最值問題-2024年中考數(shù)學(xué)考試易錯(cuò)題（原卷版）

專題11最值問題

易錯(cuò)點(diǎn)1:將軍飲馬

易錯(cuò)點(diǎn)8:阿氏圓

直線軌跡專題

易錯(cuò)點(diǎn)1:將軍飲馬

例：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A(1,1),B(3,3),點(diǎn)尸為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，則為+P8的最小值為

()

A.275B.2百C.5D.V15

變式1:如圖，。是。。的直徑，CD=8,448=20。，點(diǎn)8為弧4D的中點(diǎn)，點(diǎn)?是直徑上的一個(gè)動(dòng)

易錯(cuò)點(diǎn)2：三點(diǎn)共線

例：如圖，在中，48=13,80=10,。是8c中點(diǎn)，E/垂直平分48,交邊于點(diǎn)E,交/C邊于

點(diǎn)尸，在E尸上確定一點(diǎn)?，使-尸口最大，則這個(gè)最大值為()

A

A.10B.5C.13D.6.5

變式1：如圖,四邊形/BCD中，AB//CD,NABC=90。，AB=5,BC=3,CD=3,點(diǎn)P為直線BC左

a

側(cè)平面上一點(diǎn),ABCP的面積為:，則I尸”一尸C|的最大值為.

易錯(cuò)點(diǎn)3：兩動(dòng)一定

例：如圖，已知4408=15。，點(diǎn)M在邊03上，且（W=4,點(diǎn)N和點(diǎn)尸分另1J是OM和CM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則

PM+PN的最小值為（）

A.1B.2C.3D.4

變式1：如圖，在四邊形48C。中，AD//BC,4B=AC,BC=6,△D8C的面積為24,的垂直平

分線兒W分別交N8,AC于點(diǎn)、M、N,若點(diǎn)P和點(diǎn)0分別是線段兒W和BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，則可+尸0的最小

值為.

CQB

易錯(cuò)點(diǎn)4：兩動(dòng)兩定

例：如圖，已知正比例函數(shù)＞=履（左＞0）的圖象與x軸相交所成的銳角為70。，定點(diǎn)/的坐標(biāo)為（0,4）,

P為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，M、N為函數(shù)了=依（左＞0）的圖象上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則/M+MP+PN的最小值為（）

B.4sin40°

C.2GD.4sin20°(l+cos20°+sin200cos20°)

變式1：如圖，已知正比例函數(shù)＞=履（左＞0）的圖象與x軸相交所成的銳角為70。，定點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0,4）,p

為V軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，M、N為函數(shù)、=日化＞0）的圖象上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則4W+"尸+PN的最小值

易錯(cuò)點(diǎn)5：兩動(dòng)一定長

例：如圖，長方形中，AB=4,BC=2,G是4D的中點(diǎn)，線段E尸在邊上左右滑動(dòng)，若EF=1,

則GE+CF的最小值為（）

A.2A/3B.272C.3亞D.3g

變式1：如圖，中，ZACB=90°,ZA=30°,BC=2,若。，￡是邊43上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，/是邊/C上的

一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，DE=①，則CD+E尸的最小值為.

易錯(cuò)點(diǎn)6：三動(dòng)點(diǎn)

例：如圖，在直角三角形48c中，，//C8=30。，4B=8,點(diǎn)P為BC上任意一點(diǎn),連接P4,以尸/,PC

為鄰邊作平行四邊形尸/0C,連接P。，則尸。的最小值為()

A.3B.4GC.6D.273

變式1：如圖，△N3C中，AC=BC=3,AB=2,將它沿翻折得到△48。，點(diǎn)尸、E、尸分別為線段

AD、DB上的動(dòng)點(diǎn)，則尸E+尸尸的最小值是.

D

易錯(cuò)點(diǎn)7：周長最小

例：如圖，N/O3=30。，0c為/Z08內(nèi)部一條射線，點(diǎn)尸為射線0C上一點(diǎn)，。尸=6,點(diǎn)M、N分別為04、

03邊上動(dòng)點(diǎn)，則△MAP周長的最小值為()

A

A.6B.8C.12D.18

變式1：如圖，在。8c中，點(diǎn)。為48上一動(dòng)點(diǎn)，連接C。，點(diǎn)￡為線段上一點(diǎn)，點(diǎn)尸，點(diǎn)G分別為

邊G4,邊C8上的動(dòng)點(diǎn)，若N/C8=30。，CE=6,貝!JAEFG的周長的最小值為.

易錯(cuò)點(diǎn)8：中位線

例：如圖，在平行四邊形48CD中，ZC=135°,AB=2,AD=3,點(diǎn)、H,G分別是CD,3c上的動(dòng)點(diǎn)，連

接力",GH.E,F分別為4H,G〃的中點(diǎn)，則斯的最小值是（）

A.2B.41C與D.2A/2

變式1：已知矩形/BCD中，48=240=4,點(diǎn)￡、尸分別是邊48、CD的中點(diǎn)，點(diǎn)P為4D邊上動(dòng)點(diǎn)，過

點(diǎn)尸作與平行的直線交在'于點(diǎn)G,連接尸E,點(diǎn)M是PE中點(diǎn)，連接MG,則MG的最小值=.

易錯(cuò)點(diǎn)9：斜中定值

例：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形的兩個(gè)頂點(diǎn)/、5是坐標(biāo)軸上的動(dòng)點(diǎn)，若正方形的邊長為

4,則線段OC長的最大值是0

c.4V2D.8

變式1：如圖，長方形兩邊長/8=2,4D=1,兩頂點(diǎn)4、8分別在y軸的正半軸和x軸的正半軸上運(yùn)動(dòng),

則頂點(diǎn)D到原點(diǎn)。的距離最大值是

易錯(cuò)點(diǎn)10：隱直線

例：如圖，在長方形N8CD中，AB=5,/。=3,動(dòng)點(diǎn)P滿足長方形相小，則P/+P8的最小值為

()

A.V41C.V29D.572

變式1：如圖，在矩形/BCD中，=5,4。=12,點(diǎn)E是矩形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，連接BE、CE,S.BCE=^S^ABCD,

尸為ND上一動(dòng)點(diǎn)，連接防，則8E+CE+FE的最小值是

A

B

易錯(cuò)點(diǎn)11:矩形對角線

例：如圖，Rt^ABC中，ZACB=90°,ZC=3,BC=4.點(diǎn)。是邊上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)。作邊/C、BC

垂線，垂足分別為E,F.連接E/，則E尸的最小值為（）

A.3B.2.4C.4D.2.5

變式1:如圖，直線y=。+3與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A,3,點(diǎn)尸是線段48上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作尸軸于

4

點(diǎn)作PNLy軸于點(diǎn)N,連接MN,則線段兒W的最小值為.

易錯(cuò)點(diǎn)12：數(shù)形結(jié)合

例：函數(shù)」=6+2工+2+&一6工+13的最小值是（）

A.2+V17B.1+2亞C.5D.V17

變式1：數(shù)學(xué)教育家波利亞曾說：“對一個(gè)數(shù)學(xué)問題，改變它的形式，變換它的結(jié)構(gòu)，直到發(fā)現(xiàn)有價(jià)值的東

西，這是數(shù)學(xué)解題的一個(gè)重要原則”.在復(fù)習(xí)二次根式時(shí)，老師提出了一個(gè)求代數(shù)式最小值的問題，如：“當(dāng)

0<x<12時(shí)，求代數(shù)式Jx2+4+J（12-xy+9的最小值”,其中石帝可看作兩直角邊分別為x和2的

RtA/C尸的斜邊長，而二拉方可看作兩直角邊分別是12-x和3的RtAB。尸的斜邊長.于是構(gòu)造出如圖,

將問題轉(zhuǎn)化為求NP+5P的最小值.運(yùn)用此方法，請你解決問題：已知°,6均為正數(shù)，且。-10=-人則

yJa2+9+”2+25的最小值是?

易錯(cuò)點(diǎn)13：螞蟻爬行

例：如圖，已知圓柱底面的周長為6m,圓柱高為3m,3C為底面圓的直徑，一只螞蟻在圓柱的表面上從點(diǎn)

A爬到點(diǎn)C的最短距離為（）m.

A.2A/5B.3亞C.375D.572

變式1：如圖，長方體的長為15,寬為10,高為20,點(diǎn)3離點(diǎn)C的距離為5,一只螞蟻如果要沿著長方體

的表而從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B,需要爬行的最短距離是.

易錯(cuò)點(diǎn)14：切線與勾股定理

例：如圖，OO的半徑為2,點(diǎn)。到直線/的距離為3,點(diǎn)尸是直線/上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，尸。切OO于點(diǎn)0,

則尸。的最小值為（）

P

A.V13B.75C.3D.2

變式1：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，尸是直線48：y=；x+3上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，＜30的半輕為1,過點(diǎn)P作。。

的切線，切點(diǎn)為。，則P。長度的最小值為.

易錯(cuò)點(diǎn)15：圓錐側(cè)面展開圖

例：如圖，圓錐的底面半徑是2,母線長是6.如果點(diǎn)A是底面圓周上一點(diǎn)，從點(diǎn)A拉一根繩子繞圓錐側(cè)

面一圈再回到A點(diǎn)，則這根繩子的最短長度是（）

B.673C.12D.4〃

變式1：如圖，圓錐的母線長N3為2,底面圓的直徑為2,若一只螞蟻從圓錐的點(diǎn)3出發(fā)，沿表面爬到ZC

的中點(diǎn)。處，則其爬行的最短路線長為

易錯(cuò)點(diǎn)16：手拉手

例：如圖，在“中，乙4cB=90。，AC=BC=2,點(diǎn)。是5C邊的中點(diǎn)，點(diǎn)尸是ZC邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連

接PD,以尸。為邊在尸。的下方作等邊三角形尸口。，連接C。，則C0的最小值是（

A

變式1：如圖，ZX/BC中，Z5=30°,ZACB=90°,48=2,。在8C上，將線段繞點(diǎn)/逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。

得4P,則CP的最小值為.

易錯(cuò)點(diǎn)17：費(fèi)馬點(diǎn)

例：在RtZ\48C中，ZABC^90°,/ACB=3Q°,BC=6,尸為△/8C內(nèi)一點(diǎn)，連接E4、PB、PC,則

B4+P3+PC的最小值為（）

A

A.2V2T475C.273+6D.473+3

變式1：如圖，拋物線y="+6x+c經(jīng)過點(diǎn)N（T0）,頂點(diǎn)為且拋物線與了軸的交點(diǎn)2在（0,-2）

和（0，-3）之間（不含端點(diǎn)），則下列結(jié)論:

①當(dāng)一3VxWl時(shí)，＞W(wǎng)0；

②當(dāng)AABM的面積為地時(shí),_V3

a---

22

③當(dāng)AABM為直角三角形時(shí)，在“03內(nèi)存在唯一點(diǎn)尸，使得尸/+PO+P8的值最小，最小值的平方為

18+9方.

其中正確的結(jié)論是.(填寫所有正確結(jié)論的序號(hào))

易錯(cuò)點(diǎn)18：胡不歸

例：如圖，矩形/BCD的對角線交于點(diǎn)。，AB=2,BC=2百，點(diǎn)尸是BC上的動(dòng)點(diǎn)，則。P+的最小

值是()

A.V3B.3C.2A/3D.6

變式1：已知：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)/(0,3),8(10,0),在x軸上存在一點(diǎn)P,使/尸+好臺(tái)尸的值最

5

小，此時(shí)尸的坐標(biāo)為,4P+也AP的最小值為.

圓軌跡專題

易錯(cuò)點(diǎn)1:兩動(dòng)一定

例：如圖，矩形48CD中，AB=2BC=3,以/為圓心，1為半徑畫圓，￡是。/上一動(dòng)點(diǎn)，P是3C上

的一動(dòng)點(diǎn)，則尸￡+尸。的最小值是（

A.2B.3C.4D.273

變式1：如圖，正方形4BCD中，AB=4,M是CD邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以CM為直徑的圓與血相交于點(diǎn)。,

P為CD上另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP,PQ,則AP+PQ的最小值是.

易錯(cuò)點(diǎn)2：點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑

例：如圖，是等腰直角三角形，乙4cB=90。，ZC=8C=4,點(diǎn)。是斜邊上一點(diǎn)，^.BD^-AB,

4

將繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到8'C'交48于點(diǎn)E.其中點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)路徑為弧CC,則弧CC

的長度為（）

-5萬

A*-------D.--------------D.—

244

變式1:如圖，在矩形4BCD中，AB=2^,BC=4,某一時(shí)刻，動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)/出發(fā)，沿/。方向以每秒

1個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)。勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)8出發(fā)，沿8C方向以每秒2個(gè)單位長度的速度向

點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到矩形頂點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，連接E尸，過點(diǎn)。作E尸的垂線，垂足

為G.在這一運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)G所經(jīng)過的路徑長是

易錯(cuò)點(diǎn)3：折疊圓

例：如圖，在矩形4BCD中，AB=4,AD=6,￡是邊的中點(diǎn)，下是線段3c上的動(dòng)點(diǎn)，將AEB尸沿EF

所在直線折疊得到AEHR連接夕。，則夕。的最小值是（）

A.2M-2B.6C.2^/13-2D.4

變式1:如圖，在矩形48co中，4B=10,BC=12,M為中點(diǎn)，N為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，將AACVB沿

折疊，得到△肱▽9,則CQ的最小值為

易錯(cuò)點(diǎn)4：直角圓

例：如圖，在RtZ\4BC中，ABIBC,AB=6,BC=4,尸是A4BC內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足NPAB=NPBC,

則線段C尸的長的最小值為（）

A

A.2B.4C.5D.7

變式1：如圖，48是半圓。的直徑，點(diǎn)。在半圓。上，AB=2屈,AD=IO,C是弧8。上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),

連接/C,過。點(diǎn)作?！╛L/C于，，連接在點(diǎn)C移動(dòng)的過程中，8〃的最小值是.

易錯(cuò)點(diǎn)5：定角定長

例：如圖，四邊形/BCD中，ZABC=30°,ZADC=90°,DA=DC,BD=y/6,則四邊形48CD的面積

C3-6