高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：函數(shù)的概念與性質(zhì)

專題03函數(shù)的概念與性質(zhì)

（思維構(gòu)建+知識盤點+重點突破+方法技巧+易混易錯）

維構(gòu)建?耀精向紿

年01求具體國改睚義《

廠（函數(shù)的概念：兩個非空段集之間的對應(yīng)關(guān)系）

型02

_（。知識點一函數(shù)的有關(guān)高）-（函數(shù)的三要素定義域、值域、對應(yīng)關(guān)系）型03/函數(shù)的定義域求參數(shù)

型04判斷是否為同一個函數(shù)

L（相等函數(shù)與分段函數(shù)）

型05求國蛻解儂

型06分段函數(shù)及其應(yīng)用

型01函數(shù)單調(diào)性瞪廝（硼）

______________________________函數(shù)單調(diào)性的定義凝02求西毀的單調(diào)區(qū)間

Y◎知取點二函數(shù)的單箍）4^豳嫡隼卓彘）霞03利用函數(shù)單調(diào)t物盤值

型04曲酒數(shù)直或目涯的大小

函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)朝05利用函數(shù)的隼謂也跖得式

朝06利用函單調(diào)性求皴雌腕圉

函數(shù)的概念與性質(zhì)型01函數(shù)奇偈性腓廝

,------------------------、H奇『（-xA/tr法于原點51搭型02利用奇偶性求函擊信

,-------------------------------「函數(shù)奇偶性的定義與圖象特點T）.......■

Y。知設(shè)點三函數(shù)的奇倜性XK"（"R市送于稱J型03利用奇蝌求參數(shù)

翹04利用奇儡性求翩成

、----------------------------，匚函數(shù)奇偶性的幾個重要結(jié)論型05利用單調(diào)性與卻黯解不管

型06利用單調(diào)性與奇禺在t般大小

周期函數(shù)的定義：存砂鑄常數(shù)T滿足f（x+7）弓Xx）

知識點四函數(shù)的周期性型01利用周期性求函數(shù)直

是小正周期：所有周期中最小的正數(shù)周期型02利用周期性求函數(shù)解儂

一（。知識點五函數(shù)的對稱性^,3遜）1周期性與康超學(xué)應(yīng)用

京。2奇號三壬二Q■三鎧學(xué)

刀轉(zhuǎn)點前）

41j轆03gg

口端盤點?置；層訃與

知識點1函數(shù)的有關(guān)概念

1、函數(shù)的概念：一般地，設(shè)A3是非空的數(shù)集，如果對于集合A中的任意一個數(shù)x,按照某種確定的對應(yīng)

關(guān)系/,在集合5中都有唯一確定的y和它對應(yīng)，那么就稱/:Af3為從集合A到集合3的一個函數(shù)，

記作y=f（x）,XGA.

2、函數(shù)的三要素：

（1）在函數(shù)y=/（x）,xeA中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；

（2）與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合伏x）|xGA｝叫做函數(shù)的值域。顯然，值域是集合8

的子集.

（3）函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系：y=/（x）,xeA.

3、相等函數(shù)與分段函數(shù)

（1）相等函數(shù)：如果兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致，則這兩個函數(shù)相等，這是判斷兩函數(shù)相等的

依據(jù).

（2）分段函數(shù)：在函數(shù)定義域內(nèi)，對于自變量x取值的不同區(qū)間，有著不同的對應(yīng)關(guān)系，這樣的函數(shù)稱為

分段函數(shù)。分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集。分段函數(shù)雖然是由幾個部分

構(gòu)成，但它表示的是一個函數(shù)，各部分函數(shù)定義域不可以相交。

知識點2函數(shù)的單調(diào)性

1、單調(diào)函數(shù)的定義

設(shè)函數(shù)人犬)的定義域為I.如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值的,馬，

當(dāng)王＜巧時，都有了(xJv/X0),那么就說函數(shù)力勸在區(qū)間D上是單調(diào)遞增函數(shù)。

當(dāng)王＜%2時，都有/'(匹)＞/(％)，那么就說函數(shù)在區(qū)間D上是單調(diào)遞減函數(shù)。

單調(diào)性的圖形趨勢(從左往右)

2、函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

若函數(shù)y=/")在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，則稱函數(shù)幻在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D

叫做y=/田的單調(diào)區(qū)間.

【注意】

(1)函數(shù)單調(diào)性關(guān)注的是整個區(qū)間上的性質(zhì)，單獨一點不存在單調(diào)性問題，

故單調(diào)區(qū)間的端點若屬于定義域，則區(qū)間可開可閉，若區(qū)間端點不屬于定義域則只能開.

(2)單調(diào)區(qū)間。U定義域/.

(3)遵循最簡原則，,單調(diào)區(qū)間應(yīng)盡可能大；

(4)單調(diào)區(qū)間之間可用“，”分開，不能用“U”，可以用“和”來表示；

3、函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

若函數(shù)f(x)與g(x)在區(qū)間。上具有單調(diào)性，則在區(qū)間D上具有以下性質(zhì)：

(1)/(x)與/(x)+C(C為常數(shù))具有相同的單調(diào)性.

(2)/(%)與—/(x)的單調(diào)性相反.

(3)當(dāng)。＞0時，400與/(%)單調(diào)性相同；當(dāng)。＜0時，4(%)與/(%)單調(diào)性相反.

(4)若/(x)K),則/(x)與具有相同的單調(diào)性.

(5)若/(幻恒為正值或恒為負值，則當(dāng)。＞0時，/(x)與」^具有相反的單調(diào)性；

/(x)

當(dāng)。＜0時，/(%)與'具有相同的單調(diào)性.

/(X)

(6)/(%)與g(x)的和與差的單調(diào)性(相同區(qū)間上)：

簡記為：/+/=/;(2)'+、=、；(3)/-\=7;(4)\-/=、.

(7)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：對于復(fù)合函數(shù)y=/[g(x)],

若t=g(x)在區(qū)間(a,6)上是單調(diào)函數(shù)，且>=式。在區(qū)間(g(a),g(6))或(g(6),g(a))上是單調(diào)函數(shù)

若f=g(x)與y=/⑺的單調(diào)性相同，則y=/[g(x)]為增函數(shù)

若r=g(尤)與的單調(diào)性相反，則y=/[g(x)]為減函數(shù).簡稱“同增異減

知識點3函數(shù)的奇偶性

1、函數(shù)的奇偶性

奇偶性定義圖象特點

如果對于函數(shù)/(X)的定義域內(nèi)任意一個尤，都

偶函數(shù)關(guān)于y軸對稱

有/(-%)=f(x),那么函數(shù)y(x)是偶函數(shù)

如果對于函數(shù)兀0的定義域內(nèi)任意一個無，都有

奇函數(shù)關(guān)于原點對稱

/(-%)=-/(x),那么函數(shù)/(尤)是奇函數(shù)

2、函數(shù)奇偶性的幾個重要結(jié)論

(1)/(X)為奇函數(shù)=/(x)的圖象關(guān)于原點對稱；/(尤)為偶函數(shù)Q/(x)的圖象關(guān)于y軸對稱.

(2)如果函數(shù)/(x)是偶函數(shù)，那么/(x)=f(M).

(3)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)只有一種類型，即/(x)=0,xG。，其中定義域。是關(guān)于原點對稱的非

空數(shù)集.

(4)奇函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性.

(5)偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上有相同的最大(小)值，取最值時的自變量互為相反數(shù)；奇函數(shù)在關(guān)于

原點對稱的區(qū)間上的最值互為相反數(shù)，取最值時的自變量也互為相反數(shù).

知識點4函數(shù)的周期性

1、周期函數(shù)的定義

對于函數(shù)y=/(x),如果存在一個非零常數(shù)T,使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時，都有/(x+T)=/(x),那

么就稱函數(shù)/(x)為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期.

2、最小正周期：如果在周期函數(shù)了(無)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做了(無)的

最小正周期.

知識點5函數(shù)的對稱性

1、關(guān)于線對稱

若函數(shù)y=/(x)滿足〃a+x)=/S-x),則函數(shù)y=/(x)關(guān)于直線彳=也對稱，特別地，當(dāng)。=6=0時，

2

函數(shù)y=/(x)關(guān)于y軸對稱，此時函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù).

2、關(guān)于點對稱

若函數(shù)y=/(%)滿足f(2a-x)=2b-f^x),則函數(shù)y=/(%)關(guān)于點(。，/?)對稱，特別地,當(dāng)a=0,Z?=0時，

/（^）=-/（-x）,則函數(shù)y=/（x）關(guān)于原點對稱，此時函數(shù)了（X）是奇函數(shù).

Xy點突破?春分?必檢

重難點01求函數(shù)值域的七種方法

法一、單調(diào)性法：如果一個函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，則由定義域結(jié)合單調(diào)性可快速求出函數(shù)的最值（值域）.

（1）若函數(shù)y=/（x）在區(qū)間㈤切上單調(diào)遞增，則ymax=A6）,Jmin=/（?）-

（2）若函數(shù)y=A無）在區(qū)間［a,切上單調(diào)遞減，貝！Jymax=Aa），＞而產(chǎn)和）.

（3）若函數(shù)y=/（元）有多個單調(diào)區(qū)間，那就先求出各區(qū)間上的最值，再從各區(qū)間的最值中決定出最大（?。┲?函

數(shù)的最大（小）值是整個值域范圍內(nèi)的最大（?。┲?

【典例1】（2324高三?全國?專題）函數(shù)〃同=等（尤目2,6］）的最大值為（）

X—1

?22

A.2B.—C.—D.—

3535

【答案】B

【解析】因為函數(shù)了=爐-1在［2,6］上單調(diào)遞增，

所以根據(jù)單調(diào)性的性質(zhì)知：函數(shù)了（切=下一在［2,6］上單調(diào)遞減，

X—1

所以當(dāng)x=2時，函數(shù)/（無）=等取到最大值為了（2）=3=；故選：B

x—12—13

【典例2】（2324高三.全國.專題）函數(shù)f（x）=lgx+x的定義域為10,則值域為（）

【答案】A

【解析】因為函數(shù)〃x）=lgx+x的定義域為《，1。，

且y=lgx,三在',10內(nèi)單調(diào)遞增，可知〃尤）在^,10內(nèi)單調(diào)遞增,

可知在\，1°內(nèi)的最小值為了位=-奈，最大值為/（1。）=11，

「91

所以值域為一丁11.故選：A.

法二、圖象法：作出函數(shù)的圖象，通過觀察曲線所覆蓋函數(shù)值的區(qū)域確定值域，以下函數(shù)常會考慮進行數(shù)

形結(jié)合.

(1)分段函數(shù)：盡管分段函數(shù)可以通過求出每段解析式的范圍再取并集的方式解得值域，但對于一些便于

作圖的分段函數(shù)，數(shù)形結(jié)合也可很方便的計算值域.

(2)的函數(shù)值為多個函數(shù)中函數(shù)值的最大值或最小值，此時需將多個函數(shù)作于同一坐標(biāo)系中，然后確

定靠下(或靠上)的部分為該函數(shù)的圖象，從而利用圖象求得函數(shù)的值域.

【典例1】(2324高三上.河南新鄉(xiāng)?月考)對VxeR,用M(x)表示〃x),g("中的較大者，記為

M(x)=max{/(x),g(x)},若函數(shù)M(x)=max|-x+3,(x-l)2|,則M(x)的最小值為.

【答案】1

【解析】當(dāng)T+34X-1)2,即尤2_尤_2<0,即—14x42時，M(x)=-x+3,

當(dāng)一x+3<(x-l/，A：2-x-2>0,即x>2或x<-l時，=(尤一I)?,

~x+3,x￡1,21

所以M(x)=、2,、，、，

(x-1),xe(-<?,-l)u(2,+ao)

函數(shù)圖象如圖所示：

由圖可得，函數(shù)M(x)在(y,T),(1,2)上遞減，在(2,+8)上遞增,

所以"L=")=-2+3=L

【典例2】(2324高三上.重慶北倍?月考)高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，用其名字命名

的“高斯函數(shù)”為：對于實數(shù)%符號印表示不超過尤的最大整數(shù)，例如[-e]=-3,[2.1]=2,定義函數(shù)

/(x)=x-[x],則函數(shù)/(X)的值域為.

【答案】10,1)

【解析】由高斯函數(shù)的定義可得：

當(dāng)0(x<l時，[v]=o,貝Ijx-[幻=x,

當(dāng)lVx<2時，[幻=1,則x-[x]=x-l,

當(dāng)2Vx<3時，[x]=2,貝[]x-[x]=x-2,

當(dāng)34x<4時，印=3,貝Ijx-[x|=x-3,

易見該函數(shù)具有周期性，繪制函數(shù)圖象如圖所示,

由圖象知了⑺的值域為。1).

法三、配方法：主要用于二次函數(shù)或可化為二次函數(shù)的函數(shù)，要特別注意自變量的取值范圍.

【典例1】(2324高三上.全國.專題)函數(shù)〃％)=一2x+3的值域是()

A.[0,2]B.[0,+8)C,[2,+oo)D.(0,2)U(2,+w)

【答案】A

【解析】令-d-2x+320得，-3<x<l,故定義域為[一35，

/(X)=J-x。-2尤+3=J—(尤+1)~+4e[0,2]■故選:A

【典例2】(2023高三?江西萍鄉(xiāng)?開學(xué)考)函數(shù)y=—^的值域為_________.

-X+X+2

_4

【答案1(-°°,0)IJ[―,4-00)

【解析】由題得一%2+尤+2工0,「.工工_1且%：/：2.

1oo

因為*+x+2=-(x--)2,且一%2+%+2.

244

4

所以原函數(shù)的值域為(-8,0)U[§，+8).

法四、換元法：換元法是將函數(shù)解析式中關(guān)于％的部分表達式視為一個整體，并用新元/代替，將解析式化

歸為熟悉的函數(shù)，進而解出最值(值域).

(1)在換元的過程中，因為最后是要用新元解決值域，所以一旦換元，后面緊跟新元的取值范圍.

(2)換元的作用有兩個：

①通過換元可將函數(shù)解析式簡化，例如當(dāng)解析式中含有根式時，通過將根式視為一個整體，換元后即

可‘消滅”根式，達到簡化解析式的目的.

②可將不熟悉的函數(shù)轉(zhuǎn)化為會求值域的函數(shù)進行處理

【典例1】（2023高三上?廣東河源?開學(xué)考試）函數(shù)〃x）=2x+7n7的最大值為.

17

【答案】v

O

【解析】令90）,貝鼠=1一『，所以y=_2〃+f+2=—21-（J+[QNO）,

由二次函數(shù)的性質(zhì)知，對稱軸為"J,開口向下，

4

所以函數(shù)丫=-21-；|2+￡在0,；單調(diào)遞增，在[;,+幻]上單調(diào)遞減.

所以當(dāng)r=；=即彳=與時，

416

了⑴取得最大值為/（%）_=八熱#+m-

168V168

【典例2】（2324高三?全國?專題）函數(shù)y=l-x+&二五的值域為（）

01

A.卜,]B.[0,+co）C.-,+℃D.—,+00

2

【答案】C

【解析】令jrz=%，（，之。），貝

所以函數(shù)E+一+”卜出=",函數(shù)在[。,+00）上單調(diào)遞增,

t=o時，y有最小值

所以函數(shù)y=l-x+Vi^的值域為故選：C

法五、分離常數(shù)法：主要用于含有一次的分式函數(shù)，

fix_i_AC+bx+0

形如y=9士或y=-------—（〃，C至少有一個不為零）的函數(shù)，求其值域可用此法

cx+dcx+d

以,=竺心為例，解題步驟如下：

cx+d

第一步，用分子配湊出分母的形式，將函數(shù)變形成y=@+—的形式，

ccx+d

第二步，求出函數(shù)y=—^在定義域范圍內(nèi)的值域，進而求出y=絲心的值域。

cx+dcx+d

【典例1】（2024高三?全國?專題練習(xí)）函數(shù)1小的值域為--------

【答案】3yeR且

【解析】函數(shù)的定義域為{ylyx-1},

5

1o1

y=--------=--------=--1-——w—

2%+52%+522%+52

故函數(shù)的值域為{ylyeR且yH-g}.

【典例2】（2024高三下?北京懷柔?模擬預(yù)測）己知函數(shù)〃切=肅打，則對任意實數(shù)x,函數(shù)的值域

是（）

A.（0,2）B.（0,2]C.[0,2）D.[0,2]

【答案】C

【解析】依題意，〃力=2（2尤71）-2=2一

v'2%2+12X2+1

27

顯然2/+121,則°<罰"于是。<2,

所以函數(shù)/（x）的值域是[0,2）.故選：C

?7Y2_i_bx+c

法六、判別式法：主要用于含有二次的分式函數(shù)，形如：>二---------

ax+ex+j

將函數(shù)式化成關(guān)于x的方程，且方程有解，用根的判別式求出參數(shù)y的取值范圍，即得函數(shù)的值域。應(yīng)

用判別式法時必須考慮原函數(shù)的定義域，并且注意變形過程中的等價性。

另外，此種形式還可使用分離常數(shù)法解法。

【典例1】（2324高三.全國.專題練習(xí)）求函數(shù)y=—彳+2的值域.

X+X+1

【答案】[1,5]

【解析】顯然M+x+l>0恒成立，即原函數(shù)定義域為R,

由,二^^—,^(y-2)x2+(y+l)x+y-2=0,

X+X+1

當(dāng)y=2時，x=0,符合題意；

當(dāng)尸2時，由xeR,得(y-2)x2+(y+l)x+y-2=0恒有實數(shù)根,

因此A=(\+1)2_4(,_2)220,解得IVy<5且y*2,

所以函數(shù)y=一尤+2的值域為[1,5].

x+x+\

Y—1

【典例2】(2324高三上?全國?專題練習(xí))函數(shù)y=丁,「，%>0的值域為.

x-6x4-7

/

1

【答案】—oo9———,+00

7

【解析】因為y=-整理得討―(6y+l)x+7y+l=0,

x-ox+7

可知關(guān)于X的方程"2-(6y+l)x+7y+l=0有正根,

若y=0,貝|J_%+1=0,解得了=1,符合題意;

若ywO,貝!］無-_16H—1j.x+7H—=0,

yy

6+-6+-

—>0

--<0,解吐

可得2或，2

2yy

1

7+-<0A=6+--47+->0

yyy

則-;<y<o或y>o或yw―垃：”

綜上所述：—或”-個

即函數(shù)3=2“11，X>0的值域為

龍一6x+7

法七、導(dǎo)數(shù)法：對可導(dǎo)函數(shù)/(x)求導(dǎo)，令/'(x)=0,求出極值點，判斷函數(shù)的單調(diào)性：

如果定義域時閉區(qū)間，額函數(shù)的最值一定取在極值點處或區(qū)間端點處；

如果定義域是開區(qū)間且函數(shù)存在最值，則函數(shù)最值一定取在極值點處。

【典例1](2324高三上?遼寧?開學(xué)考試)函數(shù)〃x)=(-2x+4)e￡在區(qū)間[1,+8)上的最大值為一

【答案】2e

【解析】r(x)=(-2x+2)e\當(dāng)xe[l,+8)時,_f(x)<0,〃x)單調(diào)遞減，/(%)</(l)=2e.

【典例2】(2324高三上?山東濟寧?月考)函數(shù)/(x)=x-lnx的最小值

【答案】1

【解析】ra)=u=」，尤>o,

XX

當(dāng)o<x<i時，r(x)<o,函數(shù)/(X)單調(diào)遞減，

當(dāng)x>l時，/^x)>0,函數(shù)/■(%)單調(diào)遞增，

所以當(dāng)x=l,函數(shù)取得最小值/(1)=1.

重難點02常見奇函數(shù)、偶函數(shù)的類型及應(yīng)用

1、/(x)=a*+af(a>0且a20)為偶函數(shù)；

2、/(x)=?A-a~x(。>。且。2。)為奇函數(shù)；

3、/(%)=-——--=-^——-(。>0且。#0)為奇函數(shù)；

(jx+a*a*+1

4、y(x)=logfl-~-(a>0且awO力w0)為奇函數(shù)；

5、/(x)=log,,(J龍，+1土x)(a>0且a#0)為奇函數(shù)；

6、/(%)=麻+4+版—可為偶函數(shù)；

7、/('=麻+.一麻一百為奇函數(shù);

【典例1】(2324高三下?四川南充?二模)已知函數(shù)/。)=/一b'，則函數(shù)y=+1的圖象()

A.關(guān)于點(U)對稱B.關(guān)于點(TD對稱

C.關(guān)于點(-1,0)對稱D.關(guān)于點(1,0)對稱

【答案】A

【解析】因為析x)=e-eT,所以f(r)=e--/(x),即/⑴的圖象關(guān)于原點對稱，

函數(shù)y=/(x-D+i的圖象可由/a)的圖象，先向右平移一個單位，再向上平移一個單位得到,

所以函數(shù)>=/(尤-D+1的圖象關(guān)于點CU)對稱.故選：A.

【典例2】(2324高三下?重慶?模擬預(yù)測)(多選)函數(shù)/(X)=2，；2',8⑴=川Jl+9f-3@,那么()

A./(x)+g(x)是偶函數(shù)B.是奇函數(shù)

g(x)

C.是奇函數(shù)D.g（y（x））是奇函數(shù)

/(x)

【答案】BC

【解析】因為y（r）=W^=/（x）,所以〃力=/二為偶函數(shù),

因為g(-x)+g(x)=In(，l+9x?+3x^+ln(A/1+9X?=lnh/l+9x2+3xh/l+9x2-3x=lnl=O,

即g(-x)=-g(x),所以g(x)=ln(Jl+9x2-3x)為奇函數(shù),

所以〃x）+g（x）為非奇非偶函數(shù)，A錯誤;

/(-x)?g(-x)=-[/(A：).g(x)],所以/(x)-g(尤)為奇函數(shù)，B正確;

g(f)黑二一工’所以黨是奇函數(shù)’C正確;

〃-尤)

令H(x)=g(/(x))，H(-x)=g(/(-x))=g(/(x))=H(x)”（x）為偶函數(shù)，D錯誤.故選：BC.

重難點03函數(shù)周期性的常用結(jié)論及應(yīng)用

1、（。是不為0的常數(shù)）

(1)若/(x+a)=/(x),則丁=。；(2)若/(x+a)=/(x-a),則T=2a；

(4)若/(x+a)=y^j,則T=2a；

(3)若/（%+。）=一/（尤），則T=2a；

若/(x+a)=-~,貝!JT=2a；(6)若/(x+a)=/(%+〃)，則T=|a—4(a#h)；

2、函數(shù)對稱性與周期性的關(guān)系

（1）若函數(shù)/（九）關(guān)于直線x=a與直線x=b對稱，那么函數(shù)的周期是2也—M；

（2）若函數(shù)/（九）關(guān)于點（a,0）對稱，又關(guān)于點（仇0）對稱，那么函數(shù)的周期是2|?！猘.

（3）若函數(shù)/（九）關(guān)于直線x=a,又關(guān)于點0,0）對稱，那么函數(shù)的周期是4|A—a|.

3、函數(shù)的奇偶性、周期性、對稱性的關(guān)系

（1）①函數(shù)/（九）是偶函數(shù)；②函數(shù)圖象關(guān)于直線x=a對稱；③函數(shù)的周期為21al.

（2）①函數(shù)/（九）是奇函數(shù)；②函數(shù)圖象關(guān)于點（a,0）對稱；③函數(shù)的周期為21d.

（3）①函數(shù)/（九）是奇函數(shù)；②函數(shù)圖象關(guān)于直線x=a對稱；③函數(shù)的周期為41H.

(4)①函數(shù)/(九)是偶函數(shù)；②函數(shù)圖象關(guān)于點(a,0)對稱；③函數(shù)的周期為41al

其中awO,上面每組三個結(jié)論中的任意兩個能夠推出第三個。

【典例0(2324高三下.河北?模擬預(yù)測)定義在R上的函數(shù)〃x)周期為4,且/(2x+l)為奇函數(shù)，貝卜

A./(X)為偶函數(shù)B./(x+1)為偶函數(shù)

C./(x+2)為奇函數(shù)D.〃x+3)為奇函數(shù)

【答案】D

【解析】定義在R上的函數(shù)〃元)周期為4,所以/(x+4)=〃x),

又〃2x+l)為奇函數(shù)，所以/(—2x+l)=-〃2x+l),

即/(—x+l)=-/(x+l),所以為奇函數(shù)，故B錯誤；

所以/(-x+2)=—/(x),則/(-x+2)=—/(x+4),

所以〃r+3)=-〃x+3),則〃x+3)為奇函數(shù)，故D正確；

由〃r+l)=-〃x+l),所以〃T+1)+/(X+1)=0,則關(guān)于(1,0)對稱，

令/(x)=sin(7cr),貝!|/(x+4)=sin7t(x+4)=sin7tx=/(x),滿足函數(shù)〃力周期為4,

J=L/(2x+l)=sin(27LV+7i)=-sin(27tx)^/g,/(2x+l)為奇函數(shù)，

但是〃力=如(m)為奇函數(shù)，故A錯誤；

令〃x)=cosgx),則/(x+4)=cos曰(x+4)=cos^x^=/(x),滿足函數(shù)周期為4,

又〃2x+l)=cos1(2x+l)=3(口+。=-5畝(口)滿足〃2x+l)為奇函數(shù)，

但是〃x+2)=cos5(x+2)=cos[]x+j=-cos15x)為偶函數(shù)，故C錯誤.故選：D

【典例2】(2324高三下?江西?月考)(多選)已知f(x)的定義域為R,若/(X)的圖象關(guān)于直線>對稱,

且/(x+1)為奇函數(shù)，則()

A.7(/(%))=xB./(x)+/(-x)=2C./(X+4)-/(X)=4D./(2024)=-2023

【答案】ABD

【解析】因為〃工)的圖象關(guān)于直線對稱，

令y=/(x)，則/(y)=x,所以/(〃x))=〃y)=x,故A正確;

因為/(x+i)為奇函數(shù)，所以〃—x+l)=-〃x+l),

令/(i一x)=y，貝1J/(x+i)=-y,所以/(>)+/(—y)=i-x+i+x=2,

即〃x)+〃-x)=2,故B正確；

由〃x)+〃-x)=2,令x-l替換x可得/(xT)+/(lr)=2,

X/(-x+l)=-/(x+l)，所以/(x+l)-/(x—l)=-2,

貝"(x+4)-/(x+2)=-2,/(x+2)-/(x)=-2,

所以“x+4)—〃x)=T,故C錯誤;

由〃x+l)=/(xT-2,

所以/(2024)=/(2022)—2=/(2020)-4=…=/(0)—2024=1-2024=-2023,故D正確.

故選：ABD

重難點04抽象函數(shù)的性質(zhì)綜合應(yīng)用

1、抽象函數(shù)求值：以抽象函數(shù)為載體的求值問題的常見形式，是給出函數(shù)滿足的特殊條件，指定求出某處

的函數(shù)值或某抽象代數(shù)式的值。常用賦值法來解決，要從以下方面考慮：令尤;…,-2,-1,0,1,2…等特殊

值求抽象函數(shù)的函數(shù)值。

2、判斷抽象函數(shù)單調(diào)性的方法：

(1)湊：湊定義或湊已知，利用定義或已知條件得出結(jié)論；

(2)賦值：給變量賦值要根據(jù)條件與結(jié)論的關(guān)系.有時可能要進行多次嘗試.

①若給出的是“和型”抽象函數(shù)F(X+y)=…，判斷符號時要變形為：

/((%2或/(%2)-/(%))=/(%2)-/((%1-X2)+%2)；

②若給出的是“積型”抽象函數(shù)，(孫)=…，判斷符號時要變形為：

/(X2)-/(%1)=/X].舉-/(尤1)或/(蒼)-/(%)=〃9)-了-^2?

\Xl)\X2J

3、求抽象函數(shù)解析式的方法

①換元法：用中間變量表示原自變量X的代數(shù)式，從而求出f(x)；

②湊合法：在已知/'(g(x))=h(x)的條件下，把h(x)并湊成以。(久)表示的代數(shù)式，再利用代換即可求/(久)；

③待定系數(shù)法：已知函數(shù)類型，設(shè)定函數(shù)關(guān)系式，再由已知條件，求出出關(guān)系式中的未知系數(shù)；

④利用函數(shù)性質(zhì)法：主要利用函數(shù)的奇偶性，求分段函數(shù)的解析式；

⑤賦值法：給自變量取特殊值，從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律，求出"》)的表達式；

⑥方程組法：一般等號左邊有兩個抽象函數(shù)(如?),將左邊的兩個抽象函數(shù)看成兩個變量，變換變

量構(gòu)造一個方程，與原方程組成一個方程組，利用消元法求/(%)的解析式.

【典例1】(2324高三下?河南?月考)(多選)已知非常數(shù)函數(shù)/(x)的定義域為R,且

f(x)〃y)=f3)+型(x+y),則()

A.〃。)=0B./(l)=-2或〃1)=1

C.q1是｛x|xeR且XAO｝上的增函數(shù)D.〃尤)是R上的增函數(shù)

【答案】AC

【解析】在/(x)l/(y)=/(孫)+移(+丫)中,

令尸0,得“0)〃x)=〃0)，即VxeRJ(O)[〃x)—1]=0.

因為函數(shù)為非常數(shù)函數(shù)，所以"0)=0,A正確.

令g(x)="^,xwO,則g(x)g(y)=g3)+x+y.

令x=y=-l,則[g(-l)F=g⑴-2,①

令x=y=令則[g(l)F=g(l)+2,②

由①②,解得g(l)=2,g(-l)=0,從而〃1)=2,B錯誤.

令y=l,貝1|g(x)g⑴=g(x)+x+l,即g(x)=x+l,

因為"0)=0,所以*x)=x(x+l),所以C正確，D錯誤.故選：AC

【典例2】(2324高三上?福建莆田.開學(xué)考試)已知函數(shù)/(x)的定義域為R,并且滿足下列條件：對任意尤,

yGR,都有〃x+y)=/(x)+〃y),當(dāng)尤>0時，f(x)<0.

(1)證明：〃x)為奇函數(shù)；

(2)若〃-1)=1,解不等式/■(*+2x)-〃2-力>-2.

【答案】(1)證明見解析；(2)(-4,1)

【解析】(1)\?函數(shù)/(X)的定義域為R,則定義域關(guān)于原點對稱.

?..對任意X,yGR,都有/(x+y)=/(x)+/(y)，

故令x=y=O,則/(0)=/(0)+〃0)=2〃0),二/(0)=0,

令丫=一了，貝iJ/(x-x)=/(x)+/(—x)=O,BPf(-x)=-f(x),

；J(x)是奇函數(shù);

(2)任取士,工2eR，且玉〉尤2，由題意得，xI-x2>0,/(A;-X,)<0,

/(石)=/(%-々+馬)=/(石f)+/㈤,

.-.f(xl)-f(x2)^f(xI-x2)<0,

??./(百)</(%2)，，/(x)在R上為減函數(shù).

因〃-1)=1,=〃2)=〃1+1)=-=

Z./(X2+2X)-/(2-X)>-2<^/(X2+2X)+/(X-2)>-2

07(f+2;<:)+/(%—2)>/(2)0/[(尤2+2尤)+(彳-2)]>/(2)=尤2+3尤一2<2,

解得T<x<l,

.-./(%2+2%)-/(2-%)>-2的解集為：(T,1).

法技巧?遑哀學(xué)霸

一、求函數(shù)定義域的依據(jù)

函數(shù)的定義域是指使函數(shù)有意義的自變量的取值范圍

1、分式的分母不能為零.

2、偶次方根的被開方數(shù)的被開方數(shù)必須大于等于零，即正（其中〃=2左，左eN*）中xNO,

奇次方根的被開方數(shù)取全體實數(shù)，即於（其中“=2左+l#eN*）中，x&R.

3、零次塞的底數(shù)不能為零，即x°中XH0.

4、如果函數(shù)是一些簡單函數(shù)通過四則運算復(fù)合而成的，那么它的定義域是各個簡單簡單函數(shù)定義域的交集。

【注意】定義域用集合或區(qū)間表示，若用區(qū)間表示熟記，不能用“或”連接，而應(yīng)用并集符號“U”連接。

【典例1】（2324高三下?四川南充.三模）函數(shù)/（彳）=巫三的定義域為_____.

V7x-1

【答案】HM）U（I,4]

【解析】因為“X）

所以16—d之0且x—IwO,角軍得一4Wx?4且xwl,

故函數(shù)的定義域為[yi）u（i,4].

【典例2】（2324高三下?北京?開學(xué)考）函數(shù)/（司=但（1_]）的定義域為

【答案】（1,2）"2,M）

【解析】由題意【炮（：一?,°,解得l<x<2或x>2,

x-l>0

所以函數(shù)=面/刁的定義域為(1,2)U(2,E).

二、函數(shù)解析式的四種求法

1、待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù)等)，可用待定系數(shù)法.

(1)確定所有函數(shù)問題含待定系數(shù)的一般解析式；

(2)根據(jù)恒等條件，列出一組含有待定系數(shù)的方程；

(3)解方程或消去待定系數(shù)，從而使問題得到解決。

2、換元法：主要用于解決已知的解析式，求函數(shù)/(%)的解析式的問題

(1)先令g(x)=f,注意分析/的取值范圍；

(2)反解出x,即用含/的代數(shù)式表示x；

(3)將/(g(%))中的無度替換為f的表示,可求得了(7)的解析式,從而求得了(%)。

3、配湊法：由已知條件/(g(X))="%),可將川龍)改寫成關(guān)于g⑺的表達式，

然后以x替代gQ),便得/(%)的解析式.

4、方程組法：主要解決已知"%)與/(-%)、f的方程，求"%)解析式。

例如：若條件是關(guān)于〃龍)與/(-X)的條件(或者與/)的條件,

可把X代為-X(或者把X代為工)得到第二個式子，與原式聯(lián)立方程組，求出了(%)

X

【典例1】(2324高三上?甘肅蘭州?月考)已知y(4+l)=