北京市大興區(qū)2024-2025學年高二上學期期中檢測數(shù)學試題 含解析

大興區(qū)2024~2025學年度第一學期期中檢測高二數(shù)學1.本試卷共頁，共兩部分，21道小題．滿分150分.考試時間120分鐘.2.在試卷和答題卡上準確填寫學校名稱、班級、姓名和準考證號.3.試題答案一律填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效.4.在答題卡上，選擇題用2B鉛筆作答，其他題用黑色字跡簽字筆作答.第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.直線的傾斜角的正切值為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)斜率和傾斜角的關系求得傾斜角，進而求得其正切值.【詳解】直線斜率為，傾斜角為，所以.故選：A2.已知兩個向量，且，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量垂直列方程，化簡求得.【詳解】由于，所以.故選：C3.過點，的直線的斜率為，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)斜率列方程，求得，進而求得.【詳解】依題意，，解得，所以，所以故選：B4.圓關于軸對稱的圓的方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】確定出已知圓的圓心關于軸對稱的點的坐標，結合已知圓的半徑則對稱圓方程可知.【詳解】圓的圓心為，半徑為，因為關于軸對稱的點為，所以對稱圓的方程為，故選：D5.若是直線的方向向量，是平面的法向量，則直線與平面的位置關系是（）A.直線在平面內 B.平行 C.相交但不垂直 D.垂直【答案】C【解析】【分析】先判斷與是否共線或垂直，即可得出結論．【詳解】∵，，假設存在實數(shù)，使得，則，即無解.不存在實數(shù)，使得成立，因此l與α不垂直．由，可得直線l與平面α不平行．因此直線l與平面α的位置關系是相交但不垂直．故選：C【點睛】本題考查了向量共線定理、數(shù)量積運算性質、線面位置關系，屬于基礎題．6.已知直線與直線平行，則它們之間的距離為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)直線與直線平行，由,解得，然后利用兩平行線間的距離.【詳解】因為直線與直線平行，所以,解得，因為直線與直線所以它們之間的距離為．故選：C【點睛】本題主要考查兩直線的位置關系，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題.7.在平行六面體中，，，則的長為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量運算求得正確答案.【詳解】依題意，，所以.所以.故選：B8.已知圓，過直線上的動點作圓的一條切線，切點為，則的最小值為（）A.1 B. C. D.2【答案】C【解析】【分析】連接，，當最小時，最小，計算點到直線的距離得到答案.【詳解】如圖所示：連接，則，當最小時，最小，，故的最小值為.故選：C.9.已知點C（2，0），直線kx－y＋k=0（k≠0）與圓交于A，B兩點，則“△ABC為等邊三角形”是“k=1”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】當為等邊三角形時，求出斜率的值，當時，判斷的形狀，即可選出答案.【詳解】設圓心為，易知，半徑，當為等邊三角形時，，而，因為，所以，當時，直線為：，而，所以，所以，所以為等腰三角形，因為，圓心到直線的距離為，即，所以圓心為的重心，同時也是的外心，所以為等邊三角形，所以“為等邊三角形”是“”的充要條件，故選：A.10.如圖，放在平面直角坐標系中的“太極圖”整體是一個圓形，且黑色陰影區(qū)域與白色區(qū)域關于原點中心對稱，其中黑色陰影區(qū)域在軸右側部分的邊界為一個半圓.已知直線.給出下列四個結論：①當時，若直線截黑色陰影區(qū)域所得兩部分面積記為，則；②當時，直線與黑色陰影區(qū)域有個公共點；③當時，直線與黑色陰影區(qū)域的邊界曲線有個公共點．其中所有正確結論的序號是（）A.①② B.①③C.②③ D.①②③【答案】A【解析】【分析】由題知根據(jù)直線：過定點，為直線的斜率根據(jù)直線和圓的位置關系作圖，數(shù)形結合逐項分析判斷即可得解.【詳解】如圖1所示，大圓的半徑為2，小圓的半徑為1，所以大圓的面積為，小圓的面積為．對于①，當時，直線的方程為．此時直線將黑色陰影區(qū)域的面積分為兩部分，，所以，故①正確．對于②，根據(jù)題意，黑色陰影區(qū)域在第一象限的邊界方程為,當時，直線的方程為，即，小圓圓心到直線的距離，所以直線與該半圓弧相切，如圖2所示，所以直線與黑色陰影區(qū)域只有一個公共點，故②正確．對于③，當時，如圖3所示，直線與黑色陰影區(qū)域的邊界曲線有2個公共點，當時，直線與黑色陰影區(qū)域的邊界曲線有1個公共點，故③錯誤．綜上所述，①②正確．故選：A．第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.已知，，三點共線，則______．【答案】【解析】【分析】先確定直線斜率存在，然后根據(jù)三點共線可知，結合斜率的計算公式可求結果.【詳解】因為，所以直線斜率存在，因為三點共線，所以，所以，解得，故答案為：.12.已知圓，則圓心坐標為__________，當圓與軸相切時，實數(shù)的值為_____________.【答案】①..②.4.【解析】【分析】首先將圓的一般方程進行配方運算，得到標準方程，從而求得圓的圓心坐標，再根據(jù)圓與y軸相切，即圓心到y(tǒng)軸的距離即為圓的半徑，從而求得的值.詳解】由，配方得，所以圓心C的坐標為；當圓與軸相切時，則有，解得；故答案是，4.【點睛】該題考查的是有關圓的問題，涉及到的知識點有圓的一般方程向圓的標準方程的轉化，由圓的方程得到圓的圓心坐標，圓與直線相切時滿足的條件，即為圓心到切線的距離為圓的半徑，從而建立相應的等量關系式，求得結果.13.已知平面過點三點，直線與平面垂直，則直線的一個方向向量的坐標可以是______．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】先求解出平面的法向量，然后根據(jù)位置關系判斷出方向向量與法向量的關系，由此可知方向向量的結果.【詳解】設平面的法向量為，因為，所以，所以，所以，取，所以，又因為直線與平面垂直，所以直線的方向向量與平面的法向量共線，所以可取方向向量為（不唯一，非零共線即可），故答案為：（答案不唯一）.14.直線和與兩坐標軸正半軸圍成的四邊形的面積為______．【答案】【解析】【分析】先分別求解出直線與坐標軸的正半軸交點坐標，然后求解出兩直線的交點坐標，結合割補法求解出四邊形面積.【詳解】令中，得，所以與軸交于，令中，得，所以與軸交于，由可得，所以兩直線交于，所以圍成的四邊形面積為，故答案為：.15.如圖，在正方體中，，為的中點，為棱（含端點）上的動點，給出下列四個結論：①存在，使得；②存在，使得平面；③當為線段中點時，三棱錐的體積最??；④當與重合時，直線與直線所成角的余弦值最小.其中所有正確結論的序號是______．【答案】②④【解析】【分析】先建立合適空間直角坐標系，設，對于①：根據(jù)求得的值并判斷是否正確；對于②：考慮與重合時的情況；對于③：根據(jù)，分析的最小值即可判斷；對于④：利用向量法先表示出，然后結合換元法和二次函數(shù)性質求解出最小值并判斷.【詳解】建立如圖所示空間直角坐標系設，①：因為，所以，當時，，解得，不符合題意，故①錯誤；②：當與重合時，因為，所以四邊形為平行四邊形，所以，且平面，平面，所以平面，故②正確；③：設到平面的距離為，所以，且為定值，所以當最小時，三棱錐的體積最小，因為，所以，設平面的法向量為，所以，所以，取，所以，又，所以，當時有最小值，故③錯誤；④：設直線與直線所成角為，因為，所以，令，所以，所以，因為，所以時取最大值，此時取最小值，此時，即與重合，故④正確；故答案為：②④.【點睛】關鍵點點睛：解答本題的關鍵是向量法的使用，將①中的垂直關系轉化為數(shù)量積計算，將③中的體積問題轉化為點到面的距離問題并用向量法完成計算，將④中的異面直線所成角轉化為直線方向向量所成角進行計算.三、解答題共6小題，共85分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.已知平面內兩點.（1）求的中垂線方程；（2）求過點且與直線平行的直線的方程．【答案】（1）;（2）.【解析】【詳解】試題分析：(1)首先求得中點坐標，然后求得斜率，最后利用點斜式公式即可求得直線方程；(2)利用點斜式可得直線方程為.試題解析：（1），∴AB的中點坐標為，∴AB的中垂線斜率為∴由點斜式可得∴AB的中垂線方程為（2）由點斜式∴直線的方程17.已知圓的半徑為2，圓心在軸的正半軸上，直線與圓相切.（1）求圓的標準方程.（2）求直線：與圓相交的弦長.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)直線與圓相切，應用點線距離公式求圓心坐標，寫出圓的標準方程.（2）根據(jù)相交弦、弦心距、半徑之間的幾何關系求弦長即可.【詳解】（1）令圓心為且，∴由圓與相切，有，即可得.∴圓的標準方程為.（2）由（1）知：，，∴到直線距離為，∴直線與圓相交的弦長為.18.如圖，在四棱錐中，平面，，，且．（1）求直線與直線所成角的大??；（2）求直線PD與平面PAC所成角的正弦值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標系，利用向量法來求得直線與直線所成角的大小.（2）利用向量法來求得直線PD與平面PAC所成角的正弦值．【小問1詳解】由于平面，平面，所以，由于，所以兩兩相互垂直.以為原點，建立如圖所示空間直角坐標系，，，設直線與直線所成角為，則，由于，所以.【小問2詳解】，，設平面的法向量為，則，故可設，設直線PD與平面PAC所成角為，則.19.已知圓過三點，直線．（1）求圓的方程；（2）求圓關于直線對稱的圓的方程；（3）若為直線上的動點，為圓上的動點，為坐標原點，求的最小值．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）設出圓的標準方程，代入點的坐標求解出參數(shù)則圓的方程可知；（2）根據(jù)斜率關系和中點關系求解出對稱點的坐標，結合對稱圓的半徑不變求解出圓的方程；（3）根據(jù)圓外一點到圓上點距離的最值可知，然后利用對稱關系將轉化為，結合三點共線可求最小值.【小問1詳解】設圓的方程為，代入，則，解得，所以圓的方程為；【小問2詳解】設，由對稱關系可知，解得，所以，又因為對稱圓的半徑不變，所以的方程為；【小問3詳解】因為，由（2）可知關于直線的對稱點為，所以，當且僅當共線時取等號，所以，即的最小值為.20.在四棱錐中，底面ABCD是正方形，Q為PD的中點，，，再從條件①、條件②這兩個條件中任選一個作為已知．（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值；（3）求點到平面的距離．條件①：平面平面；條件②：．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分．【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）先選擇條件，然后根據(jù)面面垂直的性質定理或線面垂直的判定定理來證得平面.（2）建立空間直角坐標系，利用向量法求得平面與平面夾角的余弦值.（3）利用向量法求得點到平面的距離.【小問1詳解】若選①，由于平面平面，且交線為，平面，，所以平面.若選②，由于，，平面，所以平面.【小問2詳解】由（1）知平面，，兩兩垂直，以為原點，分別所在的直線為軸，建立如圖空間直角坐標系，則，A0,0,0，，，所以，由（1）知平面的法向量，設平面的法向量為，則，即，令，則，設平面與平面夾角的為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.【小問3詳解】由已知得，，所以點到平面的距離為.21.已知圓：及其上一點．（1）若圓與軸相切，與圓外切，且圓心在直線上，求圓的標準方程；（2）設過點的直線與圓相交的另一交點為，且為直角三角形，求的方程；（3）設動點，若圓上存在兩點，使得，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）或（3）【解析】【分析】（1）求得圓的圓心和半徑，從而求得圓的標準方程.（2）利用圓心到直線的距離列方程，求得直線的斜率，從而求得直線的方程.（3）將原問題轉化為即可求解.【小問1詳解】圓的方程可化為，所以圓心為，半徑為.由于圓與軸相切，與圓外切，且圓心在直線上，結合圖象可知圓