數(shù)學課后訓練：函數(shù)的奇偶性

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精課后訓練基礎(chǔ)鞏固1．若函數(shù)y＝f(x）是奇函數(shù),則下列坐標表示的點在y＝f（x)的圖象上的是（)A．(a,－f(a）)B．（－a，－f(a））C．（－a,－f(－a))D．（a，f(－a))2．定義在R上的偶函數(shù)f(x）,在x＞0上是增函數(shù)，則（）A．f(3)＜f（－4）＜f(－π）B．f（－π)＜f（－4）＜f（3)C．f(3）＜f(－π）＜f(－4)D．f（－4）＜f（－π）＜f（3)3．已知f（x）＝x5＋ax3＋bx－8,且f(－2）＝10,則f(2）等于（）A．－26B．－18C．－10D．104．設(shè)函數(shù)y＝f(x）是偶函數(shù),它在［0,1]上的圖象如圖．則它在[－1，0]上的解析式為________．5．判斷函數(shù)的奇偶性．6．已知f（x）是R上的奇函數(shù)，且當x＞0時,f(x)＝x3＋x＋1，求f（x)的解析式．能力提升7．若函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，在（－∞,0］上是減函數(shù)，且f(2）＝0，則使f（x）＜0成立的x的取值范圍是()A．(－∞，2)B．(2，＋∞）C．(－∞，－2）∪（2，＋∞）D．（－2,2)8．定義在R上的奇函數(shù)f（x)在（－∞，0）上單調(diào)遞增，若f(－1）＝0，則不等式f（x)＜0的解集是(）A．（－∞，－1)∪（0,1）B．(－∞，－1)∪（1，＋∞)C．(－1,0)∪（0，1）D．（－1,0)∪（1,＋∞)9．已知f（x）是奇函數(shù),g(x）是偶函數(shù)，且f（x)＋g（x)＝x＋1，則f（x）＝________,g（x)＝________。10．已知f(x)，g（x）均為奇函數(shù)，且F（x）＝af（x)＋bg（x)＋2在(0，＋∞）上的最大值為5，則在(－∞，0)上F（x)的最小值為__________．11．已知函數(shù)f(x)的定義域是（－∞，0）∪（0，＋∞），對定義域內(nèi)的任意x1,x2都有f（x1x2）＝f(x1)＋f(x2），且當x＞1時，f（x)＞0，f(2）＝1.(1)求證：f(x)是偶函數(shù)；（2）求證：f(x)在(0，＋∞）上是增函數(shù)；(3)試比較與的大?。?2．函數(shù)是定義在(－1,1)上的奇函數(shù),且.(1)確定函數(shù)f（x)的解析式;（2)用定義證明f（x)在(－1,1)上是增函數(shù)；（3）解不等式f（t－1）＋f(t）＜0。

參考答案1．B點撥：因為y＝f（x)是奇函數(shù)，故f(－a）＝－f(a），即(－a，－f(a))在y＝f(x)上．2．C點撥:∵f(x)在R上為偶函數(shù)，∴f（－π)＝f(π），f(－4)＝f(4),而3＜π＜4，且f（x)在（0,＋∞）上為增函數(shù),∴f（3）＜f（π）＜f（4)，即f（3)＜f（－π）＜f（－4）．3．A點撥：令g(x）＝x5＋ax3＋bx，由于g（－x)＝(－x)5＋a(－x)3＋b（－x）＝－(x5＋ax3＋bx）＝－g(x）,則g(x）是奇函數(shù)，則f（x)＝g（x）－8，f（－2）＝g(－2)－8＝－g(2）－8＝10，∴g(2）＝－18.∴f（2)＝g（2)－8＝－18－8＝－26.4．f(x）＝x＋2點撥：由題意知f(x）在［－1,0］上為一條線段，且過(－1，1），（0，2），設(shè)f(x）＝kx＋b，將（－1,1),（0，2）代入得k＝1，b＝2.所以f(x）在[－1,0]上的解析式為y＝x＋2。5．解：函數(shù)的定義域是（－∞，0）∪（0，＋∞)．①當x＞0時,－x＜0，則f（－x）＝（－x）3＋3(－x)2－1＝－x3＋3x2－1＝－（x3－3x2＋1）＝－f（x)．②當x＜0時,－x＞0，則f(－x)＝(－x）3－3(－x）2＋1＝－x3－3x2＋1＝－（x3＋3x2－1）＝－f(x）．由①②知，當x∈（－∞，0）∪（0，＋∞)時，都有f（－x）＝－f(x)．所以f（x)為奇函數(shù)．6．解：設(shè)x＜0，則－x＞0，∴f(－x)＝（－x)3－x＋1＝－x3－x＋1.又∵f（x)是奇函數(shù)，則f(－x）＝－f(x）．∴－f（x)＝－x3－x＋1，即f(x)＝x3＋x－1?！鄕＜0時，f(x）＝x3＋x－1。又f(x)是奇函數(shù)且在x＝0處有定義,則f(0)＝0.∴7．D點撥：由函數(shù)f（x)的性質(zhì)可畫出其草圖，如圖所示．則當f（x)＜0時，－2＜x＜2.8．A點撥：根據(jù)f（x)所具有的性質(zhì)可以畫出f(x）的大致圖象如圖,因此f(x）＜0x＜－1或0＜x＜1。9．x1點撥：由f（x)＋g(x)＝x＋1，得f（－x）＋g(－x）＝－x＋1，即－f(x）＋g（x)＝－x＋1，所以f（x)＝x，g(x）＝1.10．－1點撥：∵F(x)＝af(x)＋bg（x)＋2在(0，＋∞）上有最大值5，且f（x),g（x)均為奇函數(shù)，∴F(x)－2＝af（x)＋bg（x)在(0，＋∞）上有最大值3,且F(x)－2為奇函數(shù)．根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可知,F（x)－2＝af（x）＋bg(x）在(－∞,0)上的最小值為－3.∴F（x）＝af(x)＋bg（x)＋2在（－∞，0)上的最小值為－1.11．(1）證明:函數(shù)的定義域是(－∞，0）∪(0，＋∞）．∵令x1＝x2＝1,得f（1×1)＝f(1)＋f（1)，∴f（1）＝0.令x1＝x2＝－1，得f(1）＝f((－1）×（－1))＝f（－1)＋f（－1)，∴2f（－1）＝0。∴f（－1）＝0.∴f(－x)＝f（－1·x）＝f(－1)＋f(x）＝f(x）．∴f(x）是偶函數(shù)．(2)證明：設(shè)0＜x1＜x2，則f(x2）－f(x1)＝－f(x1)＝f(x1)＋－f(x1)＝，∵x2＞x1＞0，∴。∴，即f（x2)－f(x1)＞0?！鄁(x2）＞f(x1），即f（x1）＜f(x2)．∴f（x）在(0，＋∞）上是增函數(shù)．(3）解:由(1）知f（x)是偶函數(shù)，則有，由（2）知f(x）在（0，＋∞)上是增函數(shù),則?！唷?2．（1)解：∵f（x)是奇函數(shù)，∴f（0)＝0,則∴∴∴.(2)證明:設(shè)－1＜x1＜x2＜1，∴f(x1)－f(x2）＝＝?！撸?＜x1＜x2＜1，∴x1－x2＜0,1＋x12＞0,1＋x22＞0。∴－1＜x1x2