數(shù)學(xué)課后訓(xùn)練：二面角及其度量

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課后訓(xùn)練1．在正三棱柱ABC－A1B1C1中,AB＝AA1，則AC1與平面BB1C1C所成角的正弦值為(）A．B．C．D．2．AB⊥平面α于B，BC為AC在α內(nèi)的射影，CD在α內(nèi)，若∠ACD＝60°，∠BCD＝45°，則AC和平面α所成的角為(）A．90°B．60°C．45°D．30°3．一個(gè)二面角的兩個(gè)面分別平行于另一個(gè)二面角的兩個(gè)面，那么這兩個(gè)二面角（）A．相等B．互補(bǔ)C．關(guān)系無(wú)法確定D．相等或互補(bǔ)4．在邊長(zhǎng)為a的正三角形ABC中,AD⊥BC于D，沿AD折成二面角B－AD－C后，，這時(shí)二面角B－AD－C的大小為(）A．30°B．45°C．60°D．90°5．過(guò)正方形ABCD的頂點(diǎn)A作線段PA⊥平面ABCD，若AB＝PA,則面APB和面CDP所成二面角的度數(shù)是(）A．90°B．60°C．45°D．30°6．已知直線l的方向向量v＝（1,－1，－2)，平面α的法向量u＝(－2，－1，1），則l與α的夾角為_(kāi)_________．7．等腰直角三角形ABC的斜邊AB在平面α內(nèi)，若AC與α成30°角，則斜邊上的中線CM與平面α所成的角為_(kāi)_________．8．若P是△ABC所在平面外一點(diǎn)，且△PBC和△ABC都是邊長(zhǎng)為2的正三角形，PA＝，那么二面角P－BC－A的大小為_(kāi)_________．9．在三棱錐P－ABC中，側(cè)面PAC與底面ABC垂直，PA＝PB＝PC＝3，,求AC與平面PBC所成角的大?。?0．如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段AB，AD上，AE＝EB＝AF＝FD＝4。沿直線EF將△AEF翻折成△A′EF，使平面A′EF⊥平面BEF，求二面角A′－FD－C的余弦值．

參考答案1.答案：C設(shè)BC中點(diǎn)為D，則AD⊥平面BB1C1C，故∠AC1D就是AC1與平面BB1C1C所成的角．在Rt△ADC1中，AD＝AB,AC1＝AB,所以sin∠AC1D＝＝。2.答案：C設(shè)AC和平面α所成的角為θ，則cos60°＝cosθcos45°，故cosθ＝,所以θ＝45°.3。答案：D4.答案：C∠BDC就是二面角B－AD－C的平面角．∵cos∠BDC＝，∴∠BDC＝60°。5.答案:C∠APD就是面APB和面CDP所成二面角的平面角．6.答案：30°cos〈v,u〉＝,∴sinθ＝(θ為l與α的夾角)．7.答案：45°作CD⊥α于D，連DA，DB，DM,∠CAD＝30°,CD＝AC,CM＝AM＝AC，sin∠CMD＝，故∠CMD＝45°.8.答案：90°設(shè)BC中點(diǎn)為D,則PD⊥BC，AD⊥BC，∠PDA就是二面角P－BC－A的平面角．9.答案：分析:本題可以建立適當(dāng)坐標(biāo)系，利用直線的方向向量與平面的法向量的夾角來(lái)求．解：由題意PA＝PB＝PC，點(diǎn)P在△ABC內(nèi)的射影為△ABC的外心，即點(diǎn)P在△ABC內(nèi)的射影O到點(diǎn)A，B，C的距離相等，又面PAC⊥面ABC，∴O為AC的中點(diǎn)，由直角三角形中的性質(zhì)可知：∠ABC＝90°,以O(shè)為原點(diǎn),，，為軸,建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，則P（0,0,），B（,0,0)，C(0，，0）,A(0，，0）．設(shè)n＝（x，y,z）為面PBC的法向量，可求得n＝（,，2)，＝（0，，0）．設(shè)AC與平面PBC所成的角為θ，則sinθ＝|cos<n，〉｜＝，∴θ＝30°.∴AC與平面PBC所成角的大小為30°。10。答案：分析：本題可以建立適當(dāng)坐標(biāo)系，利用平面的法向量來(lái)求；也可作出二面角的平面角來(lái)求．解:解法一:取線段EF的中點(diǎn)H,連A′H,因?yàn)锳′E＝A′F及H是EF的中點(diǎn)，所以A′H⊥EF。又因?yàn)槠矫鍭′EF⊥平面BEF，及A′H平面A′EF，所以A′H⊥平面BEF。如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，則A′（2,2，），C（10，8,0)，F(xiàn)（4，0，0)，D（10，0，0）．故＝（－2，2，），＝(6，0，0)．設(shè)n＝（x，y,z)為平面A′FD的一個(gè)法向量，所以取,則n＝(0，－2,)．又平面BEF的一個(gè)法向量m＝（0，0,1),故cos<n，m〉＝。所以二面角A′－DF－C的余弦值為。解法二：取線段EF的中點(diǎn)H，AF的中點(diǎn)G，連A′G，A′H，GH.因?yàn)锳′E＝A′F及H是EF的中點(diǎn),所以A′H⊥EF.又因?yàn)槠矫鍭′EF⊥平面BEF，所以A′H⊥平面BEF.又AF平面BEF,故A′H⊥AF。又因?yàn)镚，H是AF,EF的中點(diǎn)，易