第03講 概率分布課件

第五章概率分布第03講概率分布隨機事件與概率隨機事件

在試驗的結(jié)果中，可能發(fā)生，也可能不發(fā)生的事件，稱為隨機事件。通常用英文大寫字母A、B、C…表示隨機事件。每次試驗的結(jié)果中，某事件一定發(fā)生，則這一事件叫做必然事件，用字母U表示；相反地，如果某事件在試驗中一定不發(fā)生，則叫做不可能事件，用字母V表示。概率概率是事物的客觀屬性，通過大量的試驗得知其頻率隨著試驗次數(shù)的增大，而越來越趨于某穩(wěn)定值，這就是事件的概率。但有一些特殊情況下的事件的概率可以直接計算，這種計算是以概率的古典定義為基礎(chǔ)的。第03講概率分布隨機事件與概率隨機變量隨機現(xiàn)象在一定的條件下的每一可能的結(jié)果ω都對應著唯一的實數(shù)值ξ（ω），則稱實數(shù)值變量ξ（ω）為一個隨機變量。隨機變量通常用希臘字母ξ，η，ζ，…來表示（或用大寫拉丁字母X，Y，Z，…來表示）。第03講概率分布概率的乘法法則:

幾個獨立事件同時發(fā)生的概率，等于各獨立事件的概率之積概率的加法法則:

互不相容事件和的概率等于各事件的概率之和第03講概率分布介紹的主要分布1．二項分布２．泊松分布３．正態(tài)分布第03講概率分布二項分布

(binomialdistribution)二分類資料，觀察對象的結(jié)局只有相互對立的兩種結(jié)果。

例如生存、死亡陽性、陰性發(fā)病、不發(fā)病治愈、未愈第03講概率分布先看一個例子已知：小白鼠接受某種毒物一定劑量時

死亡率=80%

生存率=20%每只鼠獨立做實驗，相互不受影響若每組各用3只小白鼠（甲、乙、丙）3只小白鼠的存亡方式符合二項分布第03講概率分布3只小白鼠均生存的概率P=0.20.20.2=0.0083只小白鼠2生1死的概率P1=0.20.20.8=0.032P2=0.20.80.2=0.032P=0.096P3=0.80.20.2=0.032第03講概率分布3只小白鼠1生2死的概率P1=0.20.80.8=0.128P2=0.80.80.2=0.128P=0.384P3=0.80.20.8=0.1283只小白鼠均死亡的概率P=0.80.80.8=0.512第03講概率分布第03講概率分布x00.50.40.30.20.10.0123π=0.8，n=3

二項分布示意圖第03講概率分布二項分布的定義從陽性率為π的總體中隨機抽取含量為n的樣本，恰有X例陽性的概率為：

X=0,1,2,…,n

則稱X服從參數(shù)為n和

的二項分布，記為：X～B(n,

)。其中參數(shù)

n由實驗者確定，而

常常是未知的。第03講概率分布如已知n=3，

=0.8，則恰有１例陽性的概率P(1)為：第03講概率分布二項分布的性質(zhì)（一）均數(shù)與標準差第03講概率分布二項分布的性質(zhì)（二）累計概率(cumulativeprobability)從陽性率為

的總體中隨機抽取n個個體最多有k例陽性的概率：

最少有k例陽性的概率：

第03講概率分布二項分布的性質(zhì)（三）

圖形特征：取決于π與n

當π接近0.5時，圖形是對稱的；π離0.5愈遠，對稱性愈差，但隨著n的增大，分布趨于對稱。當n足夠大，π不太靠近0或1，np和n(1-p)都大于5時，二項分布近似于正態(tài)分布。第03講概率分布應用舉例據(jù)以往經(jīng)驗，用某藥治療小兒上呼吸道感染、支氣管炎，有效率為85％，今有5個患者用該藥治療，問：①

至少3人有效的概率為多少？②

最多1人有效的概率為多少？第03講概率分布①

至少3人有效的概率：P(X≥3)=P(3)+P(4)+P(5)則P(X≥3)=0.138178125＋0.391504688＋0.443705313=0.973388126

第03講概率分布②最多1人有效的概率為：

P(X≤1)=P(0)+P(1)第03講概率分布二項分布的應用條件各觀察單位只能有互相對立的一種結(jié)果，屬于二分類資料

已知發(fā)生某一結(jié)果(如陽性)的概率

不變，其對立結(jié)果(如陰性)的概率則為1-

n次試驗在相同條件下進行，且各觀察單位的結(jié)果互相獨立

第03講概率分布應用實例保險公司為了決定保險金額數(shù)，估算公司的利潤和破產(chǎn)的風險，需要計算各種各樣的概率。若根據(jù)壽命表知道，某年齡保險者，一年中每個人死亡的概率等于0.005，現(xiàn)有10000個這類人參加人壽保險，試求在未來一年中在這些保險者里：

1.有30人死亡的概率；

2.死亡人數(shù)不超過65人的概率。根據(jù)題意，以X表示死亡人數(shù)第03講概率分布Poisson分布常用于描述單位時間或單位空間中某罕見事件的發(fā)生數(shù)的隨機分布規(guī)律，可視為n很大，π很小時二項分布的極限情形。例如：放射性物質(zhì)每分鐘放射的脈沖數(shù)，每ml水中大腸菌群數(shù)、每1萬個細胞中有多少個發(fā)生突變、某地每天的交通事故數(shù)第03講概率分布

如果某事件的發(fā)生是完全隨機的，則單位時間或單位空間內(nèi)，事件發(fā)生0次、l次、2次…的概率為：

X=0，1，2，…

則稱該事件的發(fā)生服從參數(shù)為

的Poisson分布，記為X～P(

)。

=nπ為總體均數(shù)，X為單位時間或空間內(nèi)某事件的發(fā)生數(shù)，P(X)為事件數(shù)為X時的概率，e為自然對數(shù)的底。第03講概率分布Poisson分布的性質(zhì)（一）均數(shù)與方差

Poisson分布的方差

2與均數(shù)

相等，均為

，即：

2=

=

其中參數(shù)

即為總體均數(shù)，表示單位空間或時間內(nèi)事件平均發(fā)生的次數(shù)，又稱強度參數(shù)。

第03講概率分布Poisson分布的性質(zhì)（二）累計概率最多為k次的概率：最少為k次的概率：

第03講概率分布

Poisson分布的形狀取決于

的大小。隨著

的增大，分布逐漸趨于對稱，當

=20時已基本接近對稱分布，近似正態(tài)分布。Poisson分布的性質(zhì)（三）第03講概率分布

Poisson分布示意圖第03講概率分布可加性以較小的度量單位，觀察某一現(xiàn)象的發(fā)生數(shù)時，如果它呈Poisson分布，那么把若干個小單位合并為一個大單位后，其總計數(shù)亦呈Poisson分布。Poisson分布的性質(zhì)（四）第03講概率分布Poisson分布的性質(zhì)（五）Poisson分布是二項分布的極限形式

二項分布中，當

很小，比如

<0.05，而n很大，二項分布逼近Poisson分布。且：其中

=n

。n愈大，近似程度愈好。如果某些現(xiàn)象的發(fā)生率

甚少，而樣本例數(shù)n甚多時，二項分布常用Poisson分布來簡化運算。第03講概率分布實例1

據(jù)以往經(jīng)驗，新生兒染色體異常率為1％，試分別用二項分布及Poisson分布原理，求100名新生兒中發(fā)生X例(X=0，l，2…)染色體異常的概率。第03講概率分布第03講概率分布Poisson分布的應用條件

事件的發(fā)生是相互獨立的，事件發(fā)生的概率相等，事件結(jié)果是二分類的(發(fā)生或不發(fā)生)。

第03講概率分布實例2設(shè)某池塘中，平均每毫升池塘水中有6個細菌，試計算由該池塘中隨機抽取1ml水中，有4個細菌數(shù)的概率。解：由題意知λ＝6，則有第03講概率分布實例3某市急救中心平均每小時收到請求急救的呼叫為10個，試計算該中心1小時內(nèi)收到請求急救的呼叫至少5次的概率和至多15次的概率。解：由題意知λ＝10，則有第03講概率分布正態(tài)分布(normaldistribution)又稱Gauss分布（Gaussiandistribution)是一個重要的連續(xù)型概率分布。

第03講概率分布一、正態(tài)分布的定義

1．分布密度曲線呈對稱的鐘型曲線2．密度函數(shù)為：3．通常用表示

第03講概率分布二、正態(tài)分布的特征1．正態(tài)曲線橫軸上方均數(shù)處最高2．正態(tài)分布以均數(shù)為中心，左右對稱3．兩個參數(shù)：μ是位置參數(shù)，σ是變異參數(shù)4．正態(tài)曲線下面積分布有一定的規(guī)律：曲線下總面積等于1，在μ左右的任意個標準差范圍內(nèi)面積相同

μ±1.96σ范圍內(nèi)的面積是95%，μ±2.58σ范圍內(nèi)的面積是99%

第03講概率分布第03講概率分布第03講概率分布三、標準正態(tài)分布

標準化變換

X~N(

，2）則第03講概率分布標準正態(tài)分布曲線下面積表

標準正態(tài)分布曲線下，u左側(cè)任一區(qū)間的面積可以通過積分求得為了應用方便，積分結(jié)果制成表（附表1），通過查表可得到u值左側(cè)的面積。例：u=-2.58,u=-1.96,u=-2時對應曲線下的面積。第03講概率分布四、正態(tài)曲線下面積（概率）的計算X~N(0，1）1.X＜0,Φ(X)查標準正態(tài)分布表；2.X＞0,Φ(X)＝1－Φ(-X)，；3．(x1,x2)范圍內(nèi)的面積：Φ(X2)－Φ(X1)X~N(μ，σ2）化成標準正態(tài)分布，再查標準正態(tài)分布表第03講概率分布例5.13由160名7歲男童身高測量數(shù)據(jù)得均數(shù)為122.6cm，標準差為4.8cm。已知身高數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布。試求：

該地7歲男童身高在119cm~125cm者占該地男孩總數(shù)的百分比.作標準變換：查表得：第03講概率分布五、標準正態(tài)分布的界值

雙側(cè)界值：在右側(cè)及左側(cè)的面積和為α

單側(cè)界值：在右側(cè)或左側(cè)的面積為α單側(cè)雙側(cè)Z0.051.641.96Z0.012.332.58第03講概率分布六、正態(tài)分布的重要性醫(yī)學研究中的某些觀察指標服從或近似服從正態(tài)分布；很多統(tǒng)計方法是建立在正態(tài)分布的基礎(chǔ)之上的；很多其他分布的極限為正態(tài)分布。因此，正態(tài)分布是統(tǒng)計分析方法的重要基礎(chǔ)。

第03講概率分布二項分布與正態(tài)分布的關(guān)系第03講概率分布Poisson分布與正態(tài)分布的關(guān)系第03講概率分布七、醫(yī)學參考值范圍的制定

醫(yī)學參考值（referencevalue）是指包括絕大多數(shù)“正常人”的人體形態(tài)、機能和代謝產(chǎn)物等各種生理及生化指標常數(shù)，也稱正常值。由于存在個體差異，生物醫(yī)學數(shù)據(jù)并非常數(shù)而是在一定范圍內(nèi)波動，故采用醫(yī)學參考值范圍（medicalreferencerange）作為判定正常和異常的參考標準。習慣上是確定包括95%的人的界值。第03講概率分布制定步驟：

1、確定“正常人”及足夠的調(diào)查對象

“正常人”是指排除了影響所研究指標的疾病和有關(guān)因素的人。一般認為每組100例以上；有人認為確定臨床生化指標的正常值應取300~500例。

2、采用單側(cè)界值還是雙側(cè)界值的問題，這通常依據(jù)醫(yī)學專業(yè)知識而定。過大和過小均屬異常：雙側(cè)界值；僅過大或過小為異常：單側(cè)界值

第03講概率分布3、百分界限的問題，這通常依據(jù)醫(yī)學專業(yè)知識而定。最常用的為95%。4、根據(jù)指標的性質(zhì)確定是否要分組，由于有些醫(yī)學指標在不同的人群中有所不同，所以在制定醫(yī)學參考值范圍時，應先確定該指標是否有差異，如有不同，則分組制定。5、依據(jù)資料的分布類型確定計算醫(yī)學參考值范圍的方法。正態(tài)法與百分倍數(shù)法

第03講概率分布估計參考值范圍的界限方法第03講概率分布正態(tài)分布法

雙側(cè)參考值范圍：

單側(cè)參考值范圍：

第03講概率分布百分位數(shù)法

雙側(cè)參考值范圍：

單側(cè)參考值范圍：

第03講概率分布參考值范圍所對應的百分位數(shù)參考值范圍所對應的正態(tài)分布區(qū)間第03講概率分布正常人病人假陽性率假陰性率圖2.9正常人與病人的數(shù)據(jù)分布重疊示意圖

第03講概率分布八、質(zhì)量控制是保證生產(chǎn)產(chǎn)品的工作質(zhì)量的一個有效措施，已廣泛應用于工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和醫(yī)療衛(wèi)生