專題14指數(shù)函數(shù)

輔導專題十四指數(shù)函數(shù)A版(基礎版)一、知識結構一、知識結構二、知識掃描及例題二、知識掃描及例題【一】指數(shù)函數(shù)的概念一般地，形如函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是R.【例如：指數(shù)函數(shù)，；注意與，的區(qū)別】【溫馨提醒】(1)規(guī)定y＝ax中a>0，且a≠1的理由：①當a≤0時，ax可能無意義；②當a>0時，x可以取任何實數(shù)；③當a＝1時，ax＝1(x∈R)，無研究價值．因此規(guī)定y＝ax中a>0，且a≠1.(2)要注意指數(shù)函數(shù)的解析式：①底數(shù)是大于0且不等于1的常數(shù)．②指數(shù)函數(shù)的自變量必須位于指數(shù)的位置上．③ax的系數(shù)必須為1.④指數(shù)函數(shù)等號右邊不能是多項式，如y＝2x＋1不是指數(shù)函數(shù)．【例1】下列說法正確的是（）A．y＝(x>0)是指數(shù)函數(shù)B．y＝(a>0且a≠1)是指數(shù)函數(shù)C．是指數(shù)函數(shù)D．y＝是指數(shù)函數(shù)【答案】C【例2】若函數(shù)f(x)＝(a2－3a＋3)ax是指數(shù)函數(shù)，則()A．a(chǎn)＝1或a＝2B．a(chǎn)＝1C．a(chǎn)＝2D．a(chǎn)>0且a≠1【解析由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－3a＋3＝1，,a>0且a≠1，))解得a＝2.[答案]C【練習1】下列各函數(shù)中，是指數(shù)函數(shù)的是()A．y＝B．y＝－C．y＝D．y＝【答案】D【練習2】若函數(shù)y＝(2a－1)x(x是自變量)是指數(shù)函數(shù)，則a的取值范圍是()A．a(chǎn)>0且a≠1B．a(chǎn)≥0且a≠1C．a(chǎn)>eq\f(1,2)且a≠1D．a(chǎn)≥eq\f(1,2)【答案】C【二】指數(shù)函數(shù)的圖象和性質1.指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象和性質：a>10<a<1圖象定義域R值域(0，＋∞)性質過定點過定點(0,1)，即x＝0時，y＝1函數(shù)值的變化當x>0時，y>1；當x<0時，0<y<1當x>0時，0<y<1；當x<0時，y>1單調(diào)性在R上是增函數(shù)在R上是減函數(shù)2.底對圖像的影響(1)在y軸右側，圖象從上到下相應的底數(shù)由大變?。辉趛軸左側，圖象從下到上相應的底數(shù)由大變小．即無論在y軸的左側還是右側，底數(shù)按逆時針方向變大．這一性質可通過令x＝1時，y＝a去理解，如圖．(2)指數(shù)函數(shù)y＝ax與y＝(a＞0且a≠1)的圖象關于y軸對稱．【例3】（解析式問題）已知指數(shù)函數(shù)f(x)的圖象過點(3，π)，求函數(shù)f(x)的解析式．【解析】設f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，將點(3，π)代入，得到f(3)＝π，即a3＝π，解得a＝，于是f(x)＝.【練習3】已知指數(shù)函數(shù)y＝(2b－3)ax經(jīng)過點(1,2)，求a，b的值．【解析】由指數(shù)函數(shù)的定義可知2b－3＝1，即b＝2.將點(1,2)代入y＝ax，得a＝2.【練習4】已知指數(shù)函數(shù)y＝(m2+2m－2)ax＋m－1經(jīng)過點(1,2)，求a，m的值．【解析】由指數(shù)函數(shù)的定義可知，解得m＝1.將點(1,2)代入y＝ax，得a＝2.【例4】定義域、值域問題求下列函數(shù)的定義域、值域．(1)y＝eq\f(3x,1＋3x)；(2)y＝4x－2x＋1;(3)y＝eq\r(32－2x)【解析】什么是復合函數(shù)？若y是u的函數(shù),而u又是x的函數(shù),即,y=f(u),u=g(x),那么y關于x的函數(shù)y=f(g(x))叫做函數(shù)f和g的復合函數(shù),u叫做中間變量.例如，，。(1)函數(shù)的定義域為R(∵對一切x∈R,3x≠－1)．∵y＝eq\f(1＋3x－1,1＋3x)＝1－eq\f(1,1＋3x)，又∵3x>0,1＋3x>1，∴0<eq\f(1,1＋3x)<1，∴－1<－eq\f(1,1＋3x)<0，∴0<1－eq\f(1,1＋3x)<1，∴值域為(0,1)．(2)函數(shù)的定義域為R，y＝(2x)2－2x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)，∵2x>0，∴2x＝eq\f(1,2)，即x＝－1時，y取最小值eq\f(3,4)，同時y可以取一切大于eq\f(3,4)的實數(shù)，∴值域為eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，＋∞)).（3）定義域為(－∞，5]，值域為[0，32）由32－2x≥0，得2x≤25，∴x≤5，所以定義域為(－∞，5]又eq\r(32－2x)，∴值域為[0，）【練習5】求下列函數(shù)的定義域與值域．(1)y＝；(2)y＝eq\f(ax－1,ax＋1)(a>0，且a≠1)．(3)【解析】(1)∵1－≥0，∴≤1，解得x≥0，∴原函數(shù)的定義域為[0，＋∞)．令t＝1－(x≥0)，則0≤t<1，∴0≤eq\r(t)<1，∴原函數(shù)的值域為[0,1)(2)原函數(shù)的定義域為R.方法一設ax＝t，則t∈(0，＋∞)，y＝eq\f(t－1,t＋1)＝eq\f(t＋1－2,t＋1)＝1－eq\f(2,t＋1).∵t>0，∴t＋1>1，∴0<eq\f(1,t＋1)<1，∴－2<eq\f(－2,t＋1)<0，∴－1<1－eq\f(2,t＋1)<1.即原函數(shù)的值域為(－1,1)．方法二由y＝eq\f(ax－1,ax＋1)(a>0，且a≠1)，得ax＝－eq\f(y＋1,y－1).∵ax>0，∴－eq\f(y＋1,y－1)>0，∴－1<y<1.∴原函數(shù)的值域是(－1,1)．（3），設,則，即，所以或，即，即，所以,定義域為(1，＋∞);,值域為(0，＋∞);【例5】求函數(shù)y＝eq\r(32x－1－\f(1,9))的定義域、值域．【解析】要使函數(shù)有意義，則x應滿足32x－1－eq\f(1,9)≥0，即32x－1≥3－2.∵y＝3x在R上是增函數(shù)，∴2x－1≥－2，解得x≥－eq\f(1,2).故所求函數(shù)的定義域為eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞)).當x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞))時，32x－1∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,9)，＋∞)).∴32x－1－eq\f(1,9)∈[0，＋∞)．∴原函數(shù)的值域為[0，＋∞)．【練習6】求下列函數(shù)的定義域、值域：【解析】(1)由x－1≠0得x≠1，所以函數(shù)定義域為{x|x≠1}．由eq\f(1,x－1)≠0得y≠1，所以函數(shù)值域為{y|y>0且y≠1}．(2)由5x－1≥0得x≥eq\f(1,5)，所以函數(shù)定義域為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥\f(1,5))))).由eq\r(5x－1)≥0得y≥1，所以函數(shù)值域為{y|y≥1}．【例6】圖像問題在如圖所示的圖象中，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c與函數(shù)y＝的圖象可能是()【解析】根據(jù)圖中二次函數(shù)圖象可知c＝0，∴二次函數(shù)y＝ax2＋bx，∵eq\f(b,a)>0，∴二次函數(shù)的對稱軸為x＝－eq\f(b,2a)<0，排除B，D.對于A，C，都有0<eq\f(b,a)<1，∴－eq\f(1,2)<－eq\f(b,2a)<0，C不符合．故選A.【訓練7】函數(shù)y＝ax－a(a>0且a≠1)的大致圖象可能是()【解析】如果函數(shù)的圖象是A，那么由1－a＝1，得a＝0，這與a>0且a≠1相矛盾，故A不可能；如果函數(shù)的圖象是B，那么由a1－a<0，得0<0，這是不可能的，故B不可能；如果函數(shù)的圖象是C，那么由0<1－a<1，得0<a<1，且a1－a＝0，故C可能；如果函數(shù)的圖象是D，那么由a1－a<0，得0<0，這是不可能的，故D不可能．答案C【訓練8】已知函數(shù)f(x)＝4＋ax＋1的圖象經(jīng)過定點P，則點P的坐標是()A．(－1,5)B．(－1,4)C．(0,4)D．(4,0)【解析】當x＋1＝0，即x＝－1時，ax＋1＝a0＝1為常數(shù)，此時f(x)＝4＋1＝5.即點P的坐標為(－1,5)．故選A【例7】若直線y＝2a與函數(shù)y＝|2x－1|的圖象有兩個公共點，求實數(shù)a的取值范圍．【解析】y＝|2x－1|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－2x，x<0，,2x－1，x≥0，))圖象如下：由圖可知，要使直線y＝2a與函數(shù)y＝|2x－1|的圖象有兩個公共點，需0<2a<1，即0<a<eq\f(1,2).【訓練9】函數(shù)y＝a|x|(a>1)的圖象是()【解析】函數(shù)y＝a|x|是偶函數(shù)，當x>0時，y＝ax.由已知a>1，故選B.【三】指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性（簡單復合函數(shù)）一般地，有形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)函數(shù)的性質(1)函數(shù)y＝af(x)與函數(shù)y＝f(x)有相同的定義域．(2)當a>1時，函數(shù)y＝af(x)與y＝f(x)具有相同的單調(diào)性；當0<a<1時，函數(shù)y＝af(x)與函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)性相反．函數(shù)單調(diào)性↗↗↗單調(diào)性↗↘↘單調(diào)性↘↘↗單調(diào)性↘↗↘【例如】↗，↘，則↘【例8】(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)求函數(shù)y＝－8·＋17的單調(diào)區(qū)間．【解析】(1)函數(shù)的定義域為R.在(－∞，3]上，y＝x2－6x＋17是減函數(shù)，∴在(－∞，3]上是增函數(shù)．在[3，＋∞)上，y＝x2－6x＋17是增函數(shù)，∴在[3，＋∞)上是減函數(shù)．∴的增區(qū)間是(－∞，3]，減區(qū)間是[3，＋∞)．(2)函數(shù)y＝－8·＋17的定義域為R.設t＝>0，又y＝t2－8t＋17在(0,4]上單調(diào)遞減，在[4，＋∞)上單調(diào)遞增，令≤4，得x≥－2，∴當－2≤x1<x2時，即4≥t1>t2，∴teq\o\al(2,1)－8t1＋17<teq\o\al(2,2)－8t2＋17.∴y＝－8·＋17的單調(diào)增區(qū)間是[－2，＋∞)．同理可得減區(qū)間是(－∞，－2]．【練習11】函數(shù)f(x)＝的單調(diào)遞減區(qū)間是________．【解析】函數(shù)由f(t)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))t，t(x)＝x2－4x－5復合而成，其中f(t)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))t是減函數(shù)，t(x)＝x2－4x－5在(－∞，2)上是減函數(shù)，在(2，＋∞)上是增函數(shù)．由復合函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(2，＋∞)．【練習12】若函數(shù)f(x)＝a|2x－4|(a>0，且a≠1)，滿足f(1)＝eq\f(1,9)，則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是()A．(－∞，2]B．[2，＋∞)C．[－2，＋∞)D．(－∞，－2]【解析】由f(1)＝eq\f(1,9)得a2＝eq\f(1,9)，所以a＝eq\f(1,3)(a＝－eq\f(1,3)舍去)，即f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))|2x－4|.由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上遞減，在[2，＋∞)上遞增，所以f(x)在(－∞，2]上遞增，在[2，＋∞)上遞減．故選B.【四】解指數(shù)方程、不等式簡單指數(shù)不等式的解法(1)形如af(x)＞ag(x)的不等式，可借助y＝ax的單調(diào)性求解；(2)形如af(x)＞b的不等式，可將b化為以a為底數(shù)的指數(shù)冪的形式，再借助y＝ax的單調(diào)性求解；(3)形如ax＞bx的不等式，可借助兩函數(shù)y＝ax，y＝bx的圖象求解．【例9】（解指數(shù)方程）解下列方程．(1)81×32x＝；(2)22x＋2＋3×2x－1＝0.【解析】(1)∵81×32x＝，∴32x＋4＝3－2(x＋2)，∴2x＋4＝－2(x＋2)，∴x＝－2.(2)∵22x＋2＋3×2x－1＝0，∴4×(2x)2＋3×2x－1＝0.令t＝2x(t＞0)，則方程可化為4t2＋3t－1＝0，解得t＝eq\f(1,4)或t＝－1(舍去)．∴2x＝eq\f(1,4)，解得x＝－2.[反思](1)af(x)＝b型通?；癁橥讈斫猓?2)解指數(shù)方程時常用換元法，用換元法時要特別注意“元”的范圍．轉化為解二次方程，用二次方程求解時，要注意二次方程根的取舍．【練習13】解下列方程．(1)33x－2＝81；(2)eq\r(5x)＝eq\r(3,25)；(3)52x－6×5x＋5＝0.【解析】(1)∵81＝34，∴33x－2＝34，∴3x－2＝4，解得x＝2.(2)∵eq\r(5x)＝eq\r(3,25)，∴eq\f(x,2)＝eq\f(2,3)，解得x＝eq\f(4,3).(3)令t＝5x，則t>0，原方程可化為t2－6t＋5＝0，解得t＝5或t＝1，即5x＝5或5x＝1，∴x＝1或x＝0.【例10】（不等式問題）解關于x的不等式：a2x＋1≤ax－5(a>0，且a≠1)．【解析】（1）①當0<a<1時，∵a2x＋1≤ax－5，∴2x＋1≥x－5，解得x≥－6.②當a>1時，∵a2x＋1≤ax－5，∴2x＋1≤x－5，解得x≤－6.綜上所述，當0<a<1時，不等式的解集為{x|x≥－6}；當a>1時，不等式的解集為{x|x≤－6}．【反思】解指數(shù)不等式的基本方法是先化為同底指數(shù)式，再利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性化為常規(guī)的不等式來解，注意底數(shù)對不等號方向的影響．【練習14】設0＜a＜1，則關于x的不等式的解集為________．【解析】∵0＜a＜1，∴y＝ax在R上是減函數(shù)，又∵，∴2x2－3x＋2＜2x2＋2x－3，解得x＞1.【練習15】已知(a2＋a＋2)x>(a2＋a＋2)1－x，則x的取值范圍是________．【解析】∵a2＋a＋2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)))2＋eq\f(7,4)>1，∴(a2＋a＋2)x>(a2＋a＋2)1－x?x>1－x?x>eq\f(1,2).∴x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)).【五】比較大小當a＞1時，y＝ax在R上為增函數(shù)，所以當0＜a＜1時，y＝ax在R上為減函數(shù)，所以【溫馨提醒】一般地，比較冪大小的方法有：(1)對于同底數(shù)不同指數(shù)的兩個冪的大小，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來判斷；(2)對于底數(shù)不同指數(shù)相同的兩個冪的大小，利用指數(shù)函數(shù)的圖象的變化規(guī)律來判斷；(3)對于底數(shù)不同指數(shù)也不同的兩個冪的大小，則通過中間值來判斷【例11】比較下列各題中兩個值的大?。?1)1.7－2.5,1.7－3；(2)1.70.3,1.50.3；(3)1.70.3,0.83.1.【解析】(1)∵1.7＞1，∴y＝1.7x在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)．∵－2.5＞－3，∴1.7－2.5＞1.7－3.(2)方法一∵1.7＞1.5，∴在(0，＋∞)上，y＝1.7x的圖象位于y＝1.5x的圖象的上方．而0.3＞0，∴1.70.3＞1.50.3.方法二∵1.50.3＞0，且eq\f(1.70.3,1.50.3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1.7,1.5)))0.3，又eq\f(1.7,1.5)＞1,0.3＞0，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1.7,1.5)))0.3＞1，∴1.70.3＞1.50.3.(3)∵1.70.3＞1.70＝1,0.83.1＜0.80＝1，∴1.70.3＞0.83.1.【反思】當兩個數(shù)不能利用同一函數(shù)的單調(diào)性作比較時，可考慮引入中間量，常用的中間量有0和±1.【練習16】比較下列各題中的兩個值的大?。?1)0.8－0.1,1.250.2；(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,π)))－π，1；(3)0.2－3，(－3)0.2.【解析】(1)∵0＜0.8＜1，∴y＝0.8x在R上是減函數(shù)．∵－0.2＜－0.1，∴0.8－0.2＞0.8－0.1，即0.8－0.1＜1.250.2.(2)∵0＜eq\f(1,π)＜1，∴函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,π)))x在R上是減函數(shù)．又∵－π＜0，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,π)))－π＞eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,π)))0＝1，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,π)))－π＞1.(3)0.2－3＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,10)))－3＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))－3＝53，【練習17】設y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－1.5，則()A．y3>y1>y2B．y2>y1>y3C．y1>y2>y3D．y1>y3>y2【解析】40.9＝21.8,80.48＝21.44，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－1.5＝21.5，根據(jù)y＝2x在R上是增函數(shù)，得21.8>21.5>21.44，即y1>y3>y2，故選D.【例12】設x<0，且1<bx<ax，則()A．0<b<a<1B．0<a<b<1C．1<b<aD．1<a<b（2）∵1<bx<ax，x<0，∴0<a<1,0<b<1.當x＝－1時，eq\f(1,b)<eq\f(1,a)，即b>a，∴0<a<b<1.【練習18】設f(x)滿足f(x)＝f(4－x)，且當x>2時，f(x)是增函數(shù)，則a＝f(1.10.9)，b＝f(0.91.1)，c＝f(2)的大小關系是________．(按由大到小排列)【解析】∵f(x)＝f(4－x)，∴f(x)關于x＝2對稱．又∵f(x)在(2，＋∞)上是增函數(shù)，∴f(x)在(－∞，2)上是減函數(shù)．又∵1.10.9>1,0<0.91.1<1，∴0.91.1<1.10.9<2，∴f(0.91.1)>f(1.10.9)>f(2)，即b>a>c.【練習19】指數(shù)函數(shù)的圖像如圖所示，則之間的大小關系是.【解析】b<a<1<d<c反思反思【不同底指數(shù)函數(shù)圖象的相對位置】一般地，在同一坐標系中有多個指數(shù)函數(shù)圖象時，圖象的相對位置與底數(shù)大小有如下關系：(1)在y軸右側，圖象從上到下相應的底數(shù)由大變小；在y軸左側，圖象從下到上相應的底數(shù)由大變?。礋o論在y軸的左側還是右側，底數(shù)按逆時針方向變大．這一性質可通過令x＝1時，y＝a去理解，如圖．(2)指數(shù)函數(shù)y＝ax與y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))x(a＞0且a≠1)的圖象關于y軸對稱．【六】綜合應用【例13】碳的衰變極有規(guī)律，其精確性可以稱為自然界的“標準時鐘”.碳的“半衰期”是年，即碳大約每經(jīng)過年就衰變?yōu)樵瓉淼囊话?科學研究表明，宇宙射線在大氣中能夠產(chǎn)生放射性碳.動植物在生長過程中衰變的碳，可以通過與大氣的相互作用得到補充，所以活著的動植物每克組織中的碳含量保持不變.死亡后的動植物，停止了與外界環(huán)境的相互作用，機體中原有的碳就按其確定的規(guī)律衰變.經(jīng)探測，一塊鳥化石中碳的殘留量約為原始含量的.設這只鳥是距探測時年前死亡的，則滿足的等式為__________.【分析】列出等式，兩邊取自然對數(shù)即可求求解.【解析】根據(jù)題意可知鳥化石中碳的殘留量與死亡年數(shù)的函數(shù)關系式為，故有等式，兩邊取自然對數(shù)解得，故答案為：【例14】有關部門計劃于2019年向某市投入128輛電力型公交車，且隨后電力型公交車每年的投入量比上一年增加50%，試問：該市在2025年應投入多少輛電力型公交車？【分析】根據(jù)題意一次列出各年的投入量，歸納總結即可得到結果.【解析】由題意知在2020年應投人電力型公交車的數(shù)量為輛，在2021年應投入的數(shù)量為輛，…據(jù)此歸納可得，在2025年應投入電力型公交車的數(shù)量為輛，即（輛）.故該市在2025年應投入1458輛電力型公交車.【七】復合函數(shù)問題（補充整理）1.【復合函數(shù)的定義】若y是u的函數(shù),而u又是x的函數(shù),即,y=f(u),u=g(x),那么y關于x的函數(shù)y=f(g(x))叫做函數(shù)f和g的復合函數(shù),u叫做中間變量.【例如】①，，②，，2.【簡單復合函數(shù)的定義域問題】y=f(x)、y=g(x)的定義域與復合函數(shù)y=f(g(x))的定義域有什么關系？（討論范圍較大，這僅簡單討論）【注意】若y=f(u)定義域為A,u=g(x)值域為B,則必須滿足BA3.【簡單復合函數(shù)單調(diào)性問題】函數(shù)單調(diào)性↗↗↗單調(diào)性↗↘↘單調(diào)性↘↘↗單調(diào)性↘↗↘【例1】函數(shù)的定義域為___________,則f(x+1)的定義域為___________.【解析】，定義域為定義域為觀察：定義域與定義域是什么關系？【練習1】f(x)＝的定義域為,則的定義域為.(1)∵1－≥0，∴≤1，解得x≥0，∴f(x)的定義域為[0，＋∞)．法一：∵1－≥0，∴≤1，解得2x+1≥0，∴f(x)的定義域為[，＋∞)．法二;因為f(x)的定義域為[0，＋∞)，∴中2x+1≥0，∴f(x)的定義域為[，＋∞)【練習2】函數(shù)y＝f(x)的定義域是[0，＋∞)，則函數(shù)y＝f()的定義域是.【解析】y＝f(x)的定義域是[0，＋∞）,所以，即，即，y＝f()的定義域是.【例2】已知的定義域是，則的定義域為.【解析】的定義域是，即，所以的定義域是.【練習3】已知的定義域是，則的定義域為.【解析】的定義域是，即，，即。的定義域是.【例3】(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)求函數(shù)y＝－8·＋17的單調(diào)區(qū)間．(注：本題在知識十五，指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性已討論過)【解析】(1)函數(shù)的定義域為R，在(－∞，3]上，y＝x2－6x＋17是減函數(shù)，∴在(－∞，3]上是增函數(shù)．在[3，＋∞)上，y＝x2－6x＋17是增函數(shù)，∴在[3，＋∞)上是減函數(shù)．∴的增區(qū)間是(－∞，3]，減區(qū)間是[3，＋∞)．(2)函數(shù)y＝－8·＋17的定義域為R.設t＝>0，又y＝t2－8t＋17在(0,4]上單調(diào)遞減，在[4，＋∞)上單調(diào)遞增，令≤4，得x≥－2，∴當－2≤x1<x2時，即4≥t1>t2，∴teq\o\al(2,1)－8t1＋17<teq\o\al(2,2)－8t2＋17.∴y＝－8·＋17的單調(diào)增區(qū)間是[－2，＋∞)．同理可得減區(qū)間是(－∞，－2]．三、易錯點分析三、易錯點分析易錯一根式的概念例題1.解不等式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3x－1≤2；(2)已知ax2－3x＋1<ax＋6(a>0，a≠1)，求x的取值范圍．【解析】(1)∵2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－1，∴原不等式可以轉化為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3x－1≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－1.∵y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x在R上是減函數(shù)，∴3x－1≥－1，∴x≥0，故原不等式的解集是{x|x≥0}．(2)分情況討論：①當0<a<1時，函數(shù)f(x)＝ax(a>0，a≠1)在R上是減函數(shù)，∴x2－3x＋1>x＋6，∴x2－4x－5>0，根據(jù)相應二次函數(shù)的圖象可得x<－1或x>5；②當a>1時，函數(shù)f(x)＝ax(a>0，a≠1)在R上是增函數(shù)，∴x2－3x＋1<x＋6，∴x2－4x－5<0，根據(jù)相應二次函數(shù)的圖象可得－1<x<5.綜上所述，當0<a<1時，x<－1或x>5；當a>1時，－1<x<5.錯誤區(qū)警示解指數(shù)不等式，兩邊化成同底數(shù)的冪，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可，單調(diào)性不確定的要分類討論。這里容易忽略底a的范圍.四、課后自我檢測四、課后自我檢測一、單選題1．下列函數(shù)中指數(shù)函數(shù)的個數(shù)是（）①②③④（為常數(shù)，，）⑤⑥⑦A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義(只有形如的函數(shù)才是指數(shù)函數(shù))，對每個選項進行逐一分析即可.對①：指數(shù)式的系數(shù)為2，不是1，故不是指數(shù)函數(shù)；對②：其指數(shù)為，不是，故不是指數(shù)函數(shù)；對③④：滿足指數(shù)函數(shù)的定義，故都是指數(shù)函數(shù)；對⑤：是冪函數(shù)，不是指數(shù)函數(shù)；對⑥：指數(shù)式的系數(shù)為1，不是1，故不是指數(shù)函數(shù)；對⑦：指數(shù)的底數(shù)為4，不滿足底數(shù)大于零且不為1的要求，故不是；綜上，是指數(shù)函數(shù)的只有③④，故選：B.2．設且則函數(shù)與在同一坐標系中的圖象可能是（）ABCD【答案】C【解析】根據(jù)兩個圖像得的范圍，看能否統(tǒng)一即可.解：對A，中的，中的，不能統(tǒng)一，錯誤；對B，中的，中的，不能統(tǒng)一，錯誤；對C，中的，中的，正確；對D，中的，中的，不能統(tǒng)一，錯誤；故選：C.3．已知函數(shù)，且函數(shù)圖像不經(jīng)過第一象限，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】函數(shù)為減函數(shù)，且圖像不經(jīng)過第一象限,,即,故選C.4．如圖①,②,③,④,根據(jù)圖象可得a、b、c、d與1的大小關系為（）A．a(chǎn)＜b＜1＜c＜d B．b＜a＜1＜d＜cC．1＜a＜b＜c＜d D．a(chǎn)＜b＜1＜d＜c【答案】B【解析】

由圖，直線x=1與四條曲線的交點坐標從下往上依次是（1，b），（1，a），（1，d），（1，c）

故有b＜a＜1＜d＜c

故選B點睛：區(qū)別指數(shù)函數(shù)圖象時，只需做出直線x=1與圖像的交點，即可區(qū)別，可總結為，在第一象限內(nèi)，指數(shù)函數(shù)的圖象越高，底數(shù)越大，簡稱“底大圖高”.5．設函數(shù)的定義域A，函數(shù)的值域為B，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)二次根式的性質求出，再結合指數(shù)函數(shù)的性質求出，取交集即可．由題意，即解得：，而單調(diào)遞增，故值域：，，故選：．6．函數(shù)的值域是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】試題分析：令，則，而，所以.故選B.考點：函數(shù)的性質.【方法點睛】求函數(shù)值域的常用方法有：基本函數(shù)法、配方法、分離變量法、單調(diào)性法、圖象法、換元法、不等式法等，無論用什么方法求函數(shù)的值域，都必須考慮函數(shù)的定義域；求函數(shù)的定義域就是使函數(shù)的表達式有意義得自變量的取值集合，可根據(jù)函數(shù)解析式有意義列出不等式（組）解之即得函數(shù)定義域.本題是求復合函數(shù)的值域，先通過換元將函數(shù)轉化為指數(shù)函數(shù)，再根據(jù)單調(diào)性求解.屬于基礎題.二、多選題7．若函數(shù)（，且）是指數(shù)函數(shù)，則下列說法正確的是（）A． B． C． D． E.【答案】AC【解析】【分析】首先根據(jù)題意求出參數(shù)，即可求出函數(shù)的表達式，進而可得出結果.【詳解】因為函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，所以，所以，所以，所以，，，故B、D、E錯誤，A、C正確.故選：AC【點睛】本題考查了指數(shù)函數(shù)的定義，掌握指數(shù)函數(shù)的定義是關鍵，屬于基礎題.三、填空題8．已知點，均在指數(shù)函數(shù)的圖象上，則m的值為_________.【答案】2【解析】【分析】由點坐標求出指數(shù)函數(shù)解析式，將點坐標代入解析式，即可求解.【詳解】設所求的指數(shù)函數(shù)為，在指數(shù)函數(shù)圖像上，，代入解析式得.故答案為:2.9．函數(shù)過定點________.【答案】【解析】【分析】令，，與參數(shù)無關，即可得到定點.【詳解】由指數(shù)函數(shù)的性質，可得，函數(shù)值與參數(shù)無關，所有過定點.故答案為：【點睛】此題考查函數(shù)的定點問題，關鍵在于找出自變量的取值使函數(shù)值與參數(shù)無關，熟記常見函數(shù)的定點可以節(jié)省解題時間.10．函數(shù)y=的定義域是______．【答案】[0，+∞）【解析】由題意可得，解不等式可得所以函數(shù)的定義域是，故答案為：11．若函數(shù)是定義域為的偶函數(shù)，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是．【答案】【解析】由已知有a=0,從而，由復合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是；故答案為考點：1．函數(shù)的奇偶性；2．復合函數(shù)的單調(diào)性．12．已知a＝0.32，b＝0.30.2，c＝1，a，b，c的大小關系是_____（用“＞”連接）.【答案】c>b>a【解析】為單調(diào)遞減函數(shù)，且，故c>b>a,故答案為：c>b>a13．用“>”聯(lián)接下列各數(shù)，，______【答案】【解析】因為是上的減函數(shù)，所以，又，，所以.故答案為:14．函數(shù)的值域是_______.【答案】【解析】當時，當時，,的值域為.故答案為:15．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為_________．【答案】【解析】函數(shù)在上遞減，函數(shù)的對稱軸是，且在上遞增，在上遞減.根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性同增異減可知：函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故填：.四、解答題16．已知函數(shù)（1）作出其圖象；（2）由圖象指出單調(diào)區(qū)間；（3）由圖象指出當取何值時函數(shù)有最小值，最小值為多少？【解析】【分析】（1）將函數(shù)的解析式表示為分段函數(shù)的形式，由此可作出函數(shù)的圖象；（2）根據(jù)函數(shù)的圖象可得出該函數(shù)的單調(diào)減