湖南省衡陽(yáng)市衡陽(yáng)縣四中2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷（創(chuàng)新實(shí)驗(yàn)班）

衡陽(yáng)縣四中2024年下期期中考試高二數(shù)學(xué)試卷（創(chuàng)新實(shí)驗(yàn)班）滿分150分，時(shí)量120分鐘，命題人劉孝軍一、選擇題1．已知向量，，且，那么實(shí)數(shù)等于()A.3 B.-3 C.9 D.-92．已知方程表示圓的方程，則c的取值范圍為()A. B. C. D.3．已知數(shù)列滿足,則,則()A.3 B. C. D.4．如圖，在斜棱柱中，與的交點(diǎn)為點(diǎn)M，，，，則()A. B. C. D.5．已知直線過(guò)定點(diǎn)P,則點(diǎn)P到直線距離的最大值是()A.1 B.2 C. D.6．已知雙曲線的離心率是2，則其漸近線方程為()A. B. C. D.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,,P為橢圓上一點(diǎn),且,若關(guān)于平分線的對(duì)稱點(diǎn)在橢圓C上,則該橢圓的離心率為()A. B. C. D.8．如圖,在正方體中,,,則下列結(jié)論中正確的是()A.平面 B.平面平面C.平面D.平面內(nèi)存在與EF平行的直線二、多項(xiàng)選擇題9．已知直線,下列說(shuō)法正確的是()A.若,則直線l的傾斜角為B.若直線l的在兩坐標(biāo)軸的截距相等,則C.直線l與直線垂直,則D.若直線l不過(guò)第二象限,則10．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，則下列四個(gè)命題中正確的是()A.兩條異面直線和所成的角為B.直線與平面所成的角等于C.點(diǎn)C到面的距離為D.四面體的體積是11．某學(xué)習(xí)小組用函數(shù)圖象:,和拋物線部分圖象圍成了一個(gè)封閉的“心形線”,過(guò)焦點(diǎn)F的直線l交（包含邊界點(diǎn)）于A,B兩點(diǎn),P是或上的動(dòng)點(diǎn),下列說(shuō)法正確的是()A.拋物線的方程為B.的最小值為4C.的最大值為D.若P在上,則的最小值為三、填空題12．已知雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則該雙曲線的焦距是_________.13．已知的頂點(diǎn)，，且周長(zhǎng)為16，求頂點(diǎn)C的軌跡方程________.14．在正三棱錐中，O是的中心，，則__________.四、解答題15．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，.（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式.16．如圖所示，在四棱錐中，側(cè)面是等邊三角形，且平面平面.E為的中點(diǎn)，，，，.（1）求證：平面；（2）求平面與平面的夾角的余弦值.17．已知雙曲線C的焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上,且過(guò)點(diǎn),其漸近線方程為.（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）是否存在被點(diǎn)平分的弦?如果存在,求出弦所在的直線方程;如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.18．已知四棱錐中，四邊形ABCD為等腰梯形，，，，，為等邊三角形.（1）求證：平面平面ABCD；（2）是否存在一點(diǎn)F，滿足，使直線AF與平面BDE所成的角為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.19．已知橢圓的離心率為,右頂點(diǎn)Q與C的上,下頂點(diǎn)所圍成的三角形面積為.（1）求C的方程.（2）不過(guò)點(diǎn)Q的動(dòng)直線l與C交于A,B兩點(diǎn),直線QA與QB的斜率之積恒為.（i）證明:直線l過(guò)定點(diǎn);（ii）求面積的最大值.

參考答案1．答案：D2．答案：A3．答案：C4．答案：B解析：由題意，.5．答案：D解析：由題意知,直線恒過(guò)定點(diǎn),直線恒過(guò)定點(diǎn),如圖所示,過(guò)作的垂線段PH,垂足為H,那么必有,當(dāng)且僅當(dāng)Q與H重合時(shí)取等號(hào),從而PH的最大值為,即點(diǎn)P到直線距離的最大值是.6．答案：A解析：依題意，，所以漸近線方程為，即.7．答案：B解析：設(shè)關(guān)于平分線的對(duì)稱點(diǎn)為M,則P,,M三點(diǎn)共線,設(shè),則,又,所以為等邊三角形,所以,又,所以,,在中,由余弦定理可得：,即,所以,所以.8．答案：C解析：因?yàn)闉檎襟w,設(shè)正方體邊長(zhǎng)為2,以為原點(diǎn),為x軸,為y軸,為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,,,,,設(shè)平面的法向量為,則,,令,則,同理解得平面的法向量,,,故A不正確;,故B不正確;,,,,,所以,,又,所以平面,C正確;平面的一個(gè)法向量為,,故D不正確;9．答案：AC解析：對(duì)于選項(xiàng)A,當(dāng)時(shí),直線l可化為,故直線的斜率為-1,所以傾斜角為,故選項(xiàng)A正確;對(duì)于選項(xiàng)B,由題意,令,得,令,得,若截距相等,則有,解得或,故選項(xiàng)B錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)C,由直線垂直的充要條件得,解得,故選項(xiàng)C正確;對(duì)于選項(xiàng)D,直線l可化為,因?yàn)閘不過(guò)第二象限,所以,解得,所以,故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.10．答案：BCD解析：建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，對(duì)A：、、、，則、，故，故，即異面直線和所成的角為，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：，由z軸平面，故平面法向量可為，則，故直線與平面所成的角為，故B正確；對(duì)C：,,，設(shè)平面的法向量為，則有，令，則，故，故C正確；對(duì)D：易得四面體為正四面體，則，故D正確.11．答案：ACD解析：可變形為,表示以為圓心,2為半徑的圓的上半部分;可變形為,表示以為圓心,2為半徑的圓的上半部分.對(duì)于A選項(xiàng),拋物線過(guò)點(diǎn),解得,,故A選項(xiàng)正確;對(duì)于B選項(xiàng),拋物線的準(zhǔn)線為,過(guò)點(diǎn)B作,垂足為,則,則,故B選項(xiàng)不正確;對(duì)于C選項(xiàng),不妨設(shè),顯然離l最遠(yuǎn)的點(diǎn)在上,且,聯(lián)立,消去y整理得,,則,,則,由對(duì)稱性只考慮情況,B在E點(diǎn)時(shí),,所以,所以,設(shè),易得在上單調(diào)遞增,所以的最大值為,故C選項(xiàng)正確;對(duì)于D選項(xiàng),設(shè)AB的中點(diǎn)為M,聯(lián)立,消去y整理得,則,,,,,所以,,,最小,即最大,也即最小,又AB的中點(diǎn)M位于圓心的左側(cè),故當(dāng)P在位置時(shí),最小,最小,所以,故D選項(xiàng)正確.12．答案：213．答案：14．答案：16解析：如圖，首先：，又所以.15．解析：（1）當(dāng)時(shí)，由，得，所以.又，故數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列.（2）由（1），可得，所以.當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，，顯然不符合上式.故16．解析：（1）取的中點(diǎn)F,連接,，因?yàn)镋,F分別為,的中點(diǎn)，所以,，因?yàn)椋?，所以，又因?yàn)?，所?，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面；?）取的中點(diǎn)O，連接,，因?yàn)槭堑冗吶切?，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，面PAD，所以平面.因?yàn)?，，所以四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)椋?以O(shè)為原點(diǎn)，,,所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，取，則.同理可得平面的法向量為.設(shè)平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.17．解析：（1）雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）假設(shè)存在被點(diǎn)平分的弦,記弦所在的直線為l.設(shè)是弦的中點(diǎn),設(shè),,則.因?yàn)辄c(diǎn)M,N在雙曲線C上,所以它們的坐標(biāo)滿足雙曲線方程,即兩式相減得,所以,所以直線l的斜率,所以直線l的方程為,即.聯(lián)立直線l與雙曲線方程得消去y,得,顯然,所以直線l與雙曲線無(wú)交點(diǎn),所以直線l不存在,故不存在被點(diǎn)平分的弦.18．解析：（1）等腰梯形ABCD中，，，得到，.由，得到，且，因此平面ADE，又因?yàn)槠矫鍭BCD，故平面平面ABCD（2）方法一：由（1）知面ADE，得到面面ADE.作于H點(diǎn)，有面BDE.即為直線AF與面BDE所成角，在直角三角形AHF中，由和，得到，由，得，又，所以存在.方法二：以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA為x軸，DB為y軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.其中，，，得到，，設(shè)平面BDE的法向量為由，得，不妨設(shè)，則取又，則，（舍去）或所以，19．解析：（1）令橢圓的半焦距為c,由離心率為,得,