有關圓冪定理型壓軸題-高考數(shù)學復習壓軸題（選擇、填空題）（新高考地區(qū)專用）

專題44有關圓塞定理型壓軸題

【方法點撥】

1.相交弦定理：如下左圖，圓。的兩條弦A8、PC相交于圓內一點P,則

PAPB=PCPD.

2.切割線定理:如下右圖，PT為圓。的切線，PAB,PCD為割線，貝（）；

3.割線定理：如下右圖，PAB.PC￡＞為圓。的割線，則PAPB=PCPD.

說明：上述三個定理可以統(tǒng)一為？A-P5=PC）2—火2（其中R是半徑），統(tǒng)稱為圓森定理.

【典型題示例】

例1如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知點AH，。），點尸是圓。：/+產(chǎn)=4上

的任意一點，過點8（1,0）作直線BT垂直于AP,垂足為T,則2B4+3PT的最小值是

【答案】6后

【分析】從題中已知尋求以、PT間的關系是突破口，也是難點，思路一是從中線長定理入

手，二是直接使用圓累定理.

【解法一】由中線長公式可得P0=g衣記J而5二IF,則？42+依2=10

2PAPBPAPB

3

在RtAPBT中,PT=PBcosP,即尸T=——

PA

所以2PA+3PT=2P4+2?2M=6&(當且僅當尸4=±2時取等)

PA2

【解法二】-.-BT±AP,.?.點T的軌跡是圓，其方程是：/+儼=1,

過點尸作該圓的切線PC,C為切點，貝|尸。=百，由切割線定理得：PC2=PAPT=3

所以2E4+3PT=2E4+2?2&i=60(當且僅當尸4=逑時取等).

PA2

點評：解法二中，先運用定直線張直角，得到隱圓，然后運用切割線定理得出定值，最后再

使用基本不等式予以解決，思路簡潔、解法明快.在有關解析幾何的題目中，首先考慮

相關的幾何性質是解決這類問題的首選方向.

例2在平面直角坐標系尤Oy中，己知。C：f+(y-1>=5,A為。C與無負半軸的交點，

過A作。C的弦AB,記線段AB的中點為M.若。4=OM,則直線AB的斜率為.

【答案】2

【分析】看到''弦的中點”想到作“弦心距”，得到CML4B,故NCMA+NAOC=180。，所

以A、。、C、M四點共圓，AC為直徑.在該外接圓中，使用正弦定理求出sinA即可.

【解析】連結C,M,則CMLAB,

在四邊形AOCM■中，ZCMA+ZAOC=180°,故4。、C、M四點共圓，且AC為直徑.

/+0-1)2=5中，令y=0,得尤=±2,A(-2,0),AC=V5即為△AOM外接圓的直徑，

在中，由正弦定理得：器=遮，而0A=。冊=2,

所以sinA=3，所以tanA=2.

故直線48的斜率為2.

例3在平面直角坐標系xQy中，過點”(1,0)的直線/與圓/+J?=5交于A,3兩點,

其中A點在第一象限，且麗=2涼，則直線/的方程為

【答案】y=x-l

【分析】本題思路有下列幾種：①利用向量坐標設點轉化，點參法；②設直線方程的在x

軸上的截距式，聯(lián)立方程組；③垂徑定理后二次解三角形；④相交弦定理；⑤利用“爪”

___.2—?1--

型結構，得§04+§03,兩邊平方求得ZAOB的余弦值.

【解法一】：易知直線/的斜率必存在，設直線/的方程為1).

—>—>

由設W=2r,MA=t.

如圖，過原點。作OHL于點”，則8H巖.

設OH=d,在R30BH中，法+尚2=，=5.

在Rt^OMH中，/+42=。胎=1,解得^=1

p1

則/=7+]=1,解得左=1或左=—1.

—>—>

因為點A在第一象限，BM=2MA,由圖知％=1,

所以所求的直線/的方程為y=x-l.

【解法二】由否必=2雙5,設BM=2t,MA=t

又過點M的直徑被M分成兩段長為6-1、6+1

由相交弦定理得2t2-(75-1)(75+1),解之得t=72

過原點。作0H，/于點兒

在RtAOBH中，心+掰2=d=5,解得(下同解法一，略).

【解法三】設A(xi,yi),5(X2,m)，則5M=(1一及，一")，MA=(X[—19%).

[1—X2=2(X1—1),

因為5M=2肱4,所以c

[一以=2>1.

—?—?

當直線AB的斜率不存在時，BM=MA,不符合題意.

當直線AB的斜率存在時，設直線A3的方程為丫=左。-1）,

＜一2k

力+"=Rp'

y=攵（x—1）,

聯(lián)立一,‘得（1+嚴）丁2+26-43=0,則＜一以2

L?+y2=5,yry2=-^^,

j—〉2=2yi,

r_2k

y，

'1+產(chǎn)—Qp_4p

解得＜_4k所以"少2=（[+.）2=]+d，即二=1.又點A在第一象限,

產(chǎn)用，

所以％=1,即直線AB的方程為y=x-l.

【解法四】設A（X1,力），8（X2,m），則2〃=（1一電-y2）,M4=（X1-1,弘）.

f1—X2—2(xi-1),[—X2—2xi—3,

因為8M=2A￡4,所以[即《

[~y2=2yi,[—y2=2yi.

'xi+yi=5,[xi+yi=5,

又2「2代入可得L.八2,、=解得制=2,代入可得以=±1.又點A在

施+免=5,[（2尤i—3）2+4冗=5,

第一象限，故A（2,l）,由點A和點M的坐標可得直線AB的方程為y=x-l.

點評：

上述各種解法中，以解法一、解法二最簡、最優(yōu).

【鞏固訓練】

1.在平面直角坐標系xoy中，M是直線1=3上的動點，以Af為圓心的圓M,若圓Af截

x軸所得的弦長恒為4,過點。作圓M的一條切線，切點為尸，則點P到直線

2尤+y—10=0距離的最大值為.

2.在平面直角坐標系尤Oy中，圓C：（x-tn）2+y2=r2（m>0）.已知過原點。且相互垂直

的兩條直線和e其中/i與圓C相交于A,8兩點，%與圓C相切于點。.若AB=

OD,則直線/i的斜率為.

3.在平面直角坐標系xOy中，設直線y=-x+2與圓Y+y2=/（廠>0）交于43兩點，。為

坐標原點，若圓上一點C滿足玩=一畫+—而，貝!|r=.

44

4.在平面直角坐標系xOy中，已知點尸（0,1）在圓C：%2+y2+2mx-2y+m2-4m+l=0

若存在過點P的直線交圓C于A、B兩點，且APBC的面積是APAC的面積的2倍，則

實數(shù)m的取值范圍為.

5.在平面直角坐標系xQy中，圓C:（尤+2>+（y-a）2=3.若圓C存在以G為中點的弦A3,

且AB=2GO,則實數(shù)機的取值范圍是.

6.已知直線y=?x+3與圓X2+；/+2%—8=0相交于兩點，點P（x0,y0）在直線

y=2x上且Q4=PB,則/的取值范圍為.

【答案與提示】

1.【答案】34

2.【答案】土半

【解析一】作CELA2于點E,則CE2=BC2-BE2=BC2--AB2=BC2--OD1

44

r2_l(w2_r2)=ldzrE

44

5rm22

由OECD是矩形，知CE2=OD2,/.~=m-r,化簡得二=倉

4m3

CDrA/5正

即cos/OCD=——=—=—,tanZCOB=tanZOCD

OCm3

...直線li的斜率為土f.

【解析二】作CE±AB于點E,則OECD是矩形

設。。=f(f>0),則由切割線定理002=04XOBW?2=(r-1)(r+1),即/=1.產(chǎn)(※)

Q7

又加2=產(chǎn)+產(chǎn)，將(※)代人得加2=乙/，即r_L=.

4m3

r2

RtACOE,sinZCOE=-=-

m3

2J5

???直線h的斜率為土

168165

過點O作AB的垂線交A8于。，

,3,1

則COSZAO3=2COS2ZAOD—1=—M,得cc^ZAODu^.

o1cn?o___

又圓心到直線的距離00=7=所以cos2/AOD=—==▼，r=