2023屆高考數(shù)學二輪復習：構造函數(shù)

第8講構造函數(shù)

知識與方法

利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性極值和最值,再由單調性來證明不等式是函數(shù)、導數(shù)、不等式

綜合中的一個難點，也是近幾年高考的熱點.解題技巧是構造輔助函數(shù)，把不等式的證明轉化為

利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性或求最值，從而證得不等式，而如何根據(jù)不等式的結構特征構造一

個可導函數(shù)是用導數(shù)證明不等式的關鍵.本節(jié)我們來探討構造函數(shù)研究不等式的策略.

典型例題

構造差函數(shù)

當待證不等式的兩邊含有同一個變量時，一般可以通過“左減右，，或，，右減左"構造差函數(shù)，

利用導數(shù)研究其單調性，進而借助單調性證明原不等式成立.

【例1】求證:當％>0時,e*>ex+(x—l)2.

【解析】證法1：

今/(%)=ex—ex—(%—1)2,則廣(%)—ex—e—2(%—1),

今g(%)=ex—e—2(%—1),則g，(x)—ex—2,由“(%)=0?x=ln2,

當％E[0,1112)時9，(%)<O,g(x)單調遞減；

當xG(ln2,+8)時"(%)>O,g(x)單調遞增，

所以g(%)min=9(ln2)-2-e-2(In2-1)=4-e-21n2<0,

%0

又g(0)=3-e>0,故存在%0e(0,ln2),使得g(%o)=0,BPe-e-2(x0-1)=0

當％G(O,%。)時g(x)>0,當%E(%o，ln2)時g(%)<0,

又g(l)=0,且g(%)在(ln2,+8)單調遞增，

故當％6Qn2,l)時g(%)<0,當%e(1,+8)時g(%)>0,

所以/(%)在[O,%o)遞增，在(%o,1)遞減，在。+8)遞增，又/(0)=0,/(1)=0.

故當%e[0,+8)時,/(%)max=/(0)=/⑴=0;

即當%>。時,/(%)>0,所以e">ex+(%—l)2.

證法2:

令/(%)="+『)2(久之0),/(為)=_(XT):3),

當XG(0,3—e)U(1,+8)時/(%)<0,

當%e(3-e,1)時型(%)>0,

所以/(%)在[0,3-e),(1,+8)上單調遞減，在(3-e,1)上單調遞增.

又/(O)="⑴=1,

故經(jīng)啖)2<1對一切％G[0,+8)恒成立，

即>ex+(%—l)2：

【例2】設a,bER,函數(shù)/(久)=In%—ax,g(x)—%

(1)若/(%)=In%-a%與g(x)=?有公共點P(l,TH),且在P點處切線相同，求該切線方程;

⑵若函數(shù)/(%)有極值但無零點,求實數(shù)a的取值范圍；

(3)當a>0,b=1時，求F(%)=/(%)一g(x)在區(qū)間［1,2］的最小值.

［r(1)="(1)

'得a=^,b=—點所以該切線方程為％-2y-2=0.

【解析】(1)由1/(1)=g(l),

(2)當a<0時，由尸(%)=：—a>0恒成立,

可知函數(shù)/(%)在定義域(0,+8)單調遞增,此時無極值.

當a>0時,由/(%)—--a—0得％=->0;

xa

由/'(%)=：—a>0得％E(0,十);((為)=|—a<0得％E(十，+8).

于是％—:為極大值點，且/(%)max=/(；)=-Ina-1.

由于函數(shù)/(%)無零點，因此/(%)max=/6)=-Ina-1<0,解得a>

2

⑶不妨設F(x)=Inx—ax—［，得/(久)=：a+/=J—設九(%)=ax—x—1,

因為a>0,所以/=1+4a>0,

設九(%)=0的兩根為尤i，%2,且久1<%2，

由％1%2=—\<0得％1<0,%2>0且％2="［『a.

所以F=出土要口2.

所以當F'(x)=0時％=x2;

當尸'(%)>0時,％2>%>0;

當F'(%)<0時,％>x2.

所以F(x)在(0,幻遞增，在%，+8)遞減

<1

(1)當0<%2<1時，即2a'解得a>2時,［1,2］?%，+8),F(%)在口,2］遞減;

U(l)>0,

所以F(%)min-F(2)=ln2-1-2a.

02/11

(2)當%2>2時,即九⑵<0解得0<aW［時,［1,2］?(0,%2］，?%)在［1,2］遞增;

所以F(%)min-F(l)--a-1.

(3)當1<%2<2時，即:<a<2時中(%)在［1,%2］遞增,［%2,2］遞減；

所以F(2)-F(l)=ln2-1-2a+a+1=ln2+|-a.

(i)當ln2+|<a<2時,F(2)<F(l),所以F(%)min=F(2)=ln2-1-2a.

(ii)當？<a<ln2+凱寸/⑵>F(l),所以F(%)min=F(l)=—a—1.

綜合(1)⑵⑶得F(%)=/(%)-g(x)在區(qū)間［1,2］的最小值為:

-CL-1,

0<a<ln2+

F(久)min

ln2———2u,(a之ln2+—.

變形構造函數(shù)

【例3】已知函數(shù)/(%)=竽g(%)=ex.

(1)若函數(shù)九(%)=|a%2+x［l一(a+1)/(%)］有唯一的極小值點,求實數(shù)a的取值范圍；

(2)求證:/(%)+1<g(x-1).

【解析】九(%)=|a%2+x［l—(a+1)/(%)］=|ax2+x—(a+l)ln%,/iz(%)—ax+1—

a+12、八、

---=-a-x--+-x--(-a-+-l-)=-(-a-x-+--a-+-l-)(-x---l)(,X>0),

XXX

設r(%)=(ax+a+1)(%—1),

當a=0時/(%)=(%—1),

在％G(0,1)時/(%)<0,即"⑺<0,所以以工)單調遞減，

在汽E(1,+8)時,丁(丁)>0,hf(%)>0,所以/I(T)單調遞增，

所以函數(shù)以%)有唯一的極小值點成立；

當a>0時,令r(%)=0,得第i=-1—1<0,%2=1，

在汽G(0,1)時/(%)<0,即<0,所以以工)單調遞減，

在％G(1,+oo)時/(%)>0.(%)>0,所以八(%)單調遞增，

所以函數(shù)以%)有唯一的極小值點成立；

當a<0時，令丁(%)=0,得%1=—1—，汽2=1,當=—!_—(<0時不合題意，

則％i=-1—>0,且丁1W即-1<a<0且aW——,

設m=max{xlrx2},n=min(x1,x2L

在汽e(0,幾)時,丁(%)<o,即〃(%)<0,所以/i(x)單調遞減,

在汽E(ji,m)0^*,r(x)>0,?(')>0,所以八(汽)單調遞增，

在％G(犯+8)時/(%)<0,即八口)<0,所以h(x)單調遞減,

所以函數(shù)九(%)有唯一的極小值點成立；

綜上所述"的取值普寓為Q>—1且a—1.

(2)/(%)+1<g(x—1)?^^+1<ex-1?lnx+x<%ex-1

x

令0(x)=%ex-1—x—lnx(x>0),

則R'Q)=%ex-1+e%T—1—^=(%+l)ex-1-=(%+1)^ex-1—令h(%)=ex~1—5

易知hQ)在汽G(0,+8)上單調,增，且h⑴=0,'

故當汽E(0,1)時,/1(x)<0,此時”(%)<O,0(x)單調遞減；

當XG(1,+8)時也(%)>0,此時(//(%)>0,"(%)單調遞增.

所以0(T)的最小值為9(1)=0,

故當汽E(0,+8)時〃(％)>0(1)=0,即％e、T—x—Inx>0,

所以回-1_i>器即/(%)+1<5(%-1).

【點睛】本題第⑵問的證明中，將待證不等式進行等價變形，變形的目的就是構造函數(shù)證明

不等式，構造函數(shù)需要考慮的問題就是:導數(shù)結構要簡單，且能方便地判斷出正負.對于含有指數(shù)

與對數(shù)混合式的不等式,往往要將對數(shù)前面的系數(shù)變成常數(shù)，這樣構造的函數(shù)，求一次導數(shù)之后

便不再出現(xiàn)對數(shù)符號，可避免多次求導的麻煩.變形過程中，點睛意體會"對數(shù)靠邊走，指數(shù)找朋

友”的妙處.

［例4］已知函數(shù)/(汽)=ln(x+1)+a(x2+%)+2.

(1)當a=1時，求/(%)在點(0,f(0))處的切線；

(2)當a>0時，若/(%)的極大值點為均,求證:/(小)<-21n2+|.

【解析】(l)y=2x+2.

(2)解法1:

04/11

當a>0時/'(汽)=」一+a(2x+1)=」一[a(2x+1)(%+1)+1],%>—1記g(x)=

%+1X"I-1

a(2x+1)(%+1)+1,則r(%)=W9(*)/(%)與g(%)符號相同，令尸(“)=0,即a(2%+1)(%+

1)+1=0(去>0),記九(%)=a(2x+1)(%+1),則g(%)=九(%)+1.

當工E（一1,第1）時，尸（%）>0;xG（工1，%0）時,廣（工）<0/（%）在％=第1處取得極大值.再求第07

令h'(x)=a(4%+3)=0,得%o=—1所以％1€(―1,—與滿足a(2%i+1)(%1+1)+

1

1=0,故Q=-

(2*1+1)(欠1+1)'

/(%1)=In(%1+1)+axr(%1+1)+2

1

=In(%1+1)——-----------—?+1)+2

、)(2%i+l)(%i+1)1V1)

Xi

—In(%1+1)—+2

2%i+1

，己3(%)——In(%+1)—2+i+2,%G(—1,一工),

(2%+1)—2x4X2+3X%(43+3)0

則/（%）=ZT7

(2%+1)2(x+l)(2x+l)2(x+l)(2x+l)2'

所以0)(%)在％e(―L—1)上單調遞增M(x)<3(—

_3

即/6)</(-1)=In(1-9-己+2=-21n2+1.

從而不等式得證.

解法2:

當a>0,r(%)=—+a(2%+1)=2a-+3=+a+l(%>—1),

X+1X+1

今g(%)=2ax2+3ax+a+l(x>—1),故g(%)min=9(一：)=1一也

(i)當1一色之0,即0<。48時，

8

此時g(x)>0恒成立，即尸(久)>0JQ)單調遞增，無極值,不符合題意；

(ii)當1—-<0,即a>8時,由g(—1)=1>0,g(0)=a+1>0,

8

則g(x)在區(qū)間(-1,-g上有唯一零點％0,在(-j0)上有唯一零點％2，

當％e（一1,%0），（%2，+8）時,0（%）>0,即/（%）>0,/（%）單調遞增;

當%G(質,%2)時,g(%)<o,即尸⑺<o,/(%)單調遞減;

故fO)在第=第0處取得極大值,因此第1=%0,

又g(%i)=2。好+3axi+a+1=0,則。=—2x2_^x+1/

因此fQi)=In(%1+1)++1)+2=In(%1+1)—2：；］+2,

記h(%)=ln(x+1)-2x+i+2(-1<%<一Z)，

12x+l-2x_x(4x+3)

則九'(%)0在(一L-上恒成立,

X+1(2%+1)2-(%+1)(2%+1)2

故/lQ)單調遞增,

因此h(x)<h(—=-21n2+—,

也即/(%i)<-21n2+，得證.

轉化構造函數(shù)

在用導數(shù)處理不等式的過程中，有時需要將不等式轉化之后再構造函數(shù)，其本質還是構

造函數(shù)，使得所構造的函數(shù)易于處理.

【例5】已知函數(shù)/1(%)=In%+署—2(aCR).

(1)討論函數(shù)/(%)的單調性；

(2)當a=2時，求證:/(%)>0在(1,+8)恒成立；

,,丫2

(3)求證:當％>0時,ln(%+1)>——.

ex—1

【解析】(1)/'(%)二三_三為=(%>0),若。<2,/(%)在(0,+8)上單調遞增;

若a>2,/(x)在(0,a—1—Va2—2a),(a-1+Va2—2a,+8)上單調遞增，在(a—1—

Va2—2a,a—1+7dz—2a)上單調遞減.

(2)由⑴可知，當。=2時/(%)在(1,+8)上單調遞增，則/(%)>/⑴=0,故/⑴>0在

(1,+8)恒成立;

⑶證明:由⑵可知:當%>1時Jn%+———2>0,

X+1

所以當%>0時,ln(%+1)+--之---2>0,即InQ+1)>衛(wèi)?在(0,+8)恒成立.

(%+1)+1%+2

下面只需證三>二即可，

即證2e%>x2+2x+2(%>0),

即證2e%—%2—2%—2>0(%>0).

06/11

設g(x)=2ex—x2—2x—2,g'(%)=2ex—2x—2,

設九(%)=2ex—2x—2,h.'{x)-2ex—2,

易知九黑久)>0在(0,+8)上恒成立，所以九(%)在(0,+8)上單調遞增,

所以九(無)>九(0)=0,從而g(%)單調遞增,

所以g(%)>g(0)=0,從而2e*-%2-2%-2>0.

所以含>W，即當>>°時，皿久+1)>9?

【點睛】本題第(3)題巧妙利用已證不等式ln(%+l)>落,將復雜的待證不等式ln(%+

22

1)>三進行放縮，進而轉化為證明e久>^+%+1(%>0),顯然這是％>0時e久的泰勒展

e%—12

開式.

還可以利用"指數(shù)找朋友"證明曾這個不等式，過程如下：

要證/>^+%+1(%>0),只需證給等<2,

2e"

令/(%)=胃上(％>0),則/(為)=一?<0,所以/(%)在(0,+8)上單調遞減,

所以/(無)</(0)=2,即巴瀘<2,所以即>[+%+1(%>0).

故原不等式成立.

換元構造函數(shù)

【例6】已知函數(shù)/(為)=%|—2alnx(aER).

(1)討論函數(shù)/(%)的單調性；

(2)若In%1—lnx=—+/求證:%i>肛+2.

2%%2

【解析】⑴/(%)的定義域為(0,+8),/(為)=1+點一§=立等.當q三1時,f(%)在

(0,+8)上單調遞增；

當a>1時,/(、)在(0,a—7dz—1)和(a+yja2—1,+8)上單調遞增，

在(a—Va2—1,a+7a2-1)上單調遞減.

⑵證明:由于Injq—lnx2=—+之得In%1—lnx2>0,所以％i>x2>0.

■X1%2

Ji

-+匕所以Ina=立良=令衛(wèi)=。則

因為Imq-lnx2t>ljnt=—.

X1%2x2久1久2X2X1

t+it+1t2-l1

所以％=lnt'%2—%2-tint-Ini

要證%1>久2+2,只需證明白6—>2,即證t—1>21nt(t>1).

由⑴可知，當a=1時,/(%)=%-1-21nx在(0,+8)單調遞增，

所以當t>1時，有/(t)>/(I)=0,即t—}>21nt(t>1)成立，

所以%1_亞=需=2(t，)>Q21nt=2,故%]>X2+2.

【點睛】本題通過換元，把%1，女轉化為亡的函數(shù)，構造關于亡的函數(shù)就可以輕松解決問題.把

%1，犯的關系變形為齊次式，可設t==ln|,t==e久1-外等構造函數(shù)來解決.該

方法在第三章雙變量問題處理會進二步深入*紹.

遞推關系構造

r2

【例7】已知函數(shù)/1(%)=sin%+y—ln(l+x).

(1)證明:/(%)>0;

(2)數(shù)列滿足：0<a1<|,an+1=/(an)(nEN*).

-1

(i)證明：0<an<-(nGN*);

(ii)證明:？幾EN*,an+1<an.

【解析】⑴由題意知J'G)=cos%+%一士(％e(-L+8)).

(1)當久e(—1,0)時，/(%)<i+x-^<x<o,所以/(%)在區(qū)間(―1,0)上單調遞減；

(2)當%6(0,+8)時，令g(%)=f'(x),g'(x)=1+而土—sin%>三不>0,所以g(x)在

(0,+8)上單調遞增，因此g(%)>g(0)=0,故當％G(0,+8)時，尸(%)>0,所以

/(%)在(0,+8)上單調遞增，因此當久G(_1,+8)時,/(%)>/(0)=0,所以/(%)>0.

(2)⑴由⑴知,/(%)在區(qū)間(0,)上單調遞增,/(久)>/(0)=0,

88

因為(9=(1+3=1+退+專或+?>l+4+7=12>e,

故1—81n|=Ine—In停)<0.

所以

/1\1137T1311/3\1

/(%)<f-=sin-+--ln-<sin—+-—ln-=-+xl—81n-<

八'/⑵28268228\2/2

因止匕當?shù)贕(0，)時,0</(%)<1.

又因為由e(o渡)所以廝=/(冊_1)=/(/(即-2))=?=/(/(?(/(%))))e(0,|).

(ii)函數(shù)％(%)=/(%)—%(0<T<則八'(％)=/'(%)—1=x+cosx—1-

08/11

令(p(x)-"(%),則d(%)=7(%)>0,所以3(%)在(0，)單調遞增，

因此九'(久)=<p(x)<<p(|)=[+cos]-1一|=cos|-^<0,

\Z/ZZ3Zo

所以九(%)在區(qū)間(o,9上單調遞減，所以九⑴</1(0)=0.

因此,冊+i-an-/(an)-an-/i(an)<0,所以？nGN*,an+1<an.

強化訓練

1.證明:當％>0時,(％—2)ex+%+2>0.

【解析】證法1：

設/(%)=(%—2)ex+(%+2)(%>0),

則尸(%)=(X—l)ex+=xex>0,

所以/(%)在(0,+8)遞增,所以廣(%)>r(0)=-1+1=0,

所以/(%)在(0,+8)遞增，所以/(%)>/(0)=0.

證法2:

要證(久—2)ex+x+2>0,只需證明——ex>—1.

(x-l)(x+2)ex-(x-2)e%x2ex

令Mx)=冷心,則/(%)=

(%+2)20+2)2’

當%>0時;(%)>0,所以/(%)在(0,+8)單調遞增,

因此當%>0時,/(%)>/(0)=-1,

所以(久—2)e工>—(%+2),故(％—2)ex+%+2>0.

2.已知函數(shù)/(%)=ln(a-x),x-0是函數(shù)%/(%)的極值點.

⑴求a；

⑵證明：*2<1.

xfM

【解析】⑴得a=1.

⑵證明:由⑴知%/(%)=xln(l-x),

%+/(x)x+ln(l-x)

要證<1,即證<1.

xfMxln(l-x)

由％ln(l—%)W0得:％<1且％W0.

因為當％G(—oo,0)時,％ln(l—%)<0;

當％e(0,1)時—%)<0;

故只需證明汽+ln(l-%)>xln(l-%),

即證第+(1—x)ln(l—%)>0(%<1且第W0).

令h(x)=%+(1—x)ln(l—%),%E(—8,1),

則九'(％)=1+(—l)ln(l—%)+(1—%)?^-=—ln(l—%),

i—%

所以八'(0)=o,當工e(―8,o)時,、(%)<o；當%G(0,1)時>0,

所以比=0為九(%)的極小值點，

所以九(%)>h(0)=0,即％+ln(l—x)>xln(l—%),

x+ln(l-x)

所以<1成立，即需<1.

xln(l-x