北京市海淀區(qū)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期期中練習(xí)數(shù)學(xué)試題 含解析

北京市海淀區(qū)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期期中練習(xí)數(shù)學(xué)試題本試卷共6頁，150分.考試時長120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題紙上，在試卷上作答無效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題紙一并交回.第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.已知集合或x>1，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用交集的定義可求得集合.【詳解】因為集合或x>1，，則.故選：C.2.若復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用復(fù)數(shù)乘法運算計算即得.【詳解】由，得，所以.故選：D3.若，則下列不等式成立的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)及基本不等式，逐項分析即可得解.【詳解】因為，所以，所以，即，故A錯誤；因為，所以，故B錯誤；由A知，兩邊同乘以正數(shù)，則，故C錯誤；因為，所以，所以（，等號不成立），故，故D正確.故選：D4.已知，則（）A.1 B.2 C. D.【答案】B【解析】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，計算得解.【詳解】因為，所以，所以，故選：B5.下列不等式成立的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷各選項即可.【詳解】因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，，故AC錯誤；因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，故B正確；因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，故D錯誤.故選：B.6.若在R上為增函數(shù)，則的取值范圍是（）A.) B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性列式運算得解.【詳解】因為是R上單調(diào)遞增函數(shù)，所以，解得.所以實數(shù)的取值范圍為.故選：B.7.已知向量，則下列等式中，有且僅有一組實數(shù)x，y使其成立的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運算，向量的模，向量的數(shù)量積，建立方程，分析方程的解的個數(shù)即可得出答案.【詳解】當(dāng)時，，有無數(shù)組解，故A錯誤；當(dāng)時，，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故方程有且僅有一組解，故B正確；當(dāng)時，，當(dāng)或時方程成立，方程有無數(shù)組解，故C錯誤；當(dāng)時，即，即，方程有無數(shù)組解，故D錯誤.故選：B8.大面積綠化可以增加地表的綠植覆蓋，可以調(diào)節(jié)小環(huán)境的氣溫，好的綠化有助于降低氣溫日較差（一天氣溫的最高值與最低值之差）.下圖是甲、乙兩地某一天的氣溫曲線圖.假設(shè)除綠化外，其它可能影響甲、乙兩地溫度的因素均一致，則下列結(jié)論中錯誤的是（）A.由上圖推測，甲地的綠化好于乙地B.當(dāng)日時到時，甲地氣溫的平均變化率小于乙地氣溫的平均變化率C.當(dāng)日時到時，甲地氣溫的平均變化率小于乙地氣溫的平均變化率D.當(dāng)日必存在一個時刻，甲、乙兩地氣溫的瞬時變化率相同【答案】C【解析】【分析】結(jié)合圖中數(shù)據(jù)分析一一判斷各選項即可.【詳解】對于A，由圖可知，甲地的氣溫日較差明顯小于乙地氣溫日較差，所以甲地的綠化好于乙地，故A正確；對于B，由圖可知，甲乙兩地的平均變化率為正數(shù)，且乙地的變化趨勢更大，所以甲地氣溫的平均變化率小于乙地氣溫的平均變化率，故B正確；對于C，由圖可知，甲乙兩地的平均變化率為負(fù)數(shù)，且乙地的變化趨勢更大，所以甲地氣溫的平均變化率大于乙地氣溫的平均變化率，故C錯誤；對于D，由圖可知，存在一個時刻，使得甲、乙兩地氣溫的瞬時變化率相同，故D正確.故選：C.9.設(shè)無窮等差數(shù)列的前項積為.若，則“有最大值”是“公差”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】分析公差三種情況，當(dāng)時無最大值，當(dāng)時，不一有最大值，即可得出論【詳解】對于無窮等差數(shù)列an，由于，當(dāng)時，若數(shù)列中小于0的項為偶數(shù)項，且數(shù)列中無0時，顯然沒有最大值，當(dāng)時，數(shù)列為常數(shù)列，當(dāng)不等于時，，無最大值，所以公差不能推出有最大值，當(dāng)時，，所以趨于正無窮，為正負(fù)間隔的擺動數(shù)列，沒有最大值，所以當(dāng)有最大值時，只能，綜上，“有最大值”是“公差”的充分不必要條件，故選：A10.已知數(shù)列滿足，則（）A.當(dāng)時，存在使得B.當(dāng)時，存在使得C.當(dāng)時，存在正整數(shù)，當(dāng)時，D.當(dāng)時，存在正整數(shù)，當(dāng)時，【答案】D【解析】【分析】需要根據(jù)給定的值，分析數(shù)列的性質(zhì).通過對遞推式的分析和一些特殊情況的探討,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)來判斷每個選項的正確性.【詳解】對于A選項,當(dāng)時，.令，.對于二次函數(shù)，其對稱軸為，最大值為.因為，由遞推關(guān)系可知，所以不存在使得，A選項錯誤.對于B選項，當(dāng)時，.令，.因為的值域為，且，所以由遞推關(guān)系可知，不存在使得，B選項錯誤.對于C選項，當(dāng)時，.令，.設(shè).令，，對稱軸為，在上遞增，在上遞減.當(dāng)時，的值不是恒大于的，所以不存在正整數(shù)，當(dāng)時，，C選項錯誤.對于D選項，當(dāng)時，.設(shè).因為，在上遞增，在上遞減.當(dāng)足夠大時，會趨近于某個值（），此時會趨近于.所以存正整數(shù)，當(dāng)n>N時，，D選項正確.故選：D.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.已知，則____________.【答案】1【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)的運算求解.【詳解】因為，所以，故，故答案為：112.在平面直角坐標(biāo)系中，角的終邊經(jīng)過點.若角的終邊逆時針旋轉(zhuǎn)得到角的終邊，則____________.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義及誘導(dǎo)公式求解.【詳解】因為角的終邊經(jīng)過點，所以，又，所以.故答案為：13.如圖所示，四點在正方形網(wǎng)格的格點處.若，則________，________.【答案】①.②.【解析】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運算得解.【詳解】建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，則,所以，由可得，即，解得,故答案為：；14.已知函數(shù)滿足恒成立.①的取值范圍是____________；②若，則的最小值為____________.【答案】①.②.2【解析】【分析】根據(jù)題意可知，解不等式可得的取值范圍，由確定，解出，由可得最小值.【詳解】因為，所以所以由可得，即，由可知，，因為，所以，因為，所以由可知，即，，此時，所以，解得，又，所以.故答案為：；2【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵點在于對正弦函數(shù)最值的理解，理解了正弦函數(shù)最值就能根據(jù)恒成立轉(zhuǎn)化為，也能根據(jù)轉(zhuǎn)化出.15.已知函數(shù)，其定義域記為集合，給出下列四個結(jié)論：①且；②若，則；③存在，使得；④對任意，存在使得.其中所有正確結(jié)論的序號是____________.【答案】①②④【解析】【分析】根據(jù)解析式求定義域判斷①，利用對數(shù)運算化簡及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷②，求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性及范圍可判斷③，取后利用對數(shù)運算化簡可判斷④.【詳解】由知，且，解得且，所以且，故①正確；當(dāng)時，，因為，當(dāng)時，，當(dāng)時，因為，，所以，故②正確；，當(dāng)時，，，所以，又，所以，在0,1上單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以，同理可得，在1,+∞上單調(diào)遞減，又時，，所以，當(dāng)時，，所以，即當(dāng)時，函數(shù)圖象在軸下方單調(diào)遞減，當(dāng)時，函數(shù)圖象在上方單調(diào)遞減，所以不存在，使得，故③錯誤；由②可聯(lián)想考慮當(dāng)時，，即對任意，存在使得，故④正確.故答案為：①②④【點睛】關(guān)鍵點點睛：判斷③時，關(guān)鍵在于求導(dǎo)數(shù)后，能分類討論得到導(dǎo)數(shù)的符號，判斷出函數(shù)的單調(diào)性，再分析兩段函數(shù)圖象的上下界，才能作出正確的結(jié)論.三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.已知無窮等比數(shù)列的前項和為.（1）求的值；（2）設(shè)，求數(shù)列前項和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列中的關(guān)系可得解；（2）根據(jù)分組求和，利用等比數(shù)列、等差數(shù)列求和公式得解.【小問1詳解】當(dāng)時，，因為是等比數(shù)列，所以，又因為，所以.【小問2詳解】由（1）知，因為，且，所以是以6為首項，9為公比的等比數(shù)列，17.設(shè)函數(shù)，從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知.（1）求的值；（2）若在上有且僅有兩個極大值點，求的取值范圍.條件①：；條件②：將的圖象向右平移個單位長度后所得的圖象關(guān)于原點對稱；條件③：對于任意的實數(shù)的最大值為4.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）化簡后，選條件①，根據(jù)化簡得解；選條件②，由平移可知，化簡求解；選條件③，轉(zhuǎn)化為振幅得解；（2）由正弦型函數(shù)性質(zhì)求出極大值點，再根據(jù)題意知在區(qū)間內(nèi)，不在區(qū)間內(nèi)即可得解.【小問1詳解】條件①，所以，所以，解得條件②，所以的圖象向右平移后所得圖象關(guān)于原點對稱，所以，即，解得，經(jīng)驗證：.條件③，所以，其中，由題意知，，即，因為，所以.【小問2詳解】，當(dāng)時，取得極大值，即因為在上有且僅有兩個極大值點，所以符合題意，所以18.已知函數(shù).曲線在點處的切線方程為.（1）求的值；（2）求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)題意列出方程即可求解；（2）求出導(dǎo)函數(shù)的零點，列表即可得出函數(shù)最小值.【小問1詳解】，依題意，，解得.【小問2詳解】由（1）得，令，解得或，的變化情況如下表：00極小值極大值由表格可知，有極小值，因為當(dāng)時，，所以最小值為.19.如圖所示，某景區(qū)有兩條公路（在同一平面內(nèi)），在公路上有兩個景點入口游客服務(wù)中心在點處，已知，.（1）已知該景區(qū)工作人員所用的對講機是同一型號，該型號對講機的信號有效覆蓋距離為3km.若不考慮其他環(huán)境因素干擾，則處的工作人員與處的工作人員能否用對講機正常通話?（2）已知一點處接收到對講機的信號強度與到該對講機的距離的平方成反比.欲在公路CQ段上建立一個志愿服務(wù)驛站，且要求在志愿服務(wù)驛站接收景點入口處對講機的信號最強.若選址使，請判斷該選址是否符合要求?【答案】（1）A處工作人員對講機能與C處工作人員正常通話（2）D點選址符合要求【解析】【分析】（1）由正弦定理求出，與3比較大小即可得出結(jié)論；（2）由余弦定理求出，可證明，即可得解.【小問1詳解】因為，所以為銳角，所以，在中，所以，因為，所以A處工作人員對講機能與C處工作人員正常通話.【小問2詳解】由余弦定理，因為，所以的長為點A與直線上所有點的距離的最小值，所以D點選址符合要求.20.已知函數(shù).（1）若在處取得極大值，求的值；（2）求的零點個數(shù).【答案】（1）（2）1【解析】【分析】（1）求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，利用極值點導(dǎo)數(shù)為0求出，再檢驗即可得解；（2）分三種情況討論，討論時，列出當(dāng)變化時，的變化情況，再由零點存在性定理判斷零點個數(shù)即可.【小問1詳解】的定義域為.因為4是的極大值點，所以，即，解得或當(dāng)時，當(dāng)變化時，的變化情況如下表：34+00+極大值極小值此時，4是的極小值點，不符合題意；當(dāng)時，當(dāng)變化時，的變化情況如下表：46+00+極大值極小值此時4是的極大值點，符合題意.因此，此時.【小問2詳解】①當(dāng)時，當(dāng)變化時，的變化情況如下表：+00+極大值極小值，因此時，，又，因此上有且僅有一個零點，因此的零點個數(shù)是1.②當(dāng)時，對任意，在上是增函數(shù)，又，由零點存在定理知，有1個零點，因此的零點個數(shù)是1.③當(dāng)時，當(dāng)變化時，的變化情況如下表：+00+極大值極小值，因此時，，又，因此在上有且僅有1個零點，因此的零點個數(shù)是1.綜上，當(dāng)時，的零點個數(shù)是1.21.對于行列的數(shù)表，定義變換：任選一組其中，對于的第行和第列的個數(shù)，將每個數(shù)同時加1，或者將每個數(shù)同時減1，其余的數(shù)不變，得到一個新數(shù)表.（1）已知對依次進(jìn)行4次變換，如下：寫出值；（2）已知.是否可以依次進(jìn)行有限次變換，將變換為?說明理由；（3）已知11行11列的數(shù)表，是否可以依次進(jìn)行次變換，將其變換為?若可以，求的最小值；若不可以，說明理由.【答案】（1）（2）不能，理由見解析（3）可以，的最小值400【解析】【分析】（1）根據(jù)變換的定義直接得解；（2）根據(jù)變換的規(guī)律，分析變換前后數(shù)字和的規(guī)律得解；（3）由題意，討論三種選取方式，求出加1與減1變換次數(shù)之差，由題意得出滿足條件即可.【小問1詳解】根據(jù)變換的定義，可得【小問2詳解】不可以，理由如下:由題可知每次變換T，數(shù)表中所有數(shù)的和增加或減少5.因為A中所有數(shù)的和為0，所以其經(jīng)過有限次變換T后各數(shù)和為5的倍數(shù).而B中所有數(shù)的和為9，不符合，故無法通過有限次變