高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)訓(xùn)練：直線與圓的位置關(guān)系（分層練）

第24講直線與圓的位置關(guān)系

【人教A版選修一】

目錄

題型歸納...............................................................................

題型01直線與圓的位置關(guān)系的判斷........................................................................3

題型02圓的弦長問題.....................................................................................5

題型03圓的切線問題.....................................................................................9

分層練習(xí).................................................................................................12

夯實(shí)基礎(chǔ)...............................................................................................12

能力提升.................................................................................................18

創(chuàng)新拓展................................................................................................28

知識(shí)梳理

一、直線與圓的位置關(guān)系的判斷

直線1：Ax+By+C^0與圓C：a)2+(y—6)2=d的位置關(guān)系

位置關(guān)系相交相切相離

公共點(diǎn)個(gè)數(shù)2_個(gè)L個(gè)Q個(gè)

幾何法：

d>r

設(shè)圓心到直線的距離為d/

2222

判斷A/A+B

方法

(Ax+2y+C=0,

代數(shù)法：由消元

[(x—ay+(y—bY=r,/>0/=0/<0

得到一元二次方程，可得方程的判別式/

二、圓的弦長問題

求直線與圓相交時(shí)弦長的兩種方法:

(1)幾何法：如圖①，直線/與圓C交于A,B兩點(diǎn)，設(shè)弦心距為d,圓的半徑為r,弦長為|AB|,則有怨下

+d2—t2,

即|42|=2與/一/.

⑵代數(shù)法：如圖②所示，將直線方程與圓的方程聯(lián)立，設(shè)直線與圓的兩交點(diǎn)分別是A(xi，%),8(X2,竺)，

圖②

則\AB\=yj(xi—%2)2+Cyi~y2)2

lyi—y2K直線/的斜率/存在)

題型歸納

題型01直線與圓的位置關(guān)系的判斷

【解題策略】

直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法

(1)幾何法：由圓心到直線的距離［與圓的半徑廠的大小關(guān)系判斷.

(2)代數(shù)法：根據(jù)直線方程與圓的方程組成的方程組的解的個(gè)數(shù)來判斷.

(3)直線系法：若直線恒過定點(diǎn)，可通過判斷定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系來判斷直線與圓的位置關(guān)系.但有一定的局限性，必

須是過定點(diǎn)的直線系

【典例分析】

【例1】例1已知直線方程“l(fā)x—y—初一1=0,圓的方程r+y?—4x—2y+l=0.當(dāng)相為何值時(shí)，圓與直線：

⑴有兩個(gè)公共點(diǎn)；

⑵只有一個(gè)公共點(diǎn)；

(3)沒有公共點(diǎn).

解方法一將直線根一1=0代入圓的方程化簡(jiǎn)整理得，

(l+m2)x2—2(m2+2m+2)x+m2+4m+4=0.

則/=4機(jī)(3機(jī)+4).

4

(1)當(dāng)/>0,即根>0或根(一］時(shí)，直線與圓相交，即直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn).

(2)當(dāng)/=0,即加=0或%=—1時(shí)，直線與圓相切，即直線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn).

(3)當(dāng)/<0,即一齊根<0時(shí)，直線與圓相離，即直線與圓沒有公共點(diǎn).

方法二已知圓的方程可化為(x—2)2+。一1)2=4,

即圓心為C(2』)，半徑r=2.

圓心C(2,l)到直線mx-y-m-l=0的距離

|2m~1"m-1|\m-2\

y/l+m2\］1+m2

4

⑴當(dāng)d<2,即機(jī)>0或機(jī)<一］時(shí)，直線與圓相交，即直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn).

4

(2)當(dāng)d=2,即加=0或m=—可時(shí)，直線與圓相切，即直線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn).

4

⑶當(dāng)d>2,即一聲m<0時(shí)，直線與圓相離，即直線與圓沒有公共點(diǎn).

【變式演練】

【變式1］（2324高二下?浙江?期中）已知直線，：x+ay-a-l=O,圓M:Y9一2》一2=0.則直線/與圓〃的位置關(guān)

系是（）

A.相交B.相切C,相離D.與a有關(guān)

【答案】A

【分析】利用圓心到直線的距離與半徑的比較即可判斷位置關(guān)系.

【詳解】因?yàn)閳A加：一+9-2苫-2=0的圓心為（1,0）,半徑為百，

|2

則圓心（1,0）到直線/：X+ay-。-1=0的距離為d=包4=1+a

=1<V3=r>

ViwJ1+a2

所以直線/與圓M的位置關(guān)系是相交.

故選：A

【變式2］（2324高二上?上海.期末）點(diǎn)〃（4,幾）在圓x2+y2=/外，則直線/x+1與該圓的位置關(guān)系為.

【答案】相交

【分析】根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系以及直線與圓的位置關(guān)系分析判斷.

【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)/（%,%）是圓/+外一點(diǎn)，故有焉+

222

|0+0-a|\a\a

21

則圓心（0,0）到直線為無+yoy=a的距離為,'=,''<一=a,

7^o+Jo?+北a

1

直線xox+yoy=a與該圓的位置關(guān)系是相交.

故答案為：相交

【變式3】（2022高二?全國?專題練習(xí)）判斷直線*-2、+1=0與圓（x-l）2+（y+3『=i的位置關(guān)系.

【答案】直線與圓相離

【分析】可從以下兩個(gè)方面思考：一方面聯(lián)立直線與圓的方程，判斷方程組解的情況即可；或者判斷圓心到直線的距

離與圓的半徑的大小關(guān)系也可以.

【詳解】方法一：（代數(shù)法）

x-2y+l=0

將直線與圓的方程聯(lián)立，得(X(八2］，消去x得5y2_2y+12=0,

(1)+(y+3)=1

所以△=(-2)2—4x5x12=-236,即方程組無解，所以直線與圓相離.

方法二：(幾何法)

圓(x-l)2+(y+3)2=1的圓心為(1,-3),半徑為r=l,則圓心到直線尤-2了+1=。的距離為

|1-2X(-3)+1|_8^5

d=---/——----1—r

g(一2),故直線與圓相離

題型02圓的弦長問題

【解題策略】

(1)求直線與圓的弦長的兩種方法：代數(shù)法、幾何法.

⑵利用弦長求直線方程、圓的方程時(shí)，應(yīng)注意斜率不存在的情況

【典例分析】

課本例1已知直線/：3x+y—6=0和圓心為C的圓f+F—2y—4=0,判斷直線/與圓C的位置關(guān)系；如果相交，求

直線/被圓C所截得的弦長.

解方法一聯(lián)立直線/與圓C的方程，得

[3x+y—6—0,①

V+/-2y-4=0.②

消去y,得x2—3x+2=0,解得為=2,無2=1.

所以，直線/與圓C相交，有兩個(gè)公共點(diǎn).

把xi=2,X2=l分別代入萬程①，得yi=0,>2=3.

所以，直線/與圓C的兩個(gè)交點(diǎn)是A(2,0),8(1,3).

因此=y(l—2)2+(3_0)2=?.

方法二圓C的方程V+y2—2y—4=0可化為f+U—l)2=5,因此圓心C的坐標(biāo)為(0,1),半徑為小,圓心C(0,l)到直

線/的距離

13X0+1—615

聲+了

所以，直線/與圓C相交，有兩個(gè)公共點(diǎn).

如圖，由垂徑定理,

得\AB\=27rl

【例2】求直線x—小y+2小=0被圓一+尸=4截得的弦長.

lI-f尤—V5y+2小=0,

解方法一直線x—小y+2小=0和圓/+丁=4的公共點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組《,\的解.

〔%，+儼=4

卜1=一小,刀2=0,

解這個(gè)方程組,[*=1

）2=2.

所以公共點(diǎn)的坐標(biāo)為（一小，1）,（0,2）,

所以直線x—2y5=0被圓f+y2=4截得的弦長為/（一小一0）2+（1—2）2=2.

方法二如圖，設(shè)直線x—小y+25=0與圓/+產(chǎn)=4交于A,B兩點(diǎn),弦的中點(diǎn)為V,則。M_LAB（。為坐標(biāo)原

點(diǎn)），

|0-0+2^3|

又|OM=事,

42+（一市）2

所以=2|AM=2M。*2一|OM|2

2山2一響2=2.

【變式演練】

【變式1](2223高二上?福建泉州?期中)直線/:(相+l)x+(l-3m)y+(5加-3)=。被圓

22

C:x+y-2tu-(4n+2)y+5/+4〃-8=0截得的弦長為定值，則直線/的方程為.

【答案】丁=2無

【分析】根據(jù)給定條件，求出動(dòng)圓圓心的軌跡方程，再由直線/與圓心的軌跡平行求解作答.

【詳解】圓C:(x-〃)2+(y-21產(chǎn)=9的圓心C(",2〃+l),半徑r=3,顯然點(diǎn)C的軌跡是直線y=2x+l,

fx-3y+5=0,fx=l

直線/：(%—3y+5)根+(%+y—3)=。，由二八解得即直線/過定點(diǎn)M(l,2),

[x+y—3=0[)=2

因直線/被圓C截得的弦長為定值，則圓心C到直線/的距離為定值，因此直線/平行于圓心C的軌跡，

設(shè)直線/的方程為：y=2x+a,a^l,有2=1x2+〃，解得〃=0,

_.1亞/

此時(shí)直線/與圓心C的軌跡的距離為“=萬不[=彳<廠，即直線/與圓C相交，

所以直線/的方程為y=2x.

故答案為：y=2x

【變式2](2324高二上.陜西咸陽.階段練習(xí))已知圓C:(x-3)2+(y-iy=9及直線/：6+丫一5。-2=0,當(dāng)直線/被圓C

截得弦長最長時(shí)，直線/的方程為.

【答案】x-2y-l=0

【分析】通過題干，當(dāng)直線過圓心時(shí)，所截弦長最長，為直徑，將圓心代入直線方程求解即可.

【詳解】因?yàn)閳AC:(x-3)2+(y-l)2=9,圓心C(3,l),r=3,當(dāng)直線/被圓C截得弦長最長時(shí)，此時(shí)直線過圓心，弦長

為2r=6,將圓心代入直線方程得3。+1-5。-2=0,即。=-工，所以直線方程為尤-2y-l=0,

2

故答案為：》-2>-1=0

【變式3](2324高二上?新疆和田?期中)已知圓C方程為/+y-6苫+5=0,直線乙方程為x-2y=0,貝。

（1）求圓C圓心坐標(biāo)及半徑r;

（2）判斷直線L與圓C位置關(guān)系，若相交，求弦長.

【答案】（1）圓心坐標(biāo)為（3,0）,半徑為r=2

⑵相交，且弦長為手

【分析】（1）將圓C的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，可得出圓C的圓心坐標(biāo)與半徑長；

（2）計(jì)算出圓心到直線L的距離，.結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系可得出結(jié)論，再利用勾股定理可求得弦長.

【詳解】（1）圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（丈_3）2+9=4,則圓C的圓心坐標(biāo)為（3,0）,半徑為廠=2.

（2）圓心到直線乙的距離為d=Y==2叵＜「，

71+45

2^/55

所以，直線乙與圓C相交，弦長為2介=2

5

題型03圓的切線問題

【解題策略】

求過某一點(diǎn)的圓的切線方程

（1）過圓上一點(diǎn)（xo,yo）的圓的切線方程的求法

①若切線斜率存在且不為0,則先求切點(diǎn)與圓心連線所在直線的斜率網(wǎng)后4））,由垂直關(guān)系得切線的斜率為一￡

由點(diǎn)斜式方程可得切線方程.

②若切線斜率為零或不存在，則由圖形可直接得切線方程y=yo或x=x（）.

（2）過圓外一點(diǎn)（xo,州）的圓的切線方程的求法

①若切線斜率存在，設(shè)切線的斜率為左，則切線方程為y—yo=%（x—松），由圓心到直線的距離等于半徑建立方程,

可求得匕也就得切線方程.

②當(dāng)切線斜率不存在時(shí)要加以驗(yàn)證.

③過圓外一點(diǎn)的切線有兩條

:典例分析］

課本例2過點(diǎn)尸(2,1)作圓O：^+/=1的切線I,求切線I的方程.

解方法一設(shè)切線/的斜率為左，則切線/的方程為y—l=^x—2),即依一y+1—2k=0.

由圓心(0,0)到切線/的距離等于圓的半徑1,

得'/7警=1，解得左=?；?

因此，所求切線/的方程為y=l,或4x—3y—5=0.

方法二設(shè)切線/的斜率為左，則切線/的方程為y—l=k(x—2).

因?yàn)橹本€/與圓相切，所以方程組

y-l=k(x-2),

只有一組解.

x2+y2—l

消元，得

(產(chǎn)+1)/+(2k-4R)x+4A2—4Z=0.①

因?yàn)榉匠挞僦挥幸粋€(gè)解，所以

/=4后(1一2左)2—16網(wǎng)妤+1)(左一1)=0,

4

解得％=0或

所以，所求切線/的方程為y=l,或4x—3y—5=0.

【例3】(1)過點(diǎn)4(—1,4)作圓(x—2)2+。一3)2=1的切線/,則切線/的方程為.

答案y=4或3x+4y—13=0

解析：(一l-2>+(4—3)2=10>1,

...點(diǎn)A在圓外.

當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，/的方程是x=-1,不滿足題意.

因此直線/的斜率存在，設(shè)為鼠

則切線I的方程為y-4=-x+l),

即kx—y+4+Z=0.

\2k—3+4+川

圓心(2,3)到切線/的距離為1,

.3

解得左=0或%=一不

因此，所求直線I的方程為y=4或3x+4y—13=0.

(2)由直線y=x+l上任一點(diǎn)向圓(%—3)2+尸=1引切線，則該切線長的最小值為()

A.1B.2^2匚幣D.3

答案C

解析圓心。(3,0)到直線y=x+l的距離

|3-0+1|I-

d=巾=2*

所以切線長的最小值為/=叱2陋)2—12=市.

【變式演練】

【變式1】(2324高二下?北京?期中)已知圓。:/+y=5,直線/經(jīng)過點(diǎn)(1,2),且/與圓。相切，貝U/的方程為(

A.x+2y-5=0B.x-2y+3=0C.2x-y=0D.2x+y-4=0

【答案】A

【分析】點(diǎn)斜式設(shè)出方程，利用相切可求答案.

【詳解】顯然斜率不存在時(shí)，不合題意；斜率存在時(shí)，設(shè)方程為y-2=Mx-l),

\2-k\

圓心到直線的距離為d=),因?yàn)?與圓。相切，所以4=君，

\2-k\廠1

即為4=&,解得％=二，即/的方程為x+2y-5=0.

故選：A

【變式2](2324高二下?河北張家口?期中)已知。。:/+,2=4和點(diǎn)4(2,-1),則過點(diǎn)A的。。的所有切線方程

為.

【答案】x=2或3x-4y-10=0

【分析】先確定點(diǎn)A在圓外，再分切線斜率存在與否，利用圓心到切線的距離等于半徑求解即可.

【詳解】由圓的方程可得圓心0(0,0),半徑r=2,

由題意可得圓心到切線的距離等于半徑r=2,

由點(diǎn)4(2,-1)代入圓的方程可得4+1>4,所以點(diǎn)A在圓外，

所以當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，滿足題意的直線方程為x=2；

當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)為人，

貝U過點(diǎn)A的切線方程為丫+1=笈(X—2),即依一y-2左一1=0

所以匕—=2,解得左=

y/1+k24

此時(shí)，切線方程為--4>-10=0,

綜上，過點(diǎn)A的。。的所有切線方程為x=2或3x-4y-10=0.

故答案為：》=2或3x_4yT0=0

【變式3](2324高二上.廣西南寧?階段練習(xí))過點(diǎn)尸(2,1)作圓C:Y+y2-4x+6y-3=0的切線/,求切線/的方程

【答案】y=i

【分析】由圓的方程求出圓心和半徑，通過計(jì)算得到點(diǎn)尸(2,1)在圓上，根據(jù)切線幾何性質(zhì)進(jìn)而可得切線的方程.

【詳解】C:x2+y2-4x+6y-3=0,即C:(x-2)2+(y+37=16,

則其圓心C(2,—3),半徑廠=4,

將點(diǎn)P(2,l)代入圓的方程可得(2-2)2+(1+3)2=16,

則點(diǎn)尸(2,1)在圓上,則CP，/,

直線CP的方程為x=2,貝u勺=。，

則切線方程為y=i

分層練習(xí)

【夯實(shí)基礎(chǔ)】

一、單選題

1.（2324高二下?廣東梅州?階段練習(xí)）已知圓C:V+2x+y2_3=0,則直線/：尤+“（丁-1）=0與圓C（）

A.相交B.相切C.相離D,相交或相切

【答案】A

【分析】由直線與圓的方程可知，該直線有定點(diǎn)在圓內(nèi)，即可得其位置關(guān)系.

【詳解】C:X2+2X+/-3=0可化為（x+lp+y,=4,

即該圓圓心為（TO）,半徑為2,

由I:x+〃（y—1）=0可得該直線過定點(diǎn)（0,1）,

有（0+1）2+12=2<4,即該定點(diǎn)必在圓內(nèi)，

故兩者位置關(guān)系為相交.

故選：A.

2.（2324高二上?廣東惠州?階段練習(xí)）直線ax+y-a=0（aeR）與圓。-2）2+丁=4的位置關(guān)系是（）

A.相離B.相交C.相切D.無法確定

【答案】B

【分析】判出直線"+y-a=0（aeR）恒過定點(diǎn)（1,0）,再判定點(diǎn)與圓位置關(guān)系可得直線和圓位置關(guān)系.

【詳解】由or+y-a=0=>y=-a（xT）,所以直線內(nèi)+丫-口=。恒過定點(diǎn)（1,0）,

因?yàn)椋?-2）2+。2<4,所以點(diǎn)（1,0）在圓（x-2）2+>2=4的內(nèi)部,

所以直線?+y-a=O與圓(x-2)〉+y2=4相交.

故選：B.

3.(2324高二上?天津?期末)過(1,0)點(diǎn)且與圓x2+y2-4x-4y+7=0相切的直線方程為()

A.2x-y-2=0B.3x-4y-3=0

C.2%—丁一2=0或%=1D.3%—4丁一3=?；?=1

【答案】D

【分析】由題意分直線斜率是否存在再結(jié)合直線與圓相切的條件進(jìn)行分類討論即可求解.

【詳解】圓尤2+V-4x-4y+7=0,即圓(x-2)2+(y-2『=l的圓心坐標(biāo)，半徑分別為(2,2),1,

顯然過(1,0)點(diǎn)且斜率不存在的直線為x=l,與圓(x-2)2+(y-2)=l相切，滿足題意；

設(shè)然過(1，。)點(diǎn)且斜率存在的直線為丁=可》-1),與圓(x-2)2+(y-2)z=l相切，

\k-2\3

所以d=)^=l=r,所以解得人=1,

a+14

所以滿足題意的直線方程為--4-3=?；騲=L

故選：D.

4.(2024高二上?全國?專題練習(xí))直線x=2被圓(彳-“)2+丫2=4所截得的弦長等于26，則。的值為

A.-1或3B.四或一五C.1或3D.a或百

【答案】C

【分析】由題意可知，圓心(a,。)到x=2的距離為1,由距離公式求解即可.

【詳解】因?yàn)橄议L為2百，半徑r=2,

所以圓心(。,0)到x=2的距離為："一⑹=1,

所以|a-2|=l,所以“=1或3.

故選：C.

二、多選題

5.(2324高二下?江西贛州?階段練習(xí))已知圓C方程為Y+；/+2x-4y-4=0,則下列說法中正確的是()

A.圓C的圓心坐標(biāo)為(1,2)B.圓C的半徑為3

C.圓C與直線x=2相切D.點(diǎn)P(3,2)在圓外

【答案】BCD

【分析】由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可判斷選項(xiàng)A、B,由圓心到直線的距離與半徑比較可判斷選項(xiàng)C,將點(diǎn)P(3,2)代入圓的方程

可判斷D.

【詳解】已知圓C方程為(x+l)，+(y-2)2=9,

故圓C的圓心坐標(biāo)為(-1,2),半徑為3,故A錯(cuò)誤，B正確.

圓C(-1,2)到直線x=2的距離為3,故C正確.

點(diǎn)尸(3,2)代入圓C方程為(3+l)2+(2-2)2=16>9,故點(diǎn)尸(3,2)在圓外，故D正確.

故選：BCD.

6.(2324高二上?河南周口?階段練習(xí))過點(diǎn)(0,3)作與圓/+'2-2苫=0相切的直線/，則直線/的方程為()

A.4x-3y-9=0B.4x+3y-9=0

C.x=0D.x=l

【答案】BC

【分析】求出己知圓的圓心、半徑，再按切線/斜率存在與否分類求解即得.

【詳解】依題意，圓5-1)2+丫2=1的圓心。(1,0),半徑廠=1,

過點(diǎn)(0,3)斜率不存在的直線x=0,顯然點(diǎn)C(l,0)到直線x=0的距離為1,

即直線x=0與圓C相切；

當(dāng)切線/斜率存在時(shí)，設(shè)切線/方程為、=履+3,即辰-y+3=0,

/口卜+3|,4

于是解得左=—§,止匕時(shí)切線/方程為4%+3y—9=0,

所以直線/的方程為x=0或4x+3y-9=0.

故選：BC

三、填空題

7.（2324高二上?山東聊城?期末）寫出經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，且被圓C:（x-1）2+（廣2）2=4截得的弦長為2若的直線/的一

個(gè)方程.

【答案】x=0或3元-4y=0（寫出一個(gè)即可）

【分析】討論直線/的斜率是否存在，再設(shè)直線方程根據(jù)垂徑定理求解即可.

【詳解】由題意，圓心（1,2）到直線/的距離4=（-1苧）=1,

當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，方程為x=0滿足題意；

-2|

當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，設(shè)直線/的方程為，=依，即丘-y=0,則為4=],

y/1+k2

即（"2）2=1+3,解得左=：,止匕時(shí)直線/的方程為3x-4y=0.

故答案為：x=0或--分=0（寫出一個(gè)即可）

8.（2324高二下?上海松江?階段練習(xí)）已知直線x+y-5=0與圓C:x2+y2-4犬+2〉+m=0相交于48兩點(diǎn)，且IAB|=4,

則實(shí)數(shù).

【答案】-7

【分析】利用垂徑定理列方程求解即可.

【詳解】根據(jù)題意，圓x2+/-4x+2y+m=。，

BP（x-2）2+（y+l）2=5-m,其圓心為②T,半徑r=、J5-m,m<5,

若IAB|=4,則圓心到直線1即AB的距離d=—=^5-m-4=\!\-m,

貝!I有<1-m=2A/2，

解可得：，〃=-7;

故答案為：-7.

9.(2324高二上?上海?期末)過點(diǎn)(2,-2)作圓V+丁=4的切線，則切線方程為.

【答案】x=2或、=一2

【分析】由題意分直線斜率是否存在結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式即可求解.

【詳解】當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)切線的點(diǎn)斜式方程為：y+2=k(x-2),圓心到直線的距離為家[=2=r,

化簡(jiǎn)得至必=0,故尸一2；

另一條應(yīng)為上不存在的情況，即x=2滿足題意.

故答案為：x=2或y=-2.

四、解答題

10.已知直線/經(jīng)過直線y—3=0和4x—3y—5=0的交點(diǎn)，且與直線無+y—2=0垂直.

(1)求直線/的方程；

⑵若圓C的圓心坐標(biāo)為(3,0),直線/被該圓所截得的弦長為2小,求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

f2x—y—3=0,

解(1)由已知得〃.<八

14龍一3廠5=0,

[x=2,

解得

3=1，

兩直線交點(diǎn)為(2,1).

設(shè)直線/的斜率為ki,

?.,直線/與x+y—2=0垂直，：.ki=\,

;直線/過點(diǎn)(2,1),

.?.直線/的方程為y—1=尤一2,即x—y—1=0.

(2)設(shè)圓的半徑為r,依題意，得

13一11

圓心(3,0)到直線無一y—1=0的距離為'9二巾,

則由垂徑定理得^=(V2)2+(A/2)2=4,：.r=2,

???圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x—3)2+y2=4.

11.(2324高二下?四川.階段練習(xí))已知圓C和直線4：2x-y-4=04：x-y-2=0,若圓C的圓心為(0,0),且圓C經(jīng)

過直線乙和4的交點(diǎn).

⑴求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵過定點(diǎn)(1,2)的直線/與圓C交于跖N兩點(diǎn),且MN=20求直線/的方程.

【答案】(1)/+丁=4

⑵x=l或3尤-4y+5=0.

【分析】(1)根據(jù)題意聯(lián)立直線乙和4的直線方程，求得交點(diǎn)(2。，進(jìn)而求得半徑r=42-0)2+(0-Of=2,即可得

解；

(2)根據(jù)題意，結(jié)合垂徑定理求得圓心到直線/的距離1=廠哼討論直線/的斜率不存在和存在兩種情況進(jìn)

行討論，即可得解.

[2x-y-4=0fx=2

【詳解】(l)首先由，c可得八，

[x-y-2=0[y=0

所以直線6和4相交于點(diǎn)(2,0),

所以圓C的半徑r=J(2-0y+(0一OY=2,

所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為X2+/=4.

(2)當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，方程為x=l,代入圓C方程為尤2+^=4可得y=±石，

此時(shí)ACV=2g,符合題意，

當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為y=左。-1)+2,

根據(jù)題意圓心到直線/的距離為d=b(苧2=耳與=1,

\-k+2\3

所以「一=1,解得左=[,此時(shí)直線方程為3尤-4y+5=0,

W+l4

所以直線/的方程為x=l或3x-4y+5=0.

12.(2324高二上.新疆喀什?期末)已知直線/過點(diǎn)尸(3,1),圓C:(x-iy+(y-2)2=25.

⑴證明：直線/與圓C相交；

(2)求直線/被圓C截得的弦長的最小值.

【答案】(1)證明見解析

(2)475

【分析】(1)由尸(3.1)在圓的內(nèi)部，可得直線/與圓相交.

(2)根據(jù)當(dāng)直線/與尸C垂直時(shí)，弦長最短，求得答案.

【詳解】⑴把P(3』)代入圓的方程左邊得(3-以+(1-2)2=5<25,

，P(3,1)在圓的內(nèi)部，所以直線/與圓相交.

(2)已知圓心C。,2),r=5,設(shè)直線/與圓C相交于點(diǎn)AB,

當(dāng)直線/與PC垂直時(shí)，弦長最短，此時(shí)圓心到直線/的距離d=|PC|={(3-1)2+(1-2)2=非,

2

[q=r2_^2=5-5=20,

:.\AB\=4-j5.

所以直線/被圓C截得的弦長的最小值為

【能力提升】

一、單選題

1.(2324高二上廣西南寧?階段練習(xí))若直線y=x+，W與圓(x+l)2+(y+2)2=3交于兩點(diǎn)，且|AB|=2,則加=()

A.-1B.-3C.1D.-3或1

【答案】D

【分析】利用圓的弦長公式求得圓心到直線y=x+機(jī)的距離，再利用點(diǎn)線距離公式得到關(guān)于加的方程，解之即可得解.

【詳解】根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)公式可知圓的圓心為（-1,-2）,半徑為廠=6,

因?yàn)閨AB|=2,所以圓心到直線y=的距離為6/==J3—1=V2，

又直線V=x+%可化為x-y+〃z=°,

I―1+2+1_

則d=------==---=\]2,解得帆二-3或機(jī)=1.

及

故選：D.

2.（2324高二上?江蘇連云港?期中）圓尤2+丁-以=0在點(diǎn)網(wǎng)1,一百）處的切線方程為（）

A.x+J3y+2=0B.x+>/3y—4=0

C.x->/3j+4=0D.x-傷+2=0

【答案】A

【分析】利用直線與圓的位置關(guān)系計(jì)算即可.

【詳解】易知該切線斜率存在，不妨設(shè)切線方程/：y+6=Mx-i）,

易知圓心A（2,o）,半徑r=2,所以A到/的距離為1=1^-r=2，

解之得上=一且，即切線/:尤+gy+2=0.

3

故選：A

3.（2324高二上?吉林長春?期末）已知圓（x-2）2+（y-l）2=5,過點(diǎn)尸（L3）作圓的切線，則該切線的一般式方程為（）

A.九+2丁一7二。B.x-2y+5=0

C.2x+y-5=0D.2x-y+1=0

【答案】B

【分析】由題意點(diǎn)尸(1,3)在圓上，故由直線CP的斜率可得切線的斜率，進(jìn)而由點(diǎn)斜式化為一般式子即可得解.

【詳解】因?yàn)閳A(x-2)2+(y-1)?=5的圓心坐標(biāo)為C(2,1),且點(diǎn)P(l,3)的坐標(biāo)滿足(1_2>+(3-1-=5,

1-311

這表明點(diǎn)尸(L3)在圓上，所以直線CP的斜率為無CP=?4=-2,過點(diǎn)尸(1,3)的切線的斜率為一廠=不，

2-1kCP2

所以該切線方程為y-3=1(x-l),化為一般式得x-2y+5=0.

故選：B.

4.(2324高二上?天津武清.階段練習(xí))已知過點(diǎn)?已⑼的直線與圓口-仔+產(chǎn)二期相切，且與直線x-沖+1=0平行,

則。=()

A.2B.—3C.—D.—

22

【答案】B

【分析】設(shè)過點(diǎn)尸(2,3)的直線的方程為y-3=k(x-2),由圓心到切線的距離等于圓的半徑，利用點(diǎn)到直線的距離公式列

出關(guān)于「的方程，求出方程的解得到人的值，由切線與x-砂+1=。平行，可得答案.

【詳解】已知過點(diǎn)P(2,3)的直線與圓(x-1)2+9=10相切，

將點(diǎn)P(2,3)代入圓(尤_爐+/=10恒成立，

則點(diǎn)P在圓上.即過點(diǎn)P(2,3)的直線與圓(x-1,+V=10相切的切線只有一條，

令過點(diǎn)尸(2,3)的切線的方程為y-3=k(x-2),即依-y-2左+3=0,

由此切線與尤-―+1=。平行，兩直線的斜率相等且y軸截距不等，

可得左」且3+3」

aa

\k-0-2k+3\f—

由圓心到切線的距離等于圓的半徑，可得圓的半徑-=一,'=回,

在+女2

k=,艮fla=—3.

3

故選：B.

二、多選題

5.（2324高二上?云南昆明?階段練習(xí)）已知圓〃的方程為（x-l『+（y+2）2=l,則關(guān)于圓M的說法正確的是（）

A.圓心M的坐標(biāo)為（1,-2）

B.點(diǎn)嗚在圓加內(nèi)

C.直線x+y=O被圓/截得的弦長為走

2

D.圓〃在點(diǎn)（1,-1）處的切線方程為y=-l

【答案】ABD

【分析】由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可判斷A,根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系即可判斷B,根據(jù)直線與圓相交，結(jié)合勾股定理即可求

解弦長判斷C,根據(jù)點(diǎn)的位置即可判斷切線與x軸平行，即可判斷D.

【詳解】由圓M的方程為（x-iy+（y+2）2=l,知其圓心為（1,-2）,半徑為1,故A正確；

點(diǎn)嗚，一》到點(diǎn)（1'一2）的距離為一1]+2；=*1,故B正確；

點(diǎn)-2）到x+y=。的距離為所以2J'—O,故C錯(cuò)誤;

因?yàn)椋?-1）2+（-1+2『=1,所以點(diǎn)（1,-1）在圓M上，

而點(diǎn)（1,-1）與圓心（1,-2）在垂直于坐標(biāo)軸X的直線上，

所以圓M在點(diǎn)。,-1）的切線直線與無軸平行，其方程為y=-i,故D正確.

故選：ABD.

6.（2324高二下.四川雅安.開學(xué)考試）已知圓C:尤2+9+6..-+4=0,直線（a+l）x+紗+1=0,貝!J下歹！J選項(xiàng)正確

的是（）

A.直線/恒過定點(diǎn)（-M）

B.直線/與圓C可能相切

C.直線/被圓C截得的弦長的最小值為4

D.當(dāng)“=3時(shí)，圓C上到直線/距離為2的點(diǎn)恰有三個(gè)

【答案】ACD

【分析】對(duì)A,整理方程可得(x+y)a+x+l=0,再令=0求解即可；對(duì)B,由點(diǎn)在圓C內(nèi)部判斷即可；

對(duì)C,設(shè)點(diǎn)為。，根據(jù)當(dāng)C。，/時(shí)，直線/被圓C截得的弦長最小求解即可；對(duì)D,代入〃=3,求解圓心C到直

線/的距離判斷即可.

【詳解】圓C:(x+3y+(y_2)2=9,故該圓半徑為3.

對(duì)A,直線/:(a+l)x+做+1=0的方程整理可得(x+y)a+x+l=0,

fx+1=0,[x=—1,/、

由3y=0,得[y=]即直線/恒過定點(diǎn)(一1,1),故A正確.

對(duì)B,因?yàn)辄c(diǎn)在圓C內(nèi)部，所以直線/與圓C不可能相切，故B不正確.

對(duì)C,設(shè)點(diǎn)(-U)為。，當(dāng)C。，/時(shí)，直線/被圓C截得的弦長最小.

因?yàn)閮z="(-3+1)2+(2-iy=石,所以直線/被圓C截得的弦長的最小值為2荷-(以牛=4,故C正確.

對(duì)D,圓心C(-3,2),半徑為3,當(dāng)。=3時(shí)，直線/的方程為4x+3y+l=0.

因?yàn)閳A心C到直線/的距離為2X4+3X2+1]=],所以圓c上到直線/距離為2的點(diǎn)恰有三個(gè)，故D正確.

5

故選：ACD

三、填空題

7.(2324高二上.福建漳州.期末)圓。:爐+9=4在點(diǎn)(1,后處的切線方程為.

【答案】x+百y-4=0

【分析】求出切點(diǎn)與圓心連線的斜率后可得切線方程.

【詳解】由題意可知：圓。：，+y=4的圓心為0(0,0),

因?yàn)辄c(diǎn)(1,6)在圓O：f+y2=4上，故切線必垂直于切點(diǎn)與圓心連線,

而切點(diǎn)與圓心連線的斜率為正2=6,故切線的斜率為—3,

1-03

故切線方程為：y-^3=———（x-1）,艮口無+若y_4=0.

故答案為：x+y/3y-4=0

8.（2324高二上.河南南陽?階段練習(xí)）若方程疝1有實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍

【答案】［-4,40］

【分析】分析可知，直線，=彳+%與曲線y=向/有公共點(diǎn)，求出當(dāng)直線y=x+%與圓/+>2=16相切，且切點(diǎn)在

第二象限時(shí)加的值，以及直線>=彳+帆過點(diǎn)（4,0）時(shí)機(jī)的值，數(shù)形結(jié)合可得出實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

【詳解】由J16—母—x—~=0可得x+〃z=J16—x?，

則直線y=x+/與曲線y=J16-f有公共點(diǎn),

由y=J16-x?20可得—+/=16（y>0）,

所以，曲線丫=而，表示圓龍2+產(chǎn)=16的上半圓，如下圖所示:

解得m=40,

當(dāng)直線y=x+%過點(diǎn)（4,0）時(shí)，機(jī)+4=0,可得初=T,

由圖可知，當(dāng)4A歷時(shí)，直線只=*+7篦與曲線y=J16--有公共點(diǎn),

因此，實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是卜4,4忘］

故答案為：卜4,4夜］.

9.（2324高二上?海南省直轄縣級(jí)單位?期末）過點(diǎn)尸（2,1）作圓。:/+9=1的切線/,則切線/的斜率為

【答案】?；?4

【分析】設(shè)出直線方程，借助切線的性質(zhì)計(jì)算即可得.

【詳解】當(dāng)直線/斜率不存在時(shí)，直線/為x=2,

此時(shí)圓心（0,0）至IJ/的距離d=2-r,故不符，

當(dāng)直線/斜率存在時(shí)，設(shè)直線/為y=M》-2）+l,

即kx—y—2k+1=0,

此時(shí)圓心（0,0）到/的距離d==1，

,4

即3%2-4%=0,即左=0或§.

故答案為：0或

四、解答題

10.（2324高二上?湖北?期末）已知圓C:W+y2=2.

（1）過點(diǎn)A（1,T）作圓C的切線，求切線的方程；

⑵若直線/過點(diǎn)尸且被圓C截得的弦長為2,求直線/的方程.

［答案］⑴尤_y_2=o

（2）犬=-1或3%-4，-5=0

【分析】（1）通過兩直線垂直斜率之間的關(guān)系求出切線斜率，即可得出切線的方程；

（2）分類討論直線斜率是否存在，通過點(diǎn)到直線距離公式結(jié)合勾股定理即可求出直線方程.

【詳解】（1）由題意即圖知，切線斜率存在,

在圓C:f+y2=2中,圓心(0,0),半徑0;

點(diǎn)在圓上，設(shè)切線斜率為左

-1-0

所以=

1—0

解得％=1,

故切線方程為x——=0.

(2)由題意,

當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線與圓交于(-1,1),(-1,-1),弦長恰好為2,

直線x=-l滿足條件，

當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)/：丁+2=左(％+1),gpkx-y+k-2^0,

\k-2\

則圓心到直線距離1=方。

J1+左2

所以在ABOC中，由勾股定理得,

所以直線/方程為：3x-4y-5=0,

綜上，直線/的方程為x=—l或3尤一4y-5=0.

11.（2324高二上.北京?期中）已知圓C過原點(diǎn)。和點(diǎn)A（l,3）,圓心在尤軸上.

⑴求圓C的方程；

（2）直線/經(jīng)過點(diǎn)（1/），且/被圓C截得的弦長為6,求直線/的方程.

【答案】（l）（x-55+y2=25

（2）%=1或15x-8y-7=0

【分析】（1）設(shè)圓C的圓心坐標(biāo)為（4,0）,由已知列出方程，求得。，進(jìn)而求得半徑，即可得出結(jié)果;

（2）設(shè)出直線方程，利用垂徑定理，列方程求出直線的斜率即可得出結(jié)果.

【詳解】（1）設(shè)圓C的圓心坐標(biāo)為（4,0）.依題意，在77奇=府萬萬，解得a=5

從而圓C的半徑為廠=病仔=5，所以圓C的方程為（x-5）2+/=25.

（2）依題意，圓C的圓心到直線/的距離為4,

顯然直線x=l符合題意.

當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為丫-1=左（左-1），即日-