非線性微分方程課件

非線性微分方程為什么要研究微分方程的定性理論?

由于大多數微分方程,即使是低階線性方程,它的解一般也難以求得對于非線性微分方程(組),除了極少數特殊情況之外,要想用衽初等方法去求解,往往是不可能的.這就迫使人們去尋找其它的研究途徑,本章4.3節(jié)中所介紹的冪級數解法就是途徑之一,另一種重要的途徑是利用數值計算方法通過計算機去求其近似解,這是一種很實用的方法,我們將在后續(xù)課程中專門學習.本節(jié)即將介紹的重要方法,就是不通過求解而直接從微分方程的系數去研究其解的主要特征和性態(tài),這就是所謂的定性分析方法.這種方法在利于人們掌握解的最終趨勢,了解全部解的分布特征和相互關系.在理論分析和實際應用中,定性分析法和數值計算法兩者若能相互結合、相輔相成。將會產生更好的效果。限于篇幅，本節(jié)我們主要介紹定性分析方法中穩(wěn)定性理念的初步知識，而且局限于對自治系統(tǒng)進行講解。6.1自治系統(tǒng)與非自治系統(tǒng)(6.1)(6.2)

把t理解為時間,x理解為相空間內動點的坐標,那末(6.1)確定了一個向量場(速度場),(6.2)確定一個定常場.(6.1)稱為非自治系統(tǒng),(6.2)稱為自治系統(tǒng),6.1.1非自治系統(tǒng)與自治系統(tǒng)的主要區(qū)別自治系統(tǒng)不論是在相空間還是增廣相空間,軌線勻不相交.而非自治系統(tǒng)在增廣相空間積分曲線不相交,但在相空間軌線可能相交.定義6.1若存在使則點稱為系統(tǒng)(6.2)的一個平衡位置,也稱為此系統(tǒng)的一個奇點.

軌線只可能與奇點無限接近,但不可能通過奇點,否則與解的唯一性相矛盾.對于一給定的自治系統(tǒng)來說,奇點或平衡位置是人們關心的重要問題,在奇點附近軌線的分布情況是多種多樣的,這也是對自治系統(tǒng)進行研究的重要內容之一,本書對此不作進一步討論,有興趣的同學可參考常微分方程教材,我們在此主要討論奇點的的穩(wěn)定性.6.1.2相平面、相軌線與相圖

我們把平面xoy稱為(6.3)的相平面,而把(6.3)的解在平面上的軌跡稱為(6.3)的軌線或相軌線.軌線族在相平面上的圖像稱為(6.3)的相圖.(a)(b)6.2穩(wěn)定性的基本概念定義6.2設是系統(tǒng)(5.2)適合初值條件的解(1)若使得只要對一切恒有則稱系統(tǒng)(5.2)的零解是穩(wěn)定的;(2)若1)是穩(wěn)定的;2)使得只要就有則稱系統(tǒng)(6.2)的零解是漸近穩(wěn)定的;區(qū)域稱為吸引域;如果吸引域是全空間,則稱穩(wěn)定的.是全局漸近(3)若是不穩(wěn)定的;都但則稱與使例如,微分方程滿足初值條件的解為6.3判定穩(wěn)定性的Liapunov函數法定義6.3設若且當時,則稱函數在上是常正(常負)的;若函數且當時,則稱在上是常正(常負)的;常常正或常負的函數統(tǒng)稱為常號函數;定正或定負的函數統(tǒng)稱為定號函數.若且在的任意領域內均既有使的點,也有使的點,

則稱函數在上是變號的.定理6.1(穩(wěn)定性的Liapunov判別法)設有定義在上的定正(定負)函數表示沿系統(tǒng)(6.2)的軌線的全導數(1)若在上是常負(常正)的,則是穩(wěn)定的;(2)若在上是定負(定正)的,則是漸近穩(wěn)定的;(3)若在上是定正(定負)的,則是不穩(wěn)定的;用來判定穩(wěn)定性的這種函數稱為Liapunov函數,也稱為函數.內除附注1

若定正(定負),則常負(常正),但集合是漸近穩(wěn)定的.外不含有系統(tǒng)(6.2)的整條軌線,附注2

若在的鄰域內是變號函數,而定號,則是不穩(wěn)定的.例5.2討論系統(tǒng)(6.5)的零解的穩(wěn)定性.6.4由線性近似系統(tǒng)判定穩(wěn)定性稱系統(tǒng)(6.11)的線性近似系統(tǒng)為(6.10)設為(6.10)的解,利用TayLor公式可將(6.10)化為(6.12)

定理6.2(1)若矩陣A的全部特征值都具有負實部,則系統(tǒng)(6.10)的零解是漸近穩(wěn)定的;

(2)若矩陣A的全部特征值中至少有一個具有正實部,則系統(tǒng)(6.10)的零解是不穩(wěn)定的.