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文檔簡介

第5課時(shí)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)問題

核心考點(diǎn)提升“四能”

考點(diǎn)一

【例1】(2024?邢臺(tái)模擬)已知函數(shù)/。)=2/—3d—12X+5.

⑴求/(x)的極值;

(2)討論函數(shù)g(x)=f(x)—m的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

解:(1)由題意可得了(%)的定義域?yàn)镽,/^)=6X2-6X-12=6(X+1)(X-2).

由廣。)>0,得1或x>2;由/(%)<0,得一l<x<2,

所以/(x)在(一8,—1)和(2,+8)上單調(diào)遞增,在(一1,2)上單調(diào)遞減.

故/(x)極大值=/(—1)=12,f(x)極小值=/(2)=—15.

(2)由⑴可知/(%)在(一8,—1)和(2,+8)上單調(diào)遞增,在(一1,2)上單調(diào)遞減,/(—1)=12,

/(2)=-15.

當(dāng)xf—8時(shí),/a)f—8;當(dāng)1f+8,y(x)->+°0.

/(%)的大體圖象如圖所示.

*

OIx

-15

令g(x)=f(x)—"2=0,則/(X)="Z.

當(dāng)相>12或m<-15時(shí),方程/(%)=根有且僅有1個(gè)實(shí)根,即函數(shù)g(jc)有1個(gè)零點(diǎn);

當(dāng)相=12或加=一15時(shí),方程/(無)=%有2個(gè)實(shí)根,即函數(shù)g(x)有2個(gè)零點(diǎn);

當(dāng)一15<〃z<12時(shí),方程/(x)="z有3個(gè)實(shí)根,即函數(shù)g(x)有3個(gè)零點(diǎn).

綜上所述,當(dāng)機(jī)>12或機(jī)<—15時(shí),g(x)有1個(gè)零點(diǎn);當(dāng)機(jī)=12或加=—15時(shí),g(;c)有2

個(gè)零點(diǎn);當(dāng)一15<優(yōu)<12時(shí),g(x)有3個(gè)零點(diǎn).

〉反思感悟

利用導(dǎo)數(shù)研究方程根(函數(shù)零點(diǎn))的一般方法

⑴可以通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值、變化趨勢(shì)等來確定方程根的情況.

(2)根據(jù)題目要求,畫出函數(shù)圖象的走勢(shì),標(biāo)明函數(shù)極(最)值的位置.

(3)數(shù)形結(jié)合去分析問題,可以使問題的求解過程有一個(gè)清晰、直觀的整體展現(xiàn).

多維訓(xùn)練

(2024?廣東一模)已知0<?<1,函數(shù)/(為=竺『(無W0).

(1)求/(x)的單調(diào)區(qū)間.

(2)討論方程/(x)=a的根的個(gè)數(shù).

解:⑴求導(dǎo)得/a)=l_;_.1).

因?yàn)椤?gt;0,ex-a>0,

所以當(dāng)/(x)<0時(shí),x<l且xWO;當(dāng)尸(x)>0時(shí),x>l.

所以/(x)在(一8,0),(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+8)上單調(diào)遞增.

⑵①當(dāng)x<0時(shí),因?yàn)椤?gt;0,e廠“>0,所以/(x)=%<0<a

所以/(x)=a在(一8,0)上有0個(gè)根.

②當(dāng)x>0時(shí),由(1)得,x>0時(shí),/(x)的最小值為/(l)=aei”

因?yàn)樗?<1—.所以e「">l.

所以/(l)=ae「">a.

所以/(x)=a在(0,+8)上有o個(gè)根.

綜上所述,方程/(x)=a有0個(gè)根.

考點(diǎn)二由函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的范圍

【例2】已知函數(shù)/(x)=e'—〃(尤+2).

⑴當(dāng)。=1時(shí),討論/(尤)的單調(diào)性;

(2)若/(X)有兩個(gè)零點(diǎn),求a的取值范圍.

解:(1)當(dāng)a=l時(shí),/(x)=e,一(x+2),廣(x)=e,一1.

令廣(無)<0,解得尤<0;令廣(x)>0,解得x>0.

所以y(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-8,0),單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+°°).

(2)因?yàn)?(x)=e*—a(x+2),所以/(無)=3—4

若aWO,則f'(x)=ex-a>0在R上恒成立,

所以/(x)在R上單調(diào)遞增,則最多只有一個(gè)零點(diǎn),不符合題意.

若a>0,令/(x)=e“一a=0,得x=lna.

當(dāng)xG(—8,In。)時(shí),/(尤)<0;當(dāng)尤G(lna,+0°)Ht,/,(x)>0.

所以/(x)在(一8,Ina)上單調(diào)遞減,在(Ina,+8)上單調(diào)遞增.

lna

所以/(x)min=/(lna)=e—a(lna+2)=—a(l+lna).

當(dāng)無一+8時(shí),/(x)>0,當(dāng)X——8時(shí),/(x)>0.

要使/(x)有兩個(gè)零點(diǎn),則/(尤)?m=/(Ina)<0,

即一a(l+lna)V0,所以即a的取值范圍是&+8).

[變式]將本例中的函數(shù)改為“/(尤)=e,+ax—a(aGR且aWO)”,若函數(shù)/(勸不存在零點(diǎn),

求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

解:f'(x)=e+a.

①當(dāng)a>0時(shí),f\x)>0,/(x)在R上單調(diào)遞增,

且當(dāng)x>l時(shí),/(x)=e'+a(x-l)>0:

當(dāng)尤<0時(shí),取了=—5,則/(一0<1+。(_一_1)=一。<。,

所以函數(shù)/(x)存在零點(diǎn),不滿足題意.

②當(dāng)a<0時(shí),令/(彳)=爐+。=0,則x=ln(―a).

當(dāng)xd(-8,ln(—a))時(shí),f'(x)<Q,/(x)單調(diào)遞減;

當(dāng)xG(ln(—a),+8)時(shí),f'(x)>0,/(x)單調(diào)遞增.

所以,當(dāng)%=ln(—〃)時(shí),/(%)取得極小值,也是最小值.

函數(shù)/(x)不存在零點(diǎn),等價(jià)于/(In(―〃))=e]n(-In(一〃)一〃=~2a+aIn(―(2)>0,

解得一

綜上所述,實(shí)數(shù)〃的取值范圍是(一e2,0).

A反思感悟

與函數(shù)零點(diǎn)有關(guān)的參數(shù)范圍問題解題策略

(1)函數(shù)在定義域上單調(diào),滿足函數(shù)零點(diǎn)存在定理.

(2)若函數(shù)不是嚴(yán)格的單調(diào)函數(shù),則求最小值或最大值時(shí)可以結(jié)合函數(shù)圖象分析.

(3)分離參數(shù)后,數(shù)形結(jié)合,討論參數(shù)所在直線與函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù).

多維訓(xùn)練.

(2024?濰坊模擬)已知函數(shù)/(x)=aInx—2五

(1)若。=2,求曲線y=/(x)在x=l處的切線方程;

⑵若函數(shù)/(x)在(0,16]上有兩個(gè)零點(diǎn),求a的取值范圍.

解:⑴當(dāng)。=2時(shí),f(x)=21nx-2-^x,該函數(shù)的定義域?yàn)?0,+°°),/(x)=[—t,

所以f(l)=-2,r(1)=1,

因此,曲線y=/(x)在x=l處的切線方程為y+2=x—1,即龍一y—3=0.

(2)由題可得廣(無)=卜前>0).

①當(dāng)aWO時(shí),廣(x)=£—京<0,則/(無)在(0,

+8)上單調(diào)遞減,不符合題意.

②當(dāng)a>0時(shí),由f(x)—uInx—2'\/^=0可得二=7'.

令g(x)=Jg(x>0),則直線尸:與曲線尸g(x)在(0,16]上有兩個(gè)交點(diǎn).

y/x_Inx

g'(x)=

2xy/x

令g,(%)=0,可得x=e2<16.

當(dāng)工變化時(shí),,(%),g(x)的變化情況如下表:

22

X(0,e2)e(e,16]

g'(x)+0一

2

g(x)單調(diào)遞增單調(diào)遞減

e

所以函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,16]上的極大值為g(e?)=且g(16)=ln2,g(x)的大體圖象如圖所

示.

由圖可知,當(dāng)ln2W〃3,即當(dāng)e<aW=-時(shí),直線y=2與曲線y=g(x)在(0,16]上有兩個(gè)交點(diǎn),

aem2a

因此,實(shí)數(shù)〃的取值范圍是(e,*).

考點(diǎn)三函數(shù)零點(diǎn)與極值點(diǎn)的偏移問題

【例3】已知函數(shù)/(x)=£1ln%.

⑴求了(%)的單調(diào)區(qū)間;

⑵當(dāng)/(%1)=/(%2)(加<%2)時(shí),求證:(%1+%2)>2.

(1)解:由題可得函數(shù)/(x)的定義域?yàn)?0,+-),/(x)=一需+品=匕*上

令g(x)=l—x2—2xlnx,則g〈x)=—2x—21nx—2=-2(x+lnx+l).

令/z(x)=-2(x+lnx+l),則〃(尤)=一2(1+:)=—9.

當(dāng)無>0時(shí),砥尤)<0,所以g'Cr)在(0,+8)上單調(diào)遞減.

又g,(e-2)=—2(6—1)>0,g,⑴=—4<0,

所以電6?2,1),使得g,(xo)=O,

則當(dāng)x£(0,沏)時(shí),g'(%)>0;當(dāng)-£(沏,+8)時(shí),gXx)<0.

所以g(%)在(0,%。)上單調(diào)遞增,在(xo,+8)上單調(diào)遞減,所以g(x)在%o處取得極大值,也

是最大值,g(X)max=ga0)>g(l)=0.

又當(dāng)x£(0,1)時(shí),1——>0,-2xlnx>0,所以當(dāng)x£(0,1)時(shí),g(x)>0,即/(x)>0;

當(dāng)工£(1,+8)時(shí),g(x)<0,即尸⑴<0.

所以/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞減區(qū)間為(1,+°°).

(2)證明:由(1)知,若/(即)=/(%2)(%1VX2),則0Vxi<1<X2.

要證XI+X2>2,只需證X2>2~XI即可.

因?yàn)?<為<1<%2,所以2—X1>1.

又/(x)在(1,+8)上單調(diào)遞減,

所以只需證/(X2)</(2—Xl)即可.

因?yàn)?。1)=/。2),所以只需證/(%l)</(2—X1),

即證了(為)-7(2—乃)<0即可.

則需證%i+L、ln(2—xi)<0.

]+/3-x

又11%i>0,

所以只需證嶼+唯二?<0,即證(3—xi)ln尤1+(1+尤i)ln(2一為)<0.

13—%

令尸(x)=(3—x)lnx+(l+x)ln(2—尤)(0<x<l),

則F(x)=-lnx+—+ln(2—尤)一上把.

x2~x

令G(x)=-Inx+—+ln(2-x)-—,則G,(x)=--------^-.<0,

x2~xxx22—xQ—%)

所以尸(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,F(xiàn)'(x)>F(l)=0.

所以尸(無)在(0,1)上單調(diào)遞增,F(xiàn)(x)<F(l)=0.

所以(3—xi)ln尤i+(l+xi)ln(2—xi)<0.

原不等式得證.

?■反思感悟

對(duì)稱化構(gòu)造函數(shù)證明極值點(diǎn)偏移問題的關(guān)鍵

構(gòu)造函數(shù)//⑴=/⑴一/^尤0—尤),其中無0為函數(shù)/(x)的極值點(diǎn),然后求導(dǎo)確定H(無)的單調(diào)性,

結(jié)合H(xo)=O確定H(x)的符號(hào),再通過“X)的單調(diào)性得到結(jié)論.

多維訓(xùn)練.

若關(guān)于x的方程xInx=m有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根xi,X2f求證:為%2<《(e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

證明:不妨設(shè)Xl>X2>0,要證X\X2<\,即證X1X2'(--

22

e\x2X]/e\x2X|/

整理得X1+;<X2+;.

2z

ex,ex2

又因?yàn)閤ilnxi=X21n%2,即證xilnxi—《X[+g)>X21nx2—Mx2+g),%>0,

設(shè)h(x)=xInx-kx——,

e2x

要使X1>X2時(shí),h(Xi)>h(X2),則/z(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增,

所以有“(功=111彳+1—%+120在(0,+8)上恒成立.

令H(x)=lnx+1~k+—,則H'(x)=l--(x>0).

e2x2xe2x3

令M(x)=0,解得x=%(x=二經(jīng)舍去).

ee

易知當(dāng)xd(o,W)時(shí),H'(x)<0;當(dāng)xd(W,+8)時(shí),ff(x)>o,

所以〃(x)在(0,W)上單調(diào)遞減,在(W,+8)上單調(diào)遞增.

所以"(x)min=/?'(W)=;ln2左一%+;=如2k~2k+1).

令f/)=ln2左一2左+1,則//)=:—2.

令寅電>0,得ov^vg;令十期<0,得人>;,

所以f(左)在(0,;)上單調(diào)遞增,在G,+8)上單調(diào)遞減,函數(shù)*%)在左=;時(shí)取得極大值也是

最大值,又(:)=0,所以巡)=ln2A-2Z+1W0.

令9112A:—2左+1)20,得k二.

此時(shí)有〃(x)N0在(0,+8)上恒成立,原命題得證.

課時(shí)質(zhì)量評(píng)價(jià)(二十)

1.(2024?南平模擬)已知函數(shù)/(x)=21nx—d+oxmeR).

(1)當(dāng)。=1時(shí),求函數(shù)/(尤)在(1,/(I))處的切線方程;

⑵若函數(shù)/(尤)的圖象與直線y=ax—。在R,e]上有兩個(gè)不同的交點(diǎn),求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

解:(1)當(dāng)a=l時(shí),/(x)=21nx-x2+x(x>0),

所以廣(%)=:—2x+l.

因?yàn)?(1)=0,

所以切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),切線斜率為尸(1)=1,

所以切線方程為y—o=l(x—1),即y=x~l.

(2)由題知/(x)=21nx~x2+ax(a^R),函數(shù)/(%)的圖象與直線y=ax~a在卜,e]上有兩個(gè)不

同的交點(diǎn).

令g(x)=/(%)-y=21nx—x2+tz(x>0),所以g'(%)=|—2x=2(.+:)(x_Q.

因?yàn)镋,e],

所以令g'(x)=0,得x=l,

所以當(dāng)時(shí),,(x)>0,g(x)單調(diào)遞增;當(dāng)1cxWe時(shí),g,(x)<0,g(x)單調(diào)遞減,

所以g(%)=21nx一爐+〃在卜,e]上有最大值g(l),g(l)=a—1.

因?yàn)間(,=〃一2一3,g(e)=i+2—e2,

所以g(e)<gQ,

=a-2——WO,

e2

解得1<〃W2+二

e2

所以實(shí)數(shù)4的取值范圍為(1,2+g).

2.(2024?通遼模擬)已知函數(shù)/a)=—x3+x2+x+〃(〃£R).

⑴求函數(shù)/(x)的極值點(diǎn);

⑵若函數(shù)/(%)有且只有兩個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)。的值.

解:(1)因?yàn)?任)=一丁+/+工+〃(〃£區(qū)),所以尸(x)=—3/+2x+l=(3x+l)(—x+l).

令/(%)>0,解得一;4<1;令尸(x)V0,解得x>l或1v—g,

所以/(X)在(一8,—(1,+8)上單調(diào)遞減,在(一;,1)上單調(diào)遞增,

所以/(x)的極小值點(diǎn)是一:,極大值點(diǎn)是1.

(2)函數(shù)/(X)有且只有兩個(gè)零點(diǎn),令/(x)=0,則(一Jj+V+x:—〃.令g(x)=-x3+x2+x,即

y=g(x)與y=-a的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).

由(1)分析知g(x)在(一8,—0,(1,+8)上單調(diào)遞減,在(一;,1)上單調(diào)遞增,g(x)的大

致圖象如圖所示.

要使函數(shù)/(%)有且只有兩個(gè)零點(diǎn),,解得a=-1或t7=—.

3.(2024?江門模擬)已知函數(shù)/a)=(x+(l)eO—〃(〃£R).

⑴求/(x)的極值;

(2)若/⑴有兩個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

解:(1)函數(shù)/(幻的定義域?yàn)镽,尸(%)=(%+2)-

令尸(x)V。,得X<—2;令/(x)>0,得%>—2,

所以/(x)在區(qū)間(一8,—2)上單調(diào)遞減,在區(qū)間(一2,+8)上單調(diào)遞增.

所以當(dāng)X=—2時(shí),/(x)有極小值7(—2)=一5一a,無極大值.

(2)函數(shù)/(x)=(x+l)ex—a有兩個(gè)零點(diǎn),

取g(x)=(x+l)e",則直線y=a與函數(shù)y=g(x)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).

gG)=a+2)e%,

令g'(x)V0,得x<—2;令g%x)>0,得%>—2,

所以g(x)在區(qū)間(一8,—2)上單調(diào)遞減,在區(qū)間(一2,+8)上單調(diào)遞增.

因?yàn)間(—1)=0,g(—2)=—1,

當(dāng)x<—1時(shí),g(x)<0,當(dāng)x>—1時(shí),g(x)>0,

當(dāng)工——8時(shí),g(X)->0,當(dāng)Xf+8時(shí),g(x)—+°0,

所以函數(shù)g(x)的大致圖象如圖所示.

8(#=(%+1戶

-2/

"-To

結(jié)合圖象可知,當(dāng)一(<〃<0時(shí),直線>=〃與函數(shù)y=g(x)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn),即/(X)有兩個(gè)

零點(diǎn),

故實(shí)數(shù)a的取值范圍為(一:,0).

4.已知函數(shù)/(x)=x—lnx+M,g(x)=:.

⑴若函數(shù)/(%)和g(x)的圖象都

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