2023年高考數(shù)學二輪復習試題匯編：解三角形含解析

專題04解三角形

一、核心先導

二、考點再現(xiàn)

【考點1］正弦定理

nhc

砧=而芯=封=2氏(氏為AABC外接圓的半徑).

⑴。=2RsinA,/?=27?sinB,c=2HsinC;

正弦定

.a.bc

(2)sinA=2R,sinB=?R,sinC=2R；

理的常

見變形(3)i:b:c=sinA:sinB\sinC;

_____q+Z?+c________a

⑷sinA+sinB+sinLsinA

【考點2】余弦定理

a2=b2+c2—2/?ccosA；

b2=c2-\-a2—2cacosB；

c2=a2+b2—2abcosC.

余弦定理的常見變形

b2+c2-a2

(l)cosA-2bc；

c^+c^—b2

⑵cos8-2ca；

(3)cosC-2ab-

【考點3］三角形的面積公式

(1)S“BC=T〃兀(①為邊。上的高)；

(2)Sz\A5c='〃bsinC^'bcsinA=］〃csinB；

(3)5=5a+匕+，)&為三角形的內(nèi)切圓半徑).

三、解法解密

解法1.正、余弦定理的適用條件

(1)“己知兩角和一邊”或“已知兩邊和其中一邊的對角”應采用正弦定理.

(2)“已知兩邊和這兩邊的夾角”或“已知三角形的三邊”應采用余弦定理.

解法2.求三角形面積的方法

(1)若三角形中已知一個角(角的大小或該角的正、余弦值)，結合題意求解這個角的兩邊或該角的兩邊之

積，代入公式求面積.

(2)若已知三角形的三邊，可先求其一個角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面積.總之，結合圖形

恰當選擇面積公式是解題的關鍵.

解法3.已知三角形面積求邊、角的方法

(1)若求角，就尋求夾這個角的兩邊的關系，利用面積公式列方程求解.

(2)若求邊，就尋求與該邊(或兩邊)有關聯(lián)的角，利用面積公式列方程求解.

解法4.以平面幾何為載體的解三角形問題

解決以平面幾何為載體的問題，主要注意以下幾方面：一是充分利用平面幾何圖形的性質(zhì)；二是出現(xiàn)多

個三角形時，從條件較多的三角形突破求解；三是四邊形問題要轉化到三角形中去求解；四是通過三角形

中的不等關系(如大邊對大角，最大角一定大于等于多確定角或邊的范圍。

四、考點解密

題型一:正、余弦定理的應用

例1.(1)、(2022?全國?模擬預測(文))在一ABC中，sin2A-sin2B+sin2C+sinBsinC,貝hosA=()

A.1B.--C.在D.

2222

【答案】B

【分析】由正弦定理化角為邊，然后由余弦定理求解.

【詳解】因為sin?A=sin?B+sin?C+sin8sinC,由正弦定理得〃=〃+/+*，

故選：B.

(2)、(2019?全國高考真題)△ABC的內(nèi)角A,B,。的對邊分別為。，b,c,已知asinA-Z?sin3=4csinC,

1、

cosA=——，則一二()

4c

A.6B.5C.4D.3

【答案】A

【解析】由已知及正弦定理可得片—02=4/,由余弦定理推論可得

/72+c2-a2C2-4C23c1h3

——=cosA=一,「.一=—x4=6,故選A.

42bc2bc42b4c2

【變式訓練1-1］、在AABC中，角A，B,C的對邊分別為"，b,。，若a=l,

A/3sinAcosC+(A/3sinC+b)cosA=0,則角A=()

27^TCTC5TC

A.—B.—C.—D.—

3366

【答案】D

【解析】a=1,^3sinAcosC+(A/3sinC+/?)cosA=0,

A/3sinAcosC+石sinCcosA=-bcosA，

6sin(A+C)=A/3sinB=-AcosA,

^3asinB=-Z?cosA，

由正弦定理可得：V3sinAsinB=-sinBcosA,

*.*sinB>0,A5/3sinA=-cosA,即：tanA=-^^,

3

5〃

?.?Ae(0,?),；.A=—.故選：D.

6

【變式訓練1-2】、(2022?山東濟南?模擬預測)ASC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知

(2Z?-a)cosC=ccosA,c是a,b的等比中項，且ABC的面積為2若，則a+》=.

【答案】4&

【分析】由正弦定理統(tǒng)一為三角函數(shù)可得cosC,再由三角形面積公式得出必，再由等比中項及余弦定理即

可求出4+〃，即可得解.

【詳解】(2b-a)cosC=ccosA

由正弦定理得，2sin3cosC-sinAcosC=sinCcosA,

即2sinBcosC=sinAcosC+cosAsinC=sin(A+C)=sinB,

又sin3wO,所以cosC=1,得sinC=1,

22

由SABC=LbsinC=2g,得LbxW=2/，得"=8.

222

又c是a,b的等比中項，所以，=必=8.

由余弦定理，=cr+b2-2abcosC得ab=a2+b~-ab.

22

Aa+b=2ab=l6,即4+尸=16,

則(a+6)2=a2+b2+2a6=16+16=32,即a+b-Ay/l-

故答案為：472

例2、(2020屆山東省濰坊市高三上期中)在AA6C中，內(nèi)角A，B,C所對的邊分別為。，b,c.已

知a+b=10,c=5,sin2B+sinB=0.

(1)求a,b的值：

(2)求sinC的值.

【答案】(1)a=3,6=7；(2)地.

14

【解析】

(1)由sin25+sinjB=0,得2sin5cosjB+sin5=0,

因為在AABC中，sinBw0,得cosB=—,

2

由余弦定理Z?2=a2+c2—2accos3，^b2=a2+52-2xax5x

因為Z?二］0_Q,所以(10—a)?=a?+52_2xqx5x

解得a=3,所以b=7.

(2)由cosB=—,得sinB—

22

由正弦定理得sinC=￡sin3=』x@=±?.

b7214

方法總結：本題考查正弦定理、余弦定理的公式.在解三角形時，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，

要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時，

則要考慮兩個定理都有可能用到.考查基本運算能力和轉化與化歸思想.

【變式訓練2-1】、（2022?北京師范大學第三附屬中學模擬預測）已知ABC的內(nèi)角AB,C的對邊分別為。，4c,

且V§"sin15+=-cos[5+YJ.

⑴求的值；

(2)給出以下三個條件:條件①:片-/+/+3c=o；條件②:0=粗功=1；條件③:SAABC=苧.這三個條件中

僅有兩個正確，請選出正確的條件并回答下面的問題：

(i)求sinA的值;

(ii)求/ABC的角平分線5D的長.

【答案】⑴子

(2)①③正確，(i)sinA=m；(ii)BD^—

148

【分析】⑴將原式直接利用輔助角公式溶易求出sin，+/O,結合3?0㈤則易知2=/；

O-TT

(2)結合，此時。是三邊最大，而條件②中6=1<a=6與已知矛盾，故條件①③正確，再結合面積公式,

余弦定理以及三角形內(nèi)角平分線的性質(zhì)即可求解.

【詳解】(1)解:由題意知壞sin[B+/J=-cos(B+,

/.若sin(B+f+cos(B+m=0,

即2sin[3+=0

B+三=兀,

故2=g；

(2)由(1)得B=(

b>a,故條件②不成立，即條件①③正確,

在.ABC中，由余弦定理可得：

a2+c2-2accos^-=b2,

3

即［2+一〃2+=o,

對于條件①:a2-b2+c2+3c=0,

與上式結合可得a=3,

對于條件③:—acsinB=ac=15a,

244

故ac=15,所以。=5,

將a=3,c=5代入/+/一〃+〃c=o可得：b=7,

(i)在，ABC中，由正弦定理可得：

a_b

sinAsin5'

3_7

即sinA.2〃，

sin——

3

..3A/3.13

1414

(ii)Q5D是/ABC的角平分線，

.\ZABD=ZCBD,

八八—AB-BD-sinZABD<

.Sc,ABD=S_2=—=l

CDBC3

SBCD-BCBDsinZCBD

2

35

AC=7,AD=—,

8

在△AB。中，由余弦定理可得

35j.2x5x當”二些

=25+

8?81464

故AD=丁

O

綜上:條件①③正確，sinA=^,BD=^-.

題型二:判斷三角形的形狀

例3.(1)>12.(2021?黑龍江?哈爾濱市第三十二中學校高三期中(理))在ABC中，二sinC+sinB

b-csinA

則ABC是()

A.等腰三角形B.等邊三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形

【答案】C

【分析】利用正弦定理化簡已知條件，由此確定三角形的形狀.

【詳解】由正弦定理得二==，即。2=/一/+/=/,

b-ca

所以三角形ABC是直角三角形.

故選：C

(2)、(2022?浙江省江山中學模擬預測)非直角一ABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為,c,則“a>6”

是“tanA>tan3”的()條件

A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.既不充分也不必要

【答案】D

【分析】分析由““冷”能否推出“tanA>tan3"，再分析由“tanA>tan3”能否推出““>葉，根據(jù)充分條件與

必要條件的定義判斷.

【詳解】若ABC滿足AB=AC=1,ABAC=120,

由余弦定理可得BC=^AB2+AC2-2AB-ACcosA=石，

止匕時，a>b,XtanA=-y/3<tanB=,

3

所以“a>b”不能推出“tanA>tan_B”，

所以不是“tanA>tanB”的充分條件，

若,ABC滿足NC48=ZAC3=30,AB=BC^1,

則NA5C=120,所以tanA>tan3,

又b=y/a2+c2-2accosB=6,所以，

所以“3人4皿夕不能推出“?！?',

所以不是“tanA>tanB”的必要條件,

故選：D.

【變式訓練3-1】、(2018?廣東?珠海市第二中學高二期中(理))在ABC中，若咽4=則ABC為

tanBb2

()

A.等邊三角形B.等腰三角形

C.直角三角形D.等腰或直角三角形

【答案】D

【分析】將已知等式化邊為角，化切為弦，結合二倍角公式，得到sin2A=sin23,再由A,B角的范圍，即

可得出結論.

【詳解】由正弦定理得，4=

b2sin2B

-z-.tanAsinAcosBsin2A

再由----=-----；—=.2，

tanBcosAsinBsinB

A(0,^),sinA>0,sinB>0,

所以sinAcosA=sinBcosB,sin2A=sin2B,

2A=23或24+28=萬，

TT

即A=5或A+2=—.

2

故選：D.

【變式訓練3-2】、（2022?山西大附中高一階段練習）在ABC中，若acos3+bcosA=a,則ABC的形狀

是（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰或直角三角形D.等邊三角形

【答案】A

【分析】由正弦定理把已知的等式化邊為角，結合兩角和的正弦化簡，求出sinC=sinA,進一步求得a=c,

即可得解.

【詳解】解：由acos3+bcosA=a,結合正弦定理可得：sinAcos/?+sinBcosA=sinA,

sin（B+A）=sinA,可得：sinC=sinA,

■-a=c,則MC的形狀為等腰三角形.

故選：A.

題型三:三角形中的范圍與最值問題

例3.（1）、（2022?安徽?合肥市第八中學模擬預測（理））己知在3ABe中，ncosj?+&cosA=csinC.若

NBAC與—A3C的內(nèi)角平分線交于點/,ABC的外接圓半徑為1,則△AB/面積的最大值為（）

A.1+V2B.1+^/3

C.V2-1D.73-1

【答案】C

【分析】由正弦定理結合已知條件可求得。=方，可得出〃+從=4,再利用等面積法可得出一ABC內(nèi)切圓

半徑的表達式，結合基本不等式可求得△,面積的最大值.

【詳解】由acosB+Z7cosA=csinC及正弦定理可得sir?C=sinAcosB+cosAsinB=sin(A+3)=sinC,

Ce(O,萬)，所以，sinC>0,貝i]sinC=l,所以，C=g

所以，ABC的外接圓直徑為AB=2,

設內(nèi)角A、B、C的對邊分別記為。、b、c,則c=2,所以，a2+b2=c2=4

設,ABC的內(nèi)切圓半徑為“貝"+所以,'

1abab^a+b-2)ab[a+b-2)a+b]

因此，SAAB/

2Q+Z?+2(Q+/?+2)(Q+〃-2)a?+/—4+2oZ?2

因為2（〃2+）=（〃2+人2）+（〃2+人2）之（〃2+）+2砧=（〃+〃「

所以，S△3等_］72（72）當且僅當°=6=近時，等號成立，

因此，△AB/面積的最大值為0-1

故選：C.

（2）、已知在銳角AA5C中，角4，B,C的對邊分別為a,b,c,若2〃以》。=。855,則

----------------1------------------1----------------的最小值為（）

tanAtanBtanC

A.—B.V5C.近D.2A/5

33

【答案】A

［解析］2Z?cosC=ccos5,/.2sinBcosC=sinCeosB?

tanC=2tan5.又A+5+C=?,

/.tanA=tan［^--（B+C）］=-tan（B+C）=-tanB+tanC3tanB3tanB

1-tanBtanCl-2tan2B2tan2B-l*

12.D7

,------=-tanBH-------.

tanAtanBtanC3tan3tanB2tan336tan3

又；在銳角A4BC中，tanB>0,；.2tanB+」-N2、RtanBx〉=空,當且僅當

36tanBv36tanB3

tan八日時取等號，??.（意+熹+京1=孚，故選A.

（3）、（2022.全國.模擬預測（理））如圖，在平面四邊形ABC￡>中，ZBAD=45°,Z.BCD=135°,NBDC=15°,

CD=后,則四邊形A8CD面積的最大值為.

［答案］島2昌］

2

【分析】在△D3C中，由正弦定理得到BD=2；用面積公式求出△D3C的面積，在》。%中，由余弦定理

|AB|2+|AD2-|BD|2_V2

得cosABAD=再由基本不等式得到情斗|A。方，繼而求出QR4面積的最

2|AB|-AD\F，

大值，然后可得出結果.

【詳解】在△皿中‘"33。‘凝=1—2；S.即.|C小m15=與；

|AB|2+|AD2-|BD|2V2

在，DBA中,cos/BAD=

2|AB|-AD\2

化簡得：|AB「+|AD『=4+夜|A4|AT)1221A5卜|4￡)|,BP：\AB\-\AD\<-j=,

V24

=||AB|-|AZ)|-sin45<__x______=y/2+l；

°ABD42-V2

..?四邊形的面積最大為：啦心+及+1=6+2拒+1；

22

故答案為：岳2岳］.

2

【變式訓練4-1】、（2022.安徽省舒城中學三模（文））我國南宋著名數(shù)學家秦九韶提出了由三角形三邊求

三角形面積的“三斜求積”，設ABC的三個內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,面積為S,貝IJ“三斜求

積”公式為S=；+,若〃sinC=2sinA,（a+c^=6+b2,則用“三斜求積”公式求得

ABC的面積為()

A.BB.百C.±D.1

22

【答案】A

【分析】根據(jù)因為片sinC=2sinA,（a+cf=6+b2,利用正弦定理得到/+/一從，代入體積公式求解.

【詳解】解：因為a?sinC=2sinA,(ti+c)2=6+Z?2,

所以ac=2,a2+c2—b2=6—2ac=29

故選：A

43

【變式訓練4?2】、已知AABC的面積為&+1,且滿足——+——=1,則邊AC的最小值為.

tanAtanB

【答案】2君

43,cosA-cosB1

【解析】V--+—^-=1,.??4------+3-------=l,/.4cosAsinB+3cosBsinA=sinAsinB,

tanAtanBsinAsinB

3cosAsinB+3cosBsinA=sinAsinB-cosAsinB,

即3sin(A+B)=sinB(sinA-cosA),即3sinC=sinB(sinA-cosA),

口口/?(sinA-cosA)

3c=b(sinA-cosA)即c=

3

MABC的面積總……一;…A

b2b2

——(sin2A-cosAsinA)——(1-sin2A-cos2A)=J2+1，

612一

12(a+1)_12(0+1)

b2=1-sin2A-cos2A./r.V3c=b(sinA-cosA)>0,且0<A<兀,

1-V2sinl2A+—I

71人3?_A萬9)、“cA%3萬口「5TI?,C口口―12(夜+1)

1<A<7T,—<2A+—<—，???當2A+—=—即A=—時，b?取得取小值-----——12,

44444281+72

Ab的最小值為2拓,即AC最小值為2框.

故答案為：26.

【變式訓練4-3】、(2022?江蘇?蘇州外國語學校模擬預測)在銳角ABC中，角A2,C所對的邊分別為”,瓦c,S

b

為ABC的面積，且2s=/-(人4,則士的取值范圍___________.

【答案】用

【分析】利用三角形面積公式與余弦定理，可得2cosA=2-sinA,再根據(jù)同角關系式可得sinA,cosA,tanA,

4

然后利用正弦定理與三角恒等變換公式化簡可得6一5,3出，結合條件可得tanC的取值范圍，進而即

ctanC5

得.

01

【詳解】因為2s=〃一僅一。),且Su'bcsinA,

所以bcsinA="一。一0)2,即b2+c2-a2=bc(2-sinA),

由余弦定理得：cosA,

2bc

所以2cosA=2—sinA,Xcos2A+sin2A=1,

所以sin'A+asinA)2=l,

4

解得：sinA=w或sinA=0,

因為ABC為銳角三角形，

所以sinA=—,cosA=Jl-sin2A=Jl—~，

sinA4

所以tanA=

cosA3

因為A+3+C=7l,

所以sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,

bsin3sinAcosC+cosAsinC

由正弦定理得:

sinCsinC

4

-cosC+-sinC

55

sinCtanC5

因為ABC為銳角三角形,

71

0<B<-A+唱

2

所以，即

0<C<-

2

所以臺AvC苦,

71

^?W…ta〃nOt(an^八-Acosj^A=3-

14

所以0<----<一

tanC3

44

所以5<16,35+3<5,

tanC155tanC53

故答案為:

【變式訓練4?4】、（2022.黑龍江?大慶實驗中學模擬預測（文））在三角形A5c中，角A,B,。所對的邊

分別為a,b,C,若包工=32=正，則該三角形周長的最大值為

b2

【答案】平

【分析】利用正弦定理化簡式子，求出tanB的值，進而求出8的大小，由余弦定理結合基本不等式即可求

出a+c4庭，即可求出三角形周長的最大值.

【詳解】由正弦定理變形有：甄2=半，又因為包工=6COS8=，2,所以6cosB=sinB,則

abab2

tanB=&.B=Z,又因為走您0所以2百cosB_2gx/_#,

3b2

2

a+cI1/、2

又因為〃=a2+c2-2accosB=(?+c)2-3ac>^a+c^-3--=a(〃+c)，

4

所以（a+c）2（462=4*：=6=＞。+。＜而，當且僅當“a=c”時取等.

則該三角形周長的最大值為a+人+°=后+如=亞.

22

故答案為：巫.

2

題型四:解三角形的實際應用

例5.（1）、（2022.吉林長春.模擬預測（文））如圖，從高為〃的氣球（A）上測量待建規(guī)劃鐵橋（BC）

的長，如果測得橋頭（B）的俯角是a,橋頭（C）的俯角是夕，則橋BC的長為。

陰COS(6Z-/7)

A,3/B-------------Lh

sinasin(3sinasin/3

sin(a-￡)cos(a-Z?)7

C.一—"hD.--------------n

cosacos0cosacos0

【答案】A

【分析】分別在直角三角形中，利用銳角三角函數(shù)定義表示出8與3D,由CD-即求出BC的長即可.

【詳解】解：如圖所示:

由題意得：ZACD=0,AD=h,ZABD=a,

ATJ卜

在RtAkACD中，tanX.ACD=，即tan/?=，

h

整理得：8=麗;

AZ)h

在RtZXABD中，tanZABD=——,gptana=——,

BDBD

整理得：BD=——,

tana

則⑶=。-加=---=(人-+M

tanptanasin§sina

_sinacos0-cosasin尸〃_sin(a-夕)〃

sinasin/3sinasin,'

故選:A.

（2）、（2019?陜西?安康市教學研究室二模（理））如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A

處時測得公路北側一山頂。在西偏北45°（即44c=45。）的方向上，行駛1公里后到達8處，測得山頂

。在西偏北75。的方向上，仰角為60。，則此山的高度8=____________m.

【答案】1000指

【分析】由已知結合正弦定理求出3C,然后結合銳角三角函數(shù)定義，求出DC.

【詳解】在，ABC中，ZBAC=45°,ZBCA=75°-45°=30°,AB=1000m.

A3BC

由正弦定理，得

sinN3cAsinZBAC

1000BC

所以丁

2

所以3C=10000,

因為NCBD=60。，所以tan6(F=g|=b,

BC

所以。C=7530=10000x6=1000面.

故答案為：1000".

【變式訓練5-1】、（2022?全國?模擬預測（文））某學習小組的學習實踐活動是測量圖示塔AB的高度.他

JT1T

們選取與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個測量基點C,D,測得NBCZ）=w，ZBDC=~,且基點C,。間的

距離為C￡>=（30+10/）m,同時在點C處測得塔頂A的仰角為:，則塔高A3為（）

A.20mB.20gme.40mD.15也m

【答案】A

【分析】設A8=x，則BC=后，利用正弦定理即得解.

【詳解】解：設48=無，則BC=?

冗冗S

由題得NC3O=〃—上一上二二萬.

3412

sin"=si*+&L"+也走=^1

126422224

30+10百可

在^BCD中，由正弦定理得幾+0=QF，X=2。

4^2

所以塔高20m.

故選：A

【變式訓練5-2】、（2022.浙江?鎮(zhèn)海中學模擬預測）油紙傘是中國傳統(tǒng)工藝品，至今已有1000多年的歷史,

為宣傳和推廣這一傳統(tǒng)工藝，北京市文化宮于春分時節(jié)開展油紙傘文化藝術節(jié).活動中，某油紙傘撐開后

擺放在戶外展覽場地上，如圖所示，該傘的傘沿是一個半徑為2的圓，圓心到傘柄底端距離為2,陽光照射

抽紙傘在地面形成了一個橢圓形影子（春分時，北京的陽光與地面夾角為60）,若傘柄底正好位于該橢圓

的焦點位置，則該橢圓的離心率為.

【答案】2-回#-指+2

【分析】根據(jù)左焦點到右頂點距離可得。+c；在,ABC中，利用正弦定理可求得。，由此可得。，進而求得

離心率.

【詳解】如圖所示，

傘柄底端應該位于橢圓的左焦點，且左焦點到右頂點的距離為2&，即a+c=2后;

2a4

在，ABC中,由正弦定理得：W60+45）=麗，

76+72372+76

2

用「還盧，該橢圓的離心率為干一曰=2-6

故答案為：2-百.

【點睛】關鍵點點睛：本題考查橢圓離心率的求解，解題關鍵是能夠提煉出基本圖形，結合正弦定理可求

得橢圓的“，*由此可得離心率.

五、分層訓練

A組基礎鞏固

1.（2022.河北.模擬預測（理））已知.ABC的內(nèi)角48,C所對的邊分別為a,6,c,"C的面積為38,6=2,

2

c=acosB-l,貝!]〃=()

A.不B.V19C.2A/5D.276

【答案】B

【分析】設三角形ABC外接圓半徑是R,根據(jù)正弦定理和余弦定理即可求解.

【詳解】設三角形ABC外接圓半徑是R,

因為c=acosB—l,所以sinC=sinAcos5--—,

2R

sinBcosA=———,即bcosA=-1,

2R

i2

因為6=2,所以cosA=，因為A?0,兀），解得A=?7r,

q,小畝4=走，=述,解得c=3,

°ABC222

—,即「工4+0—/72，解得加?—

又cosA=

2bc2

故選:B.

2.(2023?江西景德鎮(zhèn)?模擬預測(理))已知MBC中，設角A、B、C所對的邊分別為。、b、c,ABC的

面積為S,若3sii?5+2sin2C=sinA(sinA+2sin3sinC),則記的值為()

A.-B.4c.ID.2

42

【答案】B

【分析】首先根據(jù)正弦定理將等式中的角轉化成邊得：3〃+2c2=“2+2AsinA,通過余弦定理可將等式化簡

整理為2+W=sinA_cosA=&sin(A-M，通過三角函數(shù)圖像可知,同時通過基本不等式可知

2+三20,即得2+三=&,通過取等條件可知A=與，c=回，將其代入問題中即可求解答案.

c2bc2b4

【詳解】已知Bsin?B+2sin2C=sin2A+sinA-(2sinBsinC)

222

由正弦定理可知：3b+2c=a+2bcsinAf

/.3b2+2c2-a2=2Z?csinA，

整理得：(&2+c2-a2)+2ft2+c2=2Z?csinA,

兩邊同除2bc得：、+、-。2+2〃+02=血4,

2bc2bc

根據(jù)余弦定理得：cosA+-+^-=sinA,即%W=sinA-cos4=0sin(A-1，

c2bc2bV4J

b>0,c>0,"十三22屋3當且僅當2即c=?時等號成立.

c2b\c2bc2b

又々+￡=sinA_cosA=&sin(A-當且僅當4時，等號成立.

c2bI4J4

綜上所述：2+三之應且。+三《0,

c2bc2b

故得:1+三=0，此時°=夜〃且A=與，

c2b4

..3472S垃be插c母'

Sc=—PCsin——二——b7e,?,?「？=---T=--=--72=—.

244/,24Z?24Z?42

故選：B

3.(2022?全國?武功縣普集高級中學模擬預測(理))在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為。，b,c,

ii31

若一-+-—―,且sin(C—5)=7sinA,則=()

tan3tanCbe-sinA2

35

A.IB.—C.2D.一

22

【答案】B

【分析】利用正弦定理、余弦定理，結合三角恒等變換公式，把已知條件轉化為各邊的關系式，即可得出

答案.

113化簡得鬻

【詳解】--------1--------=------;----

tanBtanCbe-sinA

a2+c2-b1a2+b2-c2

由正弦定理、余弦定理，得一,^2alT_3，化簡得。=后,

bcabc

由sin(C—5)=gsinA=gsin(C+3),展開整理得5111。以)53=35111385。,

貝|Jc./+/-/=3b,即2(/=。2=3,

laclab'7

所以02一片=|,

故選：B.

4.（2022?四川?模擬預測（文））在ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,6,c,已知三個向量m=\,cos日

"=’,cosm]p=[c,cosg]共線，則ABC的形狀為O

A.等邊三角形B.鈍角三角形

7T

C.有一個角是7的直角三角形D.等腰直角三角形

0

【答案】A

RA

【分析】由向量共線的坐標運算可得acos5=6cos],利用正弦定理化邊為角，再展開二倍角公式整理可

AR

得sin]=sin],結合角的范圍求得4=3,同理可得8=C,則答案可求.

ABBA

【詳解】向量機=(〃,cos—),"=S,cos—)共線，acos—=〃cos—,

2222

由正弦定理得:sinAcos—=sinBcos—

22

.,2s1n^cos^cos^=2sin^cos^cos^則sin.sing,

222222

A7TB71AB

0<—<—,0<—<—即A=5.

2222了一5

同理可得8=。.

ABC形狀為等邊三角形.

故選：A.

5.（2021.山東?日照神州天立高級中學）在AABC中,sin2A=sin2B+sin2C,則丁ABC的形狀是（）.

A.直角三角形B.等腰三角形

C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形

【答案】A

【分析】由正弦定理的邊角關系可得〃=62+02,即可知△ABC的形狀.

【詳解】由正弦定理得，a2^b2+c2,

.、△A3c為直角三角形.

故選：A

6.（2022?吉林市教育學院模擬預測（理））在ABC中，A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若合一次=c?一也be

且bcosC=asin3,貝UABC是（）

A.等腰直角三角形B.等邊三角形C.等腰三角形D.直角三角形

【答案】A

【分析】由"-加=02-四兒結合余弦定理可求得4=],由bcosC=osin3結合正弦定理可求得C=:,從

而可判斷出三角形的形狀

【詳解】由/—/=d2—,得b2+d—a2=也兒,

所以由余弦定理得cosA="+°2—J=，亞=交,

2bc2bc2

因為AEQJT）,

所以A=9，

4

因為bcosC=asinB,

所以由正弦定理得sinBcosC=sinAsinB,

因為sinBW0,所以cosC=sinA=sin—=,

42

IT

因為Ce（0m）,所以C=巴，

4

所以2=兀一4一。=兀一二一二=工，

442

所以ABC為等腰直角三角形，

故選：A

7.（2022?安徽師范大學附屬中學模擬預測（文））已知ABC的內(nèi)角A民C所對的邊分別為a,6,c,且

（＜2-Z?）sinA=csinC-Z?sinB,若ABC的面積為3#，貝的最小值為（）

A.2如B.46C.2D.4

【答案】A

【分析】根據(jù)題意（a-6）sinA=csinC-6sinB化簡得C=g,再由ABC的面積為3而得仍=12,再由關

于角C的余弦定理加基本不等式即可求出答案.

【詳解】-b）sinA=csinC-bsinB

c2=a2+b2—ab>lab-ab=12(當且僅當c=2道時取等號)，

C>2A/3

故選：A.

8.（2022?陜西西安?模擬預測（文））已知AA8C的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若。=4,6=46,

3=120。，則AABC的面積為.

【答案】473

【分析】根據(jù)余弦定理和三角形面積公式即可求得面積.

222

【詳解】由己知及余弦定理可得6?=a+c-2accosB=>48=16+c+4c,

故c?+4c-32=0,解得c=4或c=-8（舍）

所以S=LesinB=-x4x4x—=4A/3

222

故答案為：45/3

■JT

9.(2022?江蘇南京?模擬預測)在MC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知C=:，/-/=缶2,

4

則A=.

【答案】95萬

O

［分析］先利用邊角變換得到sin2A-sin2B=6sin2C，再由sinB=sin1-金與C=?代入化簡得到

sin(2A+j1=T,再根據(jù)O<A<￥，求得2A+￡=若，即4=乎.

I4J4428

【詳解】由正弦定理得，/一加=002可化為sin?A-sin?2=0side，

又因為。=:，所以sinC=X^,B=7i—A—C=——C,

424

口.9(3"八.3乃3兀.屈y/2

XsinB=sin------A=sin——cosA-cos——sinA=——cosAd------sinA,

I4J4422

(6歷、

所以sin?B=——cosA+