高考數(shù)學專項復習：復數(shù)及其應用

專題10復數(shù)及其應用

（思維構(gòu)建+知識盤點+重點突破+方法技巧+易混易錯）

維構(gòu)建?耀精向紿

復數(shù)的定義：形如a+bi（a,b￡R）的敷叫做復數(shù)

其中實部是a,虛獻b

詡(b=0))

題型復數(shù)的基本概念及應用

復數(shù)的分類01

K0知識點一復數(shù)的基本癡四（bw0）（a:0時為純虛數(shù)））題型02根據(jù)復數(shù)相等求參數(shù)

題型03復數(shù)的模長計算

題型04共匏復數(shù)及其應用

1復數(shù)的有關概念〉<共姬復數(shù)）

1■（復數(shù)的模）

復

數(shù)「:空酗盛］I：耍直角坐標系來表示復數(shù)的平面叫做復平面

題型01復數(shù)與復平面的點一對應

及

O知識點二復數(shù)的幾何意義；實軸與虛軸娜U做實軸，y軸叫做虛軸題型02復數(shù)與復平面向量——對應

其題型03復數(shù)的模的幾何意義及應用

蔓的幾何薪

應

用.一._—,二、復數(shù)的運算法則一力口、減、乘、題型01復數(shù)的四則運算

知識點三復數(shù)的四則運算題型02復數(shù)的乘方運算

Y、__o_______:____________________，/?復數(shù)運…算的幾二個重要~結(jié)-論-----

題型03復數(shù)范圍內(nèi)解方程

轆的定義

蔓的輻角T）八、

-----------輻角主值

T：。知識點四復數(shù)的三角形式題型01復數(shù)的代數(shù)式與三角式互化

一復數(shù)的三角旃C：亙cos0+isine）題型02復數(shù)三角形式乘除法運算

復數(shù)的三角吩及運氟―卜；贏的乘法霞：）題型03復數(shù)的新定義問題

復數(shù)的除法^

口識盤點?置翡非煤

知識點1復數(shù)的基本概念

1、復數(shù)的定義：形如。+歷3，6GR）的數(shù)叫做復數(shù)，其中實部是“，虛部是從

2、復數(shù)的分類：

實數(shù)6=0,

復數(shù)z=a+歷

「純虛數(shù)a=0,

a,Z?￡R虛數(shù)厚（T

.非純虛數(shù)存0.

3、復數(shù)的有關概念

復數(shù)相等a+Z?i=c+diu^a=c且Z?=d(a,b,c,d￡R)

共粗復數(shù)a+Ai與c+di共輛0a=c且Z?=—d(a,b,c,d￡R)

向量OZ的模叫做復數(shù)z=〃+Z?i的模，記作|z|或|〃+歷

管粉的精

BP\z\=\a+bi\=r=yJa2+b2(r>0,a,b￡R)

知識點2復數(shù)的幾何意義

1、復平面的概念：建立直角坐標系來表示復數(shù)的平面叫做復平面;

2、實軸、虛軸：在復平面內(nèi)，x軸叫做實軸，y軸叫做虛軸，實軸上的點都表示實數(shù)；除原點以外，虛軸上

的點都表示純虛數(shù)；

3、復數(shù)的幾何表示：復數(shù)z="+bi?一一對應》復平面內(nèi)的點zm，b)..?對應,平面向量無.

知識點3復數(shù)的四則運算

1、復數(shù)的運算法則

設+歷，z2=c+di(a,b,c,d￡R),則

(1)zi+z2=(〃+Z?i)+(c+di)=(〃+c)+S+4/)i；

(2)zi-Z2=(〃+bi)—(c+di)=(?！猚)+(b—d)i；

(3)zi22=(〃+bi)(c+di)=(ac—bd)+(ad+bc)i；

Z1_a+bi_(a+bi)(c-di)ac+bdbe—ad八、

(4)

z2c+di(c+di)(c-di)

2、復數(shù)運算的幾個重要結(jié)論

(1)|zi+z2|2+|zi—Z2|2=2(|Z1|2+|Z2|2).

(2)Z-z=|z|2=|ZI2.

(3)若z為虛數(shù)，貝”z|2先2.

(4)(1土i)2=±2i.

(5)i4"=l;i4"+l=i；i4"+2=—1；i4"+3=—i.

知識點4復數(shù)的三角形式

1、復數(shù)的輔角

(1)輔角的定義：設復數(shù)z=a+6i的對應向量為前，以X軸的非負半軸為始邊，向量被所在的射線(射

線。Z)為終邊的角。，叫做復數(shù)z的輔角.

(2)輔角的主值：根據(jù)輔角的定義及任意角的概念可知，任何一個不為零的復數(shù)輔角有無限多個值，且這

些值相差2兀的整數(shù)倍.

規(guī)定：其中在0W8<2兀范圍內(nèi)的輔角8的值為輔角的主值，通常記作wgz.

【注意】因為復數(shù)0對應零向量，而零向量的方向是任意的，所以復數(shù)。的輔角是任意的.

2、復數(shù)的三角形式及運算

(1)定義：任何一個復數(shù)都可以表示成2=「(°05。+15譏8)的形式，其中r是復數(shù)的模，。是復數(shù)的輔角.

【注意】復數(shù)的三角形式必須滿足：模非負，角相同，余正弦，加號連.

(2)復數(shù)乘法運算的三角表示：已知Z]=r1(cos61+is譏。J,z2=r2(cos02+isin02),

則ZjZ]=r1r2[cos(01+02)+isin(%+02)]-

這就是說，兩個復數(shù)相乘，積的模等于各復數(shù)的模的積，積的輔角等于各復數(shù)的輔角的和.

(3)復數(shù)除法運算的三角表示：已知Z]=r1(cos31+isin%),z2=r2(cos02+isin%)

則迫=斐。s7+is譏黑=3_+is譏(88)].

z2r2(cos02+^in02)r2

這就是說，兩個復數(shù)相除，商的模等于被除數(shù)的模除以除數(shù)的模所得的商，

商的輔角等于被除數(shù)的輔角減去除數(shù)的輔角所得的差.

點突破?春分好?檢

重難點01與復數(shù)有關的最值問題

求復數(shù)模的范圍與最值問題的解題策略

(1)把復數(shù)問題實數(shù)化、直觀化、熟悉化，即將復數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)問題來處理，轉(zhuǎn)化為實數(shù)范圍內(nèi)，求

模的范圍與最值問題來解決；

(2)發(fā)掘問題的幾何意義，利用幾何圖形的直觀性來解答，把陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題來解答；

(3)利用三角函數(shù)解決.

【典例1】(2024.山東煙臺.三模)若復數(shù)z滿足|z|=|z-2-2i|,則忖的最小值為()

A.1B.V2C.V3D.2

【答案】B

【解析】若復數(shù)Z滿足|z|=|z-2-2i|,

則由復數(shù)的幾何意義可知復數(shù)z對應的點集是線段的垂直平分線，其中。(0,0),4(2,2),

111----------L

所以|z|的最小值為卜七亞后=&.故選：B.

【典例2】(2024?云南?二模)已知i為虛數(shù)單位，復數(shù)z滿足|z-l|=|z+i|,則|z-i|的最小值為()

A.3B.1C.-D.0

223

【答案】A

【解析】設z=x+”,(x,yeR),而|z—l|=|z+i|,^rUl(x-l)2+/=x2+(y+l)2,即y=-%

所以=擊2+(y_])2=Jx2+(-X-l)2=也/+2x+l=[[x+g[+^->,

等號成立當且僅當y=-x=；,

綜上所述，|z-i|的最小值為孝.故選：A.

重難點02共飄復數(shù)與復數(shù)運算的綜合問題

共軌復數(shù)問題的求解技巧：

1、若復數(shù)Z的代數(shù)式已知，則根據(jù)共軌復數(shù)的定義，可以寫出I,再進行復數(shù)的四則運算.

2、己知關于z和［的方程，而復數(shù)z的代數(shù)形式位置，求解z.解決此類問題的常規(guī)思路是：設

z=a+bi（a,bGR）,則三=a-歷，代入所給等式，利用復數(shù)相等的充要條件，轉(zhuǎn)化為方程（組）求解.

【典例1】（2024.福建泉州?一模）（多選）已知復數(shù)z滿足z=l-L,則（）

Z

A.z-z=lB.z2=zC.z+z=-lD.|z-z|=A/3

【答案】AD

【解析】設復數(shù)Z=Q+歷,3/￡R）,可得z2=〃—/+21執(zhí)

因為復數(shù)z滿足z=l—,可得z?=z—1，貝!J4—〃+2aZ?i=a+bi—l,

z

可得a?一〃=a-i2ab=b，

由2Gh=Z?時，可得a=工或人=0,

2

當。=：時，可得6=±迫，止匕時z」±^i；當6=0時，方程/-“+1=0,無解;

2222

對于A中，當z=1+@i,可得W=_L_1i,可得2i=1；

2222

當Z=；-亭,可得馬+爭，可得Z-，所以A正確;

對于B中，當2=工+走i,可得z2=-工+li,且［='—立3則z2Hl所以B不正確;

222222一一

對于C中’當Z.+卓,可得。：一%可得Z+/1，所以c不正確;

對于D中，當z」+走i,可得可得z-I=",則上一目=石；

222211

當z」-巫i,可得也i,可得2-胃=一后，貝和一斗=若，所以D正確.故選：AD.

222211

【典例2】（2324高三下?湖南婁底?階段練習）（多選）已知復數(shù)4，%的共輾復數(shù)分別為.，三，下列結(jié)論正

確的是（）

A.若與為純虛數(shù)，則4+^=0

B.若z；+z；=0,則Z1=Z2=。

C.若［Z］—z?|=0,則4—z2=0

D.若|z-l|=|z+l|,則z在復平而內(nèi)對應的點的軌跡為直線

【答案】ACD

【解析】對于A,設Z]=—bi,故4+4=。成立，故A正確，

對于B,設z1=i,z2=lf則滿足z；+z；=0,但4wZ2wO,故B錯誤，

對于C,設4=〃+歷，z2=c+dx,則Z]=a-歷，z2=c-di,

22

故Zi—Z2=(〃—c)+3—d)i,IZj-z21=yl(a—c)+(b—d)=0,

解得Q=C,b=d,則4—Z2=(Q_c)+(d_/?)i=0,故C正確，

對于D,^z=x+yi,因為|z_q=|z+l|,|z-l|=J(x-l)2+y2,

|z+l|=J(x+l)2+y2,所以J(x+l)2+y2=J(x—l)2+y2,

化簡得％=o,故z在復平而內(nèi)對應的點的軌跡為直線，故D正確.故選：ACD.

法技巧?逆境學霸

一、復數(shù)的分類

對于復數(shù)。+歷，

（1）當且僅當6=0時，它是實數(shù)；

（2）當且僅當a=6=0時，它是實數(shù)0；

（3）當厚0時，叫做虛數(shù)；

（4）當。=0且以0時，叫做純虛數(shù).

【典例1】（2024?廣東東莞?模擬預測）若復數(shù)z滿足0+i）（l+i）=4,則復數(shù)z的虛部是（）

A.2B.-2C.3D.-3i

【答案】C

【解析】設2=口+歷，根據(jù)題意，可得（。一歷+i）（l+i）=4,

化簡為(a+b-l)+(a-"l)i=4,

a+b—1=4(1=2

根據(jù)復數(shù)相等，得,解得

a—b+l=Ob=3

所以z=2+3i,即復數(shù)z的虛部是3.故選：C

【典例2】（2324高三上?甘肅慶陽?階段練習）（多選）下列各式的運算結(jié)果是實數(shù)的是（）

A.z=i(l-i)2B.z=(l+i)2

8-6i

C.z=(l+i)(l+2i)(l+3i)D.z=-------

3+4i

【答案】AC

【解析】A項中，z=i(l-i)2=i(-2i)=-2i2=2,故A正確；

B項中，z=(l+i)?=2i,故B錯誤；

C項中，z=(l+i)(l+2i)(l+3i)=(-l+3i)(l+3i)=-10,故C正確；

CT否rH8-6i(8-6i)(3—4i)—50i士.門希?口加、土入廠

D項中，z=-------=-----------------=------=-21,故D錯厭.故選：AC.

3+4i2525

二、求復數(shù)標準代數(shù)式形式的兩種方法

1、直接法：將復數(shù)用已知復數(shù)式表示出來，利用復數(shù)的四則運算化簡為復數(shù)的標準代數(shù)式；

2、待定系數(shù)法：將復數(shù)設為標準式，代入己知的等式中，利用復數(shù)相等的條件列出關于復數(shù)實部和虛部的

方程（組），通過解方程（組）求出復數(shù)的實部與虛部.

【典例1】（2024.新疆三模）復數(shù)z滿足|z+2i|=|z|,則z的虛部為（）

A.-iB.iC.-ID.1

【答案】C

【解析】設2=。+歷且,貝l]z+2i=a+bi+2i=a+（b+2）i,

因為|z+2i|=|z|,所以/+g+2）2=片+心解得：b=_i,貝”的虛部為-1.故選：C

【典例2】（2024?福建泉州?模擬預測）已知復數(shù)z滿足忖=2,|z-2|=2,貝心+口（）

A.2垂>B.2C.2D.-273

【答案】B

【解析】設復數(shù)z=o+歷，a,b^R,

由|z-2|=|z|=2,得2）一=y/a2+b2=2,解得a=l,b=土百，

??-z=l±V3z，???z+z=2.故選：B.

三、復數(shù)的幾何意義

（1）任一個復數(shù)z=a+歷（a,>GR）與復平面內(nèi)的點Z（a,b）是——對應的.

（2）一個復數(shù)2=。+歷（訪bGR）與復平面內(nèi)的向量下=（a,6）是---對應的.

【典例1】(2024?四川自貢.三模)在復平面內(nèi)，復數(shù)4，為對應的向量分別是次=(-2,3),OB=(3,-2),

則復數(shù)對應的點位于()

Z1+Z?

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】D

【解析】因為復數(shù)Z-Z2對應的向量分別是函=(-2,3),OB=(3,-2),

所以Z]=—2+3i,z2=3—2i,

所以Z23-2i(3-2i)(l.i)J5j

Z!+z2-2+3i+3-2i(l+i)(l-i)22，

所以復數(shù)一^對應的點為位于第四象限.故選：D

4+Z2122)

【典例2】(2024.安徽馬鞍山.三模)已知復數(shù)z滿足z與=2(z+彳)=4,若z在復平面內(nèi)對應的點不在第一象

限，則2=.

【答案】1-V3i

【解析】設z=〃+0i,a,0wR,則N=a-歷，

因為z?三=2(z+z)=4,

z-~z=(a+bi)(a-bi\=a1+b2=4\a=\\a=\

則_/.、/…，解得廠或廠

2(z+z)=2[(Q+0i)+(Q-Z?i)]=4a=4\b=V3\b=-v3

又因為Z在復平面內(nèi)對應的點不在第一象限，可知b<0,

a—1

可知<，所以z=1-yfii-

b=-43

故答案為：

四、虛數(shù)單位i的乘方

計算復數(shù)的乘積要用到虛數(shù)的單位i的乘方，i"有如下性質(zhì)：

i1=i,i2=-1,i3=i-i2=—i,i4=i3i=—ii=L

從而對于任何〃GN+,都有i4,,+1=i4"-i=(i4),!-i=i>

同理可證i4”+2=—1,i4?+3=-i,i4?+4=l.

這就是說，如果"GN+,那么有i4"+l=i,i4"+2=_1,i4"+3=_j,i4#4=i.

由此可進一步得(l+i>=2i,(1-i>=-2i,^4=-1,-i.

【典例1】(2024?湖北?二模)已知復數(shù)z=^(l+i),則22儂=()

A.1B.—1C.—iD.i

【答案】A

【解析】因為z=.(l+i),所以z2=；(l+2i+i2)=i,

22

所以嚴=(z2r蟲產(chǎn)=1.故選：A

【典例2】(2024?河北三模)已知復數(shù)力滿足Z(i2023+i2期)=坪5,貝丘的共軟復數(shù)的虛部是()

【答案】D

［解析］由Z(i2023+i2024)=i2°25,可得Z@3+4*505+1+4x506)=產(chǎn)4x506,

j_i(l+i)-1+i

所以Z"i)=i,所以-_+1

l-i(l-i)(l+i)222

_iii

所以z=所以！的共輾復數(shù)的虛部是[.故選：D.

五、復數(shù)方程的解

在復數(shù)范圍內(nèi)，實系數(shù)一元二次方程a/+法+c=0(a豐0)的求解方法：

(1)求根公式法：

①當心。時，%=生理王②當△<0時，%=]

2a2a

(2)利用復數(shù)相等的定義求解，設方程的根為％=TH+ne/?),

將此代入方程a%2+必+c=0(a。0),化簡后利用復數(shù)相等的定義求解.

【典例1](2324高三下?西藏拉薩?階段練習)已知z=l-i是方程z2+2az-6=0(a/￡R)的根，則?+/?=(

A.-3B.-1C.2D.3

【答案】A

【解析】由題意，得(l—i)2+2a(l—i)—6=0,即2a—人+(—2—2a)i=0,

所以2a-b=。，且-2-2a=0,解得a=-=

所以a+Z?=—3.故選：A.

【典例2】(2024?江蘇鹽城?模擬預測)(多選)已知4,Z2為方程f+2%+3=0的兩根，則()

+

A.Izj-z2|=272B.~=

11Z1Z23

C.團+以=26D.Z]—z2=Z]+z2

【答案】BC

【解析】方程Y+2x+3=0的兩根分另U為一1+6和一1-",且Z]+Z[=-2,z「Z]=3,

所以不妨設Z]=—1+J5i,z2——l—y/li,

^=-l+V2i,所以上「司=卜1+")-卜1+")|=0,故A錯誤；

11_Zj+z2

(I——2——故B正確;

Z[Z[Z]z23

z22

|z,|+I2|=2^(-1)+(A/2)=2A/3,故C正確;

Z]_z°=_2^21?Z]+z?=_1_>/2i-I+A/ZI-—2,

所以Z-z?#Zi+z2,故D錯誤.故選：BC.

六、復數(shù)的三角表示

將復數(shù)z=a+歷(a,bGR)化為三角形式z=r(cos9+is譏8)時,要注意以下兩點：

(1)r=y/a2+b2,

(2)cos。=；,sind-其中8終邊所在象限與點(a,6)所在象限相同，

當a=0,b>0時，argz=

【注意】每一個不等于零的復數(shù)有唯一的模與輔角的主值，并且由它的模與輔角的主值唯一確定。因此，

兩個非零復數(shù)相等當且僅當它們的模與輔角的主值分別相等.

【典例1】(2324高三下?江蘇蘇州?階段練習)(多選)任何一個復數(shù)z=a+歷(。，beR,i為虛數(shù)單位)

都可以表示成z=r(cos6+isine)(r>0,6>GR)的形式，通常稱之為復數(shù)z的三角形式.法國數(shù)學家棣莫

弗發(fā)現(xiàn)：[r(cos0+isin6?)]"=r"(cosnd+isinnd)(〃eN*),我們稱這個結(jié)論為棣莫弗定理，則下列說法正

確的有()

A,復數(shù)z=1-后的三角形式為z=2^cosj-is嗚)

232024

B.當廠=1,時，z+z+z+...+z=0

TT

C.當r=2,§時，z3=—8

D.當/'=3,e=rTT時，""為偶數(shù)”是“z"為純虛數(shù)”的充分不必要條件

4

【答案】BC

【解析】復數(shù)z=l-Gi的三角形式為z=21cos9+isin^J,故A錯誤；

、[/八兀nt.71..71.

力〃=1,"=—,z=cos—F1sin—=i,

222

因為i4W+i4k+2+i4t+3+i?+4=0,keZ,

所以z+z?+z3+…+z2°24=0,故B正確；

當r=2,8=5時，z=2(cos]+isin]),

z3=|^2^cosy+isiny^=23(cos7i+isin7i)=-8,故C正確；

當廠=3,8=四時，z=3|cos—+isin—I，

4I44j

n兀??兀)TJ幾R..〃兀、

LI44〃I44J

九兀八

cos——=0

A

若z〃為純虛數(shù)，則，則n與jr==jr+E,所以〃=4左+2,k￡Z,

.rm42

sin——w0n

[4

雖然〃=4左+2,左eZ是偶數(shù)，但是偶數(shù)還有〃=43左eZ的形式的數(shù)，

所以“"為偶數(shù)”是“z"為純虛數(shù)”的必要不充分條件，故D錯誤.故選：BC.

【典例2】(2024.黑龍江哈爾濱.三模)復數(shù)z=。+歷(a,6eR,i是虛數(shù)單位)在復平面內(nèi)對應點為Z,設

r=|OZ|,0是以x軸的非負半軸為始邊，以OZ所在的射線為終邊的角，貝ijz=a+歷=r(cos6+isin。)，把

/?(cosd+isin。)叫做復數(shù)。+歷的三角形式，利用復數(shù)的三角形式可以進行復數(shù)的指數(shù)運算，

[r(cos夕+isin。)]"=r"(cosa，+isin〃0)(〃eN*),例如：一!+且^i]=(cos"+isin處[=COS2K+isin2?i=1,

(l+i)4=[夜]cos：+isin："=4(cos7i+isin7i)=-4,復數(shù)z滿足：z=l+i，則z可能取值為

)

【答案】D

【解析】設z=r（cos9+isin9）,

兀..兀

貝Uz3=1+i=V2cos—+isin—=r3(cos30+isin36),

44

所以廠=蚯，3。=2而+弓,左eZ,即。=^+3，%eZ,

2AJT7T2kji7i

所以z=——-+一+isin----十一,keZ

312312

17TT17K..17K

故％=2時,*五’故，可取------Fism-----,故選：D

1212

X笏庇笏錯?聯(lián)券在半信

易錯點1忽視復數(shù)2=。+切是純虛數(shù)的充要條件

<2=0

點撥：對復數(shù)為純虛數(shù)理解不透徹，對于復數(shù)2=。+切為純虛數(shù)0,八，往往容易忽略虛部不等于0.

b不0

【典例1】（2425高三上?湖南?開學考試）己知復數(shù)4=2-i,Z2=a+i（aeR）,若復數(shù)z「z?為純虛數(shù)，則實

數(shù)。的值為（）

A.—B.gC.2D.2

22

【答案】A

【解析】由已知，復數(shù)z/z?=（2-i）（a+i）=（2a+l）+（2-a）i為純虛數(shù)，

2a+1=0,得。=-）.故選：

所以A.

2—aw0,

【典例2】（2324高三上?廣西?開學考試）已知i是虛數(shù)單位，若2=牛%是純虛數(shù)，則實數(shù)。=（）

1-1

B

A.—2-4C.1D-

【答案】C

1+ai_(l+m)(l+i)_1-aa+1.

【解析】z=1-i-(l-i)(l+i)~~r+~2Tlj

因為z=總是純虛數(shù)，所以;二解