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學(xué)必求其心得,業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得,業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得,業(yè)必貴于專精課后訓(xùn)練1.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1,則AC1與平面BB1C1C所成角的正弦值為()A.B.C.D.2.AB⊥平面α于B,BC為AC在α內(nèi)的射影,CD在α內(nèi),若∠ACD=60°,∠BCD=45°,則AC和平面α所成的角為()A.90°B.60°C.45°D.30°3.一個二面角的兩個面分別平行于另一個二面角的兩個面,那么這兩個二面角()A.相等B.互補C.關(guān)系無法確定D.相等或互補4.在邊長為a的正三角形ABC中,AD⊥BC于D,沿AD折成二面角B-AD-C后,,這時二面角B-AD-C的大小為()A.30°B.45°C.60°D.90°5.過正方形ABCD的頂點A作線段PA⊥平面ABCD,若AB=PA,則面APB和面CDP所成二面角的度數(shù)是()A.90°B.60°C.45°D.30°6.已知直線l的方向向量v=(1,-1,-2),平面α的法向量u=(-2,-1,1),則l與α的夾角為__________.7.等腰直角三角形ABC的斜邊AB在平面α內(nèi),若AC與α成30°角,則斜邊上的中線CM與平面α所成的角為__________.8.若P是△ABC所在平面外一點,且△PBC和△ABC都是邊長為2的正三角形,PA=,那么二面角P-BC-A的大小為__________.9.在三棱錐P-ABC中,側(cè)面PAC與底面ABC垂直,PA=PB=PC=3,,求AC與平面PBC所成角的大?。?0.如圖,在矩形ABCD中,點E,F(xiàn)分別在線段AB,AD上,AE=EB=AF=FD=4。沿直線EF將△AEF翻折成△A′EF,使平面A′EF⊥平面BEF,求二面角A′-FD-C的余弦值.
參考答案1.答案:C設(shè)BC中點為D,則AD⊥平面BB1C1C,故∠AC1D就是AC1與平面BB1C1C所成的角.在Rt△ADC1中,AD=AB,AC1=AB,所以sin∠AC1D==。2.答案:C設(shè)AC和平面α所成的角為θ,則cos60°=cosθcos45°,故cosθ=,所以θ=45°.3。答案:D4.答案:C∠BDC就是二面角B-AD-C的平面角.∵cos∠BDC=,∴∠BDC=60°。5.答案:C∠APD就是面APB和面CDP所成二面角的平面角.6.答案:30°cos〈v,u〉=,∴sinθ=(θ為l與α的夾角).7.答案:45°作CD⊥α于D,連DA,DB,DM,∠CAD=30°,CD=AC,CM=AM=AC,sin∠CMD=,故∠CMD=45°.8.答案:90°設(shè)BC中點為D,則PD⊥BC,AD⊥BC,∠PDA就是二面角P-BC-A的平面角.9.答案:分析:本題可以建立適當(dāng)坐標(biāo)系,利用直線的方向向量與平面的法向量的夾角來求.解:由題意PA=PB=PC,點P在△ABC內(nèi)的射影為△ABC的外心,即點P在△ABC內(nèi)的射影O到點A,B,C的距離相等,又面PAC⊥面ABC,∴O為AC的中點,由直角三角形中的性質(zhì)可知:∠ABC=90°,以O(shè)為原點,,,為軸,建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz,則P(0,0,),B(,0,0),C(0,,0),A(0,,0).設(shè)n=(x,y,z)為面PBC的法向量,可求得n=(,,2),=(0,,0).設(shè)AC與平面PBC所成的角為θ,則sinθ=|cos<n,〉|=,∴θ=30°.∴AC與平面PBC所成角的大小為30°。10。答案:分析:本題可以建立適當(dāng)坐標(biāo)系,利用平面的法向量來求;也可作出二面角的平面角來求.解:解法一:取線段EF的中點H,連A′H,因為A′E=A′F及H是EF的中點,所以A′H⊥EF。又因為平面A′EF⊥平面BEF,及A′H平面A′EF,所以A′H⊥平面BEF。如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,則A′(2,2,),C(10,8,0),F(xiàn)(4,0,0),D(10,0,0).故=(-2,2,),=(6,0,0).設(shè)n=(x,y,z)為平面A′FD的一個法向量,所以取,則n=(0,-2,).又平面BEF的一個法向量m=(0,0,1),故cos<n,m〉=。所以二面角A′-DF-C的余弦值為。解法二:取線段EF的中點H,AF的中點G,連A′G,A′H,GH.因為A′E=A′F及H是EF的中點,所以A′H⊥EF.又因為平面A′EF⊥平面BEF,所以A′H⊥平面BEF.又AF平面BEF,故A′H⊥AF。又因為G,H是AF,EF的中點,易
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