2023屆浙江省高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)模擬卷（三）

2023屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)收官卷03（浙江專(zhuān)用）

一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的.）

1.（2022?浙江?慈溪市滸山中學(xué)高一期中）已知集合用={2022,2023},則M的子集有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

2.（2022?浙江.高考真題）已知eR,a+3i=S+i）i（i為虛數(shù)單位），貝U（）

A.a=l,b=-3B.ci=-l,b=3C.a=—l,b=-3D.a=l,b=3

3.（2022.浙江?高三專(zhuān)題練習(xí)）我國(guó)古代典籍《周易》用“卦”描述萬(wàn)物的變化.每一“重卦”由從下到上排

列的6個(gè)爻組成，爻分為陽(yáng)爻“——”和陰爻“——"，如圖就是一重卦.在所有重卦中隨機(jī)取一重卦，則該

重卦恰有3個(gè)陽(yáng)爻的概率是

11

D.

16

也

4.（2022?浙江省富陽(yáng)中學(xué)高三階段練習(xí)）那么cos2a+sin2a=)

3

5.（2022?浙江?杭州市余杭高級(jí)中學(xué)高二學(xué)業(yè)考試）在矩形ABC。中，AB=2,8C=1,點(diǎn)E為邊A3的

中點(diǎn)，點(diǎn)尸為邊上的動(dòng)點(diǎn)，則詼.而的取值范圍是（）

A.[2,4]B.[2,3]C.[3,4]D.[1,4]

6.（2022?浙江?高二階段練習(xí)）甲盒中有4個(gè)紅球，2個(gè)白球和3個(gè)黑球，乙盒中有3個(gè)紅球，2個(gè)白球和

2個(gè)黑球（球除顏色不同外，大小質(zhì)地均相同）.先從甲盒中隨機(jī)取出一球放入乙盒，分別以事件4,4和

A表示從甲盒中取出的球是紅球、白球和黑球；再?gòu)囊液兄须S機(jī)取出一球，以事件B表示從乙盒中取出的

球是紅球.下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（）

①事件4與A相互獨(dú)立；②A，4,是兩兩互斥事件；

③P（3|4）=P閨A）；④尸（B）*.

A.1B.2C.3D.4

7.（2022.浙江省蒼南中學(xué)高三階段練習(xí)）直三棱柱ABC-AAC的各個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上，若

AB=3,AC=AAi=2fZBAC=-,則此球的表面積為（）

A404「40萬(wàn)-327r一“

A.-----B.-----C.-----D.327r

933

8.（2022?浙江?高三專(zhuān)題練習(xí)）若直線尤=。與兩曲線〉=1.=1型分別交于4,3兩點(diǎn)，且曲線y=e，在點(diǎn)A

處的切線為加，曲線y=liu在點(diǎn)3處的切線為“，則下列結(jié)論：

①Elae（0,+oo）,使得〃z〃”；②當(dāng)機(jī)〃〃時(shí)，|AB|取得最小值；

@|AB|的最小值為2；@\AB\最小值小于g.

其中正確的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.）

9.（2022.浙江溫州?高二期末）某學(xué)校組織了一次勞動(dòng)技能大賽，共有100名學(xué)生參賽，經(jīng)過(guò)評(píng)判，這100

名參賽者的得分都在［40,90］內(nèi)，得分60分以下為不及格，其得分的頻率分布直方圖如圖所示（按得分分

成［40,50）,［50,60）,［60,70）,［70,80）,［80,90］這五組），則下列結(jié)論正確的是（）

A.直方圖中。=0.005

B.此次比賽得分及格的共有55人

C.以頻率為概率，從這100名參賽者中隨機(jī)選取1人，其得分在［50,80）的概率為

D.這100名參賽者得分的第80百分位數(shù)為75

10.（2022?浙江杭州?高二開(kāi)學(xué)考試）已知直線尤->+1=0,其中aeR,下列說(shuō)法正確的是（）

A.當(dāng)。=-1時(shí)，直線/與直線x+y=。垂直

B.若直線，與直線x-y=0平行，貝|a=0

C.直線/的傾斜角一定大于30。

D.當(dāng)4=0時(shí)，直線/在兩坐標(biāo)軸上的截距相等

11.(2022?浙江杭州.高一期末)已知實(shí)數(shù)和三為函數(shù)/。)=(3廠-|隆式彳-2)|的兩個(gè)零點(diǎn)，則下列結(jié)論正

確的是()

A.—3)(X2-3)<0B.0<(Xj—2)(X2-2)<1

C.(演一2)區(qū)-2)=1D.(Xj—2)(X2—2)>1

12.(2022?浙江省杭州學(xué)軍中學(xué)高三期中)如圖，在直三棱柱A5C-A與G中，AABC是直角三角形，且

AC=BC=1,鳴=6E為2。的中點(diǎn)，點(diǎn)F是棱AG上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)尸是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)

論正確的是()

A.異面直線與所成角的余弦值是正

4

B.三棱柱ABC-A與G的外接球的球面積是20Tl

C.當(dāng)點(diǎn)尸是線段AH的中點(diǎn)時(shí)，.三棱錐尸一四C尸的體積是立

12

7

D.PE+尸產(chǎn)的最小值是不

三、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分，其中第16題第一空2分，第二空3分.)

13.(2022?浙江?紹興魯迅中學(xué)高三階段練習(xí))在(2x+,)5的展開(kāi)式中，含丁丁項(xiàng)的系數(shù)為.

14.(2022?浙江?慈溪市滸山中學(xué)高一期中)已知函數(shù)〃x)=*+S-l)x+c("0)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),

且關(guān)于X的方程f(x)=x有兩個(gè)相等的實(shí)根，寫(xiě)出滿(mǎn)足上述條件的一個(gè)函數(shù)/(x)=.

15.(2022?浙江溫州?高二期中)幾何學(xué)史上有一個(gè)著名的米勒問(wèn)題：“如圖，點(diǎn)N是銳角NAQ8的一

邊QA上的兩點(diǎn)，試在。8邊上找一點(diǎn)P,使得/MPN最大”.如圖，其結(jié)論是：點(diǎn)尸為過(guò)M,N兩點(diǎn)且和射

線QB相切的圓的切點(diǎn).根據(jù)以上結(jié)論解決以下問(wèn)題：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，給定兩點(diǎn)2),N

(3,4)，點(diǎn)尸在x軸上移動(dòng)，當(dāng)NMPN取最大值時(shí)，點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為.

A

N

16.(2022?浙江衢州?高三階段練習(xí))已知一個(gè)質(zhì)子在隨機(jī)外力作用下，從原點(diǎn)出發(fā)在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng)，每隔一

秒等可能地向數(shù)軸正方向或向負(fù)方向移動(dòng)一個(gè)單位.若移動(dòng)〃次，則當(dāng)見(jiàn)=6時(shí)，質(zhì)子位于原點(diǎn)的概率為

；當(dāng)"=時(shí)，質(zhì)子位于5對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的概率最大.

四、解答題(本題共6小題，共70分，其中第16題10分，其它每題12分，解答應(yīng)寫(xiě)出文

字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.)

17.(2022?浙江?鎮(zhèn)海中學(xué)模擬預(yù)測(cè))已知向量a=(sinx+cosx,2sinx),B=(sinx-cosx,A/^cosx),記函數(shù)

f(x)=a-b(xeR).

(1)求/(x)的對(duì)稱(chēng)軸和單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)在銳角AABC中，角A,B,C的對(duì)邊為a,b,c,若/(A)=2,a=退，求6+c的取值范圍.

18.(2022.浙江嘉興.模擬預(yù)測(cè))已知公差不為零的等差數(shù)列｛q｝滿(mǎn)足2=2,6M9成等比數(shù)列.數(shù)列也J

的前”項(xiàng)和為S,,且滿(mǎn)足S“=2/“-2(〃eN*)

⑴求｛叫和論,｝的通項(xiàng)公式;

—為奇數(shù)

aag

⑵設(shè)數(shù)列｛%｝滿(mǎn)足c"=<"，求數(shù)列｛c.｝的前2”項(xiàng)和耳.

*，”為偶數(shù)

也

19.(2022?浙江杭州?高二期中)已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是平行四邊形、側(cè)棱平面ABCD,

點(diǎn)、M在棱DP上，且DM=2MP,點(diǎn)N是在棱PC上的動(dòng)點(diǎn)(不為端點(diǎn)).

(1)若N是棱PC中點(diǎn)，完成：

⑴畫(huà)出△PBD的重心G(在圖中作出虛線)，并指出點(diǎn)G與線段AN的關(guān)系；

(ii)求證：P8〃平面AM7V；

(2)若四邊形ABCD是正方形，且AP=AD=3,當(dāng)點(diǎn)N在何處時(shí)，直線以與平面AMN所成角的正弦

值取得最大值，并求出最大值.

20.(2022?浙江浙江?高三期中)自主招生和強(qiáng)基計(jì)劃是高校選拔錄取工作改革的重要環(huán)節(jié).自主招生是學(xué)

生通過(guò)高校組織的筆試和面試之后，可以得到相應(yīng)的降分政策.2020年1月，教育部決定2020年起不再組

織開(kāi)展高校自主招生工作，而是在部分一流大學(xué)建設(shè)高校開(kāi)展基礎(chǔ)學(xué)科招生改革試點(diǎn)(也稱(chēng)強(qiáng)基計(jì)劃).

下表是某高校從2018年起至2022年通過(guò)自主招生或強(qiáng)基計(jì)劃在部分專(zhuān)業(yè)的招生人數(shù)：

年份數(shù)學(xué)物理化學(xué)總計(jì)

201847617

201958518

202069520

202187621

202298623

請(qǐng)根據(jù)表格回答下列問(wèn)題:

(1)統(tǒng)計(jì)表明招生總數(shù)和年份間有較強(qiáng)的線性關(guān)系.記x為年份與2017的差，V為當(dāng)年數(shù)學(xué)、物理和化學(xué)的

招生總?cè)藬?shù)，試用最小二乘法建立y關(guān)于x的線性回歸方程，并以此預(yù)測(cè)2023年的數(shù)學(xué)、物理和化學(xué)的招

生總?cè)藬?shù)(結(jié)果四舍五入保留整數(shù))；

(2)在強(qiáng)基計(jì)劃實(shí)施的首年，為了保證招生錄取結(jié)果的公平公正，該校招生辦對(duì)2020年強(qiáng)基計(jì)劃錄取結(jié)果

進(jìn)行抽檢.此次抽檢從這20名學(xué)生中隨機(jī)選取3位學(xué)生進(jìn)行評(píng)審.記選取到數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的學(xué)生人數(shù)為X,求隨

機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)；

(3)經(jīng)統(tǒng)計(jì)該校學(xué)生的本科學(xué)習(xí)年限占比如下：四年畢業(yè)的占76%,五年畢業(yè)的占16%,六年畢業(yè)的占8%.

現(xiàn)從2018到2022年間通過(guò)上述方式被該校錄取的學(xué)生中隨機(jī)抽取1名，若該生是數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的學(xué)生，求該

生恰好在2025年畢業(yè)的概率.

附：y=Ax+d為回歸方程，b=--------------,a=y-bx.

可2

i=l

21.（2022?浙江?溫州中學(xué)高三期末）已知拋物線y2=2px（〃>0）上一點(diǎn)（4J）到其焦點(diǎn)的距離為5.

⑴求"與f的值；

（2）過(guò)點(diǎn)“（2,1）作斜率存在的直線/與拋物線交于兩點(diǎn)（異于原點(diǎn)。）,N為/在x軸上的投影，連接

AN與分別交拋物線于P,Q,問(wèn)：直線PQ是否過(guò)定點(diǎn)，若存在，求出該定點(diǎn)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

22.（2022?浙江?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=eX-"sinx,g（x）=lnG+l）-asinx.

⑴若y=/（x）在0,1單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

⑵若不等式〃x）2cosx在（-1,內(nèi)）上恒成立，判斷函數(shù)g（x）在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由.

2023屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)收官卷03（浙江專(zhuān)用）

一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的.）

1.（2022?浙江?慈溪市滸山中學(xué)高一期中）已知集合加={2022,2023},則/的子集有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】D

2.（2022.浙江.高考真題）已知a,beR,a+3i=S+i）i（i為虛數(shù)單位），貝U（）

A.a=l,b=-3B.a=-1,6=3C.a=—1,方=—3D.a=l,b=3

【答案】B

3.（2022?浙江?高三專(zhuān)題練習(xí)）我國(guó)古代典籍《周易》用“卦”描述萬(wàn)物的變化.每一“重卦”由從下到上排

列的6個(gè)爻組成，爻分為陽(yáng)爻“一”和陰爻“——"，如圖就是一重卦.在所有重卦中隨機(jī)取一重卦，則該

重卦恰有3個(gè)陽(yáng)爻的概率是

【答案】A

4.（2022?浙江省富陽(yáng)中學(xué)高三階段練習(xí)）已知sin[&-a]=-也，那么320+瓜抽20=（）

【答案】A

5.（2022?浙江?杭州市余杭高級(jí)中學(xué)高二學(xué)業(yè)考試）在矩形A3CD中，AB=2,BC=\,點(diǎn)E為邊A3的

中點(diǎn)，點(diǎn)廠為邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，則瓦.麗的取值范圍是（）

C.[3,4]D.[1,4]

【答案】B

6.（2022?浙江?高二階段練習(xí)）甲盒中有4個(gè)紅球，2個(gè)白球和3個(gè)黑球，乙盒中有3個(gè)紅球，2個(gè)白球和

2個(gè)黑球（球除顏色不同外，大小質(zhì)地均相同）.先從甲盒中隨機(jī)取出一球放入乙盒，分別以事件4,4和

4表示從甲盒中取出的球是紅球、白球和黑球；再?gòu)囊液兄须S機(jī)取出一球，以事件B表示從乙盒中取出的

球是紅球.下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（）

①事件4與4相互獨(dú)立；②4,4,是兩兩互斥事件；

③P（3|4）=P閨A）；④尸（B）*.

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

7.（2022?浙江省蒼南中學(xué)高三階段練習(xí)）直三棱柱ABC-44a的各個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上，若

TT

AB=3,AC=AAi=2,ZBAC=-,則此球的表面積為（）

?40萬(wàn)_40?32%一“

A.-----B.-----C.-----D.327r

933

【答案】B

8.（2022?浙江?高三專(zhuān)題練習(xí)）若直線x=a與兩曲線＞=6\＞=10%分別交于4,3兩點(diǎn)，且曲線y=e，在點(diǎn)A

處的切線為機(jī)，曲線＞=1僦在點(diǎn)8處的切線為“，則下列結(jié)論：

①34€（0,+力），使得〃〃7“；②當(dāng)機(jī)//〃時(shí)，|明取得最小值；

③I知的最小值為2；④I粉最小值小于g.

其中正確的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.）

9.（2022?浙江溫州?高二期末）某學(xué)校組織了一次勞動(dòng)技能大賽，共有100名學(xué)生參賽，經(jīng)過(guò)評(píng)判，這100

名參賽者的得分都在40,90]內(nèi)，得分60分以下為不及格，其得分的頻率分布直方圖如圖所示（按得分分

成[40,50）,[50,60）,[60,70）,[70,80）,[80,90]這五組），則下列結(jié)論正確的是（）

A.直方圖中a=0.005

B.此次比賽得分及格的共有55人

C.以頻率為概率，從這100名參賽者中隨機(jī)選取1人，其得分在[50,80）的概率為

D.這100名參賽者得分的第80百分位數(shù)為75

【答案】AD

10.（2022?浙江杭州?高二開(kāi)學(xué)考試）已知直線/：（/+。+1b7+1=0,其中。eR,下列說(shuō)法正確的是（）

A.當(dāng)。=-1時(shí)，直線/與直線x+y=0垂直

B.若直線/與直線x-y=0平行，貝！|a=O

C.直線/的傾斜角一定大于30。

D.當(dāng)4=0時(shí)，直線/在兩坐標(biāo)軸上的截距相等

【答案】AC

11.（2022?浙江杭州?高一期末）已知實(shí)數(shù)為為函數(shù)/（x）=（夕-|陛2。-2）怕勺兩個(gè)零點(diǎn)，則下列結(jié)論正

確的是（）

A.（玉—3）（々—3）<0B.。<（芯—2）（%—2）<1

C.—2）（X2—2）=1D.（Xj—2）（X2—2）>1

【答案】AB

12.（2022?浙江省杭州學(xué)軍中學(xué)高三期中）如圖，在直三棱柱ABC-A4G中，WC是直角三角形，且

AC=BC=1,朋=石，E為2。的中點(diǎn)，點(diǎn)F是棱AC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)尸是線段A5上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)

論正確的是（）

A.異面直線A3與所成角的余弦值是立

4

B.三棱柱A5C-A瓦G的外接球的球面積是20兀

C.當(dāng)點(diǎn)尸是線段4B的中點(diǎn)時(shí)，三棱錐P-耳c歹的體積是更

12

7

D.PE+尸尸的最小值是］

【答案】ACD

三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分，其中第16題第一空2分，第二空3分.）

13.（2022?浙江?紹興魯迅中學(xué)高三階段練習(xí)）在（2尤+>）5的展開(kāi)式中，含三丁項(xiàng)的系數(shù)為.

【答案】80

14.（2022?浙江.慈溪市滸山中學(xué)高一期中）己知函數(shù)/（工）=62+（6-1）X+<?（。工0）的圖象關(guān)于〉軸對(duì)稱(chēng),

且關(guān)于X的方程f(X)=X有兩個(gè)相等的實(shí)根，寫(xiě)出滿(mǎn)足上述條件的一個(gè)函數(shù)/(X)=.

【答案】X2+7(答案不唯一，只需滿(mǎn)足6=1,=J即可)

44

15.(2022?浙江溫州?高二期中)幾何學(xué)史上有一個(gè)著名的米勒問(wèn)題：“如圖，點(diǎn)M,N是銳角NAQB的一

邊Q4上的兩點(diǎn)，試在QB邊上找一點(diǎn)P,使得NMPN最大”.如圖，其結(jié)論是：點(diǎn)P為過(guò)N兩點(diǎn)且和射

線。B相切的圓的切點(diǎn).根據(jù)以上結(jié)論解決以下問(wèn)題：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，給定兩點(diǎn)加(1,2),N

(3,4)，點(diǎn)P在x軸上移動(dòng)，當(dāng)/MPN取最大值時(shí)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為.

【答案】3

16.(2022?浙江衢州?高三階段練習(xí))已知一個(gè)質(zhì)子在隨機(jī)外力作用下，從原點(diǎn)出發(fā)在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng)，每隔一

秒等可能地向數(shù)軸正方向或向負(fù)方向移動(dòng)一個(gè)單位.若移動(dòng)w次，則當(dāng)〃=6時(shí)，質(zhì)子位于原點(diǎn)的概率為

;當(dāng)"=時(shí)，質(zhì)子位于5對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的概率最大.

【答案】—##0.312523或25

四、解答題(本題共6小題，共70分，其中第16題10分，其它每題12分，解答應(yīng)寫(xiě)出文

字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.)

17.(2022?浙江?鎮(zhèn)海中學(xué)模擬預(yù)測(cè))已知向量4=(5111%+以)5%,25111%))=(5近%-以)5冗,685%),記函數(shù)

/(x)=a?b(xGR).

(1)求Ax)的對(duì)稱(chēng)軸和單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)在銳角金。中，角A,B,。的對(duì)邊為〃，b,c,若/(A)=2,。=6，求6+c的取值范圍.

【答案】(1)對(duì)稱(chēng)軸為％=?++k7T—+k7T(kGZ)

J2|_693

(2)(3,273)

【詳解】(1)由題意/(x)=(sinx+cosx)?(sinx-cosx)+2sinx-^3cosx=-cos2x+^3sin2x

=2sin(2x—71,

所以的對(duì)稱(chēng)軸為2x—￡=￡+左乃，即X=《+與(％￡Z),

6232

TTTTTTTTTT

單調(diào)遞增區(qū)間滿(mǎn)足---FIkn<lx-----<——12k兀,解得---+k7r<x<—+k7r,

TTTT

所以單調(diào)遞增區(qū)間為-7+k1，不+k兀(左6Z).

ab

(2)由/⑷=2得，A=1,所以

sinAsinBsinC

所以/?+c=2sinB+2sinC=2sinB+2sin^B+yj=2^3sin^5+-^-j,

0<B<-

9TTTT

因?yàn)锳ABC為銳角三角形，故；,得J<B<W，

62

0<C=辿-

I32

所以2氐in[B+祚（3,2圾，即6+c的取值范圍為（3,26）.

18.（2022?浙江嘉興.模擬預(yù)測(cè)）已知公差不為零的等差數(shù)列｛%｝滿(mǎn)足。2=2,%，&，佝成等比數(shù)列.數(shù)列也｝

的前w項(xiàng)和為%且滿(mǎn)足J=2/“-2（〃eN*）

⑴求｛4｝和也｝的通項(xiàng)公式；

—為奇數(shù)

aag

⑵設(shè)數(shù)列｛%｝滿(mǎn)足％="足，求數(shù)列｛%｝的前2〃項(xiàng)和耳.

安，〃為偶數(shù)

【答案】（1）?！?〃；bn=T

n「2九+5

⑵或=——+5----------

2n+l2〃

（1）

由題：/=2+2d,〃6=2+4d,〃9=2+7d,

?.%；=%■的，即（2+4dp=（2+2d）（2+7d）

得：d=l,即?！?〃

當(dāng)〃=1時(shí)，4=2,

b

當(dāng)…時(shí)’—,S--2,兩式相減整理得亡=2,

即數(shù)列也,｝是以首項(xiàng)仇=2,公比q=2的等比數(shù)列

5=2"

⑵

111

當(dāng)“為奇數(shù)時(shí),

〃（〃+2）2（〃n+2）

11n

-4_5+…+%=萬(wàn)If〔.1丁11丁1丁…+罰1

2n+l）2n+l

n+\

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),J=（/）“

n352n+l

紇=5+尹斗…+

2〃

In352n-l2n+l

1；-

”丁/+...+2"----2,1+1

1n_322.+工一”=幻.1__2n+l_52〃+5

兩式相減得:”="+及+”

2"2,K++i12西--2n+1~22向

2〃+5

得：紇

T

n-2"+5

氏=4+紇=——+5----------

2〃+12"

19.(2022?浙江杭州?高二期中)已知四棱錐尸-ABCD的底面ABCD是平行四邊形、側(cè)棱24,平面ABCD,

點(diǎn)M在棱DP上，且。M=2MP,點(diǎn)N是在棱PC上的動(dòng)點(diǎn)(不為端點(diǎn)).

(1)若N是棱PC中點(diǎn)，完成:

⑴畫(huà)出△PBQ的重心G(在圖中作出虛線)，并指出點(diǎn)G與線段AN的關(guān)系;

(ii)求證：P3〃平面AM7V；

(2)若四邊形ABCD是正方形，且"=4)=3,當(dāng)點(diǎn)N在何處時(shí)，直線上4與平面所成角的正弦

值取得最大值，并求出最大值.

【答案】⑴⑴作圖見(jiàn)解析，點(diǎn)G在線段⑷V上;

(ii)證明見(jiàn)解析;

(2)當(dāng)點(diǎn)N在線段PC靠點(diǎn)P的三等分點(diǎn)處時(shí)，直線與平面所成角的正弦值最大，最大值為骼.

【詳解】(1)①設(shè)AC與8￡＞的交點(diǎn)為。，連接尸。與AN交于點(diǎn)G,

:點(diǎn)。為AC中點(diǎn)，點(diǎn)N為PC中點(diǎn),

,PO與AN的交點(diǎn)G為APAC的重心,

:.PG=2GO,

又尸0為APBD在5。邊上的中線，

點(diǎn)G也為ARBD的重心，即重心點(diǎn)G在線段AN上.

(ii)證明：連接DG并延長(zhǎng)交融于點(diǎn)H,連接MG,

,??點(diǎn)G為APBD的重心，

:.DG=2GH,

又,；DM=2MP,

:.MGHPH郎MGHPB,又MGu平面PBa平面4VW,

所以P3〃平面AMN.

(2)?四邊形ABCD是正方形，且PAL平面ABCD,

.〔AB、AD,AP兩兩垂直，

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB.AD＞通的方向?yàn)榱溯S、丫軸、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-肛z,如圖所

示，

則點(diǎn)4(0,0,0),P(0,0,3),C(3,3,0),W,1,2),

貝1］市3=(0,0,3),AM=(0,1,2),定=(3,3,-3

設(shè)PN=/LPC貝ljPN=APC=(32,32,-32),

AN=AP+PN=(3A,3A,-3A+3),

設(shè)平面AAW的法向量為為=(x,y,z),

y=—2z

則有「n-麗AM==3y〃+2+z3辦=0+(-32+3)2=0)

化簡(jiǎn)得：LQ,

Il招

取z=l則，"k-；，-2」)，

設(shè)直線PA與平面AAW所成角為。，

,_..|AP?為|i

risin8=cos(AP,n)\=7——；--=,

則11研同卜上/

.,.當(dāng)X=g時(shí)sin。的值最大，

即當(dāng)點(diǎn)N在線段PC靠點(diǎn)尸的三等分點(diǎn)處時(shí)，直線叢與平面AAW所成角的正弦值最大，最大值為。.

20.（2022?浙江浙江?高三期中）自主招生和強(qiáng)基計(jì)劃是高校選拔錄取工作改革的重要環(huán)節(jié).自主招生是學(xué)

生通過(guò)高校組織的筆試和面試之后，可以得到相應(yīng)的降分政策.2020年1月，教育部決定2020年起不再組

織開(kāi)展高校自主招生工作，而是在部分一流大學(xué)建設(shè)高校開(kāi)展基礎(chǔ)學(xué)科招生改革試點(diǎn)（也稱(chēng)強(qiáng)基計(jì)劃）.

下表是某高校從2018年起至2022年通過(guò)自主招生或強(qiáng)基計(jì)劃在部分專(zhuān)業(yè)的招生人數(shù)：

年份數(shù)學(xué)物理化學(xué)總計(jì)

201847617

201958518

202069520

202187621

202298623

請(qǐng)根據(jù)表格回答下列問(wèn)題:

（1）統(tǒng)計(jì)表明招生總數(shù)和年份間有較強(qiáng)的線性關(guān)系.記x為年份與2017的差，y為當(dāng)年數(shù)學(xué)、物理和化學(xué)的

招生總?cè)藬?shù)，試用最小二乘法建立y關(guān)于無(wú)的線性回歸方程，并以此預(yù)測(cè)2023年的數(shù)學(xué)、物理和化學(xué)的招

生總?cè)藬?shù)（結(jié)果四舍五入保留整數(shù)）；

（2）在強(qiáng)基計(jì)劃實(shí)施的首年，為了保證招生錄取結(jié)果的公平公正，該校招生辦對(duì)2020年強(qiáng)基計(jì)劃錄取結(jié)果

進(jìn)行抽檢.此次抽檢從這20名學(xué)生中隨機(jī)選取3位學(xué)生進(jìn)行評(píng)審.記選取到數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的學(xué)生人數(shù)為X,求隨

機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E（X）；

（3）經(jīng)統(tǒng)計(jì)該校學(xué)生的本科學(xué)習(xí)年限占比如下：四年畢業(yè)的占76%,五年畢業(yè)的占16%,六年畢業(yè)的占8%.

現(xiàn)從2018到2022年間通過(guò)上述方式被該校錄取的學(xué)生中隨機(jī)抽取1名，若該生是數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的學(xué)生，求該

生恰好在2025年畢業(yè)的概率.

°-可（3一》）

附：y=Rx+6為回歸方程，b=----------------------,a=y-bx.

元『

i=l

【答案】⑴R1.5X+15.3,24⑵59⑶含93

【詳解】（1）由題意，x的取值集合為{1,2,3,4,5},＞的取值集合為{17,18,20,21,23},

_1+2+3+4+5c_17+18+20+21+23…

x=------------------=3,y=---------------------------=19.8

55

￡（乙-?。▂-9）

直接根據(jù)公式求得b=『-----------=1.5,a=y-xb=15.3,

元）2

i=i

因此回歸方程為：y=l-5x+15.3,

當(dāng)尤=6時(shí)，可得a=24.3,

因此預(yù)測(cè)2023年的招生總?cè)藬?shù)為24人.

（2）由已知，X可取0』,2,3.

p(X=0)=單，p(x=D=^^,

C20C20

「2「3

P(X=2)=14'6,尸(X=3)=g

^-20。2()

故E（X）=lxS±二+2乂魚(yú)寶+3x冬=2.

C20C20C2010

（3）因?yàn)?025年畢業(yè)，則入學(xué)年份可能為2021年，2020年，2019年，

由條件概率公式可知，該生被數(shù)學(xué)系錄取的條件下，其在第七年入學(xué)的概率為:

P（第上年入學(xué)，數(shù)學(xué)系）〃（第左年入學(xué)，數(shù)學(xué)系）

尸（第4年入學(xué)|數(shù)學(xué)系）=

尸（數(shù)學(xué)系）〃（數(shù)學(xué)系）

故尸（2021年入學(xué)|數(shù)學(xué)系）=卷,

P（2020年入學(xué)|數(shù)學(xué)系）=*,

尸（2019年入學(xué)|數(shù)學(xué)系）=[，

由全概率公式：

P（2025年畢業(yè)擻學(xué)系）=—x0.76+—X0.16+—x0.08=—,

[1'323232400

21.（2022?浙江?溫州中學(xué)高三期末）已知拋物線曠=2力（p>0）上一點(diǎn)（4,。到其焦點(diǎn)的距離為5.

⑴求。與f的值；

（2）過(guò)點(diǎn)“（2,1）作斜率存在的直線/與拋物線交于45兩點(diǎn)（異于原點(diǎn)。），N為/在x軸上的投影，連接

AN與3N分別交拋物線于P,Q,問(wèn)：直線PQ是否過(guò)定點(diǎn)，若存在，求出該定點(diǎn)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】⑴P=2,f=±4

（2）過(guò)定點(diǎn)，（2,-1）

【詳解】⑴解：⑴根據(jù)拋物線的定義得：4+^=5,p=2,

將點(diǎn)(4,r)代入拋物線方程得：產(chǎn)=16,r=±4；

(2)解：設(shè)8(9,%),尸(f,%)，。(%%)，

直線/的方程為尤=加(k1)+2.

cfy+%=4m

代入拋物線方程得：/一4啊+4%-8=0.得。

1%%=4/w-o

由題得N(2,0),設(shè)過(guò)點(diǎn)N的直線方程為x=〃y+2,

代入拋物線方程得：/一4盯-8=0,

.6+%=4"[%+%=4"

"tX%=-8，[%%=-8，

又由己知可得直線PQ的方程為：

整理得：(%+%)y一4工一%%=。，

將%=述和％