diǎn)得（1），即，．于是，，由知在上單調(diào)遞增，且（1），是的唯一零點(diǎn)．因此，當(dāng)時，，遞減；時，，遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（Ⅱ）證明：當(dāng)，時，，又，．取函數(shù)，，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，得函數(shù)在時取唯一的極小值即最小值為（1）．，而上式三個不等號不能同時成立，故．6.2數(shù)列型不等式證明：例：1.已知函數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù)）．（1）求函數(shù)的最小值；（2）若，證明：．【解析】解：（1），，令，得．當(dāng)時，，當(dāng)時，．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．當(dāng)時，有最小值1．（2）證明：由（1）知，對任意實(shí)數(shù)均有，即．令，，2，，則，．即．，．，．2.已知函數(shù)，其中為實(shí)常數(shù)．（1）若函數(shù)定義域內(nèi)恒成立，求的取值范圍；（2）證明：當(dāng)時，；（3）求證：．【解析】解：（1）由題意則即在，上單調(diào)遞增，，，；（2）即證，，，設(shè)，在，上單調(diào)遞減，，，，；（3）利用，，，令，得：，，，，累加得：，當(dāng)時，；變式：1已知函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若在上恒成立，求的取值范圍；（3）求證：【解析】解：（1）因為函數(shù)，其定義域為所以即當(dāng)時，增區(qū)間為；當(dāng)時，減區(qū)間為，增區(qū)間為，（2）當(dāng)時，函數(shù)增區(qū)間為，此時不滿足在上恒成立；當(dāng)時，函數(shù)減區(qū)間為，增區(qū)間為，，要使在上恒成立，只需即可，即，令（a）則（a），解得，因此（a）在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，（a）取最大值0，故在上恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時成立，即；（3）由（2）知，令時，令，則綜上成立．2.已知函數(shù)，其中．（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，證明：；（3）求證：對任意的且，都有：．（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）．【解析】解：（1）函數(shù)的定義域為，，①當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，②當(dāng)時，令，解得．當(dāng)時，，所以，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，所以，所以在上單調(diào)遞增．綜上，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）當(dāng)時，，要證明，即證，即．即．設(shè)則，令得，．當(dāng)時，，當(dāng)時，．所以為極大值點(diǎn)，也為最大值點(diǎn)所以（1），即．故．（3）證明：由（2），（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）令，則，所以，即，所以6.3洛必達(dá)法則方法介紹：例：1.若不等式對于恒成立，則的取值范圍是.法一：設(shè)，問題轉(zhuǎn)化為對于恒成立，因為，所以當(dāng)，則，因此在上遞減，所以，得，矛盾，舍；當(dāng)，，因此在上遞增，所以，恒成立，所以；當(dāng)，，使，又在遞增，所以，當(dāng)時，，因此在遞減，所以當(dāng)時，，矛盾，舍。綜上，的取值范圍是。法二：應(yīng)用洛必達(dá)法則和導(dǎo)數(shù)當(dāng)時，原不等式等價于.記，則.且時，，所以.因此在上單調(diào)遞減..所以.法三：作圖。2.已知函數(shù).（1）若在時有極值，求函數(shù)的解析式；（2）當(dāng)時，，求的取值范圍.解：（1）因為，所以由在處取極值，得，求得，所以.（2）應(yīng)用洛必達(dá)法則和導(dǎo)數(shù)當(dāng)時，，即.①當(dāng)時，；②當(dāng)時，等價于，也即.記，，則.記，，則，因此在上單調(diào)遞增，且，所以；從而在上單調(diào)遞增，所以.由洛必達(dá)法則有：，即當(dāng)時，，所以，即有.綜上所述，當(dāng)，時，成立.通過本題的分析，我們不難發(fā)現(xiàn)應(yīng)用洛必達(dá)法則解決的試題應(yīng)滿足：（1）可以分離變量；（2）用導(dǎo)數(shù)可以確定分離變量后一端新函數(shù)的單調(diào)性；（3）出現(xiàn)“”型式子.變式：1.已知函數(shù)在處取得極值，且曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直.(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)若，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】解：(1),；函數(shù)在處取得極值，；又曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，；解得：；（2）不等式恒成立可化為，即；當(dāng)時，恒成立；當(dāng)時，恒成立，令，則；令，則；令，則；得在是減函數(shù)，故，進(jìn)而（或，，得在是減函數(shù)，進(jìn)而）．可得：，故，所以在是減函數(shù)，而要大于等于在上的最大值，但當(dāng)時，沒有意義，變量分離失效，我們可以由洛必達(dá)法得到答案，，故答案為．用洛必達(dá)法則得到了正確答案．2.設(shè)函數(shù)=；（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若當(dāng)時，求a的取值范圍.【答案】解：（1）易得，.（2）方法一：分類討論、假設(shè)反證法由（1）知，所以.考慮函數(shù)，則.(i)當(dāng)時，由知，當(dāng)時，.因為，所以當(dāng)時，，可得；當(dāng)時，，可得，從而當(dāng)且時，，即；（ii）當(dāng)時，由于當(dāng)時，，故，而，故當(dāng)時，，可得，與題設(shè)矛盾.6.4拉格朗日中值定理方法介紹：例：1.已知函數(shù)（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）證明:若,則對任意,,有【解析】：（1）,,取決于分子,開口向上的拋物線,兩根為:1,;討論兩根的大小.=1\*romani.若,兩根相等:,單調(diào)遞增;=2\*romanii.若,,單調(diào)遞減,單調(diào)遞增;=3\*romaniii.若,,單調(diào)遞減,單調(diào)遞增;（2）法一:設(shè),只需證:,即,構(gòu)造函數(shù),只需證明在上單調(diào)遞增，,,,即在單調(diào)遞增,當(dāng)時,,即,,同理當(dāng)時,.法二:由拉格朗日中值中定值可知存在,使,,,設(shè),,則,即2.已知函數(shù)（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）設(shè),如果對任意,,求的取值范圍.【解析】：（1）,,=1\*romani.當(dāng)時,,在單調(diào)遞增;=2\*romanii.當(dāng)時,,在單調(diào)遞減;=3\*romaniii.當(dāng)時,由得,在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.（2）法一:不妨設(shè),而當(dāng)時,由（1）可知在單調(diào)遞減,從而,等價于,.構(gòu)造函數(shù),只需在單調(diào)遞減,即在恒成立,分離變量法:,只需.法二:由拉格朗日定理知,,等價于,在存在,使得成立,只需恒成立,只需,得或(舍去).變式；1．已知函數(shù).（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若有兩個極值點(diǎn)為，且，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）直接求切線斜率及切線方程即可；（2）先由極值點(diǎn)得到，把不等式可化為，令，定義利用導(dǎo)數(shù)討論單調(diào)性，求出最大值即可.【詳解】（1）當(dāng)時，，.因為，，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.（2），因為有兩個極值點(diǎn)為，所以關(guān)于x的方程有兩正根，且，解得：.由可得：，同理：，所以不等式可化為：，把代入，則有：因為，且，所以，所以上式可化為：，即只需因為，所以令，則，記，則，設(shè)，則，所以單增，當(dāng)時，有，則，所以單減，，即所以，所以b的范圍是.【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用主要有：（1）利用導(dǎo)函數(shù)幾何意義求切線方程；（2）利用導(dǎo)數(shù)研究原函數(shù)的單調(diào)性，求極值（最值）；（3）利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)的取值范圍.2．已知函數(shù)，.（1）求的極值點(diǎn)；（2）若，證明：對任意，且，有.【答案】（1）函數(shù)有極小值點(diǎn)，無極大值點(diǎn)；（2）證明見解析.【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再解導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的極值點(diǎn)即可；（2）首先根據(jù)（1）證明，再證明，即可證明，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，令，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合，得到在上為增函數(shù)，從而證明結(jié)論成立.【詳解】（1）∵，∴，由，得，由，得，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故函數(shù)有極小值點(diǎn)，無極大值點(diǎn)；（2）證明：當(dāng)時，，由（1）可知，故，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，又，當(dāng)時，，，故，當(dāng)時，，當(dāng)時，，，故，故時，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故成立，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，令，則，∵，∴，∴，∵在的任意子區(qū)間內(nèi)不恒為0，∴在上為增函數(shù)，不妨設(shè)，則，故，故